1、掌握平方差公式、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，并能從廣義上理解公式中字母的含義；
2、學(xué)會(huì)運(yùn)用平方差公式、完全平方公式進(jìn)行計(jì)算；了解公式的幾何意義，能利用公式進(jìn)行乘法運(yùn)算；
3、能靈活地運(yùn)用運(yùn)算律與乘法公式簡(jiǎn)化運(yùn)算。
知識(shí)精講
知識(shí)點(diǎn)01 平方差公式
知識(shí)點(diǎn)
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2
平方差公式：兩個(gè)式子的和與兩個(gè)式子的差的乘積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差。
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①字母a、b僅是一個(gè)表達(dá)式，即可以表示一個(gè)數(shù)字、一個(gè)字母，也可以表示單項(xiàng)式、多項(xiàng)式。
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②在套用平方差公式時(shí)，要依據(jù)公式的形式，將原式變形成符合公式的形式，在利用公式。特別需要注意“-”的處理。
【知識(shí)拓展1】平方差公式的幾何背景
例1．（2022·山東·昌樂七年級(jí)期末）下列選項(xiàng)中，能利用圖形的面積關(guān)系不能解釋平方差公式的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩個(gè)圖象中的陰影部分的面積相等進(jìn)行驗(yàn)證．
【詳解】解：A、陰影部分的面積 =（a+b）（a-b），是平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、陰影部分的面積2a?2b=4ab=，不是平方差公式，故本選項(xiàng)符合題意；
C、陰影部分的面積=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、陰影部分的面積=（a+b）（a-b），是平方差公式，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的乘法公式，用整式表示圖形的面積是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
1．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)大瀝謝邊南橋?qū)W校七年級(jí)期中）從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b 的小正方形紙板后將其裁成2個(gè)長(zhǎng)方形，然后將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)新的長(zhǎng)方形（如圖所示），那么通過計(jì)算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證的等式為（ ）
A．B．2
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)兩種方式求得陰影部分面積即可求解．
【詳解】解：陰影部分面積面積可以表示大正方形的面積減去小正方形的面積即：，
也可以表示為邊長(zhǎng)為與的長(zhǎng)方形的面積，即,
∴，故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與幾何圖形面積，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·安徽宣城·七年級(jí)期中）如圖1所示，邊長(zhǎng)為的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形，如圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形．
(1)設(shè)圖1中的陰影部分的面積是，圖2中陰影部分，請(qǐng)直接用含，的代數(shù)式表示 ， ；(2)請(qǐng)寫出上述過程所揭示的乘法公式：
(3)試?yán)眠@個(gè)公式計(jì)算：
【答案】(1)；(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)兩個(gè)圖形的面積相等，即可寫出公式；
（2）根據(jù)面積相等可得（a+b）（a-b）=a2-b2；
（3）從左到右依次利用平方差公式即可求解．
（1）
解：s1= ，
s2=，
故答案為：，；
（2）
解：由題意，得，
故答案為：；
（3）
解：原式=
=
=
=
=
=
=264-1+1
=264．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差的幾何背景以及平方差公式的應(yīng)用，正確理解平方差公式的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵．
【知識(shí)拓展2】平方差公式的基本運(yùn)用
例2．（2022·安徽·合肥七年級(jí)期中）下列整式乘法中，能用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算的有（ ）
（1）（2）（3）（4）
A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)
【答案】B
【分析】根據(jù)平方差公式為兩數(shù)之和與兩數(shù)之差的積，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．
【詳解】解：能用平方差公式計(jì)算的有；，
則能用平方差公式簡(jiǎn)便計(jì)算的有個(gè)．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練】
3．（2022·遼寧·朝陽(yáng)市第八中學(xué)七年級(jí)期中）利用乘法公式計(jì)算：____________．
【答案】1
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可．
【詳解】解：
=
=
=
=1
故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式，掌握是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·內(nèi)蒙古通遼·八年級(jí)期末）的結(jié)果是______．
【答案】
【分析】將原式變形為，再利用平方差公式逐步計(jì)算即可．
【詳解】解：
=
=
=
=
=
=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)算式的規(guī)律，靈活構(gòu)造平方差公式的形式．
知識(shí)點(diǎn)02 完全平方公式
知識(shí)點(diǎn)
完全平方和（差）公式：
完全平方和（差）公式：等于兩式平方和加（減）2倍的積
注： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①a、b僅是一個(gè)符號(hào)，可以表示數(shù)、字母、單項(xiàng)式或多項(xiàng)式； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②使用公式時(shí)，一定要先變形成符合公式的形式
拓展：利用可推導(dǎo)除一些變式
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：變式無(wú)需記憶。在完全平方公式中，主要有、、、等模塊，都可以通過與相結(jié)合推導(dǎo)出來(lái)。
【知識(shí)拓展1】完全平方公式的幾何背景
例1．（2022·福建·三明一中七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，請(qǐng)完成下列問題：
(1)填空：最大正方形的面積可用兩種形式分別表示為______或______．
(2)通過觀察，可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要的整式乘法公式，你能寫出嗎？若可以，請(qǐng)寫出來(lái)．
【答案】(1)（a+b）2、a2+2ab+b2 (2)（a+b）2=a2+2ab+b2
【分析】（1）分別用大正方形的面積公式和四部分求可確定正方形的面積即可；
（2）根據(jù)（1）的兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊正方形的面積相等解答即可．
(1)解：由正方形的面積公式可得：大正方形的面積為：（a+b）2；
由大正方形的面積由四部分組成，則大正方形的面積為：a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2．
故答案為：（a+b）2、a2+2ab+b2．
(2)解：由（1）的兩個(gè)代數(shù)式表示同一塊正方形的面積相等可得：（a+b）2=a2+2ab+b2
則這個(gè)重要的整式乘法公式為（a+b）2=a2+2ab+b2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的推導(dǎo)，用兩種方法表示出大正方形的兩個(gè)面積表達(dá)式成為解答本題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練1】
1．（2022·蘇州市平江中學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，將甲圖中陰影部分無(wú)重疊、無(wú)縫隙地拼成乙圖，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系得到的等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由圖甲可知陰影部分的面積=大正方形的面積－兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積＋兩個(gè)長(zhǎng)方形重合部分的面積，由圖乙可知陰影部分是邊長(zhǎng)為的正方形，從而可知其面積為，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：由圖甲可知：陰影部分的面積為：，圖乙中陰影部分的面積為：，
所以，故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查的是完全平方公式的幾何意義，掌握陰影部分面積的兩種求法是解決此題的關(guān)鍵．
2．（2022·吉林市第五中學(xué)八年級(jí)期末）如圖1，有甲、乙、丙三種紙片，其中甲是邊長(zhǎng)為a的正方形，乙是長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形，丙是邊長(zhǎng)為b的正方形（a＞b）．
(1)如圖2，用甲、丙紙片各1張，乙紙片2張，可以緊密拼接成一個(gè)大正方形，請(qǐng)根據(jù)圖形的面積寫出一個(gè)乘法公式 ；
(2)若要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)邊長(zhǎng)為（2a+b）大正方形，則需要取甲、乙、丙紙片各多少?gòu)垼?br>【答案】(1)（a+b）2=a2+2ab+b2
(2)需要取甲種紙片4張、乙種紙片4張、丙種紙片1張．
【分析】（1）根據(jù)兩種計(jì)算圖2面積的方法可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）由計(jì)算（2a+b）2的結(jié)果可得此題結(jié)果．
（1）
解：∵圖2中正方形的面積可表示為：（a+b）2和a2+2ab+b2，
∴可得公式（a+b）2=a2+2ab+b2，
故答案為：（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）
解：由計(jì)算（2a+b）2=4a2+4ab+b2可得，
需要取甲種紙片4張、乙種紙片4張、丙種紙片1張．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式幾何背景的應(yīng)用能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確地根據(jù)圖形列出算式，和根據(jù)算式得到相應(yīng)的圖形．
【知識(shí)拓展2】完全平方公式的基本運(yùn)用
例2．（2022·陜西八年級(jí)開學(xué)考試）若，則的值為（ ）
A．2B．5C．8D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)完全平方公式把原式變形，代入計(jì)算即可．
【詳解】解：（x-y）2+4xy-1=x2-2xy+y2+4xy-1=x2+2xy+y2-1=（x+y）2-1，
當(dāng)x+y=3時(shí)，原式=32-1=8．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式，完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2．
【即學(xué)即練2】
3．（2022·福建月考）下列計(jì)算正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)完全平方公式即可計(jì)算判斷.
