一、單選題
1．坡屋頂是我國傳統(tǒng)建筑造型之一，蘊含著豐富的數學元素．安裝燈帶可以勾勒出建筑輪廓，展現造型之美．如圖，某坡屋頂可視為一個五面體，其中兩個面是全等的等腰梯形，兩個面是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的平面、等腰三角形所在的平面與平面的夾角的正切值均為，則該五面體的所有棱長之和為（ ）

A．B．
C．D．
2．圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75B．0.8C．0.85D．0.9
3．沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術”，如圖，是以O為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在上，．“會圓術”給出的弧長的近似值s的計算公式：．當時，（ ）
A．B．C．D．
4．北斗三號全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)是我國航天事業(yè)的重要成果．在衛(wèi)星導航系統(tǒng)中，地球靜止同步衛(wèi)星的軌道位于地球赤道所在平面，軌道高度為（軌道高度是指衛(wèi)星到地球表面的距離）．將地球看作是一個球心為O，半徑r為的球，其上點A的緯度是指與赤道平面所成角的度數．地球表面上能直接觀測到一顆地球靜止同步軌道衛(wèi)星點的緯度最大值為，記衛(wèi)星信號覆蓋地球表面的表面積為（單位：），則S占地球表面積的百分比約為（ ）
A．26%B．34%C．42%D．50%
5．某一時間段內，從天空降落到地面上的雨水，未經蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）．24h降雨量的等級劃分如下：

在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200 mm，高為300 mm的圓錐形雨量器.若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150 mm（如圖所示)，則這24h降雨量的等級是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
6．法國數學家蒙日發(fā)現橢圓兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓心與橢圓中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸和短半軸的平方和．如圖所示為稀圓及其蒙日圓，點均為蒙日圓與坐標軸的交點，分別與相切于點，若與的面積比為，則的離心率為（ ）

A．B．C．D．
7．公元年，唐代李淳風注《九章》時提到祖暅的“開立圓術”.祖暅在求球的體積時，使用一個原理：“冪勢既同，則積不容異”.“冪”是截面積，“勢”是立體的高，意思是兩個同高的立體，如在等高處的截面積相等，則體積相等.更詳細點說就是，介于兩個平行平面之間的兩個立體，被任一平行于這兩個平面的平面所截，如果兩個截面的面積相等，則這兩個立體的體積相等.上述原理在中國被稱為“祖暅原理”.打印技術發(fā)展至今，已經能夠滿足少量個性化的打印需求，現在用打印技術打印了一個“睡美人城堡”.如圖，其在高度為的水平截面的面積可以近似用函數，擬合，則該“睡美人城堡”的體積約為（ ）
A．B．C．D．
8．《九章算術》中有如下問題：“今有委米依垣內角，下周八尺，高五尺，問積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，則堆放的米約有（ ）
A．14斛B．22斛C．36斛D．66斛
9．《九章算術》中將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”．現有一“陽馬”，平面，，為底面及其內部的一個動點且滿足，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
10．如圖1是一棟度假別墅，它的屋頂可近似看作一個多面體，圖2是該屋頂的結構示意圖，其中四邊形和四邊形是兩個全等的等腰梯形，和是兩個全等的正三角形．已知該多面體的棱與平面成的角，，則該屋頂的側面積為（ ）
A．80B．C．160D．
11．首鋼滑雪大跳臺是冬奧史上第一座與工業(yè)舊址結合再利用的競賽場館，它的設計創(chuàng)造性地融入了敦煌壁畫中飛天的元素，建筑外形優(yōu)美流暢，飄逸靈動，被形象地稱為雪飛天.中國選手谷愛凌和蘇翊鳴分別在此摘得女子自由式滑雪大跳臺和男子單板滑雪大跳臺比賽的金牌.雪飛天的助滑道可以看成一個線段和一段圓弧組成，如圖所示.在適當的坐標系下圓弧所在圓的方程為，若某運動員在起跳點以傾斜角為且與圓相切的直線方向起跳，起跳后的飛行軌跡是一個對稱軸在軸上的拋物線的一部分，如下圖所示，則該拋物線的軌跡方程為（ ）

A．B．
C．D．
12．2022年卡塔爾足球世界杯吸引了全世界許多球迷的關注，足球最早起源于我國古代“蹴鞠”，被列為國家級非物質文化，蹴即踢，鞠即球，北宋《宋太祖蹴鞠圖》描繪太祖、太宗和臣子們蹴鞠的場景．已知某“鞠”的表面上有四個點A，B，C，D，連接這四點構成三棱錐如圖所示，頂點A在底面的射影落在△BCD內，它的體積為，其中△BCD和△ABC都是邊長為的正三角形，則該“鞠”的表面積為（ ）

