1．下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若x＞y，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．x﹣y＜0D．
3．分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠﹣1D．x≠0
4．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，則BE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
6．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角是80°，則這個(gè)等腰三角形的底角是（ ）
A．50°B．20°C．50°或80°D．20°或80°
7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A（1，4）（5，0），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（5，4）B．（6，4）C．（6，5）D．（5，6）
8．某業(yè)主貸款9萬元購進(jìn)一臺機(jī)器生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品．已知甲產(chǎn)品的銷售凈利潤是每個(gè)5元，乙產(chǎn)品的銷售凈利潤是每個(gè)6元，設(shè)銷售x套能賺回這臺機(jī)器的貸款，則x滿足的關(guān)系是（ ）
A．2×5x+6x≥90000B．2×5x+6x≤90000
C．2（5x+6x）≥90000D．2（5x+6x）≤90000
二、填空題
9．將3m2﹣12因式分解為 ．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（1，﹣2）先向右平移2個(gè)單位長度，則所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是 ．
11．如圖，△ABC的周長為15cm，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，若AE＝2cm，則△ABD的周長為 cm．
12．如果關(guān)于x的不等式x＜a+5的解集與x＜2的解集相同，則a的值為 ．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，BC＝7，則DE長為 ．
三、解答題
14．計(jì)算：
（1）解不等式組：；
（2）解方程：．
15．先化簡，再求值，其中．
16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C；
（3）在（2）的條件下，求線段BC掃過的面積（結(jié)果保留π）．
17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，交邊CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段AE
（1）求證：AE⊥BF；
（2）若4EF＝AD＝8，求AB的長．
18．如圖，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，∠CAB＝∠CED．
（1）求證：BE＝AD；
（2）如圖1，延長AD、EB交于點(diǎn)O，試探究∠AOB與∠CAB的數(shù)量關(guān)系
（3）如圖2，當(dāng)∠CAB＝∠CED＝45°時(shí)，連接BD、AE，延長MC與BD交于點(diǎn)N，試探究BN與BD的數(shù)量關(guān)系
?
一、填空題
19．若x﹣y＝3，xy＝10，則2x2y﹣2y2x＝ ．
20．關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是 ．
21．若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）則3和16是智慧數(shù)．已知按從小到大順序構(gòu)成如下數(shù)列：3，5，7，8，9，11，12，15，16，19，20，23，24，…．則第2023個(gè)“智慧數(shù)”是 ．
22．如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)B1在邊OM上，且OB1＝2，過點(diǎn)B1作B1A1⊥OM交ON于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在A1B1右側(cè)作等邊三角形A1B1C1；過點(diǎn)C1作OM的垂線分別交OM、ON于點(diǎn)B2，A2，以A2B2為邊在A2B2的右側(cè)作等邊三角形A2B2C2；過點(diǎn)C2作OM的垂線分別交OM、ON于點(diǎn)B3，A3，以A3B3為邊在A3B3的右側(cè)作等邊三角形A3B3C3，…；按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△A2023A2024C2023的面積為 ．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）
?
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）（0，2）、C（4，2）、D（3，0），若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為A'，則A'C的最小值為 ，A'C的最大值為 ．
二、解答題
24．某單位為美化環(huán)境，計(jì)劃對面積為1200平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用3天．
（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少平方米？
（2）若該單位每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為700元，付給乙隊(duì)的費(fèi)用為500元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過14500元
25．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG＝60°，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若點(diǎn)N是射線DA上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BMG＝60°，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系．
?
26．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，且實(shí)數(shù)a，b滿足．
（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B．已知點(diǎn)C（6，﹣2），CB，請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，請說明理由．
?
