第05講 角平分線的性質(zhì)（6大知識(shí)點(diǎn)+5大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測(cè)）-（暑期銜接課堂）2024年暑假七升八數(shù)學(xué)銜接講義（人教版）

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題型一 角平分線性質(zhì)定理及證明
題型二 角平分線的性質(zhì)定理
題型三 角平分線的判定定理
題型四 角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用
題型五 作角平分線(尺規(guī)作圖)
知識(shí)點(diǎn)01 尺規(guī)作角平分線
1）作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要熟練掌握.
2）尺規(guī)作角平分線方法（重要）：已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分線.
作法：（1）以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N.
（2）分別以點(diǎn)M、N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內(nèi)部相交于點(diǎn)C.
（3）畫射線OC.射線OC即為所求.
知識(shí)點(diǎn)02 角平分線的性質(zhì)
1）角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。
2）證明角平分線的性質(zhì)（利用三角形全等證明即可）
知識(shí)點(diǎn)03 角平分線的性質(zhì)定理應(yīng)用
1）理解角平分線的性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.
應(yīng)用角平分線的性質(zhì)定理所具備的條件：（1）角的平分線；（2）點(diǎn)在該平分線上；（3）垂直距離.
角平分線的性質(zhì)定理的作用是證明線段相等.
2）一般情況下，我們要證明一個(gè)幾何命題時(shí)，可以按照類似的步驟進(jìn)行，即：
（1）明確命題中的已知和求證；（2）根據(jù)題意，畫出圖形，并用數(shù)學(xué)符號(hào)表示已知和求證；
（3）經(jīng)過(guò)分析，找出由已知推出要證的結(jié)論的途徑，寫出證明過(guò)程.
知識(shí)點(diǎn)04 角平分線的判定定理
1）定理語(yǔ)言表述：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。
2）定理的幾何表述：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴點(diǎn)P 在∠AOB的平分線上.
3）應(yīng)用所具備的條件：（1）位置關(guān)系：點(diǎn)在角的內(nèi)部；（2）數(shù)量關(guān)系：該點(diǎn)到角兩邊的距離相等.
4）定理的作用：判斷點(diǎn)是否在角平分線上。
知識(shí)點(diǎn)05 三角形的內(nèi)角平分線
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，并且這點(diǎn)到三邊的距離相等.
已知如圖，△ABC的角平分線BM，CN相交于點(diǎn)P， 則點(diǎn)P到三邊AB，BC，CA的距離相等.
(4)角平分線性質(zhì)定理的逆定理：
①在角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的角平分線上.
②定理的作用：用于證明兩個(gè)角相等或證明一條射線是一個(gè)角的角平分線
注意角平分線的性質(zhì)定理與逆定理的區(qū)別和聯(lián)系.，
(5)關(guān)于三角形三條角平分線的定理：
①三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.
②定理的作用：a:用于證明三角形內(nèi)的線段相等；b:用于實(shí)際中的幾何作圖問(wèn)題.
(6)三角形三條角平分線的交點(diǎn)位置與三角形形狀的關(guān)系：
三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部.
知識(shí)點(diǎn)06 常見(jiàn)角平分線的相關(guān)輔助線
1）遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理．
2）過(guò)邊上的點(diǎn)向角平分線作垂線（角平分線+內(nèi)垂直）：取被平分角邊上一點(diǎn)，向角平分線作垂線，并延長(zhǎng)至與另一個(gè)邊相交；目的：構(gòu)造一組關(guān)于角平分線對(duì)稱的全等直角三角形；適用條件：往往題干中已有線段與角平分線垂直，只需延長(zhǎng)垂線段即可。
3）過(guò)平分線上的點(diǎn)作一條邊平行線構(gòu)造等腰三角形（角平分線+平行線）： = 1 \* GB3 ①有角平分線時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰三角形。
= 2 \* GB3 ②通過(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長(zhǎng)線相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。
4）利用角平分線的性質(zhì)，在角兩邊截長(zhǎng)補(bǔ)短（角平分線+截線段等）：在角的兩邊上實(shí)施截長(zhǎng)或補(bǔ)短；目的：構(gòu)造出已角平分線為對(duì)稱軸的全等三角形。
因?yàn)榻瞧椒志€已經(jīng)具備了全等三角形的兩個(gè)條件（角相等和公共邊），所以在處理角的平分線的問(wèn)題時(shí)，常作出全等三角形的第三個(gè)條件，截兩邊相等（SAS）或向兩邊作垂線段（AAS）或延長(zhǎng)線段等來(lái)構(gòu)造全等三角形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。
【典型例題一 角平分線性質(zhì)定理及證明】
1．（22-23八年級(jí)上·河北邯鄲·階段練習(xí)）下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．三角形三條角平分線的交點(diǎn)是三角形的重心
B．三角形的中線、角平分線、高都是線段
C．三角形的一條角平分線把該三角形分成面積相等的兩部分
D．三角形的三條高都在三角形內(nèi)部
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)判斷求解即可．
【詳解】解：三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心，
故A錯(cuò)誤，不符合題意；
三角形的中線、角平分線、高都是線段，
故B正確，符合題意；
三角形的一條中線把該三角形分成面積相等的兩部分，
故C錯(cuò)誤，不符合題意；
銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，
故D錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形重心，熟練掌握三角形重心概念、三角形的中線、角平分線、高性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級(jí)上·北京西城·期末）如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，某地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在（ ）
A．在、兩邊高線的交點(diǎn)處B．在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處
C．在、兩邊中線的交點(diǎn)處D．在、兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處
【答案】B
【分析】根據(jù)三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等即可選擇．
【詳解】根據(jù)三角形的角平分線性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在、兩內(nèi)角平分線的交點(diǎn)處．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形的角平分線性質(zhì)，掌握三角形三個(gè)內(nèi)角的角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．
3．（22-23七年級(jí)上·河北保定·期末）如圖，已知，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為
①平分； ②平分；③平分； ④平分．
【答案】2個(gè)
【分析】根據(jù)角平分線的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】AD不一定平分∠BAF，①錯(cuò)誤；
AF不一定平分∠DAC，②錯(cuò)誤；
∵∠1=∠2，
∴AE平分∠DAF，③正確；
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC，④正確；
綜上，③④正確，共2個(gè)，
故答案為：2個(gè)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線的概念和性質(zhì)，掌握角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．
4．（22-23八年級(jí)上·河北唐山·期末）如圖，的三邊，，的長(zhǎng)分別是10，15，20，其三條角平分線相交于點(diǎn)O，連接OA，OB，OC，將分成三個(gè)三角形，則等于 ．
【答案】2：3：4
【分析】過(guò)點(diǎn)O分別向三邊作垂線段，通過(guò)角平分線的性質(zhì)得到三條垂線段長(zhǎng)度相等，再通過(guò)面積比等于底邊長(zhǎng)度之比得到答案．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O分別向BC、BA、AC作垂線段交于D、E、F三點(diǎn)．
∵CO、BO、AO分別平分
∴
∵，，
∴
故答案為：2：3：4
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，往三角形的三邊作垂線段并得到面積之比等于底之比是解題關(guān)鍵．
5．（22-23七年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖所示，已知：BC是從直線AB上出發(fā)的一條射線，BE平分∠ABC，∠EBF=90°．求證：BF平分∠CBD．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】由BE平分∠ABC，可得∠CBE=∠ABC，則∠CBF=90°-∠ABC，從而可得∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)= 90°-∠ABC=∠CBF，即可證得結(jié)論．
【詳解】∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠ABC，
∵∠EBF=90°，
∴∠CBF=90°-∠ABC，
∴∠DBF=180°-∠ABC-∠CBF=180°-∠ABC-(90°-∠ABC)= 90°-∠ABC=∠CBF．
∴BF平分∠CBD．
【點(diǎn)睛】涉及到角的運(yùn)算時(shí)，充分利用已知條件和隱含條件（平角、余角、補(bǔ)角、對(duì)頂角等）是解題的關(guān)鍵．
6．（22-23八年級(jí)上·福建龍巖·階段練習(xí)）如圖，，是的中點(diǎn)，平分，求證：平分．

