第18講同角三角函數的基本關系、誘導公式（精講）-【一輪復習講義】2025年高考數學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）-試卷下載-教習網

題型目錄一覽
一、知識點梳理
1.任意角的三角函數的概念
（1）單位圓：
設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x,y).
①把點P的叫做α的正弦函數，記作sinα，即y=sinα；
②把點P的叫做α的余弦函數，記作csα，即x=csα；
③把點P的叫做α的正切函數，記作tanα，即yx=tanα(x≠0).
則正弦函數fx=sinx, x∈R；余弦函數fx=csx, x∈R；正切函數fx=tanx, x≠kπ，
（2）非單位圓：
設角α終邊上任意一點P（原點除外）的坐標為(x,y)，它與原點的距離為r并且r= ，
則sin α== ，cs α== ，tan α= (x≠0).
2. 三角函數值在各象限內的符號
(設α的終邊上一點Px,y，sinα符號看y，csα符號看x，tanα符號看yx)
3.同角三角函數的基本關系
（1）平方關系：．（2）商的關系：．
拓展：①sinα+csα2= ； sinα?cs α2= .
②sin2α== ⑧cs2α==．
4.誘導公式（奇變偶不變，符號看象限）
公式一：設α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數的值相等：
其中k∈Z： sin（2kπ+α）= cs（2kπ+α）= tan（2kπ+α）=
公式二：設α為任意角，π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關系：
sin（π+α）= cs（π+α）= tan（π+α）=
公式三：任意角α與–α的三角函數值之間的關系（利用原函數奇偶性）：
sin（–α）= cs（–α）= tan（–α）=
公式四：利用公式二和公式三可以得到π–α與α的三角函數值之間的關系：
sin（π–α）= cs（π–α）= tan（π–α）=
公式五：任意角α與–α的三角函數值之間的關系
sin（–α）= cs（–α）=
公式六：任意角α與+α三角函數值之間的關系：
sin（+α）= cs（+α）=
推算公式：+α與α的三角函數值之間的關系：
sin（+α）= sin（–α）=
cs（+α）= cs（–α）=
注：“奇變偶不變”中的奇、偶分別是指的奇數倍和偶數倍，變與不變是指函數名稱的變化
若是奇數倍，則正、余弦互變；若是偶數倍，則函數名稱不變．
“符號看象限”是把α當成銳角時，原三角函數式中的角（如+α）所在象限原三角函數值的符號
二、題型分類精講
題型一 “知一求二”問題
策略方法對sin α，cs α，tan α的知一求二問題
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可實現α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cs α)＝tan α可以實現角α的弦切互化．
?2?由一個角的任意一個三角函數值可求出這個角的另外兩個三角函數值，因為利用”平方關系”公式，需求平方根，會出現兩解，需根據角所在的象限判斷符號，當角所在的象限不明確時，要進行分類討論.
【典例1】已知，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據同角三角函數的關系即可求解.
【詳解】由于，所以因此，
故選：A
【題型訓練】
一、單選題
1．（2023·西藏拉薩·統(tǒng)考一模）已知，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先由，，求出，再得出，根據得出答案．
【詳解】因為，，
所以，
所以，
所以，
故選：D．
2．（2023·全國·高三專題練習）若角的終邊不在坐標軸上，且，則( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】結合易知條件和同角三角函數的平方關系即可求出csα，從而求出sinα，根據即可求得結果．
【詳解】或，
∵的終邊不在坐標軸上，∴，
∴，∴．
故選：A．
3．（2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學?？茧A段練習）設，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出，即得解.
【詳解】∵，
∴
∴
∵，
∴.
故選：D
二、填空題
4．（2023春·上海楊浦·高三復旦附中校考開學考試）已知是第四象限角，且，則______．
【答案】
【分析】利用同角三角函數的關系求解.
【詳解】因為是第四象限角，且，
所以，
故答案為: .
5．（2023春·上海奉賢·高三校考階段練習）已知角為的內角，，則_________．
【答案】
【分析】根據同角三角函數，即可求解.
【詳解】由條件可知，.
故答案為：
三、解答題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知，求的值.
【答案】
【分析】根據同角三角函數關系求解即可.
【詳解】解：因為，
所以，同號，且，
所以，，
因為
所以，解得，
因為，
所以
題型二已知tan α求sin α，cs α齊次式的值
策略方法
若已知正切值，求一個關于正弦和余弦的齊次分式的值，則可以通過分子、分母同時除以一個余弦的齊次冪將其轉化為一個關于正切的分式，代入正切值就可以求出這個分式的值，對于分母為1的二次式，可用sin2α＋cs2α做分母求解．
【典例1】已知，則（）
A．2B．5C．6D．8
【答案】B
【分析】利用“齊次式”和條件可直接求出結果.
【詳解】因為，所以，
故選：B.
【題型訓練】
一、單選題
1．（2023·廣東·高三專題練習）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用弦化切可求得的值，再利用兩角和的正切公式可求得的值.
【詳解】因為，解得，
所以，.
故選：A.
