第08講函數(shù)的基本性質(zhì)Ⅱ-奇偶性、周期性和對(duì)稱性（精講）-【一輪復(fù)習(xí)講義】2025年高考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)題型歸納與方法總結(jié)（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型目錄一覽
一、知識(shí)點(diǎn)梳理
1.函數(shù)的奇偶性
注意：由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)前提條件是：對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)，也在定義域內(nèi)(即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱)．
2.函數(shù)的對(duì)稱性
(1)若函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．
(2)若函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
(3)若，則函數(shù)關(guān)于對(duì)稱．
(4)若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．
3.函數(shù)的周期性
（1）周期函數(shù)：對(duì)于函數(shù)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱為這個(gè)函數(shù)的周期.
（2）最小正周期：如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么稱這個(gè)最小整數(shù)叫做的最小正周期.
【常用結(jié)論】
1.奇偶性技巧
（1）若奇函數(shù)在處有意義，則有；
（2）對(duì)于運(yùn)算函數(shù)有如下結(jié)論：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶.
(3)常見奇偶性函數(shù)模型
奇函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)或函數(shù)． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)．
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)或函數(shù)
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④函數(shù)或函數(shù)．
注意：關(guān)于 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①式，可以寫成函數(shù)或函數(shù)．
偶函數(shù)： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①函數(shù)． = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②函數(shù)． = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③函數(shù)類型的一切函數(shù)．
2.周期性技巧
3.函數(shù)的的對(duì)稱性與周期性的關(guān)系
（1）若函數(shù)有兩條對(duì)稱軸，，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（2）若函數(shù)的圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且；
（3）若函數(shù)有一條對(duì)稱軸和一個(gè)對(duì)稱中心，則函數(shù)是周期函數(shù)，且.
4.對(duì)稱性技巧
（1）若函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則．
（2）若函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則．
（3）函數(shù)與關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
二、題型分類精講
真題刷刷刷
一、單選題
1．（2021·全國(guó)·高考真題）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于B，為上的減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于C，在為減函數(shù)，不合題意，舍.
對(duì)于D，為上的增函數(shù)，符合題意，
故選：D.
2．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分別求出選項(xiàng)的函數(shù)解析式，再利用奇函數(shù)的定義即可.
【詳解】由題意可得，
對(duì)于A，不是奇函數(shù)；
對(duì)于B，是奇函數(shù)；
對(duì)于C，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù)；
對(duì)于D，，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不是奇函數(shù).
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查奇函數(shù)定義，考查學(xué)生對(duì)概念的理解，是一道容易題.
3．（2021·全國(guó)·高考真題）設(shè)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且.若，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.
【詳解】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查了函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.
4．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)，則圖象為如圖的函數(shù)可能是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由函數(shù)的奇偶性可排除A、B，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性可判斷C，即可得解.
【詳解】對(duì)于A，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除A；
對(duì)于B，，該函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與函數(shù)圖象不符，排除B；
對(duì)于C，，則，
當(dāng)時(shí)，，與圖象不符，排除C.
故選：D.
5．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）如圖是下列四個(gè)函數(shù)中的某個(gè)函數(shù)在區(qū)間的大致圖像，則該函數(shù)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由函數(shù)圖像的特征結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)排除即可得解.
【詳解】設(shè)，則，故排除B;
設(shè)，當(dāng)時(shí)，，
所以，故排除C;
設(shè)，則，故排除D.
故選：A.
6．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，
所以，，即，
故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，
故，其它三個(gè)選項(xiàng)未知.
故選：B.
7．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個(gè)周期為，求出函數(shù)一個(gè)周期中的的值，即可解出．
【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)
因?yàn)?，令可得，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個(gè)周期為．因?yàn)椋?，，，，所?br>一個(gè)周期內(nèi)的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)
由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式
，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【整體點(diǎn)評(píng)】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡(jiǎn)化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解.
8．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)對(duì)稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.
【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
因?yàn)椋?，即?br>因?yàn)椋裕?br>代入得，即，
所以，
.
因?yàn)椋裕矗?
因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?br>聯(lián)立得，，
所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，
所以
因?yàn)?，所?
所以.