【答案】見(jiàn)解析
【分析】過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)及判定，即可證得．
【詳解】證明：如圖：過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
平分，，，
（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等），
又，
，
，，
平分（到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上）．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)及判定，熟練掌握和運(yùn)用角平分線的性質(zhì)及判定是解決本題的關(guān)鍵．
【典型例題二 角平分線的性質(zhì)定理】
1．（22-23八年級(jí)·遼寧大連·期末）三條公路將A，B，C三個(gè)村莊連成一個(gè)如圖的三角形區(qū)域，如果在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，那么這個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建的位置是（ ）

A．三條高線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)
C．三條角平分線的交點(diǎn)D．三邊垂直平分線的交點(diǎn)
【答案】C
【分析】本題主要考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答即可．
【詳解】解：在這個(gè)區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)集貿(mào)市場(chǎng)，要使集貿(mào)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，
根據(jù)角平分線的性質(zhì)，集貿(mào)市場(chǎng)應(yīng)建在、、的角平分線的交點(diǎn)處．
故選：C．
2．（23-24八年級(jí)下·湖南株洲·期中）如圖，已知點(diǎn)在的平分線上，于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，則長(zhǎng)（ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】此題考查了角平分線性質(zhì)性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，利用角平分線性質(zhì)定理即可得出．
【詳解】解：平分，于點(diǎn)，于點(diǎn)，
故選：C．
3．（23-24八年級(jí)上·廣東江門·期末）如圖，平分，，如果，那么點(diǎn)到的距離等于
【答案】6
【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由角平分線的性質(zhì)推出．
過(guò)作于，由角平分線的性質(zhì)推出，即可得到點(diǎn)到的距離等于6．
【詳解】解：過(guò)作于，
平分，，
，
點(diǎn)到的距離等于6．
故答案為：6．
4．（23-24八年級(jí)下·陜西寶雞·期中）如圖，在中，平分交于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，且，，則的面積是 ．
【答案】14
【分析】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)和應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是要明確：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理可得；最后根據(jù)三角形的面積公式求解即可．
【詳解】解：∵平分，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
∴，
∴；
故答案為：14．
5．（22-23七年級(jí)下·四川成都·期末）把兩個(gè)同樣大小的含30°角的三角尺按照如圖1所示方式疊合放置，得到如圖2的和，設(shè)M是AD與BC的交點(diǎn)，則這時(shí)MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到AB的距離，你知道這是為什么嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，根據(jù)題意可得根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，從而得到∠CAD=∠BAD，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)M作ME⊥AB于點(diǎn)E，
根據(jù)題意得：∠BAD=30°，∠BAC=60°，∠C=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠CAD=∠BAD，
∵M(jìn)E⊥AB，
∴∠AEM=90°，
∴CM=EM，
即MC的長(zhǎng)度就等于點(diǎn)M到AB的距離．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
6．（22-23八年級(jí)上·福建泉州·期中）如圖，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，點(diǎn)F在邊AC上．
（1）求證：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面積等于6，求DE的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求解即可；
（2）由（1）中證得DC=DE，然后根據(jù)即可求出DE的長(zhǎng)．
【詳解】解：（1）∵∠C=90°，
∴，
又∵∠CAD=∠BAD，DE⊥AB
∴DC=DE；
（2）∵DC=DE，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】此題考查了角平分線性質(zhì)定理，三角形面積的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理證得DC=DE．
【典型例題三 角平分線的判定定理】
1．（22-23八年級(jí)下·山西運(yùn)城·期中）到三角形各邊距離相等的點(diǎn)是三角形的（ ）
A．三條邊垂直平分線的交點(diǎn)B．三條中線的交點(diǎn)
C．三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn)
【答案】C
【分析】本題主要考查角平分線的判定定理，根據(jù)到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上，熟練掌握角平分線的判定定理是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可知：到三角形三條邊距離相等的點(diǎn)是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．
故選：C．
2．（23-24八年級(jí)上·江蘇·周測(cè)）如圖，在上求一點(diǎn)P，使它到，的距離相等，則P點(diǎn)是（ ）
A．線段的中點(diǎn)B．與的中垂線的交點(diǎn)
C．與的平分線的交點(diǎn)D．與的中垂線的交點(diǎn)
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)P到，的距離相等，
∴點(diǎn)P在的平分線上，
又點(diǎn)P在上，
∴P點(diǎn)是與的平分線的交點(diǎn)，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的判定定理，熟知在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上是解答的關(guān)鍵．
3．（22-23八年級(jí)上·上海虹口·期末）平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的 ．
【答案】角平分線
【分析】根據(jù)角平分線的判定可知．
【詳解】解：根據(jù)角平分線的判定可知：平面內(nèi)在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的角平分線，
故答案為：角平分線．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，解題關(guān)鍵是明確在角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．
4．（22-23八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，點(diǎn)為上任意一點(diǎn)，且于點(diǎn)，于點(diǎn)，，若，則 ．

【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的判定定理解答即可．
【詳解】∵于點(diǎn)，于點(diǎn)，，
∴是的平分線，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．
5．（23-24八年級(jí)上·四川瀘州·階段練習(xí)）已知，在中，，，，，求證：平分．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】
本題考查了角平分線的判定定理；作于點(diǎn)E，由三角形的面積得，從而可得，由角平分線的判定定理即可得證；掌握角平分線的判定定理“在角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在角的平分線上．”是解題的關(guān)鍵．
【詳解】
解：如圖，作于點(diǎn)E，
又 ，
，
，
，
，
平分．
6．（22-23八年級(jí)上·四川·期末）如圖，是的平分線，，點(diǎn)在上，連接、，分別過(guò)點(diǎn)作、的垂線、，垂足分別為、．
（1）求證：；
（2）求證：．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)SAS證明≌即可求解；
（2）證明是的平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可求解．
【詳解】證明：（1）∵是的平分線
∴
在和中
∴≌
∴
（2）由（1）可知：
∴
∴是的平分線
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)與證明，解題的關(guān)鍵是熟知全等三角形的判定與角平分線的性質(zhì)．
【典型例題四 角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】
1．（22-23八年級(jí)下·廣東深圳·期末）如圖，三條公路兩兩交叉，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)油庫(kù)，若要求油庫(kù)到三條公路的距離都相等，則滿足條件的油庫(kù)的位置有（ ）

