1．已知函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)為1，則＝（ ）
A．0B．C．1D．2
2．已知空間三點A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||＝，則點P的坐標為（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
3．若方程x2+ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
4．在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則＝（ ）
A．0B．﹣2C．2D．﹣3
5．用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積V（r）隨著氣球半徑r的增大而增大．當半徑r＝1時，氣球的體積相對于r的瞬時變化率為（ ）
A．B．2πC．4πD．8π
6．從由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（ ）
A．6B．8C．10D．12
7．函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣x+a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，則a等于（ ）
A．3B．1C．2D．﹣1
8．若f（x）＝ex?lnx，則f（x）的切線的傾斜角α滿足（ ）
A．一定為銳角B．一定為鈍角
C．可能為直角D．可能為0°
二、多選題（共3小題，每題6分，部分選對得2分）
（多選）9．給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若空間向量，，且，則實數(shù)
B．若，則存在唯一的實數(shù)λ，使得
C．若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．點M（3，﹣2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標是（﹣3，﹣2，﹣1）
（多選）10．下列結論正確的是（ ）
A．?x∈R，ex﹣x﹣1≥0
B．在R內(nèi)，若f（﹣x）＝f（x），則f′（﹣x）＝f′（x）
C．?x＞0，lnx﹣x+1≤0
D．在R內(nèi)，若f（﹣x）＝﹣f（x），則f′（﹣x）＝﹣f′（x）
（多選）11．若實數(shù)m的取值使函數(shù)f（x）在定義域上有兩個極值點，則稱函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”，已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導數(shù)，且，當函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”時，m的取值范圍的子集有（ ）
A．B．C．D．
三、填空題（共3小題，每題5分）
12．將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入下圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有 不同的涂色方法．
13．已知數(shù)列{an}滿足，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式an＝ ．
14．已知函數(shù)．若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的最小值為 ．
四、解答題（共5小題）
15．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣x2﹣2x﹣1．
（1）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞﹣x﹣1．
16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．
（1）求證：BE⊥DC；
（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求平面FAB與平面ABP夾角的余弦值．
17．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為，過右焦點且與x軸不垂直的直線l與橢圓相交于A，B兩點，點M的坐標為（2，1），記直線MA，MB的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當時，求直線l的方程；
（Ⅲ）求證：k1+k2為定值．
18．（17分）若各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an+12＝2Sn+n+2（n∈N*），且a3+a5＝10．
（1）判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？并說明理由；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