故選：D
【點(diǎn)睛】含有對(duì)稱軸或?qū)ΨQ中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據(jù)已知條件進(jìn)行恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，然后得到所需的一些數(shù)值或關(guān)系式從而解題.
9．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．若，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．
【詳解】[方法一]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)?，所以?br>令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；
因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因?yàn)椋裕?br>令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個(gè)對(duì)稱性可知，函數(shù)的周期．
所以．
故選：D．
【點(diǎn)睛】在解決函數(shù)性質(zhì)類問題的時(shí)候，我們通常可以借助一些二級(jí)結(jié)論，求出其周期性進(jìn)而達(dá)到簡(jiǎn)便計(jì)算的效果．
二、多選題
10．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對(duì)稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】[方法一]：對(duì)稱性和周期性的關(guān)系研究
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，則，故C正確；
對(duì)于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對(duì)稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對(duì)稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.
由方法一知周期為2，關(guān)于對(duì)稱，故可設(shè)，則，顯然A，D錯(cuò)誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因?yàn)椋鶠榕己瘮?shù)，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數(shù)，的圖象分別關(guān)于直線對(duì)稱，
又，且函數(shù)可導(dǎo)，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯(cuò)誤；
若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯(cuò)誤.
故選：BC.
【點(diǎn)評(píng)】方法一：根據(jù)題意賦值變換得到函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷各選項(xiàng)的真假，轉(zhuǎn)化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據(jù)題意得出的性質(zhì)構(gòu)造特殊函數(shù)，再驗(yàn)證選項(xiàng)，簡(jiǎn)單明了，是該題的最優(yōu)解．
三、填空題
11．（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_______．
①；②當(dāng)時(shí)，；③是奇函數(shù)．
【答案】（答案不唯一，均滿足）
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的.
【詳解】取，則，滿足①，
，時(shí)有，滿足②，
的定義域?yàn)椋?br>又，故是奇函數(shù)，滿足③.
故答案為：（答案不唯一，均滿足）
四、雙空題
12．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若是奇函數(shù)，則_____，______．
【答案】；．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義即可求出．
【詳解】[方法一]：奇函數(shù)定義域的對(duì)稱性
若，則的定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
若奇函數(shù)的有意義，則且
且，
函數(shù)為奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
，解得，
由得，，
，
故答案為：；．
[方法二]：函數(shù)的奇偶性求參
函數(shù)為奇函數(shù)
[方法三]：
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．
由可得，，所以，解得：，即函數(shù)的定義域?yàn)?，再由可得，．即，在定義域內(nèi)滿足，符合題意．
故答案為：；．
題型一函數(shù)的奇偶性
策略方法判斷函數(shù)奇偶性的方法
(1)定義法：
(2)圖象法：
(3)性質(zhì)法：
在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
【典例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)偶函數(shù)
(2)奇函數(shù)
(3)奇函數(shù)
(4)非奇非偶函數(shù)
【分析】（1）利用偶函數(shù)的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；
（2）利用奇函數(shù)的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；
（3）利用奇函數(shù)的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；
（4）利用反例可判斷該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).
【詳解】（1）的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，故為偶函數(shù).
（2）的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，故為奇函數(shù).
（3）的定義域?yàn)?，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.
，故為奇函數(shù).
（4），
故，故為非奇非偶函數(shù).
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．函數(shù)的奇偶性是（）
A．是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)
B．是偶函數(shù)，不是奇函數(shù)
C．既是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)
D．非奇非偶函數(shù)
【答案】A
【分析】由奇偶性定義直接判斷即可.
【詳解】的定義域?yàn)?，?br>是奇函數(shù)，不是偶函數(shù).
故選：A.
2．已知奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由得，代入得，根據(jù)奇函數(shù)即可求解.
【詳解】當(dāng)，則，則，
又為奇函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，.
故選：A.
3．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）
A．2B．1C．0D．
【答案】C
【分析】由為奇函數(shù)求得，即可由分段函數(shù)求值.
【詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)，則，∴，
∴，.
故選：C.
4．函數(shù)的部分圖象大致為（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性排除AB，再由特殊值排除D即可得解.
【詳解】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，排除AB，
當(dāng)時(shí)，，排除D.