A．1處B．2處C．3處D．4處
【答案】D
【分析】根據(jù)角平分的性質(zhì)，即可得出油庫(kù)的位置在角平分線的交點(diǎn)處，依此畫出圖形，由此即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵三條公路兩兩相交，要求油庫(kù)到這三條公路的距離都相等，

∴油庫(kù)在角平分線的交點(diǎn)處，畫出油庫(kù)位置如圖所示．
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，依照題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級(jí)上·甘肅慶陽(yáng)·期中）慶陽(yáng)市是傳統(tǒng)的中藥材生產(chǎn)區(qū)，優(yōu)越的地理氣候條件形成了較獨(dú)特的資源稟賦，孕育了豐富的中藥植物資源和優(yōu)良品種，素有“天然藥庫(kù)”“中藥之鄉(xiāng)”的美稱．如圖，三條公路把A、B、C三個(gè)盛產(chǎn)中藥材的村莊連成一個(gè)三角形區(qū)域，此地區(qū)決定在這個(gè)三角形區(qū)域內(nèi)修建一個(gè)中藥材批發(fā)市場(chǎng)，要使批發(fā)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，則這個(gè)批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建在（ ）
A．三角形的三條中線的交點(diǎn)處B．三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處
C．三角形的三條高的交點(diǎn)處D．以上位置都不對(duì)
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．
【詳解】解∶∵角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，且批發(fā)市場(chǎng)到三條公路的距離相等，
∴這個(gè)批發(fā)市場(chǎng)應(yīng)建在三角形的三條角平分線的交點(diǎn)處．
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
3．（22-23七年級(jí)下·江西吉安·期末）在直角中，，平分交于點(diǎn)D，若，則點(diǎn)D到斜邊的距離為 ．