2．（2023·海南海口·校聯考一模）已知，則（）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】根據同角三角函數的基本關系，二倍角的正弦公式，分子分母同除以余弦平方得到正切的式子，再將正切值代入即可.
【詳解】因為，
所以，
故選：A.
3．（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模）已知方程，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由已知可得，用齊次式方法處理后得，將值代入即可得出答案.
【詳解】方程，化簡得，
則，
分子分母同時除以可得：，
將代入可得，
故選：B.
4．（2023·江蘇·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（）
A．－3B．C．3D．
【答案】B
【分析】利用誘導公式化簡條件，再利用二倍角公式將目標式化為齊次式，代入正切值可得.
【詳解】因為，
所以
.
故選：B.
5．（2023·河南·校聯考模擬預測）已知，則（）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】由題解得，再由求解即可.
【詳解】由，解得，
所以.
故選：A.
二、填空題
6．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________
【答案】
【分析】根據齊次式，由弦化切即可求值.
【詳解】.
故答案為：
7．（2023·高三課時練習）若，則的值為______.
【答案】
【分析】先由求出，再利用同角三角函數的基本關系及的值求的值即可.
【詳解】∵，∴，∴，
∴，即，
∴
.
故答案為：.
三、解答題
8．（2023·全國·高三專題練習）（1）已知，求和的值；
（2）已知，求的值.
【答案】（1）或；（2）
【分析】根據同角三角函數的商式關系以及平方關系，建立方程，可得答案；
【詳解】（1）由同角三角函數的商式關系，則，即，
由同角三角函數的平方關系，則，即，解得，
由，可得，
即可得或.
（2）由，則，即，
.
題型三 sin α±cs α與sin αcs α關系的應用
策略方法對于sin α＋cs α，sin α－cs α，sin αcs α這三個式子，知一可求二，若令sin α＋cs α＝t(t∈[－eq \r(2)，eq \r(2)])，則sin αcs α＝eq \f(t2－1,2)，sin α－cs α＝±eq \r(2－t2)(注意根據α的范圍選取正、負號)，體現了方程思想的應用．
【典例1】已知在中，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據同角三角關系分析運算，注意三角函數值的符號.
【詳解】因為，則，
可得，
又，則，
即，可得，
又因為，
所以.
故選：B.
【題型訓練】
一、單選題
1．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函數的平方關系和二倍角公式求解即可.
【詳解】，，
解得.
故選：D.
2．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考二模）已知，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用同角三角函數基本關系式，以及三角函數在各個象限內的正負，可得，從而求出的值.
【詳解】因為，所以，即，所以.
因為，所以，所以.
因為，
所以.
故選：B.
3．（2023·山西·校聯考模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據同角三角關系分析運算，注意三角函數值的符號的判斷.
【詳解】由題意可得：，整理得，
且，可得，
即，可得，
因為，可得，
所以.
故選：D.
二、多選題
4．（2023·浙江金華·浙江金華第一中學?？寄M預測）已知，，則（）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據同角基本關系，結合完全平方公式可判斷各項.
【詳解】對于A：因為所以
即，所以A正確;
對于B、C：因為，且，
所以，即，所以所以B錯誤，C正確;
對于D：聯立，解得所以，所以D正確.
故選：ACD.
三、填空題
5．（2023·全國·高三專題練習）已知，則______．
【答案】
【分析】由同角三角函數的平方關系和商數關系，并分析三角函數值的正負即可求解.
【詳解】解：已知①，則，
，
，，則，，
②，
聯立①②，得，
，
故答案為：.
6．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預測）已知，則 ___________．
【答案】
【分析】根據的關系，即可平方得，結合同角關系以及二倍角公式即可求解.
【詳解】由平方得，結合得，
所以，由于，所以,
所以，
故答案為：
四、解答題
7．（2023·全國·高三專題練習）已知，是關于x的一元二次方程的兩根．
(1)求的值；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由韋達定理結合平方關系得出的值；
（2）先判斷出，則，再代值計算即可.
(1)
因為，是關于x的一元二次方程的兩根，
所以，，且，
所以，
所以，得，滿足，
所以，即
(2)因為，
又因為，所以，所以
所以
8．（2023·全國·高三專題練習）已知 ( )，求的值.
【答案】
【分析】將兩邊平方可得，判斷x的范圍，并求出，進而可求得，，即可求得答案.
【詳解】∵ ()，
∴ ，即，
把兩邊平方得，
即，
∴，
即，
聯立
解得，，
∴ .
題型四誘導公式化簡與求值
策略方法 1．利用誘導公式把任意角的三角函數轉化為銳角三角函數的步驟
也就是：“負化正，大化小，化到銳角就好了”．
2．明確三角函數式化簡的原則和方向
(1)切化弦，統(tǒng)一名．
(2)用誘導公式，統(tǒng)一角．
(3)用因式分解將式子變形，化為最簡．
也就是：“統(tǒng)一名，統(tǒng)一角，同角名少為終了”．