故選：C
二、填空題
5．函數(shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則時(shí)，___________．
【答案】
【分析】由偶函數(shù)的定義求解．
【詳解】時(shí)，，是偶函數(shù)，
∴，
故答案為：．
6．，若，則__________.
【答案】4
【分析】令，可得為奇函數(shù)，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解.
【詳解】令，則，為奇函數(shù)，
由，解得，所以.
所以.
故答案為：4.
7．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的解集是__________.
【答案】
【分析】利用奇偶性求出函數(shù)的解析式，分類討論即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，
因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，
要解不等式，只需或或，
解得或或，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：.
三、解答題
8．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)解析式；
(2)判斷函數(shù)的奇偶性并加以證明
【答案】(1)
(2)奇函數(shù)，證明見解析
【分析】（1）利用換元法，令，得，從而可得；
（2）先求函數(shù)定義域，利用奇偶性的定義進(jìn)行證明.
【詳解】（1）令，則，則，
所以.
（2）奇函數(shù)；
證明：定義域?yàn)?，因?yàn)椋?br>所以為奇函數(shù).
9．已知函數(shù)．
(1)求的值；
(2)令，求證：為奇函數(shù)；
(3)若銳角滿足，求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）將和分別代入解析式求解即可；
（2）根據(jù)奇偶性的定義證明即可；
（3）根據(jù)奇偶性將不等式化為，利用單調(diào)性定義可證得為上的增函數(shù)，由此可得，結(jié)合三角函數(shù)知識(shí)可求得結(jié)果.
【詳解】（1），，.
（2），則的定義域?yàn)椋?br>，為奇函數(shù).
（3）由得：；
，
設(shè)，則，
為上的增函數(shù)，，即，
又，.
題型二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
策略方法已知函數(shù)奇偶性可以解決的三個(gè)問題
【典例1】若函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．5D．7
【答案】C
【分析】求出時(shí)的解析式后，代入可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，
所以.
故選：C
【典例2】若函數(shù)是偶函數(shù)，則、的值是（）
A．B．不能確定，
C．，不能確定D．
【答案】D
【分析】根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求得，再根據(jù)，求得的值，即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，
可得，解得，即，
又由，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，
解得.故選：D.
【典例3】偶函數(shù)滿足：，且在區(qū)間與上分別遞減和遞增，使的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題中所給條件，可畫出符合全部條件的函數(shù)圖象輔助做題.
【詳解】根據(jù)題目條件，想象函數(shù)圖象如下:
因?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，所以，
所以當(dāng)和時(shí)，，
故選：B.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）
A．1B．2C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可得，計(jì)算可得，經(jīng)檢驗(yàn)均符合題意，即可得解.
【詳解】由為奇函數(shù)，
所以，
所以，可得，
解得，
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，符合題意，
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)榉项}意，
故選：D
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.
【詳解】由已知得，當(dāng)時(shí)，則，即，，
∵為偶函數(shù)，∴，即，
∴，，∴，
故選：.
3．（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．＋1D．
【答案】B
【分析】由定義在上的奇函數(shù)有，求出的值，再由可得出答案.
【詳解】函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，解得
故選：B
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)偶函數(shù)及單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】由題意，，則或.故選:D.
5．（2023春·貴州黔東南·高三校考階段練習(xí)）已知偶函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解集是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用偶函數(shù)的對(duì)稱性可得，即可求解集.
【詳解】由偶函數(shù)的對(duì)稱性知：在上遞增，則在上遞減，
所以，故，可得，
所以不等式解集為.
故選：D
6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·湖南師大附中校考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依題意作函數(shù)圖像，根據(jù)單調(diào)性和奇偶性求解.
【詳解】依題意，函數(shù)的大致圖像如下圖：
因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，
所以在上單調(diào)遞增，且，
則當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
不等式化為或，
所以或或，
解得或或，即或，
即原不等式的解集為；故選：C.
二、多選題
7．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上是偶函數(shù)，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，且，則（）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性直接求解.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，又，且，
故此函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)．
由已知條件及偶函數(shù)性質(zhì)，知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)．
對(duì)于A，，故，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，故，故B正確；
對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確．
故選:BD.