【解析】A. ，故錯(cuò)誤； B. ，故錯(cuò)誤；
C. 故錯(cuò)誤； D. ，正確，故選D.
【點(diǎn)睛】此題主要考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的運(yùn)用.
4．（2022·沭陽(yáng)縣修遠(yuǎn)中學(xué)）先化簡(jiǎn)，再求值：（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y），其中x＝2，y＝1
【答案】，
【分析】根據(jù)完全平方和平方差公式進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行整式的加減運(yùn)算，最后將字母的值代入求解即可
【詳解】（2x＋y）2＋5（x＋y）（x－y）
當(dāng)x＝2，y＝1時(shí)原式
【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡(jiǎn)求值，完全平方公式，平方差公式，掌握整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)拓展3】完全平方公式的含參問題
例3．（2022·山東·寧陽(yáng)八年級(jí)階段練習(xí)）已知是完全平方式，則m的值為（ ）
A．8B．C．24D．
【答案】D
【分析】根據(jù)完全平方式得出mx＝±2?2x?6，再求出m即可．
【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，
∴mx＝±2?2x?6，解得：m＝±24，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，能熟記完全平方式是解此題的關(guān)鍵，注意：完全平方式有和兩個(gè)．
【即學(xué)即練3】
3．（2022·山東·寧陽(yáng)八年級(jí)階段練習(xí)）當(dāng)__________時(shí)，是完全平方公式．
【答案】4
【分析】根據(jù)乘積二倍項(xiàng)確定這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的特征即可求解．
【詳解】解：∵是完全平方公式，
∴，
∴，
解得
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的特征是解題的關(guān)鍵．
【知識(shí)拓展4】完全平方公式的知二求二
例4．（2022·湖南雙峰·七年級(jí)期中）（1）已知，，求的值；
（2）已知，求和的值．
【答案】（1）45；（2）47
【分析】（1）利用完全平方公式的變形，即可求解；
（2）由得，從而得到，進(jìn)而得到，即可求解．
【詳解】解：（1）因?yàn)?，所?br>又因?yàn)?，?br>（2）由得，即，所以，
由得，即，所以．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，熟練掌握，及其變形是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練4】
4．（2022·重慶七年級(jí)期中）已知（x+y）2＝5，（x﹣y）2＝1，則xy＝________．
【答案】1
【分析】利用完全平方公式列出關(guān)系式，把已知等式代入，即可求出xy的值．
【詳解】解：∵（x+y）2=5，（x-y）2=1，∴（x+y）2-（x-y）2=4xy，即5-1=4xy，則xy=1，故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．
5．（2022·遼寧·丹東七年級(jí)期末）若，則的值為 _______．
【答案】11040
【分析】利用完全平方公式列出關(guān)系式，把各自的值代入計(jì)算即可求出所求．
【詳解】解：∵，，
∴
，
知識(shí)點(diǎn)03 乘法公式拓展
知識(shí)點(diǎn)
==+2（a+b）c+=+2ab+2ac+2bc
同樣，a、b、c可以通過換元。如令c=－c，得=+2ab-2ac-2bc
立方和與立方差公式：；
完全立方和與完全立方差：=
【知識(shí)拓展1】三個(gè)數(shù)的完全平方公式
例1．（2022·山東威?！ぐ四昙?jí)期中）如圖，將幾個(gè)小正方形與小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．
（1）若用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方形的面積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為______（只要寫出一個(gè)即可）；
（2）請(qǐng)利用（1）中的等式解答下列問題：
①若三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，求的值；
②若三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z滿足，，求的值．
【答案】（1）；（2）①45；②-12
【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于所有小正方形與矩形的面積和即可得解；
（2）①利用（1）中等式可將直接平方然后變形，代入已知式子的值求解即可；
②利用冪的乘方與同底數(shù)冪的乘除整理得到，然后將平方，由（1）公式整理即可得解．
【詳解】解（1），
故答案為：；
（2）①，
且，
；
②，
，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式混合運(yùn)算，冪的混合運(yùn)算，根據(jù)題意得到新等式，再利用新等式進(jìn)行整理計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練1】
1．（2022·福建）我們知道:有些代數(shù)恒等式可以利用平面圖形的面積來(lái)表示，如：
就可以用如圖所示的面積關(guān)系來(lái)說(shuō)明．
(1)請(qǐng)根據(jù)如圖寫出代數(shù)恒等式,并根據(jù)所寫恒等式計(jì)算：
(2)若求的值；
(3)現(xiàn)有如圖中的彩色卡片:A型、B型、C型，把這些卡片不重疊不留縫隙地貼在棱長(zhǎng)為的100個(gè)立方體表面進(jìn)行裝飾，A型、B型、C型卡片的單價(jià)分別為0.7元/張、0.5元/張、0.4元/張，共需多少費(fèi)用?
【答案】（1）； （2） （3）1260元
【分析】(1)根據(jù)正方形的面積等于正方形里各個(gè)圖形的面積之和即可解答；找到與求出的代數(shù)恒等式的對(duì)應(yīng)字母：a=2x ，b= -y，c= -3，代入求出的代數(shù)恒等式即可.(2)根據(jù)（1）中求出的代數(shù)恒等式，先求出，再把整體代入即可求值.(3)先確定立方體的一個(gè)面需要A型、B型、C型卡片各幾張，需多少費(fèi)用，再求1個(gè)，100個(gè)的費(fèi)用.