【典例1】已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點.
(1)求的值；
(2)求的值.
【答案】(1)
(2)-1
【分析】（1）根據三角函數的定義，即可求得的值；
（2）方法：1：由（1）知，結合誘導公式和三角函數的基本關系式，化為齊次式，代入，即可求解；
方法2：利用三角函數的定義求得，結合誘導公式，代入即可求解.
【詳解】（1）解：因為角的頂點與坐標原點重合，始邊與軸的正半軸重合，終邊過點，
由三角函數的定義，可得.
（2）解：方法1：由（1）知，
則.
方法2：由角終邊過點，可得，則，，
所以.
【題型訓練】
一、單選題
1．（2023·吉林長春·東北師大附中模擬預測）若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】切化弦，結合得出，然后根據誘導公式及二倍角公式求解.
【詳解】因為，
所以，
即，
所以，
即，
所以，
故選：C．
2．（2023·全國·高三專題練習）已知，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據誘導公式、兩角差的正弦公式、二倍角的余弦公式化簡即可求解.
【詳解】由，
所以.故選：D.
二、填空題
3．（2023·上海徐匯·位育中學?？寄M預測）已知為銳角，若，則________．
【答案】
【分析】運用誘導公式和同角的基本關系求解即可.
【詳解】，所以，
因為為銳角，所以，，
故答案為：
三、解答題
4．（2023·全國·高三專題練習）已知.
(1)化簡.
(2)已知，求的值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由誘導公式進行化簡，即可求得；
(2)由，代入即可求值.
(1)
；
(2)
∵，
∴.
5．（2023·全國·高三專題練習）已知α是第三象限角，且.
（1）若cs，求f（α）的值；
（2）若α=-1860°，求f（α）的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）化簡f（α）==-csα，由條件求得csα，從而求得f（α）.
（2）由誘導公式得，f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）.
【詳解】解析：f（α）==-csα.
（1）∵，∴sinα=.
∵α是第三象限的角，
∴csα=.
∴f（α）=-csα=.
（2）f（α）=-cs（-1860°）=-cs（-60°）=.
題型五誘導公式的應用
策略方法求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求
【典例1】若，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角函數的誘導公式，即可求得答案.
【詳解】
故選：B
【題型訓練】
一、單選題
1．（2023·陜西西安·長安一中?？级＃┮阎?，則（）
A．B．C．-D．
【答案】A
【分析】因為，由誘導公式可得選項.
【詳解】.
故選：A.
2．（2023·陜西榆林·?？寄M預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】將看作一個整體，找到與其的關系，用誘導公式和倍角公式求解即可.
【詳解】設，則，且由已知，有，
∴，
其中，，
∴.故選：A.
3．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預測）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用三角函數誘導公式結合二倍角余弦公式，化簡求值，即得答案.
【詳解】由題意得
,
故選：B
4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據三角函數誘導公式以及二倍角的余弦公式化簡、求值，即可得答案.
【詳解】由于，
故，
故選：B．
5．（2023·四川雅安·統(tǒng)考三模）已知，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據角的變換及誘導公式將轉化，再利用二倍角的余弦公式即可求得答案.
【詳解】因為，
故，
故選：A
6．（2023·全國·高三專題練習）已知，若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用三角恒等變換可得出關于的二次方程，求出的取值范圍，求出的值，可求得角的值，代值計算可得出的值.
【詳解】因為，
所以，，
因為，則，所以，，
故，所以，，則，
故.
故選：C.
二、填空題
7．（2023·全國·高三專題練習）已知，則__________．
【答案】
【分析】由誘導公式有，即可得結果.
【詳解】由，
又.
故答案為：
8．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）已知，且，則_______．
【答案】/
【分析】整體法誘導公式結合同角三角函數關系求出答案.
【詳解】因為，所以，故，
所以.
。
故答案為：
9．（2023·全國·高三專題練習）已知0＜β＜，＜α＜，cs（﹣α）＝，sin（+β）＝，則sin（α+β）＝______
【答案】
【分析】由誘導公式、拼湊角，再結合兩角差的余弦得，得解．
【詳解】解：因為，
所以，所以，
又，所以，
所以
故答案為：
①“知一求二”問題
②已知tan α求sin α，cs α齊次式的值
③sin α±cs α與sin αcs α關系的應用
④誘導公式化簡與求值
⑤誘導公式的應用
各象限點坐標的符號
α
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
sinα

csα

tanα

基本思路
①分析結構特點，選擇恰當公式；
②利用公式化成單角三角函數；
③整理得最簡形式
化簡要求
①化簡過程是恒等變換；
②結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值

相關試卷

相關試卷更多

相關試卷

相關試卷 更多

相關試卷更多