8．（2023·山東菏澤·山東省東明縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，且對(duì)，恒成立，則（）
A．為奇函數(shù)B．C．D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)函數(shù)定義換算可得為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)和奇函數(shù)性質(zhì)可知為周期函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)周期性和函數(shù)特殊值即可得出選項(xiàng).
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，故
又，所以，故，
所以，為偶函數(shù)，A錯(cuò)誤；
為奇函數(shù)，所以，，
所以，B正確；
，又的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，
所以，C正確；
又，所以是以4為周期的函數(shù)，
，D正確．
故選：BCD．
三、填空題
9．（2023·廣東潮州·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為______.
【答案】
【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)可得出，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算可得出實(shí)數(shù)的值.
【詳解】對(duì)于函數(shù)，，解得或，
所以，函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，
即，解得.
故答案為：.
10．（2023·河南周口·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為______.
【答案】
【分析】由題意和偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，結(jié)合，分類討論當(dāng)、時(shí)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減
所以在上為增函數(shù)，
由，得，
，當(dāng)時(shí)，，
有，解得；
當(dāng)時(shí)，，
有，解得，
綜上，不等式的解集為.
故答案為：.
11．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在上的函數(shù)，滿足為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，若，則__________.
【答案】1
【分析】根據(jù)為偶函數(shù)、為奇函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法可得答案.
【詳解】若為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，
則，，
令，則，即，
令，則，即，
又因?yàn)?，所?
故答案為：1.
12．（2023春·福建廈門·高三廈門一中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域?yàn)?，若為奇函?shù)，且，則_________.
【答案】
【分析】推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，計(jì)算出的值，結(jié)合以及周期性可求得的值.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，
所以，，
在等式中，令，可得，解得，
又因?yàn)?，則，①
所以，，②
由①②可得，即，
所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的周期為，
所以，.
故答案為：.
題型三函數(shù)的周期性
策略方法函數(shù)周期性的判斷與應(yīng)用
【典例1】若函數(shù)滿足，則可以是（）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)周期函數(shù)的定義，結(jié)合特例法進(jìn)行判斷求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的周期為.
A：因?yàn)椋?br>所以，因此函數(shù)的周期不可能，本選項(xiàng)不符合題意；
B：因?yàn)椋?br>所以，因此函數(shù)的周期不可能，本選項(xiàng)不符合題意；
C：該函數(shù)的最小正周期為：，因此函數(shù)的周期不可能，本選項(xiàng)不符合題意；
D：該函數(shù)的最小正周期為：，因此本選項(xiàng)符合題意，
故選：D
【典例2】若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)為的奇函數(shù)和滿足，得到函數(shù)，再結(jié)合求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為的奇函數(shù)，
所以，
又滿足，
所以，即，
所以，即，
因?yàn)?，?br>所以，，
所以
故選：D
【典例3】已知定義在上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根已知條件求出的周期，根據(jù)周期性以及奇函數(shù)，結(jié)合已知條件即可求解.
【詳解】因?yàn)闈M足，所以，
所以是周期為的函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，所以，
又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
，
故選：D.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，，則（）
A．0B．C．2D．1
【答案】B
【分析】通過已知計(jì)算得出函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，則，根據(jù)已知得出，即可得出答案.
【詳解】函數(shù)是定義在R上奇函數(shù)，且，
，
，
則函數(shù)是周期為8的周期函數(shù)，
則，
令，則，
，
故選：B.
2．（2023·江西南昌·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知定義在上的函數(shù)滿足，為奇函數(shù)，則（）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由題意推出函數(shù)的周期以及滿足等式，賦值求得，利用函數(shù)的周期性即可求得答案.
【詳解】因?yàn)椋?，所以的周期?，
又為奇函數(shù)，所以，所以，
令，得，所以,
所以，
故選：C.
3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，且周期為3，又，則的值是（）
A．2023B．2022C．D．1
【答案】D
【分析】利用的周期，根據(jù)函數(shù)的奇偶性和已知函數(shù)值，結(jié)合題意，求解即可.
【詳解】因?yàn)榈闹芷跒椋?br>又，則；
，則；
因?yàn)楹瘮?shù)在上的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
所以為偶函數(shù)，
故，則；
故.
故選：D.
