一、選擇題
1．有8位同學(xué)一次數(shù)學(xué)測(cè)試的分?jǐn)?shù)分別是：111,118,125,130,130,132,136,140,則這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是( )
A.130B.132C.134D.136
2．若,且是純虛數(shù),則( )
A.B.1C.D.2
3．已知,均為單位向量.若,則在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
4．設(shè)l,m是不同的直線,,是不同的平面,則下列命題正確的是( )
A.若,,,則B.若,,,則
C.若,,,則D.若,,,則
5．某臺(tái)小型晚會(huì)由5個(gè)節(jié)目組成,演出順序有如下要求,節(jié)目甲必須排在前兩位、節(jié)目乙不能排在第一位,該臺(tái)晚會(huì)節(jié)目演出順序的編排方案共有( )
A.36種B.42種C.48種D.54種
6．設(shè)直線被圓所截得的弦的中點(diǎn)為,則的最大值為( )
A.B.C. D.
7．已知為銳角,且,則( )
A.B.C.D.
8．雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過(guò)作D的切線與曲線C在第一象限交于點(diǎn)P，且，則曲線C的離心率為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù),則( )
A.的最小正周期為
B.的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心
C.在區(qū)間上單調(diào)遞減
D.在區(qū)間上有3個(gè)零點(diǎn)
10．已知正方體的棱長(zhǎng)為4,E,F,G分別是棱,,的中點(diǎn),則( )
A.平面
B.,,共面
C.平面截正方體所得截面的面積為
D.三棱錐的體積為
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽,,則( )
A.
B.是奇函數(shù)
C.若,則
D.若當(dāng)時(shí),,則,在單調(diào)遞減
三、填空題
12．已知數(shù)列是等比數(shù)列,且.設(shè),數(shù)列的前n項(xiàng)和為,則_____________.
13．已知隨機(jī)變量,且,則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__________.
14．在中,,,,點(diǎn)D,E,F分別在,,邊上,且,,則的最小值為_(kāi)______________.
四、解答題
15．不透明的袋子中有8個(gè)除所標(biāo)數(shù)字外均相同的球,其中標(biāo)號(hào)為1號(hào)的球有3個(gè),標(biāo)號(hào)為2號(hào)的球有3個(gè),標(biāo)號(hào)為3號(hào)的球有2個(gè).現(xiàn)從這8個(gè)球中任選2個(gè)球.
(1)求選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率;
(2)設(shè)隨機(jī)變量X為選出的2個(gè)球標(biāo)號(hào)之差的絕對(duì)值,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.
16．已知函數(shù),曲線在處的切線方程為.
(1)求a,b的值;
(2)求的單調(diào)區(qū)間,并證明在上沒(méi)有零點(diǎn).
17．如圖,在三棱柱中,平面平面,為等邊三角形,,,D,E分別是線段,的中點(diǎn).
(1)求證：平面;
(2)若點(diǎn)P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）,求平面與平面夾角的余弦值的取值范圍.
18．設(shè)拋物線,過(guò)焦點(diǎn)F的直線與C交于點(diǎn)A,B.當(dāng)直線垂直于x軸時(shí),.
(1)求C的方程;
(2)已知點(diǎn),直線,分別與C交于點(diǎn)C,D.
①求證：直線過(guò)定點(diǎn);
②求與面積之和的最小值.
19．對(duì)于數(shù)列,若存在正數(shù)k,使得對(duì)任意m,,,都滿(mǎn)足,則稱(chēng)數(shù)列符合“條件”.
(1)試判斷公差為2的等差數(shù)列是否符合“條件”？
(2)若首項(xiàng)為1,公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列符合“條件”.
①求q的取值范圍;
②記數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明：存在正數(shù),使得數(shù)列符合“條件”
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?
所以這組數(shù)據(jù)的75百分位數(shù)是.
故選：C.
2．答案：B
解析：設(shè),,
則
因?yàn)槭羌兲摂?shù),可得,即,所以.
故選：B.
3．答案：D
解析：由,可得,所以,
則在上的投影向量為.
故選：D.
4．答案：B
解析：對(duì)于A,若,,,此時(shí)l與m可能相交,如下圖所示：
對(duì)于C與D,若,,,則與均可能發(fā)生,如下圖所示：
對(duì)于B,若,,則,
又因?yàn)?故.
故選：B.
5．答案：B
解析：若甲排在第一位,則有種排法;
若甲排在第二位,由于乙不能排在第一位,則第一位有3種排法,其他位次全排列有種排法,則共有種排法,因此編排方案共有種.
故選：B.
6．答案：C
解析：直線過(guò)定點(diǎn),
因?yàn)镸是弦的中點(diǎn),
所以,
故M的軌跡方程為：,
設(shè),即
即是直線與圓的公共點(diǎn),
由直線與圓的位置關(guān)系可得,,解得,
所以的最大值為.
故選：C.