A．B．C．D．
二、多選題
13．平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的遠行規(guī)律時發(fā)現的.在平面直角坐標系中，設到與兩點的距離之積為2的點的軌跡為曲線，則（ ）
A．
B．曲線關于原點對稱
C．曲線圍成的面積不大于7
D．曲線C上任意兩點之間的距離不大于3
14．平面內到兩定點距離之積為常數的點的軌跡稱為卡西尼卵形線，它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現的.已知在平面直角坐標系中，，，動點P滿足，其軌跡為一條連續(xù)的封閉曲線C.則下列結論正確的是（ ）
A．曲線C與y軸的交點為，B．曲線C關于x軸對稱
C．面積的最大值為2D．的取值范圍是
三、填空題
15．我國度量衡的發(fā)展有著悠久的歷史，戰(zhàn)國時期就已經出現了類似于砝碼的、用來測量物體質量的“環(huán)權”．已知9枚環(huán)權的質量（單位：銖）從小到大構成項數為9的數列，該數列的前3項成等差數列，后7項成等比數列，且，則 ；數列所有項的和為 ．
16．我國南宋著名數學家秦九韶，發(fā)現了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積 ．
17．某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，則對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為 ；如果對折次，那么 .
18．球面幾何是幾何學的一個重要分支，在剛海?航空?衛(wèi)星定位等方面都有廣泛的應用.如圖，A，B，C是球而上不在同一大圓(大圓是過球心的平面與球面的交線)上的三點，經過這三點中任意兩點的大圓的劣弧分別為AB，BC，CA，由這三條劣弧組成的圖形稱為球面△ABC.已知地球半徑為R，北極為點N，P?Q是地球表面上的兩點.
①若P，Q在赤道上，且經度分別為東經40°和東經100°，則球面△NPQ的面積為 .②若，則球面的面積 .
19．天津相聲文化是天津具有代表性的地域文化符號，天津話妙趣橫生，天津相聲精彩紛呈，是最具特色的旅游亮點之一.某位北京游客經常來天津聽相聲，每次從北京出發(fā)來天津乘坐高鐵和大巴的概率分別為0.6和0.4，高鐵和大巴準點到達的概率分別為0.9和0.8，則他準點到達天津的概率是 （分數作答）.若他已準點抵達天津，則此次來天津乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高 （分數作答）.
20．北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用，在數學上用曲率刻畫空間彎曲性.規(guī)定：多面體的頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有個面角，每個面角是，所以正四面體在每個頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結論：
①正方體在每個頂點的曲率均為；
②任意四棱錐的總曲率均為；
③若某類多面體的頂點數，棱數，面數滿足，則該類多面體的總曲率是常數.
其中，所有正確的結論是 （填寫序號）.
21．某數學興趣小組在閱讀了《選擇性必修第一冊》中數列的課后閱讀之后，對斐波那契數列產生了濃厚的興趣．書上說，斐波那契數列滿足：，，的通項公式為.在自然界，兔子的數量，樹木枝條的數量等都符合斐波那契數列．該學習興趣小組成員也提出了一些結論：
①數列是嚴格增數列；②數列的前n項和滿足；
③；④.
那么以上結論正確的是 （填序號）
22．我國油紙傘的制作工藝巧妙.如圖（1），傘不管是張開還是收攏，傘柄始終平分同一平面內兩條傘骨所成的角，且，從而保證傘圈能夠沿著傘柄滑動.如圖（2），傘完全收攏時，傘圈已滑動到的位置，且、、三點共線，，為的中點，當傘從完全張開到完全收攏，傘圈沿著傘柄向下滑動的距離為，則當傘完全張開時，的正弦值是 .

