河北省保定市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份河北省保定市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共15頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，雙空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．用數(shù)字0，1，2，3組成三位數(shù)，各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù)，則滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.12B.24C.48D.64
3．若曲線在處的切線的斜率為，則( )
A.B.C.D.6
4．為了研究某產(chǎn)品的年研發(fā)費(fèi)用x(單位:萬(wàn)元)對(duì)年利潤(rùn)y(單位:萬(wàn)元)的關(guān)系，該公司統(tǒng)計(jì)了最近8年每年投入該產(chǎn)品的年研發(fā)費(fèi)用與年利潤(rùn)的數(shù)據(jù)，根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設(shè)其回歸直線方程為.已知，，.若該公司對(duì)該產(chǎn)品預(yù)投入的年研發(fā)費(fèi)用為25萬(wàn)元，則預(yù)測(cè)年利潤(rùn)為( )
A.55萬(wàn)元B.57萬(wàn)元C.60萬(wàn)元D.62萬(wàn)元
5．已知正實(shí)數(shù)a，b，則“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6．要安排4名學(xué)生（包括甲）到A，B兩個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有1名志愿者，且甲不去A鄉(xiāng)村，則不同的安排方法共有( )
A.7種B.8種C.12種D.14種
7．已知為偶函數(shù)，若函數(shù)與圖象的交點(diǎn)為，，…，，則( )
A.45B.C.90D.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，如果將函數(shù)的圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，所得曲線仍然是某個(gè)函數(shù)的圖象，那么稱為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”.下列四個(gè)函數(shù)中“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的個(gè)數(shù)為( )
①;②;③;④.
A.1B.2C.3D.4
二、多項(xiàng)選擇題
9．對(duì)于的展開式，下列說法正確的是( )
A.展開式共有5項(xiàng)B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和為
C.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是15D.展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)之和為32
10．甲和乙兩個(gè)箱子中各裝有10個(gè)球，其中甲箱中有5個(gè)白球、5個(gè)紅球，乙箱中有8個(gè)紅球、2個(gè)白球.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，若點(diǎn)數(shù)為5或6，則從甲箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球不放回;若點(diǎn)數(shù)為1，2，3，4，則從乙箱中隨機(jī)摸出1個(gè)球不放回.下列結(jié)論正確的是( )
A.擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為
B.擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為
C.擲骰子兩次，摸出的2個(gè)球都來自甲箱的概率為
D.擲骰子兩次，摸出2個(gè)紅球的概率為
11．已知函數(shù)恰好有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，，，且，則下列說法正確的是( )
A.B.，，成等差數(shù)列
C.，，成等比數(shù)列D.
三、填空題
12．已知函數(shù)的定義域和值域均為，則函數(shù)的定義域和值域分別為________.
13．已知和分別是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn).若，則a的取值范圍是________.
四、雙空題
14．如圖，一只螞蟻從正四面體的頂點(diǎn)O出發(fā)，每一步(均為等可能性的)經(jīng)過一條邊到達(dá)另一頂點(diǎn)，設(shè)該螞蟻經(jīng)過n步回到點(diǎn)O的概率，則________，________.
五、解答題
15．某校為了解學(xué)生閱讀文學(xué)名著的情況，隨機(jī)抽取了校內(nèi)200名學(xué)生，調(diào)查他們一年時(shí)間內(nèi)的文學(xué)名著閱讀的達(dá)標(biāo)情況，所得數(shù)據(jù)如下表：
(1)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為閱讀達(dá)標(biāo)情況與性別有關(guān)聯(lián)?
(2)從閱讀不達(dá)標(biāo)的學(xué)生中按男、女生人數(shù)比例用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@6人中任選2人，記這2人中女生的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：，其中.
16．已知函數(shù)是奇函數(shù).
（1）求a；
（2）求不等式的解集.
17．已知函數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞增，求m的取值范圍;
（2）若且經(jīng)過點(diǎn)只可作的兩條切線，求a的取值范圍.