【答案】7
【分析】根據(jù)點(diǎn)D在的平分線上則點(diǎn)D到角的兩邊距離相等即可求解．
【詳解】解：作，則即為所求，

∵平分于點(diǎn)D，
∴（角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等）．
∵，
∴，
故答案為：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解點(diǎn)到兩邊的距離相等．
4．（22-23八年級(jí)上·貴州遵義·期末）如圖，已知的周長(zhǎng)是22，PB、PC分別平分和，于D，且，的面積是 ．
【答案】33
【分析】連接AP，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，可得PD=PE=PF=3，再根據(jù)三角形的面積等于三個(gè)小三角形的面積之和，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接AP，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，
∵PB、PC分別平分和，于D，
∴PD=PE，PD=PF，
∴PD=PE=PF=3，
∵的周長(zhǎng)是22，
∴的面積是 ．
故答案為：33
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
5．（22-23九年級(jí)上·貴州畢節(jié)·期末）如圖，中，，平分交于點(diǎn)，，，求到的距離．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由，cm，求得cm，再由角平分線的性質(zhì)定理即可求得到的距離．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
，cm，
cm，
又平分，∠C=90°，
cm，
即到的距離cm．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練運(yùn)用角平分線的性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
6．（22-23八年級(jí)下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，某人有一塊三角形的土地，已知其面積為6m 2，通過(guò)測(cè)量可知周長(zhǎng)為12m，I為ABC的三條角平分線交點(diǎn)，求點(diǎn)I到每條邊的距離？
【答案】1m
【分析】先連接角平分線交點(diǎn)與各個(gè)定點(diǎn)，然后過(guò)交點(diǎn)作各個(gè)邊的高，根據(jù)三角形的面積和周長(zhǎng)來(lái)求交點(diǎn)到各個(gè)邊的距離．
【詳解】如圖，連接IA，IB，IC，作于一點(diǎn)D，于點(diǎn)E， 于點(diǎn)F
∵I為的三條角平分線的交點(diǎn)
∴IA，IB，IC分別為三個(gè)內(nèi)角的角平分線
∴ID=IE=IF
∵，㎡
∴
即
∴
∵m
∴
∴m
∴ID=IE=IF=1m
即點(diǎn)I到每條邊的距離為1m．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用三角形的面積聯(lián)系三角形的周長(zhǎng)求得高．
【典型例題五 作角平分線(尺規(guī)作圖)】
1．（23-24八年級(jí)上·廣東東莞·期中）下列尺規(guī)作圖中，屬于作一個(gè)銳角平分線的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題主要考查了基本作圖．作一個(gè)角的平分線．
【詳解】解：選項(xiàng)A屬于作一個(gè)銳角平分線；
故選：A．
2．（22-23八年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖的尺規(guī)作圖是作（ ）
A．線段的垂直平分線B．一個(gè)角等于已知角
C．一條直線的平行線D．一個(gè)角的平分線
【答案】D
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線，根據(jù)作法解答即可．
【詳解】解：由圖形知，該尺規(guī)作圖的步驟依次是：以點(diǎn)O為圓心，任意長(zhǎng)為半徑，交于點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，
再分別以點(diǎn)C、D為圓心的長(zhǎng)度為半徑畫弧，
則即為的平分線，
故選：D．
3．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·期中）已知村政府現(xiàn)要在如圖所示區(qū)域內(nèi)，修建到，，三條公路距離相等的加油站P，則加油站的選址共有 種選擇．
【答案】4
【分析】
本題考查了角平分線的性質(zhì)的靈活應(yīng)用，注意：三角形的外角平分線的交點(diǎn)不要漏掉，思考問(wèn)題要全面．加油站到三條公路的距離相等，那么加油站應(yīng)該建在的內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)處或外角的角平分線的交點(diǎn)處，故滿足要求的加油站位置共有4個(gè)，作出其中一個(gè)即可．
【詳解】解：滿足要求的加油站位置共有4個(gè)，如圖所示，點(diǎn)即為所求．（答案不唯一，畫出，，也可以）
故答案為：4．
4．（22-23七年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期中）用用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角的角平分線示意圖如圖所示，則說(shuō)明∠AOC=∠BOC的依據(jù)是 （填寫：SSS或SAS或ASA或AAS）．
【答案】SSS
