（滿分：150分 考試時間：120分鐘）
本試卷共6頁.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2.回答選擇題時，選出每題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。
第Ⅰ卷（非選擇題 共92分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．已知復(fù)數(shù) z=21+i，則
A．z的實部為 ?1B．z的虛部為 iC．|z|=2D．z=1?i
2．某校高一、高二、高三年級的學(xué)生人數(shù)之比為 3:4:5，現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法從該校三個年級的學(xué)生中抽取一個容量為96的樣本，如果樣本按比例分配，則從高三年級抽取的學(xué)生人數(shù)為
A．32B．40C．64D．72
3．如圖，△A?′B?′C?′是水平放置的 △ABC在斜二測畫法下的直觀圖. 若 B?′O?′=O?′C?′=1，O?′A?′=2，則 △ABC的面積為
A．2B．22C．4D．42
4．從裝有3個黃球和4個藍球的口袋內(nèi)任取2個球，下列事件中與事件“至少有一個黃球”互為對立的是
A．都是藍球B．都是黃球C．恰有一個藍球D．至少有一個藍球
5．已知 m,n為異面直線，m⊥平面 α,n⊥平面 β，若直線 l滿足 l⊥m,l⊥n,l?α,l?β，則下列結(jié)論正確的是
A．α//β,l//αB．α與 β相交，且交線平行于l
C．α⊥β,l⊥βD．α與 β相交，且交線垂直于l
6．福建省清流縣書法家劉建煌老先生曾為三明綠道“怡亭”題字：四面風(fēng)光長入畫，一亭綠意最怡人. “怡亭”的頂部可近似看作一個正四棱錐，已知過側(cè)棱且垂直于底面的截面是邊長為 6m的等腰直角三角形，則該正四棱錐的側(cè)面積約為
A．63m2B．183m2C．273m2D．363m2
7．如圖，在直三棱柱 ABC?A1B1C1中，AA1=AC=BC=3，∠ACB=90?°，點 D是線段 AA1上靠近 A1的三等分點，則直線 C1D與 B1C所成角的余弦值為
A．?510B．?1010C．510D．1010
8．某地區(qū)的公共衛(wèi)生部門為了調(diào)查本地區(qū)中學(xué)生吸煙情況，對隨機抽出的500名學(xué)生進行了調(diào)查，調(diào)查中使用了兩個問題，問題1：你的生日公歷月份是不是偶數(shù)？問題2：你是否經(jīng)常吸煙？調(diào)查者設(shè)計了一個裝有大小、形狀和質(zhì)量完全一樣的50個白球和50個紅球的袋子，每個被調(diào)查者隨機從袋子中摸取1個球，再放回摸出白球就如實回答問題1，摸出紅球就如實回答問題2. 回答“是”的學(xué)生往盒子里放一個石頭，回答“否”的學(xué)生什么也不做. 經(jīng)統(tǒng)計，盒子中有140個石頭，由此估計這個地區(qū)經(jīng)常吸煙的中學(xué)生所占百分比為
A．6%B．12%C．14%D．28%
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分
9．下列說法中正確的是
A．已知向量 a,b,c，若 a//b,b//c，則 a//c
B．已知非零向量 a,b,“a⊥b”是“ a?b=0”的充要條件
C．若 A,B,P是直線 l上不同的三點，點 O在直線 l外，OP=mAP+(m?2)OB(m∈R)，那么 m=32
D．已知非零向量a,b，“a?b>0”是“a,b夾角為銳角”的必要不充分條件
10．如圖，在棱長為4的正方體 ABCD?A1B1C1D1中，E為 AA1的中點，F(xiàn)為 AE的中點，則下列結(jié)論正確的是
A．直線 CE與 A1C1為異面直線B．CE//平面 BDF
C．三棱錐 E?ABD外接球的體積為 36πD．二面角 F?BD?E的余弦值為 539
11．如圖，在 △ABC中，已知 AB=4,AC=10,∠BAC=60?°，BC邊上的中點為M,AC邊上的中點為N,AM、BN相交于點 P，則下列結(jié)論正確的是
A．BC=219
B．△ABC的內(nèi)切圓的半徑為 7?193
C．與 BN夾角的余弦值為 49191
D．過點 P作直線交線段 AB和 BC于點 EF，則 BE?BF的取值范圍是 [?2,?169]
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．已知 a=(4,3),|b|=8，且 a與 12a?b互相垂直. 則向量 b在向量 a上的投影向量的坐標為 .
13．從長度為1，3，6，9，10的線段中任取一條，能與長度分別為7和8的兩條線段構(gòu)成銳角三角形的概率為 .
14．某校高一年段成立了A,B兩個數(shù)學(xué)培優(yōu)班，A班10人，B班30人，經(jīng)過一段時間的強化訓(xùn)練后進行了一次測試，在該測試中，A班的平均成績?yōu)?35分，方差為105，B班的平均成績?yōu)?15分，方差為225. 則在這次測試中兩個培優(yōu)班全體學(xué)生方差為 .
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（13分）
已知向量 a,b.
（1）若 a=(1,1),b=(1,2)，求 (a?2b)?(a+b);
（2）若 a,b為單位向量，對任意實數(shù)x,|a+xb|≥32恒成立，求向量 a,b的夾角的取值范圍.