【解析】 (1)

(2)
∵∴
(3)故立方體一面需A型卡片1張、B型卡片2張、C型卡片1張，需：
0.7+0.5×2+0.4=2.1元 100個(gè)小立方體需：2.1×6×100=1260元.
【點(diǎn)睛】本題考查的是多項(xiàng)式乘法的幾何意義，將多項(xiàng)式的乘法用幾何圖形的面積進(jìn)行說(shuō)明，能用不同方法表示圖形的面積是關(guān)鍵.
【知識(shí)拓展2】立方公式
例2．（2022·廣東·佛山市七年級(jí)階段練習(xí)）（1）用兩種不同方法計(jì)算同圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為a，寬為b（a＞b）的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到（a﹣b）2、（a+b）2、ab三者之間的等量關(guān)系式 ．
（2）類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)等式，如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式： ．
（3）利用上面所得的結(jié)論解答：①已知x+y＝6，xy＝5，求﹣y的值．
②已知|a+b﹣5|+（ab﹣6）2＝0，求a3+b3的值．
【答案】；=；或；
【分析】（1）利用面積相等推導(dǎo)公式；；
（2）利用體積相等推導(dǎo)；
（3）①應(yīng)用知識(shí)生成的公式，進(jìn)行變形，代入計(jì)算即可；②先計(jì)算出，，再由知識(shí)遷移的等式可得結(jié)果．
【詳解】（1）∵大正方形的邊長(zhǎng)為
∴大正方形的面積為，
∵小正方形的邊長(zhǎng)為
∴小正方形的面積為，
∵四個(gè)長(zhǎng)方形的面積為：，且小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，
∴；
（2）∵大正方體的棱長(zhǎng)為 ，
∴大正方體的體積為 ，
∵大正方體的體積可以看成長(zhǎng)方體和小正方體的體積和，
∴大正方體的體積為 ，
∴=，
故答案為：=；
（3）①∵，，，
∴，
∴或，
當(dāng)，得，
∴，
當(dāng)，得
∴，
∴或；
②∵，
∴，，
∴，，
∵=，
∴=
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何意義，能夠由面積相等過渡到利用體積相等推導(dǎo)公式是解題的關(guān)鍵．
【即學(xué)即練2】
2．（2022·四川·金堂七年級(jí)期中）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為x，寬為y(x??y)的四個(gè)全等長(zhǎng)方形拼成一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可得到、、xy三者之間的等量關(guān)系式：__________；如圖2所示的大正方體是若干個(gè)小正方體和長(zhǎng)方體拼成的，用兩種不同的方法計(jì)算大正方體的體積，我們也可以得到一個(gè)等式：__________．
利用上面所得的結(jié)論解答：
（1）已知x??y，x+y=3，5xy=，求x-y的值；
（2）已知，求a3+b3值．備注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
【答案】（1）2；（2）40
【分析】根據(jù)正方形的面積兩種計(jì)算方法，一種是邊長(zhǎng)的平方，一種是大正方形減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，即可得到等式；
根據(jù)正方體的體積的兩種算法得到等式，一種是棱長(zhǎng)的立方，一種是小正方體和長(zhǎng)方體的和計(jì)算；
（1）將條件代入等式計(jì)算即可；
（2）中先從條件中得到a+b＝4，ab＝2，然后將其代入等式計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖1，方法一：已知邊長(zhǎng)直接求面積為，
方法二：陰影部分面積是大正方形的面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，
所以面積為，
∴等量關(guān)系式為：；
故答案為：．
如圖2，方法一：已知棱長(zhǎng)直接求體積為，
方法二：正方體的體積是長(zhǎng)方體和小正方體的體積和，即，
∴等量關(guān)系式為：．
故答案為：．
（1）將x+y＝3，xy代入，
得，
∵x＞y，
∴x﹣y＝2．
（2）∵，
∴a+b＝4，ab＝2，
將其代入 ，
即 ，
∴64﹣6（a+b）＝64﹣24＝40．
【點(diǎn)睛】本題主要利用圖象探究式的等量關(guān)系，要結(jié)合圖象分析，后面是等量關(guān)系的應(yīng)用，先分析適用于等量關(guān)系的條件然后代入計(jì)算即可．
3．（2022·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）（知識(shí)生成）通常情況下，用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)恒等式．
（1）如圖1，根據(jù)圖中陰影部分（4個(gè)完全相同的小長(zhǎng)方形）的面積可以得到的等式是： ．
（知識(shí)遷移）類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的情況，也可以得到一個(gè)恒等式．如圖2是邊長(zhǎng)為a+b的正方體，被如圖所示的分割成8塊．
（2）用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積，就可以得到一個(gè)等式，這個(gè)等式可以為： ．
（3）已知a+b=3，ab=1，利用上面的規(guī)律求的值．
【答案】（1）（a+b）2-（a-b）2=4ab；（2）（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；（3）18
【分析】（1）∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積 即：（a+b）2-（a-b）2，又∵陰影部分的面積由4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小正方形構(gòu)成 即：4ab即可求得；（2）大正方體被切割成了8個(gè)小正方體或長(zhǎng)方體故而求它們的體積和，再直接求大正方體的體積可解的恒等式；（3）由（2）的結(jié)論將已知代入即可求得值．
【詳解】解：（1）∵陰影部分的面積=大正方形的面積-中間小正方形的面積 即：（a+b）2-（a-b）2
又∵陰影部分的面積由4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的小正方形構(gòu)成 即：4ab ∴（a+b）2-（a-b）2=4ab；
（2）∵八個(gè)小正方體或長(zhǎng)方體的體積之和是：a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3
∴（a+b）3=a3+a2b+a2b+ab2+a2b+ab2+ab2+b3∴（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3；
（3）∵由（2）可知（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3∴a3+b3=（a+b）3-3a2b-3ab2=（a+b）3-3ab（a+b）
將a+b=3，ab=1代入上式可得a3+b3=33-3×1×3=18故a3+b3的值為：18．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差，立方和公式的幾何背景，用分割求解和整體計(jì)算可解得．
能力拓展
考法01 整式乘法的歸納猜想問題
【典例1】（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝年的著作《詳解九章算法》給出了在（為非負(fù)整數(shù)）的展開式中，把各項(xiàng)系數(shù)按一定的規(guī)律排成右表（展開后每一項(xiàng)按的次數(shù)由大到小的順序排列）．人們把這個(gè)表叫做“楊輝三角”．據(jù)此規(guī)律，則展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)“楊輝三角”找規(guī)律，可知展開后的系數(shù)為n，據(jù)此即可作答．
【詳解】，項(xiàng)的系數(shù)為2；
，項(xiàng)的系數(shù)為3；
，項(xiàng)的系數(shù)為4；
以此類推，（其中）展開后的系數(shù)為n，
即展開后，的系數(shù)為2019，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題，運(yùn)用“楊輝三角”得到（其中）展開后的系數(shù)為n，是解答本題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·四川·宣漢縣峰城中學(xué)七年級(jí)期中）探究應(yīng)用：
(1)計(jì)算：＝ ；＝ ；
(2)上面的整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你又發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式： ；（請(qǐng)用含a、b的字母表示）．
