1.有N件產(chǎn)品，其中有M件次品，從中不放回地抽n件產(chǎn)品，抽到的次品數(shù)的數(shù)學(xué)期望值是( )
A. nB. (n?1)MNC. nMND. (n+1)MN
2.在研究線性回歸模型時，樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,3,?,n)所對應(yīng)的點均在直線y=?12x+3上，用r表示解釋變量對于反應(yīng)變量變化的線性相關(guān)度，則r=( )
A. ?1B. 1C. ?12D. 2
3.若直線y=kx?1與曲線y= ?x2+4x?3恰有兩個公共點，則實數(shù)k的取值范圍是( )
A. (43,+∞)B. [1,43)C. [1,43]D. (0,43)
4.定義區(qū)間[a,b]，(a,b)，(a,b]，[a,b)的長度為b?a.如果一個函數(shù)的所有單調(diào)遞增區(qū)間的長度之和為m(其中m∈(0,e]，e為自然對數(shù)的底數(shù))，那么稱這個函數(shù)為“m函數(shù)”.下列四個命題：
①函數(shù)f(x)=ex+lnx不是“m函數(shù)”；
②函數(shù)g(x)=lnx?ex是“m函數(shù)”，且mem=1；
③函數(shù)?(x)=exlnx是“m函數(shù)”；
④函數(shù)φ(x)=lnxex是“m函數(shù)”，且mlnm=1．
其中正確的命題的個數(shù)為( )
A. 4個B. 3個C. 2個D. 1個
二、填空題：本題共12小題，每小題5分，共60分。
5.雙曲線x29?y27=1的離心率為______．
6.若一個球的表面積為π，則該球的半徑為______．
7.已知函數(shù)f(x)=2x2+x，則f(3)= ______．
8.設(shè)隨機變量X服從二項分布B(9,13)，則D[X]= ______．
9.已知一個二胎家庭中有一個男孩，則這個家庭中有女孩的概率為______．
10.事件A、B互斥，它們都不發(fā)生的概率為25，且P(A)=2P(B)，則P(B)= ______．
11.若直線x+y+a=0與曲線y=x?2lnx相切，則實數(shù)a的值為______．
12.設(shè)隨機變量X的分布?101218121814，則E(2X+1)= ______．
13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：f(x)=1σ 2πe?(x?85)22σ2，且P(70≤X≤100)=0.7，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有8000人，則數(shù)學(xué)成績超過100分的人數(shù)大約為______．
14.已知雙曲線T：x2a2?y2=1(a>0)，任取雙曲線Γ右支上兩個不相同的點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，都有x1x2?y1y2>0成立，則實數(shù)a的取值范圍是______．
15.正項等比數(shù)列{an}中，a1與a4039是f(x)=x?mlnx?9x(m∈R)的兩個極值點，則lg 3a2020= ______．
16.橢圓Γ：x22024+y2=1的內(nèi)接等腰三角形，其中它有至少兩個頂點是橢圓的頂點，這樣的等腰三角形的個數(shù)為______．
三、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17.(本小題10分)
如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，已知AB=AA1=2，D是AB的中點．
(1)求直線CC1與DB1所成的角的大小；
(2)求證：平面CDB1⊥平面ABB1A1，并求點B到平面CDB1的距離．
18.(本小題10分)
某公司為了解服務(wù)質(zhì)量，隨機調(diào)查了100位男性顧客和100位女性顧客，每位顧客對該公司的服務(wù)質(zhì)量進行打分.已知這200位顧客所打的分數(shù)均在[25,100]之間，根據(jù)這些數(shù)據(jù)得到如下的頻數(shù)分布表：
(1)估計這200位顧客所打分數(shù)的平均值(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)．
(2)若顧客所打分數(shù)不低于70分，則該顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為滿意；若顧客所打分數(shù)低于70分，則該顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度為不滿意.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認為顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度與性別有關(guān)？
附；K2=n(ad?bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．