等級
24h降雨量（精確到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
參考答案：
1．C
【分析】先根據線面角的定義求得，從而依次求，，，，再把所有棱長相加即可得解.
【詳解】如圖，過做平面，垂足為，過分別做，，垂足分別為，，連接，

由題意得等腰梯形所在的面、等腰三角形所在的面與底面夾角分別為和，
所以.
因為平面，平面，所以，
因為，平面，，
所以平面，因為平面，所以，.
同理：，又，故四邊形是矩形，
所以由得，所以，所以，
所以在直角三角形中，
在直角三角形中，，，
又因為，
所有棱長之和為.
故選：C
2．D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
3．B
【分析】連接，分別求出，再根據題中公式即可得出答案.
【詳解】解：如圖，連接，
因為是的中點，
所以，
又，所以三點共線，
即，
又，
所以，
則，故，
所以.
故選：B.
4．C
【分析】由題意結合所給的表面積公式和球的表面積公式整理計算即可求得最終結果.
【詳解】由題意可得，S占地球表面積的百分比約為：
.
故選：C.
5．B
【分析】計算出圓錐體積，除以圓面的面積即可得降雨量，即可得解.
【詳解】由題意，一個半徑為的圓面內的降雨充滿一個底面半徑為，高為的圓錐，
所以積水厚度，屬于中雨.
故選：B.
6．C
【分析】由蒙日圓的方程求得的坐標，可得直線的方程，聯立橢圓的方程，求出的橫坐標，再結合條件，即可得到，從而求出結果.
【詳解】由題知，蒙日圓為，設，
則直線的方程為，
由，消得到，
顯然有，解得，
又與的面積比為，所以，
又，，所以，
得到，所以，

故選：C.
7．D
【分析】
根據祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為，高為的圓錐的體積近似相等，利用錐體的體積公式可求得該“睡美人城堡”的體積.
【詳解】
如下圖所示：
圓錐的高和底面半徑為，平行于圓錐底面的截面角圓錐的母線于點，
設截面圓圓心為點，且，則，
易知，則，即，可得，
所以，截面圓圓的半徑為，圓的面積為，
又因為，
根據祖暅原理知，該“睡美人城堡”的體積與一個底面圓半徑為，
高為的圓錐的體積近似相等，
所以該“睡美人城堡”的體積約為，
故選：D.
8．B
【分析】由地面弧長求出圓錐底面半徑，再利用體積公式求體積，再代換為斛即可.
【詳解】設圓錐的底面半徑為，則，解得，
故米堆的體積（立方尺）．
1斛米的體積約為1.62立方尺，
故（斛）.
故選：B.
9．D
【分析】
由已知可求得，建立空間坐標系，利用已知設，，根據向量的數量積公式及輔助角公式計算即可得出結果.
【詳解】平面，，連接，由，可得，
四邊形為矩形，以為軸建立如圖所示坐標系，
則，設，，
則，
所以
因為，則，則，
所以.
故選：D
10．D
【分析】先求兩個等腰梯形的高，進而計算出屋頂的側面積.
【詳解】設分別是的中點，連接，根據對稱性可知，
在平面的射影在上，設其為，連接，
則平面，而平面，所以，
所以是與平面成的角，即，
所以，
過作，垂足為，連接，
由于平面，所以，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，
，所以，
所以，所以，
所以該屋頂的側面積為：
.
故選：D
11．A
【分析】將直線方程與圓的方程聯立可求得點坐標，根據在點的切線斜率和點坐標可求得拋物線方程中的，整理可得拋物線方程.
【詳解】由題意知：，又，
直線方程為：，即；
由得：或，
即或，
為靠近軸的切點，；
設飛行軌跡的拋物線方程為：，則，
在點處的切線斜率為，，解得：，
，解得：，，
即拋物線方程為：.
故選：A.
12．B
【分析】取的中點，連接，作于點，設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為點，則平面，易得平面，則，從而可得平面，再根據棱錐的體積求出，利用勾股定理求出外接球的半徑，即可得解.
【詳解】如圖，取的中點，連接，作于點，
因為△BCD和△ABC都是正三角形，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因為平面，
所以平面，
則，
即，解得，
，
則，
設外接圓的圓心為，三棱錐外接球的球心為點，則平面，
外接圓的半徑，，
設外接球的半徑為，，
則，，
故，解得，
所以，
所以該“鞠”的表面積為.
故選：B.

