命題學(xué)校：武漢市吳家山中學(xué) 命題教師：邱道 審題教師：胡顯義
考試時間：2024年6月27日 試卷滿分：150分
注意事項：
1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.
2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.
4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交.
一、單項單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分別求兩個集合，再求并集.
【詳解】，即，
，所以，即，所以.
故選：C
2. 設(shè)是可導(dǎo)函數(shù)，且，則在處的切線的斜率等于（ ）
A 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)條件得到，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，在處的切線的斜率為，
故選：B.
3. 已知變量與的數(shù)據(jù)如下表所示，若關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程是，則表中（ ）
A. 11B. 12C. 12.5D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】利用樣本中心點求解即可.
【詳解】，
因為經(jīng)驗回歸方程經(jīng)過樣本中心，
所以，
解得.
故選：A.
4. 甲、乙、丙、丁、戊共5名同學(xué)進行勞動技術(shù)比賽，決出第1名到第5名的名次．甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你和乙都沒有得到冠軍．”對乙說：“你當(dāng)然不會是最差的．”從這兩個回答分析，5人的名次排列可能有多少種不同情況（ ）
A. 24B. 36C. 54D. 60
【答案】C
【解析】
【分析】首先根據(jù)條件得到排列的要求，再按照受限制元素優(yōu)先的原則，進行排列，即可求解.
【詳解】由條件可知，甲和乙都不是第一名，乙也不是最后一名，
所以先排乙有3種方法，再排甲有3種方法，其他就是全排列種方法，
所以5人的名次排列有種方法.
故選：C
5. 的展開式中的系數(shù)是（ ）
A. 20B. 30C. 40D. 50
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)二項式定理的通項公式確定r的值即可求出系數(shù).
【詳解】因為的展開式中，通項公式 ,
令，得，則，
又,
所以的系數(shù)為.
故選：A.
6. 柯西分布（Cauchy distributin）是一個數(shù)學(xué)期望不存在的連續(xù)型概率分布．記隨機變量服從柯西分布為，其中當(dāng)，時的特例稱為標(biāo)準(zhǔn)柯西分布，其概率密度函數(shù)為．已知，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)概率密度函數(shù)的對稱性，結(jié)合條件，即可求解.
【詳解】函數(shù)關(guān)于軸對稱，
由可知，，且，
則，所以.
故選：D
7. 已知函數(shù)，則“有兩個極值”的一個必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可知有兩個不等的實數(shù)解，轉(zhuǎn)化為方程有兩個實根，再次轉(zhuǎn)化為的圖象與有兩個不同的交點，然后利用導(dǎo)數(shù)的單調(diào)區(qū)間，畫出的圖象，結(jié)合圖象求解即可.
【詳解】的定義域為，則，
因為有兩個極值，所以有兩個不等的實數(shù)解，
由，得，
令，，
則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上遞增，在上遞減，
因為，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以的圖象如圖所示，

由圖可知當(dāng)時，的圖象與的圖象有兩個不同的交點，即有兩個極值，
因為是的真子集，
所以“有兩個極值”的一個必要不充分條件是，
故選：A
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)的極值，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有兩個交點，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.
8. 已知,若,則的最小值等于( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先變形為，證明，再把問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到圓上動點距離的最小值.
【詳解】由題設(shè)，
設(shè),則，
當(dāng)單調(diào)遞減，
當(dāng)單調(diào)遞增，
所以，即，
綜上，，即，所以，
設(shè)是直線上的點，是圓上的點，
而目標(biāo)式為，
由，故.
故選：B.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 下列命題正確的是（ ）
A. 命題“對任意，”的否定是“存在，使得”
B. “”的充分不必要條件是“”
C. 設(shè)，則“且”是“”的充分不必要條件
D. 設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A選項，用量詞命題的否定可得解；對于B選項，用集合法可以判斷；對于C選項，用充分條件和必要條件的定義可以判斷，對于D選項，用等價法可以判斷.