2022-2023學(xué)年四川省成都市高新區(qū)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題
1．下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解．
【解答】解：A、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)正確；
B、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
D、是軸對稱圖形，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．
2．若x＞y，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．x﹣3＜y﹣5B．﹣2x＞﹣2yC．x﹣y＜0D．
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：∵x＞y，
∴x﹣3＞y﹣5，故A錯(cuò)誤；
﹣5x＜﹣2y，故B錯(cuò)誤；
x﹣y＞0，故C錯(cuò)誤；
＞，故D正確；
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查不等式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)．
3．分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．x≠1B．x＝1C．x≠﹣1D．x≠0
【答案】A
【分析】根據(jù)分母不為零分式有意義，可得答案．
【解答】解：由題意，得
x﹣1≠0，
解得x≠4，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了分式有意義的條件．（1）分式有意義的條件是分母不等于零．（2）分式無意義的條件是分母等于零．
4．下列等式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ ）
A．x2+2x﹣1＝（x﹣1）2B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
C．x2+4x+4＝（x+2）2D．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
【答案】C
【分析】根據(jù)因式分解的定義判斷即可．
【解答】解：根據(jù)因式分解的定義：將一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的積的形式，叫做把多項(xiàng)式因式分解．
據(jù)此可以直接判定B、D選項(xiàng)都不是因式分解，C選項(xiàng)的變形是利用了完全平方公式進(jìn)行了因式分解．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查因式分解的概念，理解因式分解的概念是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，則BE等于（ ）
A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm
【答案】C
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得 CD＝DE，再根據(jù)“HL”證明Rt△ACD≌Rt△AED，可得AE的長，最后根據(jù)BE＝AB﹣AE得出答案．
【解答】解：∵AD是∠CAB的平分線，DE⊥AB，
∴CD＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），
∴AC＝AE＝6cm，
∴BE＝AB﹣AE＝10﹣6＝6（cm）．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等，弄清各線段之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
6．一個(gè)等腰三角形的一個(gè)角是80°，則這個(gè)等腰三角形的底角是（ ）
A．50°B．20°C．50°或80°D．20°或80°
【答案】C
【分析】先分情況討論：80°是等腰三角形的底角或80°是等腰三角形的頂角，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：當(dāng)80°是等腰三角形的頂角時(shí)，則頂角就是80°（180°﹣80°）＝50°
當(dāng)80°是等腰三角形的底角時(shí)，則頂角是180°﹣80°×4＝20°．
∴等腰三角形的底角為50°或80°
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和定理；若題目中沒有明確頂角或底角的度數(shù)，做題時(shí)要注意分情況進(jìn)行討論，這是十分重要的，也是解答問題的關(guān)鍵．
7．如圖，在直角坐標(biāo)系中，?OABC的頂點(diǎn)A（1，4）（5，0），則B的坐標(biāo)為（ ）
A．（5，4）B．（6，4）C．（6，5）D．（5，6）
【答案】B
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥OC，AB＝OC＝5，即可求B的坐標(biāo)為．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形
∴AB∥OC，AB＝OC
∵A（1，4），8），
∴點(diǎn)B（6，4）
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，熟練運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．
8．某業(yè)主貸款9萬元購進(jìn)一臺機(jī)器生產(chǎn)甲，乙兩種產(chǎn)品．已知甲產(chǎn)品的銷售凈利潤是每個(gè)5元，乙產(chǎn)品的銷售凈利潤是每個(gè)6元，設(shè)銷售x套能賺回這臺機(jī)器的貸款，則x滿足的關(guān)系是（ ）