19．（17分）對于函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y′＝f′（x），若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，t，使得f（x0+t）＝（t+1）f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點”．
（1）若m為實數(shù)，函數(shù)y＝sinx﹣m，x∈R是“躍點”函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若a為非零實數(shù)，函數(shù)y＝x3﹣2x2+ax﹣12，x∈R是“2躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“2躍點”，求a的值；
（3）若b為實數(shù)，函數(shù)y＝ex+bx，x∈R是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，求b的取值范圍．
參考答案
一、單選題（共8小題，每題5分）
1．已知函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)為1，則＝（ ）
A．0B．C．1D．2
【分析】利用導數(shù)的定義結合所求的式子，進行變形求解即可．
解：因為函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導數(shù)為1，
則．
故選：B．
【點評】本題考查了導數(shù)定義的運用，解題的關鍵在于變形，屬于基礎題．
2．已知空間三點A（1，0，3），B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），若，且||＝，則點P的坐標為（ ）
A．（4，﹣2，2）
B．（﹣2，2，4）
C．（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）
D．（﹣4，2，﹣2）或（2，﹣2，4）
【分析】根據(jù)已知條件，結合共線向量的性質(zhì)，以及向量模公式，即可求解．
解：∵B（﹣1，1，4），C（2，﹣1，3），
∴，
∵，
∴可設，
∵，
∴，解得λ＝±1，
∴或，
∴設點P的坐標為（x，y，z），則，
∴或，解得或，
故點P的坐標為（4，﹣2，2）或（﹣2，2，4）．
故選：C．
【點評】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，以及向量模公式，屬于中檔題．
3．若方程x2+ky2＝2表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．（0，+∞）B．（0，2）C．（1，+∞）D．（0，1）
【分析】先把橢圓方程整理成標準方程，進而根據(jù)橢圓的定義可建立關于k的不等式，求得k的范圍．
解：∵方程x2+ky2＝2，即表示焦點在y軸上的橢圓
∴故0＜k＜1
故選：D．
【點評】本題主要考查了橢圓的定義，屬基礎題．
4．在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則＝（ ）
A．0B．﹣2C．2D．﹣3
【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結合圖形，利用中線的性質(zhì)表示出向量與，求出它們的數(shù)量積即可．
解：如圖所示，
棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，
則＝（+）?（+）
＝（?+?+?+?）
＝（2×2×cs120°+2×2×cs90°+2×2×cs180°+2×2×cs120°）
＝﹣2．
故選：B．
【點評】本題考查了空間向量的線性表示與數(shù)量積應用問題，是基礎題．
5．用充氣筒吹氣球，氣球會鼓起來，假設此時氣球是一個標準的球體，且氣球的體積V（r）隨著氣球半徑r的增大而增大．當半徑r＝1時，氣球的體積相對于r的瞬時變化率為（ ）
A．B．2πC．4πD．8π
【分析】球的體積公式為，對其求導并代入r＝1計算即可
解：由球的體積公式可得，得V′＝4πr2，
所以r＝1時，體積關于半徑的瞬時變化率為V′＝4π×12＝4π．
故選：C．
【點評】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，屬于基礎題．
6．從由1，2，3，4，5組成的沒有重復數(shù)字的兩位數(shù)中任取一個，則這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【分析】數(shù)字排列問題，根據(jù)符合題意的要求選取十位數(shù)為4或5，個位數(shù)不重復則在剩余的4個數(shù)字里選擇1個，即可計算結果．
解：因為這個兩位數(shù)大于40，
所以選取十位數(shù)為4或5，個位數(shù)不重復則在剩余的4個數(shù)字里選擇1個，
這個兩位數(shù)大于40的個數(shù)為2×4＝8．
故選：B．
【點評】本題主要考查排列組合知識，屬于基礎題．
7．函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣x+a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，則a等于（ ）