4．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)滿足，且是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）
A．B．3C．D．
【答案】B
【分析】由函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性，得到函數(shù)的周期，利用周期和指數(shù)式的運(yùn)算規(guī)則求函數(shù)值.
【詳解】由是偶函數(shù)，得，令，則．
由，令，則，
則有，即，所以函數(shù)周期為4．
因?yàn)?，則有，
所以．
故選：B
二、多選題
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋加?，且，則下列結(jié)論正確的是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】由，都有，得出函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，再利用周期性逐一選項(xiàng)分析即可.
【詳解】由得，
則，
故，
所以，
所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).
對(duì)于A,A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,，B正確；
對(duì)于C,，
所以，C正確；
對(duì)于D,，
所以，D正確.
故選：BCD.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知偶函數(shù)滿足，下列說法正確的是（）
A．函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)
B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)
C．函數(shù)為偶函數(shù)
D．函數(shù)為偶函數(shù)
【答案】BC
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和周期性確定正確選項(xiàng).
【詳解】依題意是偶函數(shù)，且，
，所以A錯(cuò)誤.
，所以B正確.
，所以函數(shù)為偶函數(shù)，C正確.
若是偶函數(shù)，則，則函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，這與上述分析矛盾，所以不是偶函數(shù).D錯(cuò)誤.
故選：BC
三、填空題
7．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）是以2為周期的函數(shù)，若時(shí)，，則________．
【答案】
【分析】直接根據(jù)函數(shù)的周期性求解即可.
【詳解】因?yàn)槭且?為周期的函數(shù)，若時(shí)，，
所以.
故答案為：.
8．（2023·安徽合肥·二模）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則________．
【答案】2
【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.
【詳解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函數(shù)的周期為.
因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，
所以，即.
令，則，解得，
所以.
故答案為：.
9．（2023秋·江西南昌·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，若，則的最小值為__________.
【答案】
【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的周期為，再利用周期得到，最后利用基本不等式即可求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，所以函數(shù)的周期為，
又因?yàn)椋裕?br>因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則有，
所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào).故答案為：.
四、解答題
10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，對(duì)任意，，都有，且．
(1)求f；
(2)證明是周期函數(shù)；
(3)記，求．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題意可得、，結(jié)合即可求解；
（2）根據(jù)抽象函數(shù)的對(duì)稱性和奇偶性可得，即可得出結(jié)果；
（3）由（1）可得，結(jié)合和周期為2，即可求解.
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)任意的，都有，
所以，
又，
，，
∴.
（2）設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱，故，
即，又是偶函數(shù)，
所以，
∴，將上式中以代換，
得，
則是R上的周期函數(shù)，且2是它的一個(gè)周期．
（3）由（1）知，
∵
，
又，∴.
∵的一個(gè)周期是2，
∴，因此．
題型四函數(shù)的對(duì)稱性
策略方法函數(shù)圖象的對(duì)稱性的判斷與應(yīng)用
【典例1】已知二次函數(shù)滿足，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由題意可知，對(duì)稱軸為，又為二次函數(shù)以及已知條件可得的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由已知，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，所以有.
又，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，由，以及在上單調(diào)遞增，可得；
當(dāng)時(shí)，由，可得，
又在上單調(diào)遞減，所以.
所以，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
【典例2】函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】分析可知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可得出，，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，則，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
因?yàn)椋?，且?br>因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以，，即.
故選：B.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)的圖象中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、正切函數(shù)和冪函數(shù)圖象可得結(jié)論.
【詳解】對(duì)于A，圖象關(guān)于、坐標(biāo)原點(diǎn)分別成軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，A正確；
對(duì)于B，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但無對(duì)稱中心，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，但無對(duì)稱軸，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱，但無對(duì)稱軸，D錯(cuò)誤.
故選：A.
2．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若的偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋以谏鲜菧p函數(shù)，則與得大小關(guān)系是
A．B．C．D．不能確定
【答案】A
【分析】由題意可得，且，即可得到所求大小關(guān)系．
【詳解】是偶函數(shù)，其定義域?yàn)椋以?，上是減函數(shù)，則，且，則，故選．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用：比較大小，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
3．（2023·四川南充·四川省南部中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，則（）
A．B．C．2022D．2023
【答案】D
【分析】利用抽象函數(shù)的軸對(duì)稱與中心對(duì)稱性的性質(zhì)，得出函數(shù)的對(duì)稱軸和中心對(duì)稱點(diǎn)及周期，利用相關(guān)性質(zhì)得出具體函數(shù)值，即可得出結(jié)果.