【分析】根據(jù)角平分線的作法可知MO=NO，CO=CO，MC=NC，符合三角形全等的判定方法中的SSS，可證△OMC≌△ONC，即證∠AOC=∠BOC．
【詳解】解：由作法知MO=NO，CO=CO，MC=NC，
∴△OMC≌△ONC（SSS），
∴∠AOC=∠BOC．
故答案為：SSS．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．要在作法中找已知條件．
5．（2024·陜西榆林·三模）尺規(guī)作圖：如圖，在中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上找一點(diǎn)D，使得平分．（不寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】見(jiàn)詳解
【分析】本題考查了作角平分線的尺規(guī)作圖，先以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交于，再以點(diǎn)為圓心，大于的一半長(zhǎng)度為半徑畫弧，交于一點(diǎn)E，然后連接交于一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，
【詳解】解：點(diǎn)D如圖所示：

6．（23-24九年級(jí)下·廣東汕頭·階段練習(xí)）如圖，中，，．
(1)尺規(guī)作圖：作的角平分線；（不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)若，直接寫出的面積為： ．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題考查了尺規(guī)作圖—作角平分線、角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)角平分線的作法即可完成作圖；
（2）作于，由角平分線的性質(zhì)定理得出，再由三角形面積公式計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）解：如圖，角平分線即為所作，
；
（2）解：如圖，作于，
，
∵平分，，
∴，
∴．
【變式訓(xùn)練1 角平分線性質(zhì)定理及證明】
1．（23-24八年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖，已知，兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在，上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M，點(diǎn)M一定在（ ）
A．邊的高上B．的平分線上C．的平分線上D．邊的中線上
【答案】B
【分析】根據(jù)角平分線的判定推出M在的角平分線上，即可得到答案．
【詳解】解：如圖：
，，，
在的角平分線上，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
2．（2023七年級(jí)下·河南周口·專題練習(xí)）如圖，平分，．填空：因?yàn)槠椒郑? ．從而 ．因此 ．
【答案】
【分析】由AC平分∠DAB，∠1＝∠2，可得出∠CAB＝∠2，由內(nèi)錯(cuò)角相等可以得出兩直線平行．
【詳解】解：∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠CAB．
又∵∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴ABDC（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
故答案為：∠CAB，∠CAB，DC．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定定理以及角平分線的定義，解題的關(guān)鍵是找出∠CAB＝∠2．解決該類題型只需牢牢掌握平行線的判定定理即可．
3．（22-23八年級(jí)上·安徽合肥·期末）已知：如圖，ABC中，∠ABC的平分線BD與∠ACB的平分線CE交于點(diǎn)I，連接AI并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)F．求證：AF平分∠BAC．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】過(guò)點(diǎn)I分別向△ABC的邊BC、AC、AB作垂線，垂足分別為點(diǎn)G、H、K，然后由角平分線的性質(zhì)得到IG＝IH，IG＝IK，然后得到IH＝IK，再證明△IHA≌△IKA即可得到AF平分∠BAC．
【詳解】證明：如圖所示，過(guò)點(diǎn)I分別作IG⊥BC、IH⊥AC、IK⊥AB，垂足分別G、H、K，
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴IG＝IH，IG＝IK，
∴IH＝IK，
在Rt△IHA和Rt△IKA中，
，
∴Rt△IHA≌Rt△IKA（HL），
∴∠IAH＝∠IAK，
∴AF平分∠BAC．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2 角平分線的性質(zhì)定理】
1．（22-23八年級(jí)上·河南漯河·階段練習(xí)）三角形內(nèi)到三角形各邊的距離都相等的點(diǎn)必在三角形的（ ）
A．中線上B．角平分線上C．高線上D．不能確定
【答案】B
【分析】此題考查的是角平分線的判定，掌握角平分線的判定定理是解決此題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的判定定理即可得出結(jié)論．
【詳解】
解：∵三角形內(nèi)的點(diǎn)到三角形各邊的距離都相等，
∴該點(diǎn)在各內(nèi)角的角平分線上，故B正確．
故選：B．
2．（22-23八年級(jí)上·北京·期中）如圖，在中，，平分，則的面積是 ．