(3)直接用公式計(jì)算：＝ ；＝ ．
【答案】(1)，(2)(3)，
【分析】（1）兩式利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫出即可；
（3）利用得出的公式計(jì)算即可．
（1）解：==；
==
故答案為：，．
（2）由（1）得
故答案為：．
（3）==；
==．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】此題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及探索規(guī)律題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則．
變式2．（2022·福建寧德·七年級(jí)期中）你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡(jiǎn)單的情形入手，先分別計(jì)算下列各式的值：
①；
②；
③；…
你能求的值嗎？遇到這樣的問題，我們可以先思考從簡(jiǎn)單的情形入手．先分別計(jì)算下列各式的值：
①；
②；
③；…
(1)由此我們可以得到：
①_______；
②_______．
(2)請(qǐng)你利用上面的結(jié)論，完成下面的計(jì)算：
．
【答案】(1)①②
(2)
【分析】（1）①根據(jù)題干中發(fā)現(xiàn)規(guī)律可直接得出結(jié)果；②應(yīng)用①中的結(jié)論求解即可；
（2）將原式變形，然后利用（1）中規(guī)律求解即可．
（1）
解：①由規(guī)律可得：
；
②
；
故答案為：①；②；
（2）
=（x+1）2011-1．
【點(diǎn)睛】題目主要考查整式的乘法運(yùn)算及規(guī)律問題，理解題意，找出相應(yīng)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
考法02 配方的運(yùn)用
【典例2】（2022·河南·鎮(zhèn)平九年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料
例：求代數(shù)式的最小值．
解：，可知x=-1時(shí)，有最小值，最小值是-8，
根據(jù)上面的方法解決下列問題：
(1)當(dāng)x為何值時(shí)，取得最大值？最大值是多少？
(2)直接寫出多項(xiàng)式最小值是 ．
【答案】(1)當(dāng)x＝1時(shí)，﹣3x2+6x﹣2有最大值，最大值是1 (2)5
【分析】（1）將多項(xiàng)式化成，利用配方法后可得結(jié)論；
（2）將多項(xiàng)式重新分組，改寫成，配方后可得結(jié)論；
（1）解：
∴當(dāng)x=1時(shí)，有最大值，最大值是1；
（2），
當(dāng)a=2,b=-3時(shí)，多項(xiàng)式有最小值，最小值是5，
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，將多項(xiàng)式變形為完全平方式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解答是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2022·貴州遵義八年級(jí)階段練習(xí)）閱讀材料：若，求、的值．
解：，
，，，，．
根據(jù)你的觀察，探究下面的問題：
(1)已知，求的值；
(2)已知的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，且滿足，求的最大邊的值；
(3)已知，，則 ．
【答案】(1)(2)的最大邊的值為4或5或6(3)3
【分析】（1）根據(jù)題目所介紹的方法得到，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出x、y的值，進(jìn)而得到2x+y的值；（2）根據(jù)題目所介紹的方法得到，再結(jié)合非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，然后根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求出△ABC的最大邊c的值；
（3）先將已知條件變形得到a=b+4，將其代入，再類比材料中的解法，結(jié)合完全平方公式整理得到；接下來(lái)利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，即可求出b和c的值，將b的值代入a=b+4，即可求出a的值，最后將a、b、c的值代入a+b+c中，計(jì)算可得答案．
（1），
，且，解得：，，則；
（2），
且，解得：，，
的三邊長(zhǎng)、、都是正整數(shù)，
，的最大邊的值為4或5或6；
（3），即，代入得：，
整理得：，
，且，即，，，
則．故答案為：3
【點(diǎn)睛】本題考查了知識(shí)拓展類題目，用到了完全平方公式的變形求值，及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
變式2．（2022·江蘇·揚(yáng)州市江都區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）由得，；如果兩個(gè)正數(shù)a，b，即，則有下面的不等式：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，則由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，式子有最小值，最小值為4．請(qǐng)根據(jù)上面材料回答下列問題：
(1)當(dāng)，式子x + 的最小值為 ；(2)當(dāng)，代數(shù)式最大值為多少？并求出此時(shí)x的值；
(3)用籬笆圍一個(gè)面積為32平方米的長(zhǎng)方形花園，使這個(gè)長(zhǎng)方形花園的一邊靠墻（墻長(zhǎng)20米），問這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少？
【答案】(1)4
(2)當(dāng)x＜0時(shí)，代數(shù)式最大值為-24，此時(shí)x的值為-3；
(3)長(zhǎng)為8米，寬為4米時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆為16米．
【分析】（1）根據(jù)題意a＞0，b＞0，則有不等式a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)，即可得出答案；
（2）根據(jù)題意a＞0，b＞0，則有不等式a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)，即可得出答案；
（3）若x＋2y最小，則x＋2y≥＝16，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取得等號(hào)，再根據(jù)xy＝32，分別解得x和y的值，即可得出結(jié)論．
（1）解：當(dāng)x＞0時(shí)，x＋≥2＝4，x＋的最小值為4；（當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，a＋b≥2ab,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)）故答案為：4
（2）解：當(dāng)x＜0時(shí)，＝?[（?4x）＋（?）]≤?2＝?2×12＝?24，
當(dāng)且僅當(dāng)?4x＝?，即x＝?3時(shí)取到等號(hào)，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，代數(shù)式最大值為-24，此時(shí)x的值為-3；
（3）解：設(shè)長(zhǎng)為x，寬為y.則xy＝32，欲使x＋2y最小，
∵x＞0，y＞0，x＋2y≥2＝2＝2＝2×8＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取得等號(hào)，
由，解得，x＝8，y＝4，
即長(zhǎng)為8，寬為4時(shí)，所用籬笆最短，最短籬琶為16米．
【點(diǎn)睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是運(yùn)用題中a＞0，b＞0，則有下面的不等式：a＋b≥2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取到等號(hào)．
分層提分
題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1．（2022·汕頭市八年級(jí)期末）若，，則的值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)平方差公式計(jì)算即可得到答案
【詳解】解：∵，∴，∴．故選B．
【點(diǎn)睛】此題考查平方差公式，熟記公式并熟練應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·隆昌市知行中學(xué)月考）下列乘法中，能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算的是（ ）
A．(x+a)(x-a) B．(b+m)(m-b) C．(-x-b)(x-b) D．(a+b)(-a-b)
【答案】D
【分析】根據(jù)完全平方公式的特點(diǎn)：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘，并且這兩個(gè)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)完全相同．