18．某校為激發(fā)學(xué)生對(duì)天文、航天、數(shù)字科技三類知識(shí)的興趣，舉行了一次知識(shí)競(jìng)賽（三類題目知識(shí)題量占比分別為，，）.甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為，，.
（1）若甲在該題庫(kù)中任選一題作答，求他回答正確的概率.
（2）知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則：隨機(jī)從題庫(kù)中抽取2n道題目，答對(duì)題目數(shù)不少于n道，即可以獲得獎(jiǎng)勵(lì).若以獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為依據(jù)，甲在和之中選其一，則應(yīng)選擇哪個(gè)？
19．若存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意，使得函數(shù)，則稱在D上被a控制.
（1）已知函數(shù)在上被a控制，求a的取值范圍.
（2）（i）證明：函數(shù)在上被1控制.
（ii）設(shè)，證明：.
參考答案
1．答案：D
解析：，，，
，，，
則.
故選：D.
2．答案：C
解析：百位數(shù)字除0有3個(gè)數(shù)字可選，十位數(shù)字有4個(gè)數(shù)字可選，
個(gè)位數(shù)字有4個(gè)數(shù)字可選，
所以滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).
故選：C.
3．答案：D
解析：，
故選：D
4．答案：A
解析：，，
，
.
y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.
故當(dāng)時(shí)，.
故選:A.
5．答案：B
解析：若，取，，則，即不能推出，故充分性錯(cuò)誤；
若，由均值不等式可知，所以，2個(gè)等號(hào)取等條件都是，
所以可以推出，所以必要性正確，所以是必要不充分條件.
故選：B
6．答案：A
解析：先把4名學(xué)生分成2組，
第一種情況2組人數(shù)分別為2、2，
由于甲不去A鄉(xiāng)村，所以從另外3人中選一人和甲一起去B村，有種，
第二種情況2組人數(shù)分別為1、3，
則可能甲單獨(dú)去B村，或者甲與另外2人去B村，有種，
故共有種.
故選：A.
7．答案：A
解析：因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，
即函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
又函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，
所以函數(shù)與圖象的交點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，
由交點(diǎn)有9個(gè)，故兩函數(shù)必都過點(diǎn)，即.
故選：A
8．答案：B
解析：由題可知，所給函數(shù)的圖象都經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，則的圖象與直線只能有一個(gè)交點(diǎn)；
①圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后所得曲線為仍然是的函數(shù)的圖象，故是旋轉(zhuǎn)函數(shù)符合題意；
②在處的切線方程為，則的圖象于有2個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；
③在處的切線方程為，同樣不符合題意;
④在處的切線方程為，符合題意
所以“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”的個(gè)數(shù)有2個(gè)；
故選：B.
9．答案：BD
解析：對(duì)于A，，故展開式共有6項(xiàng)，A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，令，則，B正確，
對(duì)于C，展開式中的通項(xiàng)是，，令，則，故常數(shù)項(xiàng)為，C錯(cuò)誤，
對(duì)于D，展開式的二項(xiàng)式系數(shù)和為，D正確，
故選：BD
10．答案：BCD
解析：對(duì)于A，擲骰子一次，從甲箱摸球的概率為，從甲箱子中摸出紅球的概率為，從乙箱摸球的概率為，從乙箱子中摸出紅球的概率為，
擲骰子一次，摸出的是紅球的概率為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，擲骰子一次，若摸出的是紅球，則該球來自甲箱的概率為，B正確；
對(duì)于C，擲骰子兩次，摸出的2個(gè)球都來自甲箱的概率為，故C正確；
對(duì)于D，擲骰子兩次，摸出2個(gè)紅球包含三種情況，
擲骰子兩次，摸出的2個(gè)球都來自甲箱的概率為；
擲骰子兩次，摸出的2個(gè)球都來自乙箱的概率為
擲骰子兩次，摸出的2個(gè)球來自甲、乙兩個(gè)箱的概率為，
擲骰子兩次，摸出2個(gè)紅球的概率為，D正確；
故選：BCD.