7．答案：B
解析：由,得,
即,解得或.
因?yàn)闉殇J角,所以.
故
故選：B.
8．答案：A
解析：設(shè)切點(diǎn)為A，，連接，則，，
過(guò)點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，則，
故，
因?yàn)椋?br>解得，
由雙曲線定義得，
所以，
在中，由余弦定理得
，
化簡(jiǎn)得，
又，
所以，方程兩邊同時(shí)除以得，
解得，
所以離心率.
故選：A.
9．答案：AC
解析：,,A對(duì);
對(duì)稱(chēng)中心縱坐標(biāo)為1,B錯(cuò);
,則,即的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間為
而,在上單調(diào)遞減,C對(duì);
,則或
或,,.
,;,;,;,
,在區(qū)間上有4個(gè)零點(diǎn),D錯(cuò).
故選：AC.
10．答案：ABD
解析：如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,
因?yàn)闉檎襟w,所以平面,又平面,所以,
,,,
所以,、是平面內(nèi)的兩條相交直線,所以面,A對(duì).
,,,
若,,共面,則,
,,B對(duì).
由平面基本性質(zhì)得：如圖截面為等腰梯形,,,,
,梯形的高,梯形面積,C錯(cuò).
,D對(duì).
故選：ABD.
11．答案：BCD
解析：對(duì)于A,時(shí),,,A錯(cuò).
對(duì)于B,時(shí),,,
,,為奇函數(shù),B正確.
對(duì)于C,,,,,C正確.
對(duì)于D,時(shí),,,
時(shí),,時(shí),
,,即,
在上單調(diào)遞減,D正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：為等比數(shù)列,,所以,
為等差數(shù)列,所以.
故答案為：.
13．答案：1215
解析：,,
,.
展開(kāi)式第項(xiàng)：
,.
故答案為：1215.
14．答案：
解析：由,,故A,F,D,E四點(diǎn)共圓,且為該圓直徑,
又,故最小時(shí),需最小,當(dāng)時(shí),最小,
由,故此時(shí),由正弦定理可得,
.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)分布列見(jiàn)解析,.
解析：(1)依題意,選出的這2個(gè)球標(biāo)號(hào)相同的概率為.
（2）X的所有可能取值為,,,
,
,
.
X的分布列如下：
X的數(shù)學(xué)期望.
16．答案：(1),
(2)單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,,證明見(jiàn)解析.
解析：(1)因?yàn)?所以,
由題意知,解得.
(2)由(1)可得定義域?yàn)?
又
,
因?yàn)?
所以當(dāng)時(shí),當(dāng)或時(shí),
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為,;
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
時(shí),,
在上沒(méi)有零點(diǎn).
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：（1）連接,由題設(shè)知四邊形為菱形,,
,E分別,為中點(diǎn),
,;又D為AC中點(diǎn),,
又平面平面,平面平面,平面,
平面,又平面;
,又平面,平面.
(2),,為等邊三角形,,
平面平面,平面平面,
平面,平面,
D為坐標(biāo)原點(diǎn),,,所在直線為x,y,z軸,可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
,,,,
設(shè),,則,,
,,,;
由(1)知：平面,所以平面的一個(gè)法向量;
設(shè)平面的法向量,則,
令,則,,;
,
令,則,;
,,
即平面與平面夾角的余弦值的取值范圍為.
18．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)①證明見(jiàn)解析;②.
解析：(1)由題意通徑長(zhǎng),,
的方程為.
(2)①設(shè)直線方程為,,,,,
聯(lián)立,
,,且,
同理,可得,,,
設(shè)與x軸交于點(diǎn)G,同上方法可得,
直線過(guò)定點(diǎn);
②,
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”.
19．答案：(1)符合條件;
(2)①;②證明見(jiàn)解析.
解析：(1)公差為2的等差數(shù)列,設(shè),
由,所以公差為2的等差數(shù)列符合條件.
(2)①首項(xiàng)為1,公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列,,
對(duì)恒成立,
若,則,符合.
若,數(shù)列單調(diào)遞增,不妨設(shè),
,,
設(shè),由（*）式中的m,n任意性得數(shù)列不遞增,
,,
但當(dāng),,矛盾.
若,則數(shù)列單調(diào)遞減,不妨設(shè),
,即,
設(shè),由（**）式中m,n的任意性得,數(shù)列不遞減,
,,
時(shí),單調(diào)遞增,
,,,
綜上,公比q的取值范圍為.
②：由①得,,,
當(dāng)時(shí),,要存在使得,只需即可;
當(dāng)時(shí),要證數(shù)列符合“條件”,
只要證存在,使得,,
不妨設(shè),則只要證：,
只要證：,
設(shè),由m,n的任意性,不遞減,
只要證,
只要證：,,
,存在上式對(duì)成立.
存在正數(shù)使數(shù)列符合條件.
X
0
1
2
P

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