例1：如圖，，，，分別是正方體的棱，，，的中點(diǎn)．
求證：
（1）平面；
（2）平面平面．
【答案】（1）見解析；（2）見解析．
【解析】證明（1）如圖，取的中點(diǎn)，連接，，
因?yàn)椋裕运倪呅螢槠叫兴倪呅?，故?br>因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?br>（2）由題意可知．連接，，
因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，?br>又，，所以平面平面．
2．垂直關(guān)系的證明
例2：如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，為棱的中點(diǎn)．，，．
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？如果存在，求此時(shí)的值；如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）存在，．
【解析】（1）證明：連接與，兩線交于點(diǎn)，連接．
在中，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）證明：∵側(cè)棱底面，平面，∴，
又∵為棱的中點(diǎn)，，∴．
∵，，平面，∴平面，∴
∵，∴．又∵，∴在和中，，
∴，
即，∴
∵，，平面，∴平面．
（3）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)，即時(shí)，平面平面
證明如下：
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，∵，分別為，的中點(diǎn)，∴，
且．又∵為的中點(diǎn)，∴，且，
∴四邊形為平行四邊形，∴，
∵平面，∴平面．又∵平面，
∴平面平面．
對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn)
一、單選題
1．平面外有兩條直線和，如果和在平面內(nèi)的射影分別是和，給出下列四個(gè)命題：①；②；③與相交與相交或重合；④與平行與平行或重合；其中不正確的命題個(gè)數(shù)是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【解析】結(jié)合題意逐一分析所給的四個(gè)說法，在如圖所示的正方體中：
對(duì)于說法①：若取平面為，，分別為，，分別為，
滿足，但是不滿足，該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法②：若取平面為，，分別為，分別為，滿足，但是不滿足，
該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法③：若取平面為，，分別為，分別為，
滿足與相交，但是與異面，該說法錯(cuò)誤；對(duì)于說法④：若取平面為，
、分別為，、分別為，滿足與平行，
但是與異面，該說法錯(cuò)誤；綜上可得：不正確的命題個(gè)數(shù)是4．本題選擇D選項(xiàng)．
2．已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，且，則
B．若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則
C．若，，則
D．若，，則
【答案】D
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，若，，且，則l不一定垂直平面，∵有可能和平行，
∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B，若平面內(nèi)有不共線的三點(diǎn)到平面的距離相等，則、可能相交或平行，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C，若，則有可能在平面內(nèi)，∴該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D，由于兩平行線中有一條垂直平面，則另一條也垂直平面，∴該選項(xiàng)正確，故答案為D．
3．給出下列四種說法：
①若平面，直線，則；
②若直線，直線，直線，則；
③若平面，直線，則；
④若直線，，則．其中正確說法的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【答案】D
【解析】若平面，直線，則可異面；
若直線，直線，直線，則可相交，此時(shí)平行兩平面的交線；
若直線，，則可相交，此時(shí)平行兩平面的交線；
若平面，直線，則無交點(diǎn)，即；故選D．
4．已知、為兩條不同的直線，、為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的有（ ）
（1），，，
（2），
（3），，（4），
A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3
【答案】B
【解析】由，，，，若相交，則可得，若，則與可能平行也可能相交，故（1）錯(cuò)誤；
若，根據(jù)線面垂直的第二判定定理可得，故（2）正確；
若，，，則或異面，故（3）錯(cuò)誤；
若，，則或，故（4）錯(cuò)誤；故選B．
