1.已知復(fù)數(shù)z=a2?16+(a+4)i為純虛數(shù)，則實數(shù)a=( )
A. ?4B. 4C. 0D. 4或?4
2.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位數(shù)是( )
A. 18B. 19C. 18.5D. 18或19
3.某班級有60名學(xué)生，班主任用不放回的簡單隨機抽樣的方法從這60名學(xué)生中抽取5人進行家訪，則同學(xué)a被抽到的可能性為( )
A. 112B. 15C. 160D. 111
4.已知四棱柱ABCD?EFGH的高為3，其底面ABCD水平放置的直觀圖(斜二測畫法)A′B′C′D′如圖所示，其中A′B′=2A′D′=2D′C′=2，A′B′//C′D′，則這個四棱柱的體積為( )
A. 3 2B. 32C. 3 22D. 9 2
5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+csBb+csA=sinAsinB，則這個三角形是( )
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6.在△ABC中，AB=AC=1，AN=NC，P是BN上一點，且AP=mAB+13AC，則AP?BC=( )
A. ?16B. 19C. 0D. 1
7.河北定州開元寺塔是世界上現(xiàn)存最高的磚木結(jié)構(gòu)古塔(如圖)，著名古建專家羅哲文譽其為“中華第一塔”.為了測量開元寺塔的高度，一研究小組選取了與該樓底部O在同一水平面內(nèi)三個共線的測量基點A，B，C，分別測得塔頂P點的仰角為45°，60°，45°，且AB=2BC=98m，示意圖如圖，則該塔高PO=( )
A. 49 2mB. 98mC. 49mD. 49 3m
8.如圖，在正三棱臺ABC?A1B1C1中，AB=2AA1=2A1B1，M，N分別是AB，A1B1的中點，則異面直線MN，BC1所成角的余弦值為( )
A. ?14
B. 14
C. 23
D. ?23
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知事件A，B滿足P(A)=0.3，P(B)=0.5，則下列說法正確的是( )
A. 若事件A與事件B相互獨立，則它們的對立事件也相互獨立
B. 事件A與事件B可能為對立事件
C. 若事件A與事件B相互獨立，則P(AB)=0.15
D. 若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=0.8
10.已知向量a=(?1,x)，b=(1,2)，則下列說法正確的是( )
A. 若(2a?b)⊥b，則x=3
B. |2a?b|的最小值為3
C. 若(2a?b)//b，則x=14
D. 若x=1，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是(15,25)
11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1A，C1C的中點，點P是線段A1C1上的動點，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 點P到平面BEF的距離不變
B. 平面BEF截該正方體所得的截面面積為5
C. 當(dāng)點P在線段A1C1上運動時，始終有PD/?/平面AB1C
D. D1P+PC的最小值為 8+4 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3+i3?4i的共軛復(fù)數(shù)為______．
13.為了豐富員工的業(yè)余生活，某企業(yè)舉辦了有獎答題活動，參加活動的員工依次回答三個問題，不管答對或者答錯，三題答完活動結(jié)束.規(guī)定每位員工只能參加一次活動，且至少答對兩道題才能獲獎.已知員工甲第一題答對的概率為34，第二題答對的概率為23，第三題答對的概率為12，假設(shè)員工甲是否答對每一題相互獨立，則員工甲獲獎的概率為______．
14.在△ABC中，AB=2，AC=1，BC= 3，M，N分別為AC，AB上的動點(不包括端點)，將△AMN沿MN折起，使點A到達點A′的位置，且平面A′MN⊥平面BCMN.若點A′，B，C，M，N均在球O的球面上，則球O表面積的最小值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z1=2m?1+mi，z2=m+mi，m∈R在復(fù)平面內(nèi)表示的點分別為Z1，Z2，O為坐標(biāo)原點．
(1)若復(fù)數(shù)z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在直線y=x+2上，求|z1+z2|的值；
(2)若OZ1與OZ2的夾角為銳角，求實數(shù)m的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，若AB=2e1?e2，BP=e1?3e2，PC=e1+2e2．
(1)證明：A，B，C三點共線；
(2)若e1=(1,0)，e2=(0,1)，點D(2,1)，B，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形BCDP，求點P的坐標(biāo)．
17.(本小題15分)
某學(xué)校高一年級舉辦了數(shù)學(xué)競賽活動，共有1000名學(xué)生參加.從中隨機抽取了100名學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)求實數(shù)x的值，并估計該校高一年級本次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值表示)；
(2)現(xiàn)從[80,90)，[90,100]兩組中用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取7人組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，再從這7人中抽取2人作為組長，求至少一名組長來自[90,100]的概率．
18.(本小題17分)
在如圖所示的幾何體中，DE//BF，DE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，AB=BF=4，DE=2，∠DAB=60°，點M為AB的中點．
(1)證明：DM⊥平面ABF；
(2)證明：平面AEF⊥平面ABF；
(3)求直線EM與平面ADE所成角的正弦值．
19.(本小題17分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c， 14[b2c2?(b2+c2?a22)2]= 32(acsB?c)c．