A．3B．1C．2D．﹣1
【分析】求出f'（x），令f'（x）＝0，求出極值點，然后將區(qū)間端點的函數(shù)值與極值比較大小，列出關于a的方程，求解即可．
解：函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣x+a，
則f'（x）＝3x2﹣2x﹣1，
令f'（x）＝0，解得x＝（舍）或x＝1，
又f（0）＝a，f（1）＝a﹣1，f（2）＝a+2，
所以f（x）的最大值為a+2，
又函數(shù)f（x）＝x3﹣x2﹣x+a在區(qū)間[0，2]上的最大值是3，
所以a+2＝3，解得a＝1．
故選：B．
【點評】本題考查了導數(shù)的應用，主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)最值的應用，考查了邏輯推理能力與化簡運算能力，屬于基礎題．
8．若f（x）＝ex?lnx，則f（x）的切線的傾斜角α滿足（ ）
A．一定為銳角B．一定為鈍角
C．可能為直角D．可能為0°
【分析】求出導函數(shù)，判斷導數(shù)的正負，為此引入新函數(shù)（部分函數(shù)），由導數(shù)確定單調(diào)性極值后得正負，從而得出結論．
解：∵f（x）＝ex?lnx，（x＞0）
∴，
設g（x）＝xlnx+1，則g′（x）＝lnx+1，
當0＜x＜時，g′（x）＜0，g（x）遞減，當x＞時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
而g（）＝，所以x＞0時，g（x），所以f′（x）＞0，
切線斜率均為正數(shù)，傾斜角為銳角．
故選：A．
【點評】切線的斜率等于導數(shù)在該點的值，求傾斜角的范圍就是求切線斜率的范圍，屬于基礎題．
二、多選題（共3小題，每題6分，部分選對得2分）
（多選）9．給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若空間向量，，且，則實數(shù)
B．若，則存在唯一的實數(shù)λ，使得
C．若空間向量，，則向量在向量上的投影向量是（2，0，2）
D．點M（3，﹣2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標是（﹣3，﹣2，﹣1）
【分析】利用空間向量的對稱特征可判定D，利用空間向量平行的充要條件及坐標表示可判定A、B，利用投影向量的概念可判定C．
解：對于A，可知，即A正確；
對于B，顯然時，恒成立，此時λ不唯一或者不存在，故B錯誤；
對于C，向量在向量上的投影向量為，故C正確；
對于D，易知點M（3，﹣2，1）關于平面yOz對稱的點的坐標是（﹣3，﹣2，1），故D錯誤．
故選：AC．
【點評】本題考查了空間向量的數(shù)量積運算，涉及到向量共線，空間中的點對稱等問題，考查了學生的運算求解能力，屬于中檔題．
（多選）10．下列結論正確的是（ ）
A．?x∈R，ex﹣x﹣1≥0
B．在R內(nèi)，若f（﹣x）＝f（x），則f′（﹣x）＝f′（x）
C．?x＞0，lnx﹣x+1≤0
D．在R內(nèi)，若f（﹣x）＝﹣f（x），則f′（﹣x）＝﹣f′（x）
【分析】構造函數(shù)，由導數(shù)得出最值進而判斷AC；取f（x）＝x2，根據(jù)導數(shù)運算判斷B；取f（x）＝x3，根據(jù)導數(shù)運算判斷D．
解：對于A：令f（x）＝ex﹣x﹣1，f′（x）＝ex﹣1，f′（x）＞0?x＞0；f′（x）＜0?x＜0
即函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則f（x）≥f（0）＝0，
即?x∈R，ex﹣x﹣1≥0，故A正確；
對于B：取f（x）＝x2，定義域為R，滿足f（﹣x）＝f（x），但f′（﹣x）＝﹣2x≠f′（x）＝2x，故B錯誤；
對于C：令f（x）＝lnx﹣x+1，，f′（x）＞0?0＜x＜1；
f′（x）＜0?x＞1，即函數(shù)f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
則f（x）≤f（1）＝0，故C正確；
對于D：取f（x）＝x3，f′（x）＝3x2，定義域為R，滿足f（﹣x）＝﹣f（x），但f′（﹣x）＝3x2≠﹣f′（x）＝﹣3x2，故D錯誤．
故選：AC．
【點評】本題主要考查了含有量詞的命題的真假及函數(shù)的求導公式的應用，屬于中檔題．
（多選）11．若實數(shù)m的取值使函數(shù)f（x）在定義域上有兩個極值點，則稱函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”，已知f′（x）是函數(shù)f（x）的導數(shù)，且，當函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”時，m的取值范圍的子集有（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先求函數(shù)的導數(shù)，，由題意可知若函數(shù)具有“凹凸趨向性”時，m＝2xlnx在（0，+∞）有2個不同的實數(shù)根，則設函數(shù)g（x）＝2xlnx，根據(jù)導數(shù)判斷函數(shù)的范圍，求得m的取值范圍．
解：依題意，得，
若函數(shù)f（x）具有“凹凸趨向性”，則m＝2xlnx在（0，+∞）上有2個不同的實數(shù)根，