5．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列命題正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】A：和是異面直線，故選項(xiàng)不正確；
B：和是異面直線，故選項(xiàng)不正確；
C：記．∵正方體中，分別是的中點(diǎn)，
∴，，∴為平行四邊形，∴，
∵平面，平面，∴平面．
D：由C知，而面和面相交，故選項(xiàng)不正確；故選C．
6．已知是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若垂直于同一平面，則平行
B．若平行于同一平面，則平行
C．若不平行，則在內(nèi)不存在與平行的直線
D．若不平行，則不可能垂直于同一平面
【答案】D
【解析】垂直于同一平面的兩平面相交或平行，A不正確；
平行于同一平面的兩直線可相交、平行或異面，B不正確；
平面不平行即相交，在一個(gè)平面內(nèi)平行兩平面交線的直線與另一平面平行，C不正確；
D為直線與平面垂直性質(zhì)定理的逆否命題，故D正確．故選D．
7．已知是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)兩兩不重合的平面，給出下列四個(gè)命題：
①若，則；
②若，則；
③若，則；
④若是異面直線，，則．其中真命題是（ ）
A．①和②B．①和③C．③和④D．①和④
【答案】D
【解析】逐一考查所給的命題：
①由線面垂直的性質(zhì)定理可得若，則，命題正確；
②如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，
滿足，但是不滿足，命題錯(cuò)誤；
③如圖所示的正方體中，取平面分別為平面，
直線分別為，滿足，但是不滿足，命題錯(cuò)誤；
④若是異面直線，，由面面平行的性質(zhì)定理易知，命題正確；
綜上可得，真命題是①和④，本題選擇D選項(xiàng)．
8．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，線段上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且；則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）．
A．B．
C．三棱錐的體積為定值D．的面積與的面積相等
【答案】D
【解析】在正方體中，平面，
而平面，故，故A正確．
又平面，因此平面，故B正確．
當(dāng)變化時(shí)，三角形的面積不變，點(diǎn)到平面的距離就是到平面的距離，它是一個(gè)定值，故三棱錐的體積為定值（此時(shí)可看成三棱錐的體積），故C正確．
在正方體中，點(diǎn)到的距離為，而到的距離為1，D是錯(cuò)誤的，故選D．
9．如圖所示，是圓的直徑，垂直于圓所在的平面，點(diǎn)是圓周上不同于的任意一點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．與所成的角為
C．平面D．平面平面
【答案】D
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，與異面，故A項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于B項(xiàng)，可證平面，故，∴所成的角為，因此B項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于C項(xiàng)，與不垂直，∴不可能垂直平面，故C項(xiàng)錯(cuò)；
對(duì)于D項(xiàng)，由于，平面，平面，∴，
∵，∴平面，平面，∴平面平面，故選D．
10．如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面三角形是正三角形，是中點(diǎn)，則下列敘述正確的是（ ）
A．與是異面直線B．平面
C．，為異面直線且D．平面
【答案】C
【解析】對(duì)于A項(xiàng)，與在同一個(gè)側(cè)面中，故不是異面直線，∴A錯(cuò)；
對(duì)于B項(xiàng)，由題意知，上底面是一個(gè)正三角形，故平面不可能，∴B錯(cuò)；
對(duì)于C項(xiàng)，∵，為在兩個(gè)平行平面中且不平行的兩條直線，故它們是異面直線，∴C正確；
對(duì)于D項(xiàng)，∵所在的平面與平面相交，且與交線有公共點(diǎn)，
故平面不正確，∴D項(xiàng)不正確；故選C．
11．設(shè)分別是正方體的棱上兩點(diǎn)，且，給出下列四個(gè)命題：
①三棱錐的體積為定值；②異面直線與所成的角為；③平面；④直線與平面所成的角為．其中正確的命題為（ ）
A．①②B．②③C．①②④D．①④
【答案】A
【解析】由題意得，如圖所示，
①中，三棱錐的體積的為，∴體積為定值；
②中，在正方體中，，∴異面直線與所成的角就是直線與所成的角，
即，∴這正確的；
③中，由②可知，直線與不垂直，∴面不成立，∴是錯(cuò)誤的；
④中，根據(jù)斜線與平面所成的角，可知與平面所成的角，即為，∴不正確．
12．如下圖，梯形中，，，將沿對(duì)角線折起．設(shè)折起后點(diǎn)的位置為，并且平面平面．給出下面四個(gè)命題：
①；②三棱錐的體積為；③平面；
④平面平面．其中正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