【解析】解：A、B、C、符合平方差公式的特點(diǎn)，故能運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算；
D，后邊提取負(fù)號(hào)得：-（a+b）（a+b），故能運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的結(jié)構(gòu)，解題的關(guān)鍵是注意兩個(gè)二項(xiàng)式中兩項(xiàng)完全相．
3．（2022·綿陽(yáng)市初二課時(shí)練習(xí)）如果，那么a、b的值分別為（ ）
A．2；4B．5；-25C．-2；25D．-5；25
【答案】D
【分析】已知等式左邊利用完全平方公式展開，再利用多項(xiàng)式相等的條件求出a與b的值即可．
【解析】已知等式整理得：x2+2ax+a2=x2-10x+b，可得2a=-10，a2=b，解得：a=-5，b=25，故選D．
【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022·杭州市七年級(jí)期中）若2b﹣a＝﹣2，a+2b＝5．則a2﹣4b2＝_____．
【答案】10
【分析】從結(jié)論入手，用平方差公式進(jìn)行因式分解，再對(duì)第一個(gè)條件進(jìn)行變形即可求出答案．
【詳解】解：∵2b﹣a＝﹣2，∴a﹣2b＝2，∴a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝5×2＝10．故答案為：10．
【點(diǎn)睛】此題考查了平法差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·四川甘孜·初二期末）已知，則__________．
【答案】2
【分析】利用完全平方公式化簡(jiǎn)，然后將代入計(jì)算即可得出結(jié)果。
【解析】解：
當(dāng)時(shí)，原式．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用和化簡(jiǎn)求值，能熟練運(yùn)用完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·上海市羅南中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）計(jì)算：_______________________
【答案】
【分析】根據(jù)平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：原式，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·山東·濱州市八年級(jí)期末）若代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，則__．
【答案】±10
【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定k的值．
【詳解】解：∵代數(shù)式是一個(gè)完全平方式，
∴，
∴k=±10．
故答案為：±10．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．
8．（2022·河北·原競(jìng)秀學(xué)校七年級(jí)期中）如圖，有兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a，b的正方形A，B（a＞b＞0），現(xiàn)將B放在A內(nèi)部得圖甲，將A，B并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙．
（1）若a＝5，b＝3則圖甲陰影部分面積為______；
（2）若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為m和n，則正方形A，B的面積之和為______（用含m，n的代數(shù)式表示）．
【答案】 4 m＋n##n+m
【分析】（1）圖甲中陰影部分是邊長(zhǎng)為a-b的正方形，根據(jù)面積公式可得答案；
（2）先求出圖乙中陰影部分的面積，可得，2ab=n，利用=求解即可．
【詳解】解：（1）圖甲中陰影部分是邊長(zhǎng)為a-b的正方形，因此面積為，
當(dāng)a＝5，b＝3時(shí)，=．
故答案為：4；
（2）∵圖乙中陰影部分的面積可以看作是從邊長(zhǎng)為（a+b）的正方形面積中減去兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的正方形面積，即，
∴2ab=n，
由（1）知，=m，
∴=
= m＋n，
即正方形A，B的面積之和為m＋n，
故答案為：m＋n．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，由面積之間的關(guān)系得出關(guān)系式是正確解答的關(guān)鍵．
9．（2022·河南南陽(yáng)·八年級(jí)階段練習(xí)）已知，．求：
(1)的值； (2)的值．
【答案】(1)14
(2)12
【分析】（1）根據(jù)求解即可；
（2）根據(jù)求解即可
（1）
解：∵，
∴
=．
（2）
解：∵，
∴
=．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022·杭州市七年級(jí)期中）先化簡(jiǎn)，再求值：（m﹣4n）2﹣4n（3n﹣2m）﹣3（﹣2n+3m）
（3m+2n），其中13m2﹣8n2﹣6＝0．
【答案】﹣26m2+16n2，－12
【分析】直接利用乘法公式以及整式的混合運(yùn)算法則化簡(jiǎn)，再把已知整體代入得出答案．
【詳解】解：原式＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣3（9m2﹣4n2）
＝m2﹣8mn+16n2﹣12n2+8mn﹣27m2+12n2＝﹣26m2+16n2，
∵13m2﹣8n2﹣6＝0，∴13m2﹣8n2＝6，∴原式＝﹣2（13m2﹣8n2）＝﹣2×6＝﹣12．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握平方差公式和完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·福建·漳州市七年級(jí)階段練習(xí)）運(yùn)用整式乘法公式簡(jiǎn)便計(jì)算：．
【答案】1
【分析】把原式第二部分變形為平方差公式計(jì)算即可得到解答．
【詳解】原式=


．
【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，熟練掌握平方差公式的各種變式是解題關(guān)鍵．
題組B 能力提升練
1．（2022·河南·南陽(yáng)市第十三中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>b）（如圖甲），把余下的部分拼成一個(gè)矩形（如圖乙），根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，可以驗(yàn)證（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】圖甲中根據(jù)陰影部分面積等于大正方形減去小正方的面積，圖乙中直接求長(zhǎng)方形的面積即可，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，即可求解．
【詳解】解：圖甲陰影部分的面積為，圖乙中陰影部分的面積等于
兩個(gè)圖形中陰影部分的面積相等，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式與圖形面積，正確的求出陰影部分面積是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·山東菏澤·七年級(jí)期末）如圖所示，在邊長(zhǎng)為a的正方形上剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（），把剩下的部分剪拼成一個(gè)梯形，分別計(jì)算這兩個(gè)圖形陰影部分的面積，由此可以驗(yàn)證的等式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)正方形和梯形的面積公式，觀察圖形發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)圖形陰影部分的面積=a2-b2=（a+b）（a-b）．
【詳解】解：左邊圖形的陰影部分的面積=a2-b2
右邊的圖形的面積 =（a+b）（a-b）．
∴， 故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平方差公式．掌握利用圖形面積證明代數(shù)恒等式是解本題的關(guān)鍵．
3．（2022·湖南岳陽(yáng)·初一期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如利用如圖1可以得到，那么利用如圖2所得到的數(shù)學(xué)等式是（ ）.
A．B．
C． D．
【答案】B
【分析】由圖2可知，正方形的面積有兩種求法,分別求解，即可得到等式.
【解析】圖2的正方形面積第一種求法為；第二種求法是把它分割成9個(gè)圖形的面積之和，為 故選B.
【點(diǎn)睛】此題主要考查乘法公式的幾何驗(yàn)證，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形的面積求解.