A．2×5x+6x≥90000B．2×5x+6x≤90000
C．2（5x+6x）≥90000D．2（5x+6x）≤90000
【答案】A
【分析】設(shè)銷售x套能賺回這臺機(jī)器的貸款，根據(jù)題意得出不等式解答即可．
【解答】解：設(shè)銷售x套能賺回這臺機(jī)器的貸款，根據(jù)題意可得：2×5x+6x≥90000，
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元一次不等式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次不等式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
9．將3m2﹣12因式分解為 3（m﹣2）（m+2） ．
【答案】3（m﹣2）（m+2）．
【分析】先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
【解答】解：3m2﹣12
＝3（m2﹣4）
＝4（m﹣2）（m+2），
故答案為：5（m﹣2）（m+2）．
【點(diǎn)評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運(yùn)用，熟練掌握因式分解的方法是解題的關(guān)鍵．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)（1，﹣2）先向右平移2個(gè)單位長度，則所得的點(diǎn)的坐標(biāo)是 （3，1） ．
【答案】（3，1）．
【分析】直接利用平移的性質(zhì)得出平移后點(diǎn)的坐標(biāo)即可．
【解答】解：∵將點(diǎn)（1，﹣2）先向右平移5個(gè)單位長度，
∴得到（3，﹣2），
∵向上平移2個(gè)單位長度，
∴所得點(diǎn)的坐標(biāo)是：（3，1）．
故答案為：（2，1）．
【點(diǎn)評】此題主要考查了平移變換，正確掌握平移規(guī)律是解題關(guān)鍵．
11．如圖，△ABC的周長為15cm，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，若AE＝2cm，則△ABD的周長為 11 cm．
【答案】11．
【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的判定和性質(zhì)解決問題即可．
【解答】解：由作圖可知，DE垂直平分線段AC，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵AB+BC+AC＝15，AC＝2AE＝4，
∴AB+BC＝11，
∴△ABD的周長＝AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11．
故答案為：11．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
12．如果關(guān)于x的不等式x＜a+5的解集與x＜2的解集相同，則a的值為 ﹣3 ．
【答案】﹣3．
【分析】根據(jù)兩個(gè)不等式的解相同，列出方程求解即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的不等式x＜a+5的解集與x＜2的解集相同，
∴a+5＝2，
解得a＝﹣3．
故答案為：﹣6．
【點(diǎn)評】本題考查了解簡單不等式的能力．解不等式要依據(jù)不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時(shí)加上或減去同一個(gè)數(shù)或整式不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)正數(shù)不等號的方向不變；（3）不等式的兩邊同時(shí)乘以或除以同一個(gè)負(fù)數(shù)不等號的方向改變．
13．如圖，在平行四邊形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E點(diǎn)，BC＝7，則DE長為 2 ．
【答案】2．
【分析】根據(jù)四邊形ABCD為平行四邊形可得AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得出∠ABE＝∠AEB，繼而可得AB＝AE，然后根據(jù)已知可求得DE的長度．
【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AE∥BC，AD＝BC＝7．
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE＝5，
∴DE＝AD﹣AE＝8﹣5＝2．
故答案為：8．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的定義得出∠ABE＝∠AEB．
三、解答題
14．計(jì)算：
（1）解不等式組：；
（2）解方程：．
【答案】（1）﹣1≤x＜2；（2）分式方程無解．
【分析】（1）根據(jù)一元一次不等式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；
（2）根據(jù)分式方程的解法進(jìn)行計(jì)算．
【解答】解：（1），
解不等式①，可得x＜8，
解不等式②，可得x≥﹣1，
綜上所述：﹣1≤x＜4；
（2），
＝，
＝，
＝，
即2x＝x+1，
解得x＝2，
把x＝1代入原式，原式不成立，
故分式方程無解．
【點(diǎn)評】本題考查了一元一次不等式和分式方程的解法，掌握解一元一次不等式和分式方程的方法是關(guān)鍵．
15．先化簡，再求值，其中．
【答案】，．
【分析】根據(jù)分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則進(jìn)行化簡，然后將a的值代入原式即可求出答案．
【解答】解：原式＝÷
＝?