11．答案：ACD
解析：根據(jù)題意，，
即或，所以或，
即問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線和交于三個(gè)點(diǎn)，
且三個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次為，，，且，
對(duì)于，得，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
對(duì)于，得，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，
如圖，作出函數(shù)與的圖象，
由，可得，由，可得，
又，且在上單調(diào)遞增，
又，所以，即，A正確；
，且在上單調(diào)遞減，
又，所以，即，
故，則C正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)?，所以?br>則，則D正確.
故選：ACD
12．答案：，
解析：由函數(shù)的定義域和值域均為，
所以要有意義，則需，解得，
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)椋裕?br>所以，即值域?yàn)?
故答案為：，
13．答案：
解析：已知，函數(shù)定義域?yàn)镽，
可得，
因?yàn)楹头謩e是函數(shù)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)，
所以，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
所以，解得，
又，所以為開口向下的二次函數(shù)，故，
而當(dāng)時(shí)，原函數(shù)只有一個(gè)極值點(diǎn)，矛盾，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，這與題干矛盾；
故所求范圍是.
故答案為：.
14．答案：；
解析：由題可知，在1步后螞蟻位于O、B、C、A點(diǎn)的概率分別為0，，，
故經(jīng)過2步回到點(diǎn)O的概率，
，，
數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
又，，即，
故答案為：；.
15．答案：(1)閱讀達(dá)標(biāo)情況與性別有關(guān)聯(lián)
(2)分布列見解析，
解析：（1）零假設(shè)為：閱讀達(dá)標(biāo)情況與性別無關(guān)，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即認(rèn)為閱讀達(dá)標(biāo)情況與性別有關(guān)聯(lián).
（2）由題可知抽取的女生人數(shù)為，抽取的男生人數(shù)為，
則的可能取值為0，1，2，
，，，
所以X的分布列如下：
故.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因?yàn)?，所以的定義域?yàn)椋?br>函數(shù)是奇函數(shù)，所以，
解得，可得，
當(dāng)時(shí)，
，
所以是奇函數(shù)，故；
（2）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
由得，
可得，解得，
即，可得，
解得，
所以不等式的解集為.
17．答案：(1)；
(2)
題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象即可求解.
解析：（1）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上恒成立，
即在恒成立，
設(shè)，顯然在上單調(diào)遞減，
所以，所以.
（2）若，則，，
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線方程，
把代入切線方程得：，
設(shè)，則，令得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
依題意過存在兩條切線，即方程有兩解，根據(jù)的圖象可得：
，即.
18．答案：(1)；
(2)選
解析：（1）設(shè)所選的題目為天文、航天、數(shù)字科技相關(guān)知識(shí)的題目分別為事件，，，
所選的題目回答正確為事件B，
則
，
所以該同學(xué)在該題庫(kù)中任選一題作答，他回答正確的概率為；
（2）當(dāng)時(shí)，X為甲答對(duì)題目的數(shù)量，則，
故當(dāng)時(shí)，甲獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率，
當(dāng)時(shí)，甲獲獎(jiǎng)勵(lì)的情況可以分為如下情況：
①前10題答對(duì)題目的數(shù)量大于等于6，
②前10題答對(duì)題目的數(shù)量等于5，且最后2題至少答對(duì)1題，
③前10題答對(duì)題目的數(shù)量等于4，且最后2題全部答對(duì)，
故當(dāng)時(shí)，甲獲獎(jiǎng)勵(lì)的概率
，
，即，
所以甲應(yīng)選.
19．答案：(1)；
(2)(i)證明見解析；(ii)證明見解析.
解析：（1）令，，
則，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋院愠闪?
當(dāng)時(shí)，令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，解得，
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
（2）(i)要證明函數(shù)在上被1控制，
只需證明，，即證.
令，，
可得.
當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以，原命題得證.
(ii)由(i)可知，當(dāng)時(shí)，，
則，即，
則有，
即，
故.
閱讀達(dá)標(biāo)
閱讀不達(dá)標(biāo)
合計(jì)
女生
70
30
100
男生
40
60
100
合計(jì)
110
90
200
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828
X
0
1
2
P