4．（2022·湖南雙峰·七年級(jí)期中）無(wú)論，為何值，代數(shù)式的值總是（ ）
A．非負(fù)數(shù)B．C．正數(shù)D．負(fù)數(shù)
【答案】C
【分析】把含a的放一塊，配成完全平方公式，把含b的放一塊，配成完全平方公式，根據(jù)平方的非負(fù)性即可得出答案．
【詳解】解：原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+4b+4）+1＝（a﹣1）2+（b+2）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+2）2≥0，∴（a﹣1）2+（b+2）2+1＞0，即原式的值總是正數(shù)．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式的應(yīng)用，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行正確變形是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·廣西興業(yè)·月考）代數(shù)式的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用配方法對(duì)代數(shù)式做適當(dāng)變形，通過計(jì)算即可得到答案．
【解析】代數(shù)式
∵∴即代數(shù)式故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和不等式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式和不等式的性質(zhì)，從而完成求解．
6．（2022·山東威海·七年級(jí)期中）如圖，現(xiàn)有甲，乙，丙三種不同的紙片．貝貝要用這三種紙片緊密拼接成一個(gè)大正方形，她先取甲紙片1塊，再取乙紙片4塊，則她還需取丙紙片的塊數(shù)為（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】C
【分析】由圖可知：一塊甲種紙片面積為a2，一塊乙種紙片的面積為b2，一塊丙種紙片面積為ab，利用完全平方公式可求解．
【詳解】設(shè)取丙種紙片x塊才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，（x≥0）
∴a2＋4b2＋xab是一個(gè)完全平方式，∴x為4，故選C
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，掌握完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·內(nèi)蒙古七年級(jí)階段練習(xí)）若，則的值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】直接利用平方差公式計(jì)算進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：，
．故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平方差公式，正確將原式變形是解題關(guān)鍵．
8．（2021·江門市第二中學(xué)初二月考）若，則 ________________.
【答案】8
【分析】先把可化為 ，再將化為，然后代入即可解答。
【解析】解：∵可化為，化為
∴原式==32-1=8
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，解題關(guān)鍵在于對(duì)等式的變形和完全平方公式的靈活運(yùn)用。
9．（2022·湖南永州·七年級(jí)期末）根據(jù)，，，…的規(guī)律，則可以得出的末位數(shù)字是______．
【答案】7
【分析】先根據(jù)規(guī)律可得，再將代入進(jìn)行計(jì)算可得，然后根據(jù)的末位數(shù)字的規(guī)律即可得．
【詳解】解：由題中的規(guī)律可知，，
將代入得：，
則，
因?yàn)?，，，，，?br>所以的末位數(shù)字是按為一個(gè)循環(huán)的，
因?yàn)椋?br>所以的末位數(shù)字與的末位數(shù)字相同，即為7，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了與多項(xiàng)式乘法相關(guān)的規(guī)律、數(shù)字類規(guī)律探索，正確歸納類推出一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．
10．（2022·四川·大竹縣文星中學(xué)七年級(jí)期中）探究應(yīng)用：
(1)計(jì)算：
①；
②；
(2)上面的整式乘法計(jì)算結(jié)果很簡(jiǎn)潔，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)新的乘法公式：______（請(qǐng)用含a，b的式子表示）
(3)下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計(jì)算的是（ ）
A． B．
C． D．
(4)直接用公式寫出計(jì)算結(jié)果：______．
【答案】(1)；
(2)
(3)C
(4)
【分析】（1）按多項(xiàng)式的乘法法則進(jìn)行展開后，合并同類項(xiàng)即可得；
（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算進(jìn)行總結(jié)即可；
（3）根據(jù)（2）中總結(jié)的公式特點(diǎn)進(jìn)行判斷即可；
（4）利用（2）中的公式進(jìn)行計(jì)算即可．
（1）
解：
；
．
（2）
解：如中，，，，
∴發(fā)現(xiàn)的公式為：．
故答案為：
（3）
解：A、，不符合（2）中公式規(guī)律，故不符合題意；
B、，不符合（2）中公式規(guī)律，故不符合題意；
C、，符合（2）中公式規(guī)律，故符合題意；
D、，不符合（2）中公式規(guī)律，故不符合題意．
故選：C
（4）
解：根據(jù)公式，原式．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式及探索規(guī)律題，熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則是解題的關(guān)鍵．多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)相乘，再把所得的積相加．
11．（2022·四川射洪中學(xué)月考）已知，求代數(shù)式的值．
【答案】12
【分析】將原式乘2，即可分成3個(gè)完全平方式，代入已知數(shù)據(jù)可求解．
【解析】原式==
=
原式
【點(diǎn)睛】本題考查求代數(shù)式的值，利用整體代入思想，把某代數(shù)式看作一個(gè)“整體”，即當(dāng)成一個(gè)新的字母，再求關(guān)于這個(gè)新字母的代數(shù)式的值，運(yùn)用整體思想的關(guān)鍵是找準(zhǔn)被看作整體的代數(shù)式．
12．（2022·揚(yáng)州七年級(jí)期中）閱讀材料：
例題：已知a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，求a，b的值．
解：∵a2+4b2﹣2a﹣4b+2＝0，
∴a2﹣2a+1+4b2﹣4b+1＝0，
∴（a﹣1）2+（2b﹣1）2＝0，
∴a﹣1＝0，2b﹣1＝0，
∴a＝1，b＝．
參照上面材料，解決下列問題：
（1）已知x2+y2+8x﹣12y+52＝0，求x，y的值；
（2）已知2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，求x+y的值．
【答案】（1）x＝﹣4，y＝6；（2）
【分析】（1）先變形出完全平方公式，利用完全平方數(shù)的非負(fù)性即可得出解；
（2）先變形出完全平方公式，利用完全平方數(shù)的非負(fù)性即可得出解.
【詳解】解：（1）∵x2+y2+8x﹣12y+52＝0，∴（x2+8x+16）+（y2﹣12y+36）＝0，
∴（x+4）2+（y﹣6）2＝0，∴x+4＝0，y﹣6＝0，
解得，x＝﹣4，y＝6，故答案為：x＝﹣4，y＝6；
（2）2x2+4y2+4xy﹣2x+1＝0，（x2+4y2+4xy）+（x2﹣2x+1）＝0，（x+2y）2+（x﹣1）2＝0，
則 ，解得x+y＝1﹣＝，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的變形以及完全平方數(shù)的非負(fù)性的應(yīng)用，掌握完全平方數(shù)的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵.