令g（x）＝2xlnx，則g'（x）＝2（1+lnx），
令g'（x）＞0，解得；令g'（x）＜0，解得，
∴g（x）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故g（x）的最小值是，當x→0時，g（x）→0，
故，
故選：BD．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬中檔題．
三、填空題（共3小題，每題5分）
12．將紅、黃、綠、黑四種不同的顏色涂入下圖中的五個區(qū)域內(nèi)，要求相鄰的兩個區(qū)域的顏色都不相同，則有 72 不同的涂色方法．
【分析】根據(jù)題意，分類討論，①若B、D 同色．②若B、D 不同色，由分類加法原理，計算可得答案．
解：圖中區(qū)域分別為A，B，C，D，E，則分2類討論，
①若B、D同色，先涂A，方法有C41種，再涂B、D，方法有C31種，最后涂E、C，共有C41?C31?4＝48種不同方法．
②若B、D 不同色，先涂A，方法有C41種，再涂B、D，方法有A32，最后涂E、C 只有1種方法，
∴若B、D不同色時共有C41?A32?1＝24種不同方法，
綜上，所有的涂法共有48+24＝72（種）；
故答案為72．
【點評】本題考查排列組合數(shù)公式的運用，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學思想．
13．已知數(shù)列{an}滿足，n∈N*，則數(shù)列{an}的通項公式an＝ ．
【分析】根據(jù)題意，可得n≥2時，an﹣an﹣1＝﹣，利用累加推導出an＝a1+＝，然后檢驗n＝1的式子也成立，從而得出本題答案．
解：由an+1＝an+，得an+1﹣an＝，
可得：當n≥2時，an﹣a1＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1+an﹣2）+?+（a2﹣a1）
＝（﹣）+（﹣）+?+（1﹣）＝1﹣＝，可得an＝a1+＝﹣1+＝，
結合n＝1時，a1＝﹣1＝也符合n≥2的式子，可得an＝，n∈N*．
故答案為：．
【點評】本題主要考查利用累加法求數(shù)列的通項公式的知識，考查了計算能力、分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．
14．已知函數(shù)．若函數(shù)f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，則實數(shù)m的最小值為 6 ．
【分析】求出函數(shù)的導數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為m≥（2x3﹣3x2+x）max，令g（x）＝2x3﹣3x2+x，x∈[1，2]，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出g（x）的最大值，求出m的最小值即可．
解：f′（x）＝+2x﹣3﹣，
若f（x）在[1，2]上單調(diào)遞減，
則f′（x）≤0在[1，2]恒成立，
即m≥2x3﹣3x2+x在[1，2]恒成立，
故只需m≥（2x3﹣3x2+x）max，
令g（x）＝2x3﹣3x2+x，x∈[1，2]，
則g′（x）＝6x2﹣6x+1，對稱軸x＝，
故g′（x）在[1，2]單調(diào)遞增，
而g′（1）＝1＞0，故g′（x）＞0在[1，2]恒成立，
故g（x）在[1，2]單調(diào)遞增，故g（x）max＝g（2）＝6，
故m的最小值是6，
故答案為：6．
【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．
四、解答題（共5小題）
15．已知函數(shù)f（x）＝xex﹣x2﹣2x﹣1．
（1）求函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值；
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞﹣x﹣1．
【分析】（1）f′（x）＝xex+ex﹣2x﹣2＝（x+1）（ex﹣2）．x∈[﹣1，1]．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
（2）當x＞0時，f（x）＞﹣x﹣1．即x＞0時，ex﹣x﹣1＞0．令g（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．g（0）＝0．利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
解：（1）f′（x）＝xex+ex﹣2x﹣2＝（x+1）（ex﹣2）．x∈[﹣1，1]．
令f′（x）＝0，解得x＝﹣1，或x＝ln2．
則函數(shù)f（x）在[﹣1，ln2）上單調(diào)遞減，在（ln2，1]上單調(diào)遞增．
又f（﹣1）＝﹣，f（1）＝e﹣4．
∴函數(shù)f（x）在[﹣1，1]上的最大值為﹣．
（2）證明：當x＞0時，f（x）＞﹣x﹣1．即x＞0時，ex﹣x﹣1＞0．
令g（x）＝ex﹣x﹣1，x＞0．g（0）＝0．
g′（x）＝ex﹣1＞0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴g（x）＞g（0），
∴ex﹣x﹣1＞0，x＞0．即當x＞0時，f（x）＞﹣x﹣1．
