2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

這是一份2023-2024學(xué)年河北省石家莊市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析），共17頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=21?i的虛部是( )
A. ?iB. ?1C. iD. 1
2.若D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，則AC=( )
A. 2AB?ADB. 2AD?ABC. 2AD+ABD. 2AB+AD
3.已知α，β為兩個(gè)不同平面，m，n為不同的直線，下列命題不正確的是( )
A. 若m/?/n，m⊥α，則n⊥αB. 若m⊥α，m⊥β，則α/?/β
C. 若m⊥α，α⊥β，則m//βD. 若m⊥α，m?β，則α⊥β
4.已知甲、乙兩名同學(xué)在高三的6次數(shù)學(xué)測試的成績統(tǒng)計(jì)如圖(圖標(biāo)中心點(diǎn)所對縱坐標(biāo)代表該次數(shù)學(xué)測試成績)，則下列說法不正確的是( )
A. 甲成績的極差小于乙成績的極差
B. 甲成績的第25百分位數(shù)大于乙成績的第75百分位數(shù)
C. 甲成績的平均數(shù)大于乙成績的平均數(shù)
D. 甲成績的方差小于乙成績的方差
5.如圖，正方形O′A′B′C′的邊長為1cm，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原圖的周長是( )
A. 8 cm
B. 6 cm
C. 2(1+ 2) cm
D. 2(1+2 2) cm
6.如圖所示，為測量河對岸的塔高AB，選取了與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測得tan∠ACB=34，CD=50m，cs∠BCD= 55,cs∠BDC=35，則塔高AB為( )
A. 15 3m
B. 20 3m
C. 15 5m
D. 20 5m
7.如圖，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P為CD上一點(diǎn)，且滿足AP=mAC+12AB，若△ABC的面積為2 3，則|AP|的最小值為( )
A. 2
B. 3
C. 3
D. 43
8.如圖，已知在△ABC中，AB=1，BC=3，AB⊥BC，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD=1，將△ABD沿AD進(jìn)行翻折，使得點(diǎn)B與點(diǎn)P重合，若點(diǎn)P在平面ADC上的射影在△ADC內(nèi)部及邊界上，則在翻折過程中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡長度為( )
A. 212πB. 28πC. 26πD. 24π
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)z=2?3i，其中i是虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是( )
A. z的模等于13B. z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
C. z的共軛復(fù)數(shù)為?2?3iD. 若z(m+4i)是純虛數(shù)，則m=?6
10.△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且a=2，AB?AC=2 3S，下列選項(xiàng)正確的是( )
A. A=π3
B. 若b=3，則△ABC有兩解
C. 若△ABC為銳角三角形，則b取值范圍是(2 3,4)
D. 若D為BC邊上的中點(diǎn)，則AD的最大值為2+ 3
11.如圖，棱長為2的正方體.ABCD?A1B1C1D1中，E為棱DD1的中點(diǎn)，F(xiàn)為正方形C1CDD1內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(包括邊界)，且B1F/?/平面A1BE，則下列說法正確的有( )
A. 動(dòng)點(diǎn)F軌跡的長度為 2
B. 三棱錐B1?D1EF體積的最小值為13
C. B1F與A1B不可能垂直
D. 當(dāng)三棱錐B1?D1DF的體積最大時(shí)，其外接球的表面積為252π
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.在菱形OABC中、O為坐標(biāo)原點(diǎn)、A(3,?1)，C(1,3)、則OA?OB的值為______．
13.從長度為2、3、5、7、11的5條線段中任取3條，這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為______．
14.刻畫空間彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容，用“曲率”刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點(diǎn)的曲率等于2π與多面體在該點(diǎn)的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫做多面體的面角.角度用弧度制).例如，正四面體的每個(gè)頂點(diǎn)有3個(gè)面角，每個(gè)面角為π3，所以正四面體在各頂點(diǎn)的曲率為2π?π3×3=π.在底面為矩形的四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD= 2PA.PC與底面ABCD所成的角為π6，在四棱錐P?ABCD中，頂點(diǎn)B的曲率為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知向量a=(1,1),|b|=2 2．
(1)若a//b，求b的坐標(biāo)；
(2)若(5a?2b)⊥(a+b)，求a與b的夾角．
16.(本小題15分)
2024年1月17日，搭載天舟七號貨運(yùn)飛船的長征七號遙八運(yùn)載火箭成功發(fā)射，我國載人航天工程2024年發(fā)射任務(wù)首戰(zhàn)告捷.為普及航天知識，某學(xué)校開展組織學(xué)生舉辦了一次主題為“我愛星辰大?！钡暮教熘R競賽，現(xiàn)從中抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績并作出如圖所示的頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：
(Ⅰ)求頻率分布直方圖中a的值.若從成績不高于60分的同學(xué)中按分層抽樣方法抽取5人成績，求5人中成績不高于50分的人數(shù)；
(Ⅱ)用樣本估計(jì)總體，利用組中值估計(jì)該校學(xué)生首輪競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù)；
(Ⅲ)若學(xué)校安排甲、乙兩位同學(xué)參加第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為23，乙復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率為34，甲、乙是否獲優(yōu)秀等級互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲優(yōu)秀等級的概率．
17.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD=1，E為棱AD的中點(diǎn)，PA⊥平面ABCD．
(1)求證：AB/?/平面PCE；
(2)求證：平面PAB⊥平面PBD；
(3)若二面角P?CD?A的大小為45°，求直線PA與平面PBD所成角的正弦值．
18.(本小題17分)
在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足(2a?c)csB=bcsC．
(Ⅰ)求角B的大小；
(Ⅱ)若BD=2DC，且CD=1,AD= 7，求△ABC的面積；
(Ⅲ)如圖，過點(diǎn)A作BC的平行線AP，且BC=712AP，在四邊形ABCP中，AB=2，AP=3，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CP上運(yùn)動(dòng)，且BE=λBC,CF=λCP，求AE?AF的最小值．
19.(本小題17分)
著名的費(fèi)馬問題是法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬(1601?1665)于1643年提出的平面幾何極值問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”費(fèi)馬問題中的所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn)，已知對于每個(gè)給定的三角形，都存在唯一的費(fèi)馬點(diǎn)，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，則使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的點(diǎn)P即為費(fèi)馬點(diǎn).在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且csB=2acsAc?sinBtanC.若P是△ABC的“費(fèi)馬點(diǎn)”，a=2 3,b