＝，
當(dāng)a＝﹣2時(shí)，
原式＝
＝
＝．
【點(diǎn)評】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的加減運(yùn)算以及乘除運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．
16．如圖，正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長都是一個(gè)單位長度，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（2，﹣4），B（4，﹣4），C（1，﹣1）．
（1）畫出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1；
（2）畫出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C；
（3）在（2）的條件下，求線段BC掃過的面積（結(jié)果保留π）．
【答案】（1）圖形見解答；
（2）圖形見解答；
（3）π．
【分析】（1）分別作出A，B，C關(guān)于y軸對稱的對應(yīng)點(diǎn)A1，B1，C1即可．
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作出△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的△A2B2C即可；
（3）利用扇形的面積公式求出AB掃過的面積．
【解答】解：（1）如圖，△A1B1C2即為所求；
（2）如圖，△A2B2C即為所求；
（3）線段BC掃過的面積＝＝π．
【點(diǎn)評】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，軸對稱和扇形面積公式等知識，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，在平行四邊形ABCD中，AE，交邊CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，線段AE
（1）求證：AE⊥BF；
（2）若4EF＝AD＝8，求AB的長．
【答案】（1）見解析；
（2）14．
【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得出∠MAB+∠MBA＝＝90°，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義得出∠DAE＝∠DEA，同法可得CF＝BC，即可推出結(jié)果．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵AE，BF分別平分∠DAB和∠ABC，
∴∠MAB+∠MBA＝＝90°，
∴∠BMA＝90°，
∴AE⊥BF；
（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠DEA＝∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE＝∠EAB＝∠DEA，
∴DE＝DA＝7，
同法可得，BC＝CF＝AD＝8，
∵4EF＝7，
∴EF＝2，
∴DF＝CE＝8﹣EF＝3，
∴AB＝CD＝8+6＝14．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
18．如圖，在△ABC和△DCE中，CA＝CB，∠CAB＝∠CED．
（1）求證：BE＝AD；
（2）如圖1，延長AD、EB交于點(diǎn)O，試探究∠AOB與∠CAB的數(shù)量關(guān)系
（3）如圖2，當(dāng)∠CAB＝∠CED＝45°時(shí)，連接BD、AE，延長MC與BD交于點(diǎn)N，試探究BN與BD的數(shù)量關(guān)系
?
【答案】（1）證明過程見解答；
（2）∠AOB＝2∠CAB，理由見解答；
（3）BN＝BD．理由見解答．
【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得到∠ACB＝∠DCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠CAD＝∠CBE＝∠BAC+∠BAO，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（3）如圖2，作BP⊥MN交MN的延長線于P，作DQ⊥MN于Q，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到MC＝BP，同理，CM＝DQ，等量代換得到DQ＝BP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵CA＝CB，CD＝CE，
∴∠ACB＝180°﹣2α，∠DCE＝180°﹣2α，
∴∠ACB＝∠DCE，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴BE＝AD；
（2）解：∠AOB＝5∠CAB，理由如下：
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE＝∠CAB+∠BAO，
∵∠ABE＝∠AOB+∠BAO，
∴∠CBE+∠CAB＝∠BOA+∠BAO，
∴∠BAO+∠CAB+∠CAB＝∠BOA+∠BAO，
∴∠AOB＝2∠CAB；
（3）解：BN＝BD
如圖2，作BP⊥MN交MN的延長線于P，
∵∠BCP+∠BCA＝∠CAM+∠AMC，
∵∠BCA＝∠AMC，
∴∠BCP＝∠CAM，
在△CBP與△ACM中，
，
∴△CBP≌△ACM（AAS），
∴MC＝BP，
同理，CM＝DQ，
∴DQ＝BP，
在△BPN與△DQN中，
，
∴△BPN≌△DQN（AAS），
∴BN＝ND，
∴N是BD的中點(diǎn)，
∴BN＝BD．
【點(diǎn)評】本題是三角形的綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一、填空題
19．若x﹣y＝3，xy＝10，則2x2y﹣2y2x＝ 60 ．
【答案】60．
【分析】首先把2x2y﹣2xy2進(jìn)行因式分解，然后把x﹣y＝3，xy＝10代入化簡后的算式，即可求解．
【解答】解：2x2y﹣5xy2＝2xy（x﹣y），