13.（2022·陜西咸陽(yáng)·七年級(jí)期中）如圖1所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m，寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成4個(gè)小長(zhǎng)方形，然后按圖2的方式拼成一個(gè)正方形．
(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積；
方法1：______； 方法2：______；
(2)由（1）寫出，，mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系：______；
(3)根據(jù)（2）中得到的等量關(guān)系，解答問題：若，，求．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】（1）一種方法是先表示出大正方形面積和四個(gè)長(zhǎng)方形的面積，用大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形的面積表示出陰影部分面積；另一種方法是先用m、n表示出陰影部分邊長(zhǎng)，再用正方形面積公式表示之．
（2）(m+n)2，(m?n)2，mn分別表示大正方形，小正方形和長(zhǎng)方形面積，由圖知大正方形面積-四個(gè)長(zhǎng)方形面積=小正方形面積，可得它們之間的關(guān)系．
（3）由（2）得出的關(guān)系式變形即可得結(jié)果．
（1）
解：方法1：由圖形可知，大正方形面積減去四個(gè)小長(zhǎng)方形面積來(lái)表示即為陰影部分面積，大正方形邊長(zhǎng)為，則大正方形面積為，所以陰影部分面積為；
方法2：陰影部分為正方形，邊長(zhǎng)為，故面積可表示為；
故答案為：；．
（2）
∵與都表示同一個(gè)圖形面積，
∴－4．
故答案為：－4．
（3）
∵2a+b=6，ab=4，
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方差公式和完全平方和公式的聯(lián)系，會(huì)用代數(shù)式表示圖形面積是解決問題的關(guān)鍵；兩數(shù)的完全平方和比它們的完全平方差多了兩數(shù)積的4倍，該結(jié)論經(jīng)常用到．
14．（2022·江蘇·七年級(jí)期中）【知識(shí)生成】通過第九章的學(xué)習(xí)：我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過不同的方法計(jì)算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，請(qǐng)結(jié)合圖形解答下列問題：
(1)寫出圖1中所表示的數(shù)學(xué)等式_________．
(2)如圖2，是用4塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形，用兩種不同的方法求圖中陰影部分的面積，得到的數(shù)學(xué)等式是________．
(3)【知識(shí)應(yīng)用】若x+y＝7，xy＝，求x﹣y的值；
(4)【靈活應(yīng)用】圖3中有兩個(gè)正方形A、B，現(xiàn)將B放在A的內(nèi)部得到圖甲，將A、B并列放置后構(gòu)造新的正方形得到圖乙．若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為2和11，則正方形A，B的面積之和_______．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)13
【分析】（1）根據(jù)大正方形面積=兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b的小正方形面積+2個(gè)長(zhǎng)方形面積進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)空白部分的面積=大正方形面積-4個(gè)長(zhǎng)方形面積進(jìn)行求解即可；
（3）設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為a，正方形B的邊長(zhǎng)為b，根據(jù)圖甲和圖乙的陰影部分面積求出，，據(jù)此求解即可．
（1）
解：∵，，
∴，
故答案為：；
（2）
解：∵，，
故答案為：；
（3）
解：∵，
∴，
∴，
∴；
（4）
解：設(shè)正方形A的邊長(zhǎng)為a，正方形B的邊長(zhǎng)為b，
由題意得：，，
∴，
故答案為：13．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的變形求值，完全平方公式在幾何圖形中的應(yīng)用，正確理解題意熟知完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
題組C 培優(yōu)拔尖練
1．（2022·江蘇·揚(yáng)州市七年級(jí)期中）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個(gè)“三角形”給出了的展開式的系數(shù)規(guī)律（按n的次數(shù)由大到小的順序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
請(qǐng)依據(jù)上述規(guī)律，寫出展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是（ ）
A．2022B．C．D．4042
【答案】B
【分析】首先確定是展開式中第幾項(xiàng)，根據(jù)楊輝三角即可解決問題．
【詳解】解：由題意：，…，
…，
可知，展開式中第二項(xiàng)為含項(xiàng)，
∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)是﹣4044．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查楊輝三角，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用楊輝三角的規(guī)律解決問題．
2．（2022·浙江瑞安.初一期中）已知是一個(gè)有理數(shù)的平方，則不能為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分多項(xiàng)式的三項(xiàng)分別是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，利用完全平方公式分別求出n的值，然后選擇答案即可．
【解析】2n是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=218+2?29+1=（29+1）2，此時(shí)n=9+1=10，
218是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=2n+2?217+1=（217+1）2，此時(shí)n=2×17=34，
1是乘積二倍項(xiàng)時(shí)，2n+218+1=（29）2+2?29?2-10+（2-10）2=（29+2-10）2，此時(shí)n=-20，
綜上所述，n可以取到的數(shù)是10、34、-20，不能取到的數(shù)是36．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方式，難點(diǎn)在于要分情況討論，熟記完全平方公式結(jié)構(gòu)是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·鄭州七年級(jí)月考）已知（m﹣53）（m﹣47）＝25，則（m﹣53）2+（m﹣47）2的值為（ ）
A．136B．86C．36D．50
【答案】B
【分析】根據(jù)完全平方公式進(jìn)行變形，可得出答案．
【詳解】解：設(shè)a=m-53，b=m-47，則ab=25，a-b=-6，
∴a2+b2=（a-b）2+2ab=（-6）2+50=86，∴（m-53）2+（m-47）2=86，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提．
4．（2022·湖南·岳陽(yáng)八年級(jí)階段練習(xí)）已知，則的值是___________．
【答案】62
【分析】將已知等式兩邊平方，化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：62．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的求值，解題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．
5．（2022·四川師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)期中）當(dāng)k＝_____時(shí)，100－kxy+49是一個(gè)完全平方式．
【答案】±140
【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征求解即可．
【詳解】解：∵100－kxy+49＝是一個(gè)完全平方式，
∴k＝±140，
故答案為：±140．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，完全平方公式中和的平方等于平方和加乘積的二倍，差的平方等于平方和減乘積的二倍．
6．（2022·湖北·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的式子－x2＋4x，當(dāng)x＝______時(shí)，式子有最_____值，這個(gè)值是______．
【答案】2 大 4
【分析】先把配成完全平方式與一個(gè)常數(shù)和的形式，然后根據(jù)任何數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)即可求解．
【詳解】解：，
∵，∴，∴
∴當(dāng)時(shí)，式子有最大值，這個(gè)值為4；故答案為2，大，4；
【點(diǎn)睛】本題考查了利用完全平方公式求代數(shù)式的最值，解題的關(guān)鍵是掌握利用平方法對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形，
并掌握的性質(zhì)求最值，
7．（2022·江西撫州·七年級(jí)期中）如圖，在邊長(zhǎng)為的正方形中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形（），把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形．
(1)通過計(jì)算兩個(gè)圖形的面積（陰影部分的面積），可以驗(yàn)證的等式是：_________
A． B．
C． D．
(2)應(yīng)用你從（1）選出的等式，完成下列各題：
①已知：，，求的值；
②計(jì)算：．
【答案】(1)B
(2)①7 ；②
【分析】(1)分別表示兩個(gè)圖中陰影部分的面積，根據(jù)面積相等得出結(jié)論；
(2)①利用平方差公式，整體代入即可得出答案；②利用平方差公式轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)的乘積形式，再根據(jù)規(guī)律可得出答案．
（1）
解：圖中兩個(gè)陰影部分的面積分別為：a2?b2和(a+b)(a?b)，
∴a2?b2=(a+b)(a?b)，
故選：B；
（2）
解：①∵，，，
∴，
∴；
②
【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景和應(yīng)用，利用平方差公式將代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到簡(jiǎn)便運(yùn)算的目的是解決本題的關(guān)鍵．
8．（2022·廣東汕頭·八年級(jí)期末）圖a是一個(gè)長(zhǎng)為2m、寬為2n的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四塊小長(zhǎng)方形，再按圖b的形狀拼成一個(gè)正方形.