【詳解】∵，∴關(guān)于對(duì)稱，
∵為奇函數(shù)，∴由平移可得關(guān)于對(duì)稱，且，
，即

上兩式比較可得
∴函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù).，，
∴， ∴.
故選：D.
二、多選題
4．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（）
A．的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱B．的圖象關(guān)于軸對(duì)稱
C．的最大值為1D．在定義域上單調(diào)遞減
【答案】AD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可判斷AB；分離常數(shù)求出值域可判斷C；分離常數(shù)后判斷單調(diào)性可判斷D.
【詳解】因?yàn)?，所以為奇函?shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
因?yàn)?，，，所以不是偶函?shù)，圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，故不B正確；
因?yàn)?，又，所以，所以?br>所以，故C不正確；
因?yàn)?，且為增函?shù)，所以在定義域上單調(diào)遞減，故D正確.
故選：AD
5．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)（3，0）對(duì)稱，則下列說法正確的是（）
A．4是f（x）的周期B．
C．D．
【答案】AC
【分析】首先利用軸對(duì)稱、中心對(duì)稱的公式，化簡(jiǎn)條件，然后利用賦值法即可求解.
【詳解】關(guān)于對(duì)稱，則有，令，
可得，令，得①.又的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，可得②，
聯(lián)立①②，可得，故A正確；，令得，故C正確.
對(duì)于BD，例如，該函數(shù)符合AC，但是代入BD條件時(shí)，均不滿足，故BD錯(cuò)誤.
故選：AC
三、填空題
6．（2023春·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：，且.請(qǐng)寫出符合條件的一個(gè)函數(shù)的解析式______.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)已知，且得出對(duì)稱軸和對(duì)稱中心，確定一個(gè)具體函數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)?得出對(duì)稱中心，且得出對(duì)稱軸為軸，且周期為4的函數(shù)都可以.
故答案為：
7．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，若的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則_________.
【答案】1
【分析】利用賦值法結(jié)合所給已知條件即可解決問題.
【詳解】因?yàn)椋?令
所以，
所以，
又的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，
所以，
令，
則，
即，
所以.
故答案為：1.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知二次函數(shù)（a，b為常數(shù)）滿足，且方程有兩等根，在上的最大值為，則的最大值為__________.
【答案】1
【分析】由有兩等根，可得得，由可得為對(duì)稱軸，可得，則可得到的解析式，對(duì)分類討論，利用函數(shù)單調(diào)性可得的最大值.
【詳解】解：已知方程有兩等根，即有兩等根，
，解得；
，得，是函數(shù)圖象的對(duì)稱軸.
而此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線，，
故，
若在上的最大值為，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，，
綜上，的最大值為1.
故答案為：1.
四、解答題
9．（教材習(xí)題全解第三章函數(shù)的概念與性質(zhì)3.2函數(shù)的基本性質(zhì)）我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).
（1）求函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（2）類比上述推廣結(jié)論，寫出“函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù)”的一個(gè)推廣結(jié)論.
【答案】（1）；（2）見解析
【解析】（1）將函數(shù)的解析式經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃危贸?，?gòu)造函數(shù)，利用奇偶性的定義證明為奇函數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件即可得出函數(shù)圖象的對(duì)稱中心；
（2）將“函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形”，類比為“函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形”，再將“函數(shù)為奇函數(shù)”，類比為“函數(shù)為偶函數(shù)”，即可寫出結(jié)論.
【詳解】解：（1）.
設(shè)，則.
為奇函數(shù).
的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
即的圖象的對(duì)稱中心是點(diǎn).
（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為偶函數(shù).
【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)奇偶性的證明以及函數(shù)的對(duì)稱性，屬于中檔題.
題型五函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
【典例1】若的定義域?yàn)?，且滿足為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，則下列說法正確的個(gè)數(shù)是（）
①的一個(gè)周期為4
②
③圖象的一條對(duì)稱軸為
④
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合奇偶函數(shù)的定義，可得，由此推理計(jì)算即可判斷各命題作答.