【點評】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、方程不等式的解法、等價轉(zhuǎn)化方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
16．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，點E為棱PC的中點．
（1）求證：BE⊥DC；
（2）若F為棱PC上一點，滿足BF⊥AC，求平面FAB與平面ABP夾角的余弦值．
【分析】（1）以A為原點，AB、AD、AP所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系，逐一寫出各點坐標，由?＝0即可得證；
（2）根據(jù)法向量的性質(zhì)可求得平面FAB的法向量，由線面垂直的性質(zhì)定理和判定定理可推出AD⊥平面ABP，從而知平面ABP的法向量，再由cs＜，＞＝即可得解．
【解答】（1）證明：以A為原點，AB、AD、AP所在的直線分別為x、y、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（0，0，0），B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1），
∴＝（0，1，1），＝（2，0，0），
∴?＝0，即BE⊥DC．
（2）解：由（1）知，＝（1，2，0），＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（1，0，0），
設，λ∈[0，1]，
∴＝+＝（1，2，0）+λ（﹣2，﹣2，2）＝（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），
∵BF⊥AC，
∴?＝2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）＝0，解得λ＝，
∴＝（，，）．
設平面FAB的法向量為＝（x，y，z），則，即，
令z＝1，則x＝0，y＝﹣3，∴＝（0，﹣3，1）．
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，
又AD⊥AB，PA∩AB＝A，PA、AB?平面ABP，
∴AD⊥平面ABP，
∴平面ABP的一個法向量為＝（0，1，0），
∴cs＜，＞＝＝＝，
由圖可知，平面FAB與平面ABP所成的角為銳二面角，
故平面FAB與平面ABP夾角的余弦值為．
【點評】本題考查空間向量在立體幾何中的應用，熟練掌握利用空間向量證明線線垂直和求二面角的方法是解題的關鍵，考查學生的空間立體感、邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題．
17．已知橢圓C：的長軸長為，離心率為，過右焦點且與x軸不垂直的直線l與橢圓相交于A，B兩點，點M的坐標為（2，1），記直線MA，MB的斜率分別為k1，k2．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）當時，求直線l的方程；
（Ⅲ）求證：k1+k2為定值．
【分析】（Ⅰ）由題意，根據(jù)橢圓的長軸長、離心率以及a，b，c之間的關系，列出等式進行求解即可；
（Ⅱ）設出直線l的方程，將直線l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理以及弦長公式進行求解即可；
（Ⅲ）結合（Ⅱ）中所得信息以及斜率公式進行求證即可．
解：（Ⅰ）因為橢圓C的長軸長為，
所以，
解得，
因為橢圓C的離心率，
解得c＝1，
所以b2＝a2﹣c2＝1，
則橢圓C的方程為；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知橢圓C的右焦點F（1，0），
易知直線l的斜率存在，
不妨設直線l的方程為y＝k（x﹣1），M（x1，y1），N（x2，y2），
聯(lián)立，消去y并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）＝0，
此時Δ＞0，
由韋達定理得，，
因為
所以，
即，
解得，
則直線l的方程為y＝；
（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知
因為4﹣（x1+x2）﹣2（y1+y2）+x2y1+x1y2＝2kx1x2﹣（1+3k）（x1+x2）+4k+4．
所以
＝，
綜上所述，k1+k2為定值2．
【點評】本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力．
18．（17分）若各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足an+12＝2Sn+n+2（n∈N*），且a3+a5＝10．
（1）判斷數(shù)列{an}是否為等差數(shù)列？并說明理由；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式；
（3）若bn＝2nan，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn．
【分析】（1）利用遞推關系式的應用求出數(shù)列不為等差數(shù)列．
（2）利用分段法求出數(shù)列的通項公式．