(1)請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖b中陰影部分的面積
方法1：_________________；方法2：_________________.
(2)觀察圖b，寫出下面三個(gè)式子，，之間的等量關(guān)系_________;
(3)根據(jù)(2)中的等量關(guān)系，解決以下問題：
①已知，，則________；
②已知， ，求的值．(寫出解答過程)
【答案】(1)或
(2)=
(3)①±1；②3
【分析】（1）觀察得到長(zhǎng)為m，寬為n的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)寬之差即為陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)，可以直接利用正方形的面積公式得到陰影部分面積；也可以用大正方形的面積減去4個(gè)長(zhǎng)方形的面積得到圖b中的陰影部分的正方形面積；
（2）利用（1）中圖b中的陰影部分的正方形面積，得到=；
（3）①根據(jù)（2）的結(jié)論得到，然后把，，代入計(jì)算即可．②根據(jù)（2）的結(jié)論得到，代入即可求解．
（1）
解：方法1：圖b中陰影部分是正方形，邊長(zhǎng)為，面積為；
方法2：圖b中陰影部分的面積＝大正方形的面積－4個(gè)長(zhǎng)為，寬為的面積，
即圖b中陰影部分的面積為，
故答案為：或
（2）
解：根據(jù)圖b中陰影部分的面積的兩種不同表示方法可得
=．
故答案為：=．
（3）
解：①由（2）得，
∵，，
∴，
∴，解得；
故答案為：
②∵，，
∴
∵
∴
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景：利用幾何圖形之間的面積關(guān)系得到完全平方公式．解決問題的關(guān)鍵是利用整體代入的方法求代數(shù)式的值．
9．（2022·河南·南陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）若滿足，求的值．
解：設(shè)，，則，，
∴．
請(qǐng)仿照上面的方法求解下面問題：
(1)若滿足，求的值為______；
(2)若滿足，則______；
(3)已知正方形的邊長(zhǎng)為，，分別是、上的點(diǎn)，且，，長(zhǎng)方形的面積是35，分別以、作正方形，求陰影部分的面積．
【答案】(1)12
(2)1
(3)24
【分析】（1）根據(jù)題目提供的方法進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）設(shè)m=7-x，n=x-4，可得m+n=（7-x）+（x-4）=3，，由=mn=-代入計(jì)算即可；
（3）由題意得正方形GFDH的邊長(zhǎng)為x-3，正方形MFRN的邊長(zhǎng)為x-1，（x-3）（x-1）=35，設(shè)p=x-1，q=x-3，則p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，根據(jù)求出p+q，再利用平方差公式求出的值即可．
（1）
解：設(shè)a=5-x，b=x-1，a+b=（5-x）+（x-1）=4，ab=，
所以．
故答案為12．
（2）
解：設(shè)m=7-x，n=x-4，則m+n=（7-x）+（x-4）=3，，
所以=mn
=-
=-（7-9）
=1．
故答案為1．
（3）
解：由題意得，正方形GFDH的邊長(zhǎng)為x-3，正方形MFRN的邊長(zhǎng)為x-1，由于長(zhǎng)方形EMFD的面積是35，即（x-3）（x-1）=35，
設(shè)p=x-1，q=x-3，則p-q=x-1-x+3=2，pq=（x-1）（x-3）=35，
所以
=4+4×35
=144，
即p+q=12（負(fù)值舍去），
所以陰影部分的面積為
=（p+q）（p-q）
=12×2
=24，
即陰影部分的面積為24．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的前提．
10．（2022·重慶初一課時(shí)練習(xí)）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如圖可以得到．請(qǐng)解答下列問題：
（1）寫出圖中所表示的數(shù)學(xué)等式；（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；（3）小明同學(xué)打算用張邊長(zhǎng)為的正方形，張邊長(zhǎng)為的正方形，張相鄰兩邊長(zhǎng)為分別為、的長(zhǎng)方形紙片拼出了一個(gè)面積為 長(zhǎng)方形，那么他總共需要多少?gòu)埣埰?br>【答案】（1）；（2）50；（3）143.
【分析】（1）直接求得正方形的面積，再根據(jù)正方形的面積=各矩形的面積之和求解即可.
（2）將，代入（1）中得到的式子，然后計(jì)算即可；
（3）長(zhǎng)方形的面積，然后運(yùn)算多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，從而求得x、y、z的值，代入即可求解.
【解析】解：（1）
（2）由（1）可知：
（3）根據(jù)題意得，
所以，，所以答：小明總共需要張紙。
【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的運(yùn)算，難度較大，熟練掌握整式的運(yùn)算以及代數(shù)式求值是解題關(guān)鍵.
11．（2022·河南·鄭州市七年級(jí)期中）【知識(shí)生成】用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，如圖1，是用長(zhǎng)為a，寬為的四個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼成的一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到三者之間的等量關(guān)系式：________﹔
【知識(shí)遷移】類似地，用兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)幾何體的體積，也可以得到一個(gè)等式，
如圖2，觀察大正方體分割，可以得到等式：．
利用上面所得的結(jié)論解答下列問題：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】[知識(shí)生成]（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知識(shí)遷移]（1）25；（2）90
【分析】[知識(shí)生成]利用面積相等推導(dǎo)公式（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知識(shí)遷移]利用體積相等推導(dǎo)；
（1）應(yīng)用知識(shí)生成的公式，進(jìn)行變形，代入計(jì)算即可；
（2）應(yīng)用知識(shí)生成的公式，進(jìn)行變形，由知識(shí)遷移的等式可得結(jié)論．
【詳解】[知識(shí)生成]
方法一：已知邊長(zhǎng)直接求面積為（a-b）2；
方法二：陰影面積是大正方形面積減去四個(gè)長(zhǎng)方形面積，
∴面積為（a+b）2-4ab，
∴由陰影部分面積相等可得（a+b）2-4ab=（a-b）2；
故答案為：（a+b）2-4ab=（a-b）2；
[知識(shí)遷移]
（1）由（a+b）2-4ab=（a-b）2，
可得（x-y）2=（x+y）2-4xy，
∵x+y=6，xy=，
∴（x-y）2=62-4×，
∴（x-y）2=25，
（2）∵a+b=6，ab=7，
∴a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）=216-3×7×6=90．
【點(diǎn)睛】本題考查完全平方公式的幾何意義；能夠由面積相等，過渡到利用體積相等推導(dǎo)公式是解題關(guān)鍵．

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