1.理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系.了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，能結(jié)合實(shí)例進(jìn)行隨機(jī)事件的并、交運(yùn)算.
2.理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率.
3.理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則.
4.結(jié)合實(shí)例，會用頻率估計(jì)概率.
　　　　　　　　知識·逐點(diǎn)夯實(shí)
②對于給定的隨機(jī)事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn（A）隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P（A），因此可以用頻率fn（A）來估計(jì)概率P（A）.
（1）兩個(gè)事件的關(guān)系和運(yùn)算
③不可能事件的概率P（?）＝0.（3）互斥事件的概率加法公式：如果事件A與事件B互斥，那么P（A∪B）＝?　P（A）＋P（　?　　?；（4）對立事件的概率：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P（B）＝?　1－P（A）或P（A）＝1－P（　?　B　???。?.
（2）概率的幾個(gè)基本性質(zhì)
①概率的取值范圍：?　0≤P（A）≤1　?；
②必然事件的概率P（Ω）＝1；
P（A）或P（A）＝1－P（B）
（2）古典概型的概率公式
1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）
（1）兩個(gè)事件的和事件是指兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生.（　　）
（2）若A∪B是必然事件，則A與B是對立事件.（　　）
（3）擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個(gè)正面”“一正一反”“兩個(gè)反面”，這三個(gè)結(jié)果是等可能事件.（　?。?br/>2.（2022·全國甲卷）從分別寫有1，2，3，4，5，6的6張卡片中無放回隨機(jī)抽取2張，則抽到的2張卡片上的數(shù)字之積是4的倍數(shù)的概率為（　?。?br/>3.（多選）若n（n≥3）個(gè)人站成一排，其中不是互斥事件的是（　　）
解析：BCD　排頭只能有一人，因此“甲站排頭”與“乙站排頭”互斥，而B、C、D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同時(shí)發(fā)生，因此它們都不互斥.故選B、C、D.
4.李老師在某大學(xué)連續(xù)3年主講經(jīng)濟(jì)學(xué)院的高等數(shù)學(xué)，下表是李老師這門課3年來的考試成績分布：
經(jīng)濟(jì)學(xué)院一年級的學(xué)生王小明下學(xué)期將選修李老師的高等數(shù)學(xué)課，用已有的信息估計(jì)他得以下分?jǐn)?shù)的概率：
（1）90分及以上的概率：?　　　　?；?
答案：（1）0.07　
（2）不及格（60分及以上為及格）的概率：?　　　　?.?
5.從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且P（A）＝0.65，P（B）＝0.2，P（C）＝0.1，則事件“抽到的不是一等品”的概率為?　　　　?.?
解析：因?yàn)椤俺榈降牟皇且坏绕贰钡膶α⑹录恰俺榈降氖且坏绕贰?，且P（A）＝0.65，所以“抽到的不是一等品”的概率為1－0.65＝0.35.
　若事件A1，A2，…，An兩兩互斥，則P（A1∪A2∪…∪An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P（An）.
　某工廠有四條流水線生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，這四條流水線的產(chǎn)量分別占總產(chǎn)量的0.20，0.25，0.3，0.25，這四條流水線的合格率依次為0.95，0.96，0.97，0.98，從出廠產(chǎn)品中任取一件，則恰好抽到不合格的概率是?　　　　?.?
解析：由結(jié)論可知：P＝0.2×（1－0.95）＋0.25×（1－0.96）＋0.3×（1－0.97）＋0.25×（1－0.98）＝0.034.
【例1】?。?）（多選）某人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，設(shè)事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，則下列結(jié)論正確的是（　?。?br/>解析　（1）事件A＝“只有一次中靶”，B＝“兩次都中靶”，所以A，B是互斥不對立事件，所以A、D選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.A∪B＝“至少一次中靶”，C選項(xiàng)正確.
（2）（多選）將顏色分別為紅、綠、白、藍(lán)的4個(gè)小球隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一個(gè)，則下列說法正確的是（　?。?br/>｜解題技法｜事件關(guān)系判斷的策略（1）判斷事件的互斥、對立關(guān)系時(shí)一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對立事件，對立事件一定是互斥事件.反之互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的事件，但也可以同時(shí)不發(fā)生；對立事件是特殊的互斥事件，特殊在對立的兩個(gè)事件不可能都不發(fā)生，即有且僅有一個(gè)發(fā)生；（2）判斷事件的交、并關(guān)系時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考慮同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析.也可類比集合的關(guān)系和運(yùn)用Venn圖分析事件.