【詳解】的定義域?yàn)?，由為偶函?shù)，得，即，
由圖象關(guān)于成中心對(duì)稱，得，于是，
則，因此函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，①正確；
由，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，因此圖象的一條對(duì)稱軸為，③正確；
由，得，則，，即，
因此，④正確；
而，則② 錯(cuò)誤，
所以正確說法的個(gè)數(shù)是3，C正確.
故選：C
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，
(1)存在常數(shù)a，b使得，則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
(2)存在常數(shù)a使得，則函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱.
【題型訓(xùn)練】
一、單選題
1．（河南省豫南名校2023屆高三下學(xué)期四月聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題）已知定義在上的函數(shù)滿足，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，則（）
A．B．5055
C．D．1011
【答案】A
【分析】由題意可通過換元法將已知條件函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱性推導(dǎo)出函數(shù)的周期性，再由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，可得根據(jù)函數(shù)周期性即可解得的值.
【詳解】由題知在內(nèi)單調(diào)，且時(shí)，有，由此可知，
當(dāng) 時(shí). ，得 ,
且在內(nèi)單調(diào)，可得
，令, 則 .又，
故 . 令. 則的周期為 4 .
當(dāng) 趨于0時(shí)，有 . 故，
有，
，
根據(jù)的周期性可知，
，
由，
故
.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：由奇函數(shù)性質(zhì)，以及對(duì)稱性性質(zhì)推出函數(shù)周期是解題的必要步驟，再由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且，用特值法得出的值為難點(diǎn)，本題考查的是函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于較難題.
2．（湖南省衡陽市2022屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題）定義在上的奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列結(jié)論正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)奇函數(shù)滿足為偶函數(shù)可知是一個(gè)周期函數(shù)，根據(jù)可判斷單調(diào)性，利用周期性將自變量都轉(zhuǎn)化到上，再利用單調(diào)性即可得大小關(guān)系.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù),所以滿足,又因?yàn)槭瞧婧瘮?shù),所以故
因此即是以4為周期的周期函數(shù).
，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在單調(diào)遞增.所以
故選：A
3．（四川省遂寧市2023屆高三三診考試數(shù)學(xué)（理）試題）函數(shù)的圖像大致為（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性即可排除CD，由特殊點(diǎn)的函數(shù)值即可排除A.
【詳解】，則的定義域?yàn)镽，
又，
所以為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除CD，
當(dāng)時(shí)，，故排除A.
故選：B.
4．（2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）定義在上函數(shù)滿足，.當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)能使成立的為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由已知可得出函數(shù)的對(duì)稱性以及函數(shù)的周期為4.進(jìn)而根據(jù)對(duì)稱性可求出在以及上的解析式，作出函數(shù)圖象，即可得出的解集.分別令取，即可得出答案.
【詳解】因?yàn)?，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以；
又，所以，所以有，故關(guān)于直線對(duì)稱，所以.
所以，，所以有，所以，
所以的周期為4.
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以時(shí)，.
當(dāng)時(shí)，，所以.
作出函數(shù)在上的圖象如下圖
當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以；
當(dāng)時(shí)，由可得，，解得，所以.
根據(jù)圖象可得時(shí)，的解集為.
又因?yàn)榈闹芷跒?，
所以在實(shí)數(shù)集上的解集為.
令，可得區(qū)間為；令，可得區(qū)間為，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為；令，可得區(qū)間為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
令，可得區(qū)間為，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
二、多選題
5．（2023·安徽亳州·高三校考階段練習(xí)）定義在上的函數(shù)滿足，，若，其中為正整數(shù)，則（）
A．2是的一個(gè)周期B．
C．的圖象關(guān)于對(duì)稱D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)題意推得，即，可判定A不正確；令，求得，推得，可判定C正確；根據(jù)，可判定B正確；由函數(shù)的對(duì)稱性與周期性求得，結(jié)合函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，可判定D正確．
【詳解】因?yàn)?，，所以?br>所以，即，
所以是周期為4的周期函數(shù)，所以A不正確；
在中，令，得，則，
因?yàn)?，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以C正確；
因?yàn)椋裕?br>所以，所以B正確；
由函數(shù)的對(duì)稱性與周期性可得，
因?yàn)?，即?br>所以，
則，
結(jié)合函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，可得，所以D正確．
故選：BCD.