【答案】B
【解析】①∵，∴，
∵，∴，
∵平面平面，且平面平面，∴平面，
∵平面，∴，故不成立，故①錯(cuò)誤；
②棱錐的體積為，故②錯(cuò)誤；
③由①知平面，故③正確；
④由①知平面，又∵平面，∴，
又，且、平面，，
∴平面，又平面，
∴平面平面，故④正確．故選B．
二、填空題
13．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是________．(填序號(hào))
①若，，則；②若，，則；
③若，，則；④若，，則．
【答案】③
【解析】，，則，與可能相交也可能異面，∴①不正確；
，，則，還有與可能相交，∴②不正確；
，，則，滿足直線與平面垂直的性質(zhì)定理，故③正確；
，，則，也可能，也可能，∴④不正確；
故答案為③．
14．一個(gè)正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論
①；②與所成的角為；③與是異面直線；④．
以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是_________．
【答案】①③
【解析】把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖：
則，與異面，，只有①③正確．故答案為①③．
15．若四面體的三組對(duì)棱分別相等，即，給出下列結(jié)論：
①四面體每組對(duì)棱相互垂直；
②四面體每個(gè)面的面積相等；
③從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大而小于；
④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分．
其中正確結(jié)論的序號(hào)是__________．(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）
【答案】②④
【解析】①將四面體的三組對(duì)棱分別看作平行六面體的對(duì)角線，由于三組對(duì)棱分別相等，
∴平行六面體為長(zhǎng)方體．
由于長(zhǎng)方體的各面不一定為正方形，∴同一面上的面對(duì)角線不一定垂直，從而每組對(duì)棱不一定相互垂直．①錯(cuò)誤；
②四面體的每個(gè)面是全等的三角形，面積是相等的．②正確；
③由②，四面體的每個(gè)面是全等的三角形，從四面體每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角，它們之和為．③錯(cuò)誤；
④連接四面體每組對(duì)棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分④正確，故答案為②④．
16．如圖，一張矩形白紙，，，分別為的中點(diǎn)，現(xiàn)分別將，沿折起，且在平面同側(cè)，下列命題正確的是____________（寫出所有正確命題的序號(hào)）．
①當(dāng)平面平面時(shí)，平面
②當(dāng)平面平面時(shí)，
③當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，
④當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
【答案】①④
【解析】在中，，在中，，
∴，由題意，將沿折起，
且在平面同側(cè)，
此時(shí)四點(diǎn)在同一平面內(nèi)，平面平面，
平面平面，當(dāng)平面平面時(shí)，得到，
顯然，∴四邊形是平行四邊形，∴，
進(jìn)而得到平面，∴①正確的；
由于折疊后，直線與直線為異面直線，∴與不平行，∴②錯(cuò)誤的；
折疊后，可得，，其中，，
∴和不垂直，∴③不正確；
當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，在三棱錐中，和均為直角三角形，
∴為外接球的直徑，即，
則三棱錐的外接球的表面積為，∴④是正確，
綜上正確命題的序號(hào)為①④．
三、解答題
17．如圖，四棱錐中，，，，為正三角形．
且．
（1）證明：平面平面；
（2）若點(diǎn)到底面的距離為2，是線段上一點(diǎn)，且平面，求四面體的體積．
【答案】（1）見解析；（2）．
【解析】（1）證明：∵，且，∴，
又為正三角形，∴，又∵，，∴，
又∵，，∴，，
∴平面，又∵平面，
∴平面平面．
（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，∵，
且，∴，連接，
∵平面，∴，則，
由（1）點(diǎn)到平面的距離為2，
∴點(diǎn)到平面的距離為，
∴，
即四面體的體積為．
18．如圖，四邊形為正方形，平面，，，，．
（1）求證：；
（2）若點(diǎn)在線段上，且滿足，求證：平面；
（3）求證：平面．
【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析．
【解析】（1）∵，∴與確定平面，
∵平面，∴．由已知得且，
∴平面．又平面，∴．
（2）過作，垂足為，連接，則．
又，∴．又且，
∴且，∴四邊形為平行四邊形，∴．
又平面，平面，∴平面．
（3）由（1）可知，．
在四邊形中，，，，，
∴，則．
設(shè)，∵，
故，則，即．
又∵，∴平面．

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