16．（15分）
5月22日第14屆中美旅游高層對話開幕，中國文化和旅游部為推動文化志愿服務(wù)工作規(guī)范化，在所有報名參加中國文化推廣的人員中面試選拔出“中國文化志愿者”，通過使用注冊服務(wù)證對“中國文化志愿者”進行組織管理. 現(xiàn)隨機抽取128名報名者的面試成績，并分成五組，第一組 [45,55)，第二組 [55,65)，第三組 [65,75)，第四組[75.85)，第五組 [85,95)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖. 已知第三、四、五組的頻率之和為0.7，第一組和第五組的頻率相同.
（1）求 a和 b的值；
（2）估計本次面試成績平均分（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）；
（3）根據(jù)要求，本次“中國文化志愿者”面試選拔錄取率為 7%，請估算被錄取至少需要多少分.
17．（15分）
在 △ABC中，角 A,B,C的對邊分別為 a,b,c，且向量 m=(3a?b,a?c),n=(sinA+sinC,sinB),m//n.
（1）求角 C;
（2）若 △ABC的面積為 3,sinB=1+csA，點 D為邊 AC的中點，求 BD的長.
18．（17分）
目前羽毛球混雙世界排名第一，第三，第四分別是中國的“雅思組合，韓國的肉丁組合”，中國的“鳳凰組合. 據(jù)統(tǒng)計，每場比賽雅思組合戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為 P,“鳳凰組合”戰(zhàn)勝肉丁組合的概率為q(p>q)，同一賽事的每場比賽結(jié)果互不影響.已知三個組合參加單循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇一次），“雅思組合，“鳳凰組合”同時戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為 310，有一個組合戰(zhàn)勝“肉丁組合”的概率為 1120.
（1）求 p和 q的值；
（2）三個組合參加雙循環(huán)賽（參加比賽的組合均能相遇兩次），求雅思組合比“鳳凰組合戰(zhàn)勝肉丁組合的次數(shù)多的概率.
19．（17分）
閱讀數(shù)學(xué)材料：“設(shè) P為多面體 M的一個頂點，定義多面體 M在點 P處的離散曲率為 1?12π(∠Q1PQ2+∠Q2PQ3+∠Q3PQ4+?+∠Qk?1PQk+∠QkPQ1)，其中 Qi(i=1,2,?,k,k≥3)
為多面體 M的所有與點 P相鄰的頂點，且平面 Q1PQ2，平面 Q2PQ3，…，平面Qk?1PQk和平面 QkPQ1為多面體 M的所有以 P為公共點的面. ”已知在直四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，底面 ABCD為菱形. AA1=AB. （角的運算均采用弧度制）
（1）若 AC=BD，求四棱柱 ABCD?A1B1C1D1在頂點 A處的離散曲率；
（2）若四棱柱 ABCD?A1B1C1D1在頂點 A處的離散曲率為 13，求 BC1與平面 ACC1的夾角的正弦值；
（3）截取四面體 A1?ABD，若該四面體在點 A1處的離散曲率為712,AC1與平面A1BD交于點 G，證明: AGAC1=13.
【參考答案】
三明市2023—2024學(xué)年第二學(xué)期普通高中期末質(zhì)量檢測
第Ⅰ卷（非選擇題 共92分）
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．C 2．B 3．B 4．A 5．B 6．D 7．C 8．A
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分
9．BD 10．BCD 11．ACD
第Ⅱ卷（非選擇題 共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12．(2,32)
13．35
14．270
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15．（1） 解：因為 a=(1,1),b=(1,2)
所以 a?2b=(?1,?3)，…………2分
a+b=(2,3)…………4分
(a?2b)?(a+b)=?11…………6分
（2） a,b是單位向量，設(shè)a,b的夾角為 θ由 |a+xb|≥32得：(a+xb)?2≥34…………7分
所以 (a?2+2xa?b+x?2b?2≥34，
即 x2+2xcsθ?14≥0對任意的實數(shù) x恒成立，…………9分
則 Δ=(2csθ)?2?1≤0，解得：?12≤csθ≤12…………11分
又因為 0≤θ≤π，函數(shù) y=csθ在 [0,π]上單調(diào)遞減，
因此 π3≤θ≤2π3
所以向量 a,b的夾角的取值范圍是 [π3,2π3]…………13分
16．（1） 解：由題圖可知組距為10，因為第三、四、五組頻率之和為0.7，
所以 (0.045+0.020+a)×10=0.7，所以 a=0.005，…………2分
所以 0.7+0.05+10b=1，解得b=0.025.…………4分
（2） 面試成績平均數(shù)估計為
10×(50×0.005+60×0.025+70×0.045+80×0.020+90×0.005)…………6分
=69.5.…………8分
（3） 因為前三組頻率之和為10×(0.005+0.025+0.045)=0.750.93，…………10分
所以頻率0.93對應(yīng)分數(shù) x落在區(qū)間 (75,85)內(nèi)，…………11分
那么(x?75)×0.020+0.75=0.93，…………13分
解得 x=84,
所以面試選拔錄取率為 7%，至少需要84分.…………15分
17．（1） 解法一：因為 m//n，所以 (3a?b)sinB?(a?c)(sinA+sinC)=0，…………2分
由正弦定理得a?2+b?2?c?2=3ab，…………4分由余弦定理得csC=a2+b2?c22ab=32…………5分
因為C∈(0,π)，所以C=π6.…………6分
解法二：同解法一…………6分
解法三：同解法一…………6分
（2） 解法一：因為 sinB=1+csA,
所以sinB=1+cs(5π6?B)=1?32csB+12sinB，則12sinB+32csB=1…………8分
即sin(B+π3)=1，…………9分
又0

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