當(dāng)x﹣y＝5，xy＝10時(shí)，
原式＝2×10×3＝60．
故答案為：60．
【點(diǎn)評】此題主要考查了因式分解的應(yīng)用，要熟練掌握，用因式分解的方法將式子變形時(shí)，根據(jù)已知條件，變形的可以是整個(gè)代數(shù)式，也可以是其中的一部分．
20．關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是 a≤2且a≠1 ．
【答案】a≤2且a≠1．
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)，確定出a的值．注意方程無解的時(shí)候．
【解答】解：解分式方程得，y＝2﹣a，
∵a使關(guān)于y的方程的解為非負(fù)數(shù)，
∴2﹣a≥0，且3﹣a≠1
∴a≤2且a≠8．
故答案為：a≤2且a≠1．
【點(diǎn)評】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握解分式方程的步驟是解本題的關(guān)鍵．
21．若一個(gè)正整數(shù)能表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方差，則稱這個(gè)正整數(shù)為“智慧數(shù)”（如3＝22﹣12，16＝52﹣32）則3和16是智慧數(shù)．已知按從小到大順序構(gòu)成如下數(shù)列：3，5，7，8，9，11，12，15，16，19，20，23，24，…．則第2023個(gè)“智慧數(shù)”是 2696 ．
【答案】2696．
【分析】先根據(jù)題意觀察規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每三個(gè)一組，從第二組開始的每組第一個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，再算出第2023個(gè)“智慧數(shù)”處在哪一組的第幾個(gè)，就可以算出答案了．
【解答】解：觀察探索規(guī)律，發(fā)現(xiàn)全部智慧數(shù)從小到大可按每三個(gè)數(shù)分一組，
從第二組開始每組的第一個(gè)數(shù)都是4的倍數(shù)，從而第n組的第一個(gè)數(shù)為4n（n≥7）；
∵2023＝3×674+1
∴第2023個(gè)“智慧數(shù)”是第674組中的第7個(gè)數(shù)，即：4×674＝2696，
故答案為：2696．
【點(diǎn)評】本題考查了平方差類型的新定義，解題的關(guān)鍵是找到循環(huán)規(guī)律并正確得出要求的數(shù)字所處的位置．
22．如圖，∠MON＝30°，點(diǎn)B1在邊OM上，且OB1＝2，過點(diǎn)B1作B1A1⊥OM交ON于點(diǎn)A1，以A1B1為邊在A1B1右側(cè)作等邊三角形A1B1C1；過點(diǎn)C1作OM的垂線分別交OM、ON于點(diǎn)B2，A2，以A2B2為邊在A2B2的右側(cè)作等邊三角形A2B2C2；過點(diǎn)C2作OM的垂線分別交OM、ON于點(diǎn)B3，A3，以A3B3為邊在A3B3的右側(cè)作等邊三角形A3B3C3，…；按此規(guī)律進(jìn)行下去，則△A2023A2024C2023的面積為 ．（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）
?
【答案】．
【分析】根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)，求出△A3B3C3的邊長，即可求出△A3B3C3的面積，同理求出△AnBn?n的邊長，即可求出△AnBn?n的面積．
【解答】解：∵∠MON＝30°，OB1＝2，∠A7B1O＝90°，
∴△A1B7C1的邊長A1B5＝＝，
在Rt△B2C1B2中，∠C5B1B2＝30°，B5C1＝，
∴C1B7＝，B5B2＝C7B2＝1，
∴OB4＝2+1＝8，
在Rt△OA2B2中，△A4B2C2的邊長A5B2＝＝＝×，
在Rt△B2C2B7中，∠C2B2B7＝30°，B2C2＝，
∴C2B3＝，B2B5＝C2B8＝，
∴OB2＝3+＝，
在Rt△OB5A3中，△A3B2C3的邊長A3B6＝＝＝××＝（）2×，
???，
∴△AnBn?n的邊長AnBn＝（）n﹣1×，
∴△A3B7C3的面積為×（）2＝，△AnBn?n的面積為×[（]2＝（）2n﹣2×．
∴△A2023A2024C2023的面積為：．
故答案為：．
【點(diǎn)評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．
23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0）（0，2）、C（4，2）、D（3，0），若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為A'，則A'C的最小值為 4﹣ ，A'C的最大值為 4+ ．
【答案】4﹣．4+
【分析】由軸對稱的性質(zhì)可知BA＝BA′，在△BA′C中由三角形三邊關(guān)系可知BC+BA′≥A′C≥BC﹣BA′，則可求得答案．
【解答】解：連接BA′，如圖：
∵平行四邊形ABCD的坐標(biāo)分別為A（﹣1，0），8），2），0），
∴AB＝＝＝，BC＝4，
∵若點(diǎn)A關(guān)于BP的對稱點(diǎn)為A'，
∴BA′＝BA＝，
在△BA′C中，由三角形三邊關(guān)系可知：BC+BA′≥A′C≥BC﹣BA′，
∴3+≥A′C≥4﹣，最大值為4+
故答案為：4﹣．4+．
【點(diǎn)評】本題主要考查平行四邊形及軸對稱的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到A′C≥BC﹣BA′是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
24．某單位為美化環(huán)境，計(jì)劃對面積為1200平方米的區(qū)域進(jìn)行綠化，現(xiàn)安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成．已知甲隊(duì)每天能完成綠化的面積是乙隊(duì)每天能完成綠化的面積的1.5倍，甲隊(duì)比乙隊(duì)少用3天．