【答案】2
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，據(jù)此作，得出即可求解．
【詳解】解：作，如圖所示：

∵平分，
∴
∵，
∴的面積，
故答案為：
3．（23-24七年級(jí)下·陜西西安·期末）如圖，在中，是的角平分線，于點(diǎn)E，，，，求的面積．
【答案】
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)．熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
如圖，作于，則，根據(jù)，求解作答即可．
【詳解】解：如圖，作于，
∵平分，，，
∴，
，，
∴，
∴的面積為．
【變式訓(xùn)練3 角平分線的判定定理】
1．（23-24八年級(jí)上·遼寧大連·期末）如圖，將兩個(gè)完全相同含角的三角尺與按圖示位置擺放，這兩個(gè)三角尺直角邊所在直線交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，射線就是的角平分線，判斷的依據(jù)是（ ）
A．角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等
B．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上
C．三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等
D．以上均不正確
【答案】B
【分析】本題考查角平分線的判定，涉及“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，掌握角平分線的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題意可知，本題判斷射線就是的角平分線的依據(jù)是“角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”，
故選：B．
2．（22-23八年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)M，于點(diǎn)N，若，且，則 °．
【答案】15°/15度
【分析】根據(jù)角平分線的判定可得答案．
【詳解】解：∵，，且，
∴平分，
∴，
故答案為：15°．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）判斷下面的證明過(guò)程是否正確，并說(shuō)明理由．
已知：如圖，點(diǎn)是射線上的一點(diǎn)，點(diǎn)、分別在、上，且．
求證：平分．
證明：∵點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且（已知），∴平分（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】本題考查了角平分線的判定，熟悉掌握判定方法是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)角平分線的判定方法補(bǔ)充條件解答即可．
【詳解】解：不正確．需添加條件，，，
證明：∵點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，且，，，（已知），
∴平分（在一個(gè)角的內(nèi)部且到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上）．
【變式訓(xùn)練4 角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用】
1．（22-23八年級(jí)上·河南洛陽(yáng)·期中）如圖，在中，是它的角平分線，cm，cm，則（ ）
A．16：9B．9：1C．3：4D．4：3
【答案】D
【分析】利用角平分線的性質(zhì)，可得出的邊上的高與的上的高相等，根據(jù)三角形的面積公式，即可得出與的面積之比等于對(duì)應(yīng)邊之比．
【詳解】解：∵是的角平分線，
∴設(shè)的邊上的高與的上的高分別為
∴，
∴與的面積之比=
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及三角形的面積公式，熟練掌握三角形角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（22-23八年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，直線a、b、c分別表示相互交叉的馬路，要建一個(gè)停車場(chǎng)要求到三條馬路的距離相等，那么符合條件的修建點(diǎn)有 處．

【答案】4
【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)．
【詳解】解：如圖所示，可供選擇的地址有4個(gè)．