　口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)黑球，每個(gè)球編有不同的號碼，現(xiàn)從中取出3個(gè)球，則互斥而不對立的事件是（　?。?br/>解析：D　對于A，不互斥，如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至少有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以A不符合題意；對于B，至少有1個(gè)紅球與都是黑球不能同時(shí)發(fā)生，且必有其中1個(gè)發(fā)生.所以為互斥事件，且為對立事件，所以B不符合題意；對于C，不互斥.如取出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球，與至多有1個(gè)黑球不是互斥事件，所以C不符合題意；對于D，恰有1個(gè)紅球與恰有2個(gè)紅球不能同時(shí)發(fā)生，所以為互斥事件，但不對立，如恰有3個(gè)紅球.
【例2】　某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān).如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率.
（1）估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過300瓶的概率；
（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率.
｜解題技法｜1.頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值.2.利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會逐步趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率.
?。?020·全國Ⅰ卷）某廠接受了一項(xiàng)加工業(yè)務(wù)，加工出來的產(chǎn)品（單位：件）按標(biāo)準(zhǔn)分為A，B，C，D四個(gè)等級.加工業(yè)務(wù)約定：對于A級品、B級品、C級品，廠家每件分別收取加工費(fèi)90元，50元，20元；對于D級品，廠家每件要賠償原料損失費(fèi)50元.該廠有甲、乙兩個(gè)分廠可承接加工業(yè)務(wù).甲分廠加工成本費(fèi)為25元/件，乙分廠加工成本費(fèi)為20元/件.廠家為決定由哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)，在兩個(gè)分廠各試加工了100件這種產(chǎn)品，并統(tǒng)計(jì)了這些產(chǎn)品的等級，整理如下：
甲分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（1）分別估計(jì)甲、乙兩分廠加工出來的一件產(chǎn)品為A級品的概率；
乙分廠產(chǎn)品等級的頻數(shù)分布表
（2）分別求甲、乙兩分廠加工出來的100件產(chǎn)品的平均利潤，以平均利潤為依據(jù)，廠家應(yīng)選哪個(gè)分廠承接加工業(yè)務(wù)？
解：（2）由數(shù)據(jù)知甲分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
由數(shù)據(jù)知乙分廠加工出來的100件產(chǎn)品利潤的頻數(shù)分布表為
【例3】　（1）（2022·新高考Ⅰ卷）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（　?。?br/>（2）（2022·全國甲卷）從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為?　　　　?.?
2.求樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法（1）枚舉法：適合于給定的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的問題；（2）樹狀圖法：適用于需要分步完成的試驗(yàn)結(jié)果.樹狀圖在解決求樣本點(diǎn)總數(shù)和事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)的問題時(shí)直觀、方便，但畫樹狀圖時(shí)要注意按照一定的順序確定分枝，避免造成遺漏或重復(fù)；（3）排列、組合法：在求一些較復(fù)雜的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)時(shí)，可利用排列、組合的知識.
1.在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為（　?。?br/>2.（2022·全國乙卷）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為?　　　　?.?
互斥事件與對立事件的概率
【例4】　某商場有獎(jiǎng)銷售中，購滿100元商品得1張獎(jiǎng)券，多購多得.1 000張獎(jiǎng)券為一個(gè)開獎(jiǎng)單位，設(shè)特等獎(jiǎng)1個(gè)，一等獎(jiǎng)10個(gè)，二等獎(jiǎng)50個(gè).設(shè)1張獎(jiǎng)券中特等獎(jiǎng)、一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)的事件分別為A，B，C，求：
（1）1張獎(jiǎng)券的中獎(jiǎng)概率；
（2）1張獎(jiǎng)券不中特等獎(jiǎng)且不中一等獎(jiǎng)的概率.
｜解題技法｜互斥事件概率的兩種求法（1）將所求事件轉(zhuǎn)化成幾個(gè)彼此互斥事件的和事件，利用互斥事件概率的加法公式求解概率；（2）若將一個(gè)較復(fù)雜的事件轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和事件時(shí)分類太多，而其對立面的分類較少，可考慮先求其對立事件的概率，即運(yùn)用“正難則反”的思想.常用此方法求“至少”“至多”型事件的概率.
　經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲蓄所一個(gè)營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：
求：（1）至多2人排隊(duì)等候的概率；
解：記“無人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥.（1）記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A∪B∪C，所以P（G）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）至少3人排隊(duì)等候的概率.