19.(本小題10分)
設(shè)常數(shù)m>0且m≠1，橢圓Γ：x2m2+y2=1，點P是Γ上的動點．
(1)若點P的坐標為(2,0)，求Γ的焦點坐標；
(2)設(shè)m=3，若定點A的坐標為(2,0)，求|PA|的最大值與最小值；
(3)設(shè)m=12，若Γ上的另一動點Q滿足OP⊥OQ(O為坐標原點)，求證：O到直線PQ的距離是定值．
20.(本小題10分)
已知函數(shù)f(x)=alnx?ax+1(a∈R)．
(1)若經(jīng)過點(0,0)的直線與函數(shù)f(x)的圖像相切于點(3,f(3))，求實數(shù)a的值；
(2)設(shè)g(x)=f(x)+32x2?1，若函數(shù)g(x)在區(qū)間[32,4]為減函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍；
(3)對于函數(shù)g(x)=f(x)+32x2?1，若函數(shù)g(x)有兩個極值點為x1、x2(x1≠x2)，且不等式g(x1)+g(x2)6.635，
所以有99%的把握認為顧客對公司服務(wù)質(zhì)量的態(tài)度與性別有關(guān)．
19.(1)解：橢圓Γ：x2m2+y2=1，點P(2,0)是橢圓上的點，所以m=2，
則c= m2?1= 4?1= 3，
所以Γ的焦點坐標為(? 3,0),( 3,0)；
(2)解：設(shè)P(x,y)，其中?3≤x≤3，且A(2,0)，
則x29+y2=1，即y2=1?x29，
所以|PA|2=(x?2)2+y2=(x?2)2+1?x29=89(x?94)2+12，
因為?3≤x≤3，
所以當x=?3時，|PA|2取得最大值為25，
當x=94時，|PA|2取得最小值為12，
所以|PA|的最大值為5，最小值為 22；
(3)證明：當m=12時，橢圓的方程為4x2+y2=1，
設(shè)P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
當直線PQ的斜率存在時，設(shè)其方程為y=kx+t，
聯(lián)立方程組y=kx+t4x2+y2=1，
可得(4+k2)x2+2ktx+t2?1=0，
所以x1+x2=?2kt4+k2,x1x2=t2?14+k2，
則Δ=(2kt)2?4(t2?1)(4+k2)>0，
因為OP⊥OQ，
所以O(shè)P?OQ=x1x2+y1y2=0，
即x1x2+(kx1+t)(kx2+t)=0，
即(1+k2)x1x2+kt(x1+x2)+t2=0，
所以(1+k2)?t2?14+k2+kt??2kt4+k2+t2=0，
化簡可得1+k2=5t2，滿足Δ>0，
故點O到直線PQ的距離d=|t| 1+k2=|t| 5t2= 55為定值；
當直線PQ的斜率不存在時，因為OP⊥OQ，
則直線PQ的方程為x=± 55，
所以點O到直線PQ的距離d= 55為定值．
綜上所述，O到直線PQ的距離是定值．
20.解：(1)因為f(x)=alnx?ax+1(a∈R)，其中x>0，則f′(x)=a(1x?1)，
所以f(3)=aln3?3a+1，f′(3)=?23a，
所以函數(shù)f(x)的圖象在點(3,f(3))處的切線方程為y?(aln3?3a+1)=?23a(x?3)，
將原點的坐標代入切線方程可得3a?aln3?1=2a，解得a=11?ln3．
(2)g(x)=f(x)+32x2?1=32x2?ax+alnx，則g′(x)=3x?a+ax，
因為函數(shù)g(x)在區(qū)間[32,4]上為減函數(shù)，
故對任意的x∈[32,4]，g′(x)=3x?a+ax≤0恒成立，可得a≥3x2x?1，
令p(x)=3x2x?1，其中x∈[32,4]，則p′(x)=3x(x?2)(x?1)2，
當32≤x0x1x2=a3>0，可得a>12，
由g(x1)+g(x2)g(x1)+g(x2)x1+x2=g(x1)+g(x2)a，
又因為g(x1)+g(x2)=32(x12+x22)?a(x1+x2)+aln(x1x2)
=32[(x1+x2)2?2x1x2]?a23+alna3=32(a29?2a3)?a23+alna3=?16a2?a+alna3，
所以λ>g(x1)+g(x2)a=lna3?a6?1，
令t=a3>4，令k(t)=lnt?12t?1，其中t>4，k′(t)=1t?12=2?t2t4時，k(t)>k(4)=ln4?3=2ln2?3，所以λ≥2ln2?3，
因此，實數(shù)λ的取值范圍是[2ln2?3,+∞)． 顧客所打分數(shù)
[25,40)
[40,55)
[55,70)
[70,85)
[85,100]
男性顧客人數(shù)
4
6
10
30
50
女性顧客人數(shù)
6
10
24
40
20
滿意
不滿意
男性顧客
女性顧客
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828
滿意
不滿意
合計
男性顧客
80
20
100
女性顧客
60
40
100
合計
140
60
200

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