故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，難點(diǎn)在于要考慮中轉(zhuǎn)站在△AOB內(nèi)部和外部?jī)煞N情況．
3．（22-23八年級(jí)上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）太和中學(xué)校園內(nèi)有一塊直角三角形(RtABC)空地，如圖所示，園藝師傅以角平分線AD為界，在其兩側(cè)分別種上了不同的花草，在ABD區(qū)域內(nèi)種植了月季花，在△ACD區(qū)域內(nèi)種植了牡丹花，并量得兩直角邊AB＝10m，AC＝6m，分別求月季花與牡丹花兩種花草的種植面積．
【答案】，
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作，是垂足，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，進(jìn)而根據(jù)求得，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式求解可．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)分別作，是垂足．
由，得，，
是的平分線，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，理解角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練5 作角平分線(尺規(guī)作圖)】
1．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，在中，以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，分別以點(diǎn)為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C，畫射線，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，且，點(diǎn)E是射線上一點(diǎn)，則的長(zhǎng)度不可能是（ ）
A．2B．2.5C．3D．5
【答案】A
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線上點(diǎn)到角兩端的距離相等可得，由點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)即可得出即可求解．
【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知：為的平分線，過(guò)點(diǎn)作，
為的平分線且，，，
，
，點(diǎn)為邊上任意一點(diǎn)，
，即，
的長(zhǎng)度不可能為，
故選：A．
2．（22-23七年級(jí)下·河南平頂山·期末）如圖，在中，．以點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交，于點(diǎn)，，再分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點(diǎn)，作射線交邊于點(diǎn)，若，的面積為，則線段的長(zhǎng)為 ．

【答案】5
【分析】先根據(jù)尺規(guī)作圖描述得出為的角平分線，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到點(diǎn)到的距離，進(jìn)而求出三角形的面積．
【詳解】由作法得平分，
如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作于E，∵，

根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得
，
的面積．
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)并靈活應(yīng)用．
3．（23-24七年級(jí)下·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，，交于點(diǎn)E，請(qǐng)用尺規(guī)作圖的方法在上求作一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到和的距離相等．（保留作圖痕跡，不寫作法）
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，作出的平分線交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為所作
【詳解】解：如圖，點(diǎn)P即為所作，
1．（22-23八年級(jí)上·河南周口·期中）如圖，的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，其三條角平分線將分為三個(gè)三角形，則等于（ ）．

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過(guò)點(diǎn)分別作，，的垂線，可得，從而可證，即可求解．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)分別作，，的垂線，垂足分別為點(diǎn)，，，

由角平分線的性質(zhì)定理得：，
的三邊，，長(zhǎng)分別是20，30，40，
．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，掌握定理是解題的關(guān)鍵．
2．（2024·青?！ぶ锌颊骖}）如圖，平分，點(diǎn)P在上，，，則點(diǎn)P到的距離是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】C
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理．過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E，
∵平分，，，
∴，
故選：C．
3．（23-24八年級(jí)上·河北滄州·期末）如圖，直線，，表示三條公路.現(xiàn)要建造一個(gè)中轉(zhuǎn)站，使到三條公路的距離都相等，則中轉(zhuǎn)站可選擇的點(diǎn)有（ ）
A．一處B．二處C．三處D．四處
【答案】D
【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并是解題的關(guān)鍵．由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件;然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè)，可得可供選擇的地址有4個(gè)．
【詳解】解：滿足條件的有：
（1）三角形兩個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，共一處；
（2）三角形外角平分線的交點(diǎn)，共三處．
故選：D．
4．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在中，．用尺規(guī)作圖法作出射線，交于點(diǎn)，則點(diǎn)到的距離是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】本題考查作圖基本作圖，角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是讀懂圖形信息，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．利用角平分線的性質(zhì)定理判斷出即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
由作圖可知平分，
，，
，
點(diǎn)到的距離為3．
故選：B．
5．（23-24九年級(jí)下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，兩把相同的直尺的一邊分別與射線重合，另一邊相交于點(diǎn)P，則平分的依據(jù)是（ ）
A．在角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
B．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等
C．角平分線的性質(zhì)
D．角是軸對(duì)稱圖形
【答案】A
【分析】本題主要考查了角平分線的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．根據(jù)角平分線的判定定理進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：∵兩把相同的直尺寬度相同，
∴點(diǎn)到射線的距離相等，
∵在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上，
∴點(diǎn)在的平分線上，
∴平分，故A正確．
故選：A．
6．（22-23七年級(jí)下·內(nèi)蒙古烏?！て谥校┤鐖D，ABCD，EFCD，CE平分∠ACD，∠A=110°，則∠CEF=
【答案】145°
【分析】首先利用求出的度數(shù)，然后利用角平分線的定義求出的度數(shù)，最后再利用平行線的性質(zhì)求解即可．
【詳解】，
．
，
．
∵CE平分∠ACD，
．
，
，
，
故答案為：145°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（23-24八年級(jí)下·福建三明·期末）如圖，在中，，平分，，則點(diǎn)D到邊的距離是 ．

【答案】4
【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線上點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理，即可求解．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作于點(diǎn)E，