解：（2）法一：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D∪E∪F，所以P（H）＝P（D∪E∪F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
2.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓.如圖是易經(jīng)先天八卦圖，每一卦由三根線組成（“?”表示一根陽線，“?”表示一根陰線），現(xiàn)從八卦中任取兩卦，這兩卦的陽線數(shù)目相同的概率為（　　）
3.從集合{1，2，4}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)a，從集合{2，4，5}中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)b，則向量m＝（a，b）與向量n＝（2，－1）垂直的概率為（　　）
4.“仁、義、禮、智、信”為儒家“五常”，由孔子提出“仁、義、禮”，孟子延伸為“仁、義、禮、智”，董仲舒擴(kuò)充為“仁、義、禮、智、信”.將“仁、義、禮、智、信”排成一排，則“仁”排在第一位，且“智、信”相鄰的概率為（　　）
5.（多選）下列說法正確的是（　?。?br/>解析：BCD　對于A，事件A與B互斥時(shí)，A∪B不一定是必然事件，故A錯(cuò)誤；對于B，事件E與F不會同時(shí)發(fā)生，所以E與F是互斥事件，但除了事件E與F之外還有事件“丙取到《紅樓夢》”“丁取到《紅樓夢》”，所以E與F不是對立事件，故E與F是互斥但不對立事件，故B正確；對于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，故C正確；對于D，樣本空間Ω＝{正品，次品}，含有2個(gè)樣本點(diǎn)，故D正確.
6.某城市2022年的空氣質(zhì)量狀況如下表所示：
其中污染指數(shù)T≤50時(shí)，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時(shí)，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時(shí)，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2022年空氣質(zhì)量達(dá)到良或優(yōu)的概率為?　　　　?.?
7.將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，兩數(shù)中至少有一個(gè)奇數(shù)的概率為?　　　　?；以第一次向上的點(diǎn)數(shù)為橫坐標(biāo)x，第二次向上的點(diǎn)數(shù)為縱坐標(biāo)y的點(diǎn)（x，y）在圓x2＋y2＝15的內(nèi)部的概率為?　　　　?.?
8.從（3x＋1）5的展開式各項(xiàng)的系數(shù)中任取兩個(gè)，其和為奇數(shù)的概率是?　　　　?.?
9.在二行四列的方格棋盤上沿骰子的某條棱翻動骰子（相對面上分別標(biāo)有1點(diǎn)和6點(diǎn)，2點(diǎn)和5點(diǎn)，3點(diǎn)和4點(diǎn)）.開始時(shí)，骰子如圖（1）那樣擺放，朝上的點(diǎn)數(shù)是2，最后翻動到如圖（2）所示位置.現(xiàn)要求翻動次數(shù)最少，則最后骰子朝上的點(diǎn)數(shù)為1的概率為?　　　　?.?
10.隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對某市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：
（1）在4月份任取一天，估計(jì)該市在該天不下雨的概率；
（2）該市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)晴天開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動會，估計(jì)運(yùn)動會期間不下雨的概率.
11.現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名義工到A，B，C三個(gè)不同的社區(qū)參加公益活動.若每個(gè)社區(qū)至少分一名義工，則甲單獨(dú)被分到A社區(qū)的概率為（　?。?br/>12.某學(xué)校成立了數(shù)學(xué)、英語、音樂3個(gè)課外興趣小組，3個(gè)小組分別有39，32，33名成員，一些成員參加了不止一個(gè)小組，具體情況如圖所示.現(xiàn)隨機(jī)選取一名成員，則他至少參加2個(gè)小組的概率為?　　　　?，他至多參加2個(gè)小組的概率為?　　　　?.?
14.某市A，B兩所中學(xué)的學(xué)生組隊(duì)參加辯論賽，A中學(xué)推薦了3名男生、2名女生，B中學(xué)推薦了3名男生、4名女生，兩校所推薦的學(xué)生一起參加集訓(xùn).由于集訓(xùn)后隊(duì)員水平相當(dāng)，從參加集訓(xùn)的男生中隨機(jī)抽取3人、女生中隨機(jī)抽取3人組成代表隊(duì).
（1）求A中學(xué)至少有1名學(xué)生入選代表隊(duì)的概率；
（2）某場比賽前，從代表隊(duì)的6名隊(duì)員中隨機(jī)抽取4人參賽，求參賽女生人數(shù)不少于2人的概率.
15.某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為A配方和B配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到下面試驗(yàn)結(jié)果：
（1）分別估計(jì)用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；
利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品中每件產(chǎn)品的平均利潤.

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