6．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)、的定義域均為，為偶函數(shù)，且，，下列說法正確的有（）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱
C．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)D．函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)
【答案】BC
【分析】利用題中等式以及函數(shù)的對(duì)稱性、周期性的定義逐項(xiàng)推導(dǎo)，可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以．
由，可得，可得，
所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，因?yàn)?，則，
又因?yàn)椋傻茫?br>所以，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，且，
則，從而，則，
所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，C對(duì)；
對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，且，?br>又因?yàn)椋?，?br>又因?yàn)椋瑒t，所以，，
故，因此，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，D錯(cuò).
故選：BC.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：對(duì)稱性與周期性之間的常用結(jié)論：
（1）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（2）若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為；
（3）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)的周期為.
三、填空題
7．（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）為滿足人民對(duì)美好生活的向往，環(huán)保部門要求相關(guān)企業(yè)加強(qiáng)污水治理，排放未達(dá)標(biāo)的企業(yè)要限期整改，設(shè)企業(yè)的污水排放量W與時(shí)間t的關(guān)系為，用的大小評(píng)價(jià)在這段時(shí)間內(nèi)企業(yè)污水治理能力的強(qiáng)弱，已知整改期內(nèi)，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量與時(shí)間的關(guān)系如下圖所示.
給出下列四個(gè)結(jié)論：
①在這段時(shí)間內(nèi)，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
②在時(shí)刻，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；
③在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放都已達(dá)標(biāo)；
④甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，在的污水治理能力最強(qiáng)．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____________________．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)定義逐一判斷，即可得到結(jié)果
【詳解】表示區(qū)間端點(diǎn)連線斜率的負(fù)數(shù)，
在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數(shù)比乙的大，因此甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；①正確；
甲企業(yè)在這三段時(shí)間中，甲企業(yè)在這段時(shí)間內(nèi)，甲的斜率最小，其相反數(shù)最大，即在的污水治理能力最強(qiáng)．④錯(cuò)誤；
在時(shí)刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數(shù)比乙的大，甲企業(yè)的污水治理能力比乙企業(yè)強(qiáng)；②正確；
在時(shí)刻，甲、乙兩企業(yè)的污水排放量都在污水打標(biāo)排放量以下，所以都已達(dá)標(biāo)；③正確；
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】本題考查斜率應(yīng)用、切線斜率應(yīng)用、函數(shù)圖象應(yīng)用，考查基本分析識(shí)別能力，屬中檔題.
8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知R上的偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且恒有成立，給出下列判斷：①；②在上是增函數(shù)；③的圖象關(guān)與直線對(duì)稱；④函數(shù)在處取得最小值；⑤函數(shù)沒有最大值，其中判斷正確的序號(hào)是______ ．
【答案】①④
【分析】由可得函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合偶函數(shù)可得
是周期函數(shù)，再逐一分析各個(gè)命題判斷作答.
【詳解】由恒成立知，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
又是偶函數(shù)，由得，
則有，即，因此，是周期為4的周期函數(shù)，
對(duì)于①，在中，當(dāng)時(shí)，，則，①正確；
對(duì)于②，是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞減，而的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，
所以在上是減函數(shù)，②不正確；
對(duì)于③，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，③不正確；
對(duì)于④，由①②的信息知，在上單調(diào)遞減，由是偶函數(shù)知，在上單調(diào)遞增，
由周期是4知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得最小值，④正確；
對(duì)于⑤，由④的信息知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，⑤不正確.
故答案為：①④
【點(diǎn)睛】論點(diǎn)睛：函數(shù)的定義域?yàn)镈，，存在常數(shù)a，b使得，
則函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.
①函數(shù)的奇偶性
②函數(shù)奇偶性的應(yīng)用
③函數(shù)的周期性
④函數(shù)的對(duì)稱性
⑤函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用
奇偶性
定義
圖象特點(diǎn)
偶函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)
關(guān)于軸對(duì)稱
奇函數(shù)
如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù)
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

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