命題學校：武漢市關山中學 命題教師：田艷 審題教師：陳長西
考試時間：2024年6月28日15：00-17：00 試卷滿分：150分
一?單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知是虛數(shù)單位，，則復數(shù)的模為（ ）
A. B. C.5 D.3
2.已知平面向量的夾角為，則（ ）
A.2 B. C. D.
3.在一次數(shù)學測試中，高一某班40名學生成績的平均分為82，方差為10.2，則下列四個數(shù)中不可能是該班數(shù)學成績的是（ ）
A.100 B.85 C.65 D.55
4.為兩個不同的平面，為兩條不同的直線，下列說法中正確的個數(shù)是（ ）
①若，則
②若，則
③若，則
④若，則
A.1 B.2 C.3 D.4
5.已知棱長為1的正方體中，分別為和的中點，則到平面的距離為（ ）
A. B. C. D.
6.已知在中，滿足，點在邊上，且平分，，則的最大值為（ ）
A.3 B.1 C. D.4
7.已知為三角形內一點，且滿足和，則角為（ ）
A. B. C. D.
8.在正三棱錐中，分別為的中點，為棱上的一點，且，，若，則此正三棱錐的外接球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中有多項符合要求，全部選對得6分，部分選對的得部分分.
9.已知為虛數(shù)單位，以下說法正確的是（ ）
A.復數(shù)在復平面對應的點在第一象限
B.若復數(shù)滿足，則
C.若為純虛數(shù)，則實數(shù)
D.復數(shù)滿足，則
10.在中，角所對的邊分別是，下列說法正確的是（ ）
A.若，則是等腰三角形
B.若為銳角三角形，則
C.若，則滿足條件的三角形有2個
D.若不是直角三角形，則
11.已知正方體的棱長為分別為的中點，且與正方體的內切球（為球心）交于兩點，則下列說法正確的是（ ）
A.線段的長為
B.三棱錐的體積為
C.過三點的平面截正方體所得的截面面積為
D.設為球上任意一點，則的范圍為
三?填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.
12.某歌手在一次比賽中評委給分為（十分制）則該歌手得分的第七十五百分位數(shù)是__________.
13.如圖所示，是的中點，是平行四邊形內（含邊界）的一點，且，則當時，的范圍是__________.
14.已知在三角形中，角的對邊分別為，且，角為銳角，向量與共線，且，則三角形的周長為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知向量
（1）若與垂直，求的值；
（2）若與共線，求的值.
16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面，點為棱的中點.
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小.
17.（15分）
已知在中，角的對邊分別為，且
（1）求；
（2）若為銳角三角形，且，求面積的取值范圍.
18.（17分）
隨著社會的進步?科技的發(fā)展，人民對自己生活的環(huán)境要求越來越高，尤其是居住環(huán)境的環(huán)保和綠化受到每一位市民的關注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分類制度入法，提倡每位居民做好垃圾分類儲存?分類投放，方便工作人員依分類搬運，提高垃圾的資源價值和經濟價值，力爭物盡其用.某市環(huán)衛(wèi)局在A?B兩個小區(qū)分別隨機抽取6戶，進行生活垃圾分類調研工作，依據(jù)住戶情況對近期一周（7天）進行生活垃圾分類占用時間統(tǒng)計如下表：
（1）分別計算小區(qū)每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；以及兩個小區(qū)抽取的一共12戶每周進行生活垃圾分類所用時間的平均值和方差；
（2）如果兩個小區(qū)住戶均按照1000戶計算，小區(qū)的垃圾也要按照垃圾分類搬運，市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商，初步實施下列方案：
①小區(qū)方案：號召住戶生活垃圾分類“從我做起”，為了利國利民，每200位住戶至少需要一名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，每位工作人員月工資按照3000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？
②小區(qū)方案：為了方便住戶，住戶只需要將垃圾堆放在垃圾點，物業(yè)讓專職人員進行生活垃圾分類，一位專職工作人員對生活垃圾分類的效果相當于5位普通居民對生活垃圾分類效果，每位專職工作人員（每天工作8小時）月工資按照4000元（按照28天計算標準）計算，則每位住戶每月至少需要承擔的生活垃圾分類費是多少？
（3）市環(huán)衛(wèi)局與兩個小區(qū)物業(yè)及住戶協(xié)商分別試行一個月，根據(jù)實施情況，試分析哪個方案惠民力度大，值得進行推廣？
19.（17分）如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，分別是線段的中點，在平面內的射影為.