（1）甲、乙兩工程隊(duì)每天能綠化的面積分別是多少平方米？
（2）若該單位每天需付給甲隊(duì)的綠化費(fèi)用為700元，付給乙隊(duì)的費(fèi)用為500元，要使這次的綠化總費(fèi)用不超過14500元
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是1.5x平方米，根據(jù)工作時(shí)間＝工作總量÷工作效率結(jié)合在獨(dú)立完成面積為360平方米區(qū)域的綠化時(shí)甲隊(duì)比乙隊(duì)少用3天，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)安排甲隊(duì)工作m天，則需安排乙隊(duì)工作天，根據(jù)總費(fèi)用＝700×甲隊(duì)工作時(shí)間+500×乙隊(duì)工作時(shí)間結(jié)合這次的綠化總費(fèi)用不超過14500元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式，解之取其最小值即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是x平方米，則甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是1.5x平方米，
依題意，得：﹣，
解得：x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，
∴1.5x＝60．
答：甲工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是60平方米，乙工程隊(duì)每天能完成綠化的面積是40平方米．
（2）設(shè)安排甲隊(duì)工作m天，則需安排乙隊(duì)工作天，
依題意，得：700m+500×，
解得：m≥10．
所以m最小值是10．
答：至少應(yīng)安排甲隊(duì)工作10天．
【點(diǎn)評】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．
25．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E．
（1）如圖1，連接EC，求證：△EBC是等邊三角形；
（2）點(diǎn)M是線段CD上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)C，D重合），以BM為一邊，在BM的下方作∠BMG＝60°，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）若點(diǎn)N是射線DA上的一點(diǎn)，以BN為一邊，在BN的下方作∠BMG＝60°，DG與AD之間的數(shù)量關(guān)系．
?
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）AD＝DG+DM，理由見解答過程；
（3）AD＝DG﹣DN，理由見解答過程．
【分析】（1）利用“有一個(gè)角是60°”的等腰三角形是等邊三角形證得△EBC是等邊三角形；
（2）延長ED使得DW＝DM，連接MW，即可得出△WDM是等邊三角形，利用△WGM≌△DBM即可得出BD＝WG＝DG+DM，再利用AD＝BD，即可得出答案； （3）利用等邊三角形的性質(zhì)得出∠H＝∠2，進(jìn)而得出∠DNG＝∠HNB，再求出△DNG≌△HNB即可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖1所示：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝60°，，
∵BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠DBA＝∠A＝30°，
∴DA＝DB，
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴，
∴BC＝BE，
∴△EBC是等邊三角形；
（2）解：AD＝DG+DM，理由如下：
如圖2所示：延長ED使得DW＝DM，連接MW，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，DE⊥AB 于點(diǎn)E，
∴∠ADE＝∠BDE＝60°，AD＝BD，
又∵DM＝DW，
∴△WDM是等邊三角形，
∴MW＝DM，
在△WGM 和△DBM 中，
∴△WGM≌△DBM（ASA），
∴BD＝WG＝DG+DM，
∴AD＝DG+DM；
 （3）解：AD＝DG﹣DN，
延長BD至H，使得DH＝DN，
由（1）得DA＝DB，∠A＝30°，
∵DE⊥AB于點(diǎn)E，
∴∠ADG＝∠BDG＝60°，
∴∠BDC＝∠NDH＝60°，
∴△NDH是等邊三角形，
∴NH＝ND，∠H＝∠HND＝60°，
∴∠H＝∠ADG，
∵∠BNG＝60°，
∴∠BNG+∠BND＝∠DNH+∠BND，
即∠DNG＝∠HNB，
在△DNG 和△HNB 中，
∴△DNG≌△HNB（ASA），
∴DG＝HB，
∵HB＝HD+DB＝ND+AD，
∴DG＝ND+AD，
∴AD＝DG﹣ND．
【點(diǎn)評】此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知做出正確輔助線是解題關(guān)鍵．
26．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，且實(shí)數(shù)a，b滿足．
（1）如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）如圖2，過點(diǎn)A作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)B．已知點(diǎn)C（6，﹣2），CB，請?jiān)趛軸上找一點(diǎn)P，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）在（2）的條件下，在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，請說明理由．
?