【詳解】對于A選項，命題“對任意，”的否定是“存在，使得”，故A錯誤；
對于B選項，或，因為?或，所以“”是“”的充分不必要條件，故B正確；
對于C選項，充分性：當(dāng)且時，，則，所以具有充分性，
必要性：令,，但“且”不成立，所以不具有必要性，
所以“且”是“”的充分不必要條件，故C正確；
對于D選項，因為“”是“”的必要不充分條件，所以“”是“”的必要不充分條件，故D錯誤.
故選：BC
10. 將四個編號為1，2，3，4的小球放入四個分別標(biāo)有1，2，3，4號的盒子中，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A. 共有256種放法
B. 恰有一個盒子不放球，共有72種放法
C. 恰有兩個盒子不放球，共有84種放法
D. 沒有一個空盒但小球的編號和盒子的編號都不相同的放法共有9種
【答案】ACD
【解析】
【分析】按照分步乘法計數(shù)原理判斷A，B，先分組、再分配，即可判斷C，先確定編號為的球的放法，再確定與號球所放盒子的編號相同的球的放法，按照分步乘法計數(shù)原理判斷D.
【詳解】若4個不同的小球放入編號為1，2，3，4的盒子，共有種放法，故A正確；
恰有一個盒子不放球，先選一個盒子，再選一個盒子放兩個球，則種放法，故B錯誤；
恰有兩個盒子不放球，首先選出兩個空盒子，再將四個球分為，或，兩種情況，
故共種放法，故C正確；
編號為的球有種放法，編號為的球所放盒子的編號相同的球放入號或其他兩個盒子，
共有，即種放法，故D正確．
故選：ACD．
11. 下列選項中正確的是（ ）
A. 已知隨機變量服從二項分布，則
B. 口袋中有大小相同的7個紅球、2個藍(lán)球和1個黑球．從中任取兩個球，記其中紅球的個數(shù)為隨機變量，則的數(shù)學(xué)期望
C. 某射擊運動員每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，則在9次射擊中，最有可能擊中的次數(shù)是8次
D. 設(shè)，是一個隨機試驗中的兩個事件，且，，，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)二項分布方差公式，以及方差的性質(zhì)，即可判斷A；代入超幾何分布的期望公式，即可判斷B；根據(jù)二項分布的概率，結(jié)合不等式，即可求解，判斷C；根據(jù)和事件概率公式，以及條件概率公式，即可判斷D.
【詳解】A.，，，故A正確；
B.為超幾何分布，所以，故B正確；
C.設(shè)最有可能擊中次，則，，
則，
得，即或，故C錯誤；
D.，則，
，故D正確.
故選：ABD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 某市的5個區(qū)縣，，，，地理位置如圖所示，給這五個區(qū)域染色，每個區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色．若有四種顏色可供選擇，則不同的染色方案共有______種．
【答案】96
【解析】
【分析】利用分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理可得結(jié)論.
【詳解】第一步：從4種顏色中選3種顏色對三個區(qū)域著色有種方法，
第二步：對著色分兩類，
當(dāng)與同色有1種方法，對著色有2種方法，
當(dāng)與不同色時有1種方法，對著色有2種方法，
故不同的染色方案共有種．
故答案為：種.
13. 某學(xué)校組織學(xué)生進行數(shù)學(xué)強基答題比賽，已知共有2道A類試題，4道類試題，6道類試題，學(xué)生從中任選1道試題作答，學(xué)生甲答對這3類試題的概率分別為，，，學(xué)生甲答對試題的概率為______．
【答案】##
【解析】
【分析】利用全概率公式進行求解.
【詳解】學(xué)生甲答對試題的概率為.
故答案為：
14. 若對任意的，且，，則的最大值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】由題意可得，令，則，則可得在上遞增，然后利用導(dǎo)數(shù)求出的遞增區(qū)間，從而可求出的最大值.