（1）求證：平面；
（2）若點為棱的中點，求三棱錐的體積；
（3）在線段上是否存在點，使二面角的大小為，若存在，請求出的長度，若不存在，請說明理由.
武漢市常青聯(lián)合體2023—2024學年度第二學期期末考試
高一數(shù)學答案
一，單選題
1.A 2.C 3.D 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D
二，多選題
9.CD 10.BD 11.ABD
三，填空題
12. 13. 14.
四，解答題
15.【詳解】（1），
，
.
與垂直，.
（2）由（1）知，，得.
16.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，
由于分別為的中點，故，且，
又，可得，且，
故四邊形為平行四邊形，
所以，又因為平面平面，
所以平面.
（2）因為底面底面，
又平面，
平面.
又平面.
為的中點，
，
又平面平面，
直線在平面內的射影為直線，
故為直線與平面所成的角，
由底面底面可得，，
為等腰直角三角形，且平分，
，
所以直線與平面所成的角為.
17.【詳解】（1）故得
所以，
即.
由正弦定理，得，
顯然，所以，所以.
因為，所以.
（2）由題設及（1）可知，的面積
為銳角三角形，
，解得，
又，
18.【詳解】
（1）（分鐘），
（分鐘），
總體的平均數(shù)，
總體的方差
（2）①按照方案，A小區(qū)一月至少需要5名工作人員進行檢查和糾錯生活垃圾分類，其費用是元，
每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），
②由（1）知，小區(qū)平均每位住戶每周需要220分鐘進行垃圾分類，一月需要（分鐘），
小區(qū)一月平均需要分鐘的時間用于生活垃圾分類，
一位專職工人一天的工作時間按照8小時作為計算標準，每月按照28天作為計算標準，
一位專職工作人員對生活垃圾分類效果相當于5名普通居民對生活垃圾分類的效果，
小區(qū)一月需要專職工作人員至少（名），
則每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費為（元），
③根據(jù)上述計算可知，按照每位住戶每月需要承擔的生活垃圾分類費來說，
選擇A方案惠民力度大，但需要住戶平時做好生活垃圾分類事項；
如果對于高檔小區(qū)的居民來說，可以選擇方案，這只是方便個別高收入住戶，
綜上，選擇方案推廣，有利于國民熱愛勞動及素質的提升.
19.【詳解】（1）
如圖所示，連接，由題意可知面，四邊形是菱形.
面，
，
又是中點，是正三角形，
，
顯然面，
面，
面，
，
在菱形中，有，
而分別是線段的中點，
則，
面，
面；
（2）方法一：
如圖所示，取的中點，連接，過作交于，
過作分別交的延長線于，
易知分別是的中點，
則由條件可得面面，故面，
即到面的距離等于到面的距離，
由（1）得面，所以面是直角三角形，
在菱形中，易得，
所以，
即到面的距離為，
，所以；
方法二：
（3）如圖所示，假設存在點滿足題意，取的中點，連接，
過作交于，連接，
易得面面，故面，
又結合（1）的結論有，故二面角為，
所以，
在菱形中，作，易得
，
易知為直角三角形，故.住戶編號
1
2
3
4
5
6
A小區(qū)（分鐘）
220
185
220
225
205
235
B小區(qū)（分鐘）
205
195
245
235
225
215

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