（3）利用乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用求出數(shù)列的和．
解：（1）因為，當，
兩式相減：，
因為an＞0，
所以an+1＝an+1，即an+1﹣an＝1，
所以，當n≥2時，{an}是公差d＝1的等差數(shù)列．
因為a3+a5＝10，
所以a4＝5，所以a2＝3．
當n＝1時，，所以a1＝3，因為a2﹣a1＝0≠1，
所以，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．
（2）由（1）知：數(shù)列{an}從第二項開始是等差數(shù)列，
當n≥2時，an＝n+1
所以數(shù)列{an}的通項公式．
（3）由（2）的通項公式，
所以，
當n≥2時 ①，
②，
＝．
當n＝1時，T1＝6，滿足上式，
所以．
【點評】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，乘公比錯位相減法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎題型．
19．（17分）對于函數(shù)y＝f（x）的導函數(shù)y′＝f′（x），若在其定義域內(nèi)存在實數(shù)x0，t，使得f（x0+t）＝（t+1）f'（x0）成立，則稱y＝f（x）是“躍點”函數(shù)，并稱x0是函數(shù)y＝f（x）的“t躍點”．
（1）若m為實數(shù)，函數(shù)y＝sinx﹣m，x∈R是“躍點”函數(shù)，求m的取值范圍；
（2）若a為非零實數(shù)，函數(shù)y＝x3﹣2x2+ax﹣12，x∈R是“2躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“2躍點”，求a的值；
（3）若b為實數(shù)，函數(shù)y＝ex+bx，x∈R是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)恰存在一個“1躍點”，求b的取值范圍．
【分析】（1）函數(shù)y＝sinx﹣m的導函數(shù)y′＝csx，若函數(shù)y＝sinx﹣m是“躍點“函數(shù)，則方程sin（x0+）﹣m＝（+1）csx0有解，即﹣m＝csx0有解，進而可得答案．
（2）函數(shù)y＝x3﹣2x2+ax﹣12的導函數(shù)y′＝3x2﹣4x+a．若該函數(shù)是“2躍點“函數(shù)，則方程（x+2）3﹣2（x+2）2+a（x+2）﹣12＝3（3x2﹣4x+a）①有解，進而可得答案．
（3）函數(shù)y＝ex+bx的導函數(shù)為y′＝ex+b，若該函數(shù)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“1躍點”，即﹣b＝有一個不同的實數(shù)根，即可得出答案．
解：（1）函數(shù)y＝sinx﹣m的導函數(shù)y′＝csx，
若函數(shù)y＝sinx﹣m是“躍點“函數(shù)，則方程sin（x0+）﹣m＝（+1）csx0有解，
即﹣m＝csx0有解，
又csx0∈[﹣1，1]，
所以﹣m∈[﹣，]，
所以m∈[﹣，]．
（2）函數(shù)y＝x3﹣2x2+ax﹣12的導函數(shù)y′＝3x2﹣4x+a．
若該函數(shù)是“2躍點“函數(shù)，
則方程（x+2）3﹣2（x+2）2+a（x+2）﹣12＝3（3x2﹣4x+a）①有解，
即x3﹣5x2+（a+16）x﹣a﹣12＝0有解，
所以（x﹣1）（x2﹣4x+a+12）＝0有解，
當x＝1時，方程（x﹣1）（x2﹣4x+a+12）＝0成立，
所以x＝1是方程的一個實數(shù)根，
當x≠1時，x2﹣4x+a+12＝0②，
當a＝﹣8時，方程②有兩個相等的實數(shù)根2，
此時方程①的根為1，2，2，
所以函數(shù)有兩個不同的“2躍點“，
當a＞﹣8時，方程②無解，
此時方程①的根為1，則函數(shù)有一個“2躍點”，
當a＜﹣8時，方程②有兩個不相等的實數(shù)根，
若函數(shù)有兩個不同的“2躍點”，則其中一個實數(shù)根為1，
則1﹣4+a+12＝0，解得a＝﹣9，
綜上所述，a的值為﹣8或﹣9．
（3）函數(shù)y＝ex+bx的導函數(shù)為y′＝ex+b，
若該函數(shù)是“1躍點”函數(shù)，且在定義域內(nèi)存在兩個不同的“1躍點”，
則方程ex+1+b（x+1）＝2（ex+b），即﹣b＝有一個不同的實數(shù)根，
設g（x）＝＝，
g′（x）＝，
令g′（x）＝0得x＝2，
所以在（2，+∞）上g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，
在（﹣∞，1），（1，2）上g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
又x＜﹣1時，g（x）＜0；x＞1時，g（x）＞0，
所以當x＝2時，g（x）取得極小值g（2）＝（e﹣2）e2，
所以﹣b≤0，
所以b≥0，
所以b的取值范圍為[0，+∞）．
【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，解題中需要理清思路，屬于中檔題．

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