【詳解】因為，所以，
所以由，得，
所以，
所以，
令，則，
因為對任意的，且，
所以在上遞增，
由，得，
由，得，得，
解得，所以的遞增區(qū)間為，
所以的最大值為.
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，解題的關(guān)鍵是將原不等式變形，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.
四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 設(shè)命題，使得不等式恒成立；命題，不等式成立．
（1）若為真命題，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若命題、有且只有一個是真命題，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）若為真命題，即，使得不等式成立，則轉(zhuǎn)化對于，即可.
（2）若為真命題，即，不等式成立，則轉(zhuǎn)化為對于，即可.
【小問1詳解】
若為真命題，即，使得不等式成立，
則對于，即可.
由于,，則
【小問2詳解】
若為真命題，即，不等式成立，
則對于，即可.
由于，，，解得
p、q有且只有一個是真命題，則或，
解得.
16. ，，，這組公式被稱為積化和差公式，最早正式發(fā)表于16世紀(jì)天文學(xué)家烏爾索斯1588年出版的《天文學(xué)基礎(chǔ)》一書中.在歷史上，對數(shù)出現(xiàn)之前，積化和差公式被用來將乘除運算化為加減運算.在現(xiàn)代工程中，積化和差的重要應(yīng)用在于求解傅里葉級數(shù).為了解學(xué)生掌握該組公式的情況，在高一、高三兩個年級中隨機抽取了100名學(xué)生進行考查，其中高三年級的學(xué)生占，其他相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：
（1）請完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”是否有關(guān)？
（2）以頻率估計概率，從該校高一年級學(xué)生中抽取3名學(xué)生，記合格的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，
【答案】（1）列聯(lián)表見解析，認(rèn)為“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”有關(guān)
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)卡方的計算與臨界值比較即可求解，
（2）利用二項分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解.
【小問1詳解】
由100名學(xué)生中高三年級的學(xué)生占，可知高三年級的學(xué)生有60人，高一年級的學(xué)生有40人.
補充完整的列聯(lián)表，如下：
提出零假設(shè)：“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”無關(guān).
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得.
根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷H?不成立，即認(rèn)為“對公式的掌握情況”與“學(xué)生所在年級”有關(guān)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.001.
【小問2詳解】
由（1）得，高一年級的學(xué)生對公式的掌握情況合格的頻率為.
依題意，得，
則，，
，.
所以的分布列為
.
17. 甲、乙兩人進行某棋類比賽，每局比賽時，若決出輸贏則獲勝方得2分，負(fù)方得0分；若平局則各得1分．已知甲在每局中獲勝、平局、負(fù)的概率均為，且各局比賽結(jié)果相互獨立．
（1）若比賽共進行了三局，求甲獲勝一局的概率；
（2）若比賽共進行了三局，求甲得3分的概率；
（3）規(guī)定比賽最多進行五局，若一方比另一方多得4分則停止比賽，求比賽局?jǐn)?shù)的分布列與數(shù)學(xué)期望．
【答案】（1）
（2）
（3）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）利用獨立事件概率公式，列式求解；
（2）首先分析甲得3分的事件，再根據(jù)互斥事件概率公式和獨立事件概率公式，列式求解；
（3）由題意可知，，根據(jù)隨機變量表示事件的意義，根據(jù)概率求分布列，以及數(shù)學(xué)期望.