∵，平分，，
∴，
即點(diǎn)D到邊的距離是4，
故答案為：4．
8．（22-23八年級(jí)下·遼寧丹東·期中）如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，若，，則的度數(shù)是 ．

【答案】/度
【分析】根據(jù)，，，可得為的角平分線．
【詳解】∵，，，
∴為的角平分線．
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)，牢記角平分線的性質(zhì)（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）是解題的關(guān)鍵．
9．（22-23八年級(jí)上·廣東廣州·期末）如圖，已知的周長(zhǎng)是16，、分別平分和，于，且，的面積是 ．
【答案】
【分析】將三角形面積轉(zhuǎn)化為三個(gè)小三角形的面積和求解即可．
【詳解】解：如圖，過(guò)O點(diǎn)分別向和作垂線，垂足分別為E和F，連接，
∵、分別平分和，，
∴，，
∴，
∴
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)和求三角形的面積，解題關(guān)鍵是得到O點(diǎn)到三邊的距離相等．
10．（23-24九年級(jí)下·廣東韶關(guān)·階段練習(xí)）如圖，在中，，，按以下步驟作圖：
①以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，分別交，于，兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)；③作射線，交于點(diǎn)．則 ．
【答案】/23度
【分析】
本題考查了作圖基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．
利用基本作圖得到平分，所以，然后利用互余計(jì)算出，從而得到的度數(shù)．
【詳解】
解：由作法得平分，
，
，，
，
．
故答案為：．
11．（23-24八年級(jí)上·福建莆田·開學(xué)考試）尺規(guī)作圖：已知，求作的平分線．
【答案】見(jiàn)解析
【分析】本題考查了尺規(guī)作角的平分線，是基本作圖，需熟練掌握．
以點(diǎn)為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，與邊、分別相交于點(diǎn)、，再以點(diǎn)、為圓心，以大于長(zhǎng)為半徑，畫弧，在內(nèi)部相交于點(diǎn)，連接，作射線即為的平分線．
【詳解】解：如圖所示，即為所求作的的平分線．
12．（22-23八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，分別是中的內(nèi)角平分線和外角平分線，它們有什么關(guān)系？
【答案】
【分析】根據(jù)角平分線的定義和鄰補(bǔ)角的定義可得，從而得到．
【詳解】解：，理由如下：
∵、分別是中的內(nèi)角平分線和外角平分線，
∴，
∴
∴
∴
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的角平分線：三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊交于一點(diǎn)，則這個(gè)內(nèi)角的頂點(diǎn)與所交的點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線，也考查了鄰補(bǔ)角的定義以及垂直的定義．
13．（22-23八年級(jí)上·陜西安康·期末）如圖，在直角中，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法在上求作一點(diǎn)使得點(diǎn)到邊的距離相等．(保留作圖痕跡，不寫作法)
【答案】見(jiàn)解析
【分析】要使點(diǎn)到的距離等于，點(diǎn)到的距離等于，只能是的角平分線，按照角平分線的作圖方法作出圖形即可．
【詳解】解：作出的角平分線和交于點(diǎn)，利用角平分線的性質(zhì)，點(diǎn)到邊的距離相等，
如圖，點(diǎn)即為所求，且．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線的性質(zhì)定理，熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理以及角平分線的畫法是解決本題的關(guān)鍵．
14．（23-24八年級(jí)下·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，是中的平分線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，，求的長(zhǎng)．
【答案】的長(zhǎng)為．
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再利用三角形面積公式即可求解．
【詳解】解：是的平分線，，，
，
，
，
．
答：的長(zhǎng)為．
15．（23-24八年級(jí)上·河南新鄉(xiāng)·期中）如圖，在的兩邊上分別取點(diǎn)M、N，連接．若平分，平分．
(1)求證：平分；
(2)若，且與的面積分別是和，求線段與的長(zhǎng)度之和．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)線段與的長(zhǎng)度之和為．
【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理及角平分線的判定，遇角平分線作垂線是解題關(guān)鍵．
（1）過(guò)點(diǎn)P作，垂足為C，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為E，根據(jù)平分可得，根據(jù)平分可得，據(jù)此即可求證；
（2）根據(jù)的面積=可得，即；根據(jù)四邊形的面積=的面積+的面積的面積+的面積即可求解．
【詳解】（1）證明：過(guò)點(diǎn)P作，垂足為C，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為D，過(guò)點(diǎn)P作，垂足為E，

∵平分，，
∴，
∵平分，，
∴，
∴，
∴平分；
（2）解：∵，的面積分別是，
∴，
∴，
∴，
∵的面積是，
∴四邊形的面積=的面積+的面積，
∴的面積+的面積，
∴，
∴，
∴線段與的長(zhǎng)度之和為．