(1)求角A；
(2)若D為BC邊上一點，且滿足AD=λ(AB|AB|+AC|AC|)，AD=2，
(ⅰ)求1b+1c的值；
(ⅱ)求1BD+1CD的取值范圍．
參考答案
1.B
2.C
3.A
4.D
5.A
6.C
7.D
8.C
9.ACD
10.BD
11.ACD
12.15?35i
13.1724
14.16π5
15.解：(1)因為復(fù)數(shù)z1=2m?1+mi，z2=m+mi，
所以z1+z2=3m?1+2mi，
由題意得，2m=3m?1+2，解得m=?1．
所以z1+z2=?4?2i．
所以|z1+z2|=2 5．
(2)OZ1=(2m?1,m)，OZ2=(m,m)，
因為OZ1與OZ2的夾角為銳角，則OZ1?OZ2>0，且兩向量不同向，
所以(2m?1,m)?(m,m)>0，
即(2m?1)m+m2>0，解得m>13或m0，
即(2m?1,m)=λ(m,m)=(λm,λm)，
所以2m?1=λmm=λm，解得λ=1，m=1，
所以m≠1，
綜上，實數(shù)m的取值范圍為(?∞,0)∪(13,1)∪(1,+∞)．
16.解：(1)證明：因為已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的向量，
又因為BC=BP+PC=2e1?e2，所以AB=BC．
所以A，B，C三點共線．
(2)設(shè)點P的坐標(biāo)為(x,y)，則PD=(2?x,1?y)，BC=BP+PC=2e1?e2=(2,?1)，
因為B，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形BCDP.所以PD=BC，
即2?x=21?y=?1，解得x=0y=2，
所以點P的坐標(biāo)為(0,2)．
17.解：(1)由題可得，(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.016，
結(jié)合頻率分布直方圖，估計該校高一年級本次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)為75分，
落在[50,60)的頻率為0.16，[60,70)的頻率為0.3，[70,80)的頻率為0.4，
則中位數(shù)落在[70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為y，
則(y?70)×0.040=0.5?0.16?0.3，解得y=71，即中位數(shù)為71分，
平均數(shù)為55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6分．
(2)按比例分配的分層隨機抽樣方法．[80,90)中抽取的人數(shù)為0.10.1+0.04×7=57×7=5，
[90,100]中抽取的人數(shù)為0.040.1+0.04×7=27×7=2．
記來自[80,90)的5人和來自[90,100]的2人分別為a，b，c，d，e，F(xiàn)，G，
則所有基本事件為ab，ac，ad，ae，AF，AG，bc，bd，be，bF，bG，
cd，ce，cF，cG，de，dF，dG，eF，eG，F(xiàn)G，共21個，滿足題意的有11個，
由古典概型知，至少一名組長來自[90,100]的概率為1121．
18.(1)證明：因為DE/?/BF，DE⊥平面ABCD，
所以BF⊥平面ABCD，
因為DM?平面ABCD，所以DM⊥BF，
因為四邊形ABCD為菱形，∠DAB=60°，
因為△ABD是等邊三角形，點M為AB的中點，
所以DM⊥AB，
又BF∩AB=B，BF，AB?平面ABF，
所以DM⊥平面ABF；
(2)證明：如圖，取AF的中點N，連接EN，MN，

因為M，N分別為AB，AF的中點，
所以MN//BF，
又因為DE/?/BF，
所以MN/?/DE，MN=DE，
所以四邊形EDMN為平行四邊形，
所以EN/?/DM，
由(1)知DM⊥平面ABF，所以EN⊥平面ABF，
因為EN?平面AEF，
所以平面AEF⊥平面ABF；
(3)解：因為DE⊥平面ABCD，DE?平面ADE，
所以平面ABCD⊥平面ADE，
又平面ABCD∩平面ADE=AD，
過點M作AD的垂線，重足為Q，即MQ⊥AD，
所以MQ⊥平面ADE，連接EQ，
所以∠MEQ是直線EM與平面ADE所成的角，
易知點Q為AD上靠近點A的四等分點，
在Rt△MQA中，∠DAB=60°，則MQ= 3，
因為DE⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，
所以DE⊥DM，
又DM=2 3，所以在Rt△EDM中，EM=4，
因為MQ⊥平面ADE，EQ?平面ADE，
所以MQ⊥EQ，
在Rt△EMQ中，sin∠MEQ=MQEM= 34，
所以直線EM與平面ADE所成角的正弦值為 34．
19.解：(1)由余弦定理，等式左邊= 14[b2c2?(bccsA)2]= 14b2c2(1?cs2A)= 14b2c2sin2A，
因為A∈(0,π).所以sinA>0，所以等式左邊=12bcsinA．
所以12bcsinA= 32(acsB?c)c，整理可得：bsinA= 3acsB? 3c，
由正弦定理得sinBsinA= 3sinAcsB? 3sinC，
在△ABC中，sinC=sin[π?(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
代入上式化簡得sinBsinA=? 3csAsinB，
因為B∈(0,π)，所以sinB>0，
所以sinA=? 3csA，
即tanA=? 3，
因為A∈(0,π)，所以A=2π3；
(2)(ⅰ)AD=λ(AB|AB|+AC|AC|)，所以AD是∠BAC的平分線，
由(1)知，A=2π3，所以∠BAD=∠CAD=π3，
在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
即12bcsinA=12c×AD×sin∠BAD+12b×AD×sin∠CAD，
化簡得bc=2(b+c)，
則1b+1c=b+cbc=12；
(ⅱ)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsinB，
即BD=ADsin∠BADsinB= 3sinB，
在△CAD中，由正弦定理得CD=ADsin∠CADsinC= 3sinC，
所以1BD+1CD=1 3sinB+1 3sinC= 33(sinB+sinC)，
因為A=2π3，所以B+C=π3，
所以1BD+1CD= 33[sinB+sin(π3?B)]= 33(sinB+ 32csB?12sinB)= 33(12sinB+ 32csB)= 33sin(B+π3)，
因為0

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