【小問1詳解】
設(shè)“三局比賽后，甲勝一局”為事件A，
甲勝一局包含以下情形：三局中甲一勝兩平局，三局中甲一勝兩負(fù)，三局中甲一勝一平一負(fù)，
所以，或，
所以甲勝一局的概率為
【小問2詳解】
設(shè)“三局比賽后，甲得3分”為事件B，
甲得3分包含以下情形：三局均為平局，三局中甲一勝一平一負(fù)，
所以，
所以甲得3分的概率為
小問3詳解】
依題意知，X的可能取值為2，3，4，5，
，,
,
，
故X的分布列為：
所以期望
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的方程有兩根（其中），
①求的取值范圍；
②當(dāng)時，求的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）對求導(dǎo)，并判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到的單調(diào)性；
（2）①可轉(zhuǎn)化為，令，有，再借助的單調(diào)性，得到，令，借助的單調(diào)性，得到的大致圖象，即可求得的取值范圍；②借助的單調(diào)性，有，解不等式即可.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，所以，
由解得，由解得，
故的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
①由，即，即，
令，上式為，因為，
所以在上單調(diào)遞增，故等價于，
即在上有兩根，
令，則，
由解得，由解得，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以有極大值，且當(dāng)時，，
其圖象如圖所示：

所以的取值范圍為.
②由①得在上有兩根，所以，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，所以，
可得，所以，所以.
【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點問題的方法：
（1）直接法：先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值，根據(jù)函數(shù)的基本性質(zhì)作出圖象，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與軸的交點問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的應(yīng)用；
（2）構(gòu)造新函數(shù)法：將問題轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)圖象的交點問題；
（3）參變量分離法：由分離變量得出，將問題等價轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點問題.
19. 某疫苗生產(chǎn)單位通過驗血的方式檢驗?zāi)撤N疫苗產(chǎn)生抗體情況，現(xiàn)有份血液樣本（數(shù)量足夠大），有以下兩種檢驗方式：
方式一：逐份檢驗，需要檢驗次；
方式二：混合檢驗，將其中份血液樣本混合檢驗，若混合血樣無抗體，說明這份血液樣本全無抗體，只需檢驗1次；若混合血樣有抗體，為了明確具體哪份血液樣本有抗體，需要對每份血液樣本再分別化驗一次，檢驗總次數(shù)為次．假設(shè)每份樣本的檢驗結(jié)果相互獨立，每份樣本有抗體的概率均為．
（1）現(xiàn)有5份不同的血液樣本，其中只有2份血液樣本有抗體，采用逐份檢驗方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率；
（2）現(xiàn)取其中份血液樣本，記采用逐份檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為；采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)為．
①若，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；
②已知，以檢驗總次數(shù)的期望為依據(jù)，討論采用何種檢驗方式更好？
參考數(shù)據(jù)：，，，，．
【答案】（1）
（2）①（且），②答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意確定3次檢驗的事件，利用有序排列，利用樣本空間法，即可求解；
（2）①根據(jù)和的取值，求兩個隨機變量的期望，利用期望相等，求解；
②根據(jù)①的結(jié)果，比較和的大小，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，比較大小，從而得到結(jié)論.
【小問1詳解】
設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來為事件，
事件分為兩種情況，一種是前兩次檢驗中，其中一次檢驗出抗體，第三次檢驗出抗體，二是前三次均無抗體，
所以，
所以恰好經(jīng)過3次檢驗就能把有抗體的血液樣本全部檢驗出來的概率為；
【小問2詳解】
①由已知得，的所有可能取值為1，，
所以， ，
所以，
若，則，
所以，，
所以，得，
所以P關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式（且）；
②由①知，，
若，則，所以，得，
所以（且）
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因為，，
，
所以不等式的解是且，
所以且時，，采用方案二混合檢驗方式好，
且時，，采用方案一逐份檢驗方式好，
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是求和，從而才可以建立等量關(guān)系或是不等式，為后面構(gòu)造函數(shù)打下基礎(chǔ).
1
2
3
4
5
10
11
13
15
合格
不合格
合計
高三年級的學(xué)生
54
高一年級的學(xué)生
16
合計
100
0.100
0.050
0.010
0.001
2706
3841
6.635
10.828
合格
不合格
合計
高三年級的學(xué)生
54
6
60
高一年級的學(xué)生
24
16
40
合計
78
22
100
0
1
2
3
X
2
3
4
5
P

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