【點睛】方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結論：根據作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.
13．BC
【分析】根據定義得到曲線的方程，根據方程求和的取值范圍，驗證選項AC，由方程的對稱性判斷選項B，特殊值法驗證選項D.
【詳解】設，則，，，
化簡，所以，
對于A，，所以，得，A選項錯誤；
對于B，曲線方程，顯然若在曲線上，則也在曲線上，曲線關于原點對稱，B選項正確；
對于C，，令，則，，
所以曲線圍成的面積，C選項正確；
對于D，當時，，此時兩點距離為，D選項錯誤.
故選：BC
14．ABD
【分析】根據給定條件，求出曲線C的方程，由判斷A；由曲線方程對稱性判斷B；取特值計算判斷C；求出的范圍計算判斷D作答.
【詳解】設點，依題意，，整理得：，
對于A，當時，解得 ，即曲線C與y軸的交點為，，A正確；
對于B，因，由換方程不變，曲線C關于x軸對稱，B正確；
對于C，當時，，即點在曲線C上，，C不正確；
對于D，由得：，解得，
于是得，解得，D正確.
故選：ABD
【點睛】結論點睛：曲線C的方程為，(1)如果，則曲線C關于y軸對稱；
(2)如果，則曲線C關于x軸對稱；(3)如果，則曲線C關于原點對稱.
15． 48 384
【分析】方法一：根據題意結合等差、等比數列的通項公式列式求解，進而可求得結果；方法二：根據等比中項求，在結合等差、等比數列的求和公式運算求解.
【詳解】方法一：設前3項的公差為，后7項公比為，
則，且，可得，
則，即，可得，
空1：可得，
空2：
方法二：空1：因為為等比數列，則，
且，所以；
又因為，則；
空2：設后7項公比為，則，解得，
可得，所以.
故答案為：48；384.
16．.
【分析】根據題中所給的公式代值解出．
【詳解】因為，所以．
故答案為：.
17． 5
【分析】（1）按對折列舉即可；（2）根據規(guī)律可得，再根據錯位相減法得結果.
【詳解】（1）由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格（單位；
故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；
（2）由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不論規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數，根據（1）的過程和結論，猜想為種（證明從略），故得猜想，
設，
則，
兩式作差得：
，
因此，.
故答案為：；.
【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：
（1）對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；
（2）對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；
（3）對于結構，利用分組求和法；
（4）對于結構，其中是等差數列，公差為，則，利用裂項相消法求和.
18．
【分析】利用所在的經度求出球面三角形面積，再利用已知可得三角形為等邊三角形，進而可以求解．
【詳解】解：在赤道上，且經度分別為和，
上半球面面積為，
球面面積為，
當時，為等邊三角形，
根據題意構造一個正四面體，如圖所示：
其中心為，是高的靠近的四等分點，
則，
由余弦定理可得：，
解得，正好為題目所給的長度，
所以球面的面積為，
故答案為：；．
19．
【分析】根據互斥事件的概率公式，求得他準點到達天津的概率，再結合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】設事件為他準點到達天津，事件為他乘坐高鐵到達天津，事件為他乘坐大巴到達天津，
若他乘坐高鐵，且正點到達天津的概率為；
若他乘坐大巴，且正點到達天津的概率為；
則，且,
所以乘坐高鐵準點到達比乘坐大巴準點到達的概率高.
故答案為：，
20．①②③
【分析】根據曲率的定義逐個對題中三個結論進行計算并判斷.
【詳解】對于①，根據曲率的定義可得正方體在每個頂點的曲率為，故①正確；
對于②，由定義可得多面體的總曲率頂點數各面內角和，因為四棱錐有5個頂點，5個面，分別為4個三角形和1個四邊形，所以任意四棱錐的總曲率為，故②正確；
對于③，設每個面記為邊形，
則所有的面角和為，
根據定義可得該類多面體的總曲率為常數，故③正確.
故填：①②③
21．②③
【分析】根據數列的特征以及遞推公式，即可判斷①；由已知可得，累加法即可得出②；，變形可得時，，然后累加，即可得出③；舉例，驗證，即可判斷④.
【詳解】對于①，由題意可知，，，.
由已知，則當時，單調遞增.
所以，時，由已知可知，單調遞增，且.
所以數列在時，為嚴格增數列.
但是該數列的前三項不滿足，故①錯誤；
對于②，當時，有
，
，
，
，
，
，
兩邊同時相加可得，，
所以，，故②正確；
對于③，由已知可得，，
，
，
，
兩邊同時相加可得，，故③正確；
對于④，當時，左邊為，右邊為，顯然不成立，故④錯誤.
所以，結論正確的是②③.
故答案為：②③.
【點睛】關鍵點睛：由遞推公式推得，，進而累加法，逐項相消即可得出.
22．/
【分析】利用余弦定理、同角三角函數的基本關系式求得，再利用二倍角公式求得正確答案.
【詳解】依題意分析可知，當傘完全張開時，，因為為的中點，
所以，，當傘完全收攏時，，
所以，，
在中，，
則為銳角，所以，
所以.
故答案為：

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