【答案】（1）（﹣4，6）；
（2）（0，）或（0，﹣）；
（3）（﹣8﹣4，0）或（8﹣4，0）或（4+4，0）或﹣4+4，0）或（﹣，0）．
【分析】（1）由偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)求得a、b的值，即可確定點(diǎn)A的坐標(biāo)；
（2）先求出△ABC的面積，再由待定系數(shù)法求得直線AC的解析式，確定點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)P（0，m），則PD＝|﹣m|，然后由三角形面積關(guān)系求出m的值即可；（3）分三種情況，①當(dāng)AQ＝AC時(shí)，②當(dāng)CQ＝CA時(shí)，③當(dāng)QA＝QC時(shí)，利用勾股定理分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)即可．
【解答】解：（1）∵實(shí)數(shù)a，b滿足2≥4，≥0，
∴a+2＝0，b﹣6＝7，
∴a＝﹣4，b＝6，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣3，6）；
（2）∵AB⊥x軸，點(diǎn)B為垂足，6），
∴AB＝7，OB＝4，
∵C（6，﹣2），
∴S△ABC＝×4×（6+4）＝30，
如圖8，設(shè)直線AC交y軸于點(diǎn)D，
將點(diǎn)A（﹣4，6），﹣7）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+，
令x＝0，則y＝
∴點(diǎn)D（0，），
設(shè)點(diǎn)P（8，m）﹣m|，
∵△PAC的面積與△ABC的面積相等，
∴S△PAC＝PD×|6﹣（﹣4）|＝﹣m|×10＝30，
解得：m＝或m＝﹣，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，）或（0，﹣）；
（3）在x軸上存在一點(diǎn)Q，使△QAC為等腰三角形
∵A（﹣7，6），﹣2），
∴AC＝＝6，
分三種情況：
①如圖3，當(dāng)AQ＝AC＝2時(shí)，
BQ＝＝＝7，
∴OQ＝BQ+OB＝8+4﹣8，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣8﹣5﹣4；
②如圖4，當(dāng)CQ＝CA＝2時(shí)，
則OD＝6，CD＝5，
∴DQ＝＝＝4，
∴OQ＝DQ+OD＝4+6或OQ＝DQ﹣OD＝4，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（4+5+4；
③如圖5，當(dāng)QA＝QC時(shí)，
設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（n，5），
在Rt△ABQ和Rt△CDQ中，QA2＝AB2+BQ4＝62+（m+6）2，QC2＝CD4+DQ2＝23+（6﹣m）2，
∴22+（m+4）2＝22+（4﹣m）2，
解得：m＝﹣，
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣，2）；
綜上所述，在x軸上存在一點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣8，3）或（8，3）或（4，0）或﹣2，0）或（﹣．
【點(diǎn)評】本題是三角形綜合題目，考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、坐標(biāo)與圖形性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式、勾股定理、三角形面積以及偶次方和算術(shù)平方根的非負(fù)性質(zhì)等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型

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