題型一 圖形的全等
題型二 全等三角形的概念
題型三 全等三角形的性質(zhì)
題型四 用SSS證明三角形全等(SSS)
題型五 用SSS間接證明三角形全等(SSS)
題型六 用SAS證明三角形全等(SAS)
題型七 用SAS間接證明三角形全等(SAS)
題型八 尺規(guī)作一個角等于已知角
題型九 尺規(guī)作圖--作三角形
題型十 用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或者AAS)
題型十一 用HL證全等(HL)
題型十二 添加條件使三角形全等(全等三角形的判定綜合)
題型十三 靈活選用判定方法證全等(全等三角形的判定綜合)
題型十四 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題(全等三角形的判定綜合)
題型十五 倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)
題型十六 旋轉(zhuǎn)模型(全等三角形的輔助線問題)
題型十七 垂線模型(全等三角形的輔助線問題)
題型十八 全等三角形綜合問題
知識點01 全等圖形
（1）全等形的概念：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形；
（2）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形；
（3）三角形全等的符號。
“全等”用符號“≌”表示．注意：在記兩個三角形全等時，通常把對應(yīng)頂點寫在對應(yīng)位置上．
（4）對應(yīng)頂點、對應(yīng)邊、對應(yīng)角
把兩個全等三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應(yīng)頂點；重合的邊叫做對應(yīng)邊；重合的角叫做對應(yīng)角．
知識點02 全等三角形的性質(zhì)
（1）性質(zhì)1：全等三角形的對應(yīng)邊相等 性質(zhì)2：全等三角形的對應(yīng)角相等
說明：①全等三角形的對應(yīng)邊上的高、中線以及對應(yīng)角的平分線相等；
②全等三角形的周長相等，面積相等；③平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等
（2）關(guān)于全等三角形的性質(zhì)應(yīng)注意
①全等三角形的性質(zhì)是證明線段和角相等的理論依據(jù)，應(yīng)用時要會找對應(yīng)角和對應(yīng)邊．
②要正確區(qū)分對應(yīng)邊與對邊，對應(yīng)角與對角的概念，一般地：對應(yīng)邊、對應(yīng)角是對兩個三角形而言，而對邊、對角是對同一個三角形的邊和角而言的，對邊是指角的對邊，對角是指邊的對角．
知識點03 全等三角形的判定1：邊邊邊（SSS）
文字：在兩個三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.
圖形：
符號：在與中，
證明的書寫步驟：
①準(zhǔn)備條件：證全等時要用的條件要先證好；②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
③擺齊根據(jù)：擺出三個條件用大括號括起來；④寫出結(jié)論：寫出全等結(jié)論.
注意：（1）說明兩三角形全等所需的條件應(yīng)按對應(yīng)邊的順序書寫.
（2）結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明的兩個三角形中.
用尺規(guī)作一個角等于已知角:已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
作法：（1）以點O 為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB 于點C、D；
（2）畫一條射線O′A′，以點O′為圓心，OC 長為半徑畫弧，交O′A′于點C′；
（3）以點C′為圓心，CD 長為半徑畫弧，與第2 步中所畫的弧交于點D′；
（4）過點D′畫射線O′B′，則∠A′O′B′=∠AOB．
知識點04 全等三角形的判定2：邊角邊（SAS）
文字：在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：
符號：在與中，
“SAS”判定方法證明兩個三角形全等及進行簡單的應(yīng)用．
1.證明線段相等或者角相等時，常常通過證明它們是全等三角形的對應(yīng)邊或?qū)?yīng)角來解決.
2判斷三角形全等時，注意兩邊與其中一邊的對角相等的兩個三角形不一定全等．解題時要根據(jù)已知條件的位置來考慮，只具備SSA時是不能判定三角形全等的．
知識點05 全等三角形的判定3：角邊角（ASA）
文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：

符號：在與中，
1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．
2.全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.
知識點06 全等三角形的判定4：角角邊（AAS）
文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；
圖形：
符號：在與中，
1.方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．
2.全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.
知識點07 直角三角形全等的判定：HL
文字：在兩個直角三角形中，如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：HL）
圖形：
符號：在Rt與Rt中，
方法總結(jié)：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用時應(yīng)該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
在直角三角形中，只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應(yīng)邊相等）
知識點08 等三角形的常見輔助線的作法
1）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明．這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目．
2)旋轉(zhuǎn)法，將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等。旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線）。這種作法和截長補短類似，適合證明線段的和、差、倍、分等類的題目．常見于半角模型中。
3)遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”．
4）過端點作另一邊的平行線：其目的是構(gòu)造出一組全等三角形；特點：中線倍長的反向應(yīng)用
5）向中線作垂線法：過線段兩端點向中點處的線段作垂線；目的是構(gòu)造出一組全等三角形
【典型例題一 圖形的全等】
1．（23-24八年級上·河南安陽·階段練習(xí)）下列幾組圖形中是全等形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）下列各組圖形中，是全等圖形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（22-23七年級下·四川達州·開學(xué)考試）如圖所示的圖案是由全等的圖形拼成的，其中AD=0.5，BC=1，則AF= ．
4．（2023九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD≌四邊形A′B′C′D′，若∠A＝110°，∠C＝60°，∠D′＝105°，則∠B＝ ．
5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）下面各對圖形是不是全等圖形？為什么？
(1)邊長都是的兩個正方形．
(2)如圖所示的兩件衣服．
6．（2023八年級上·全國·專題練習(xí)）將網(wǎng)格線劃分成兩個全等圖形，參考圖例補全另外幾種．
【典型例題二 全等三角形的概念】
1．（22-23八年級·全國·課堂例題）說法中正確的是（ ）
A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形B．全等三角形是指面積相等的兩個三角形
C．兩個等邊三角形是全等三角形D．周長相等的兩個三角形不一定全等
2．（23-24八年級上·廣西南寧·期中）如圖，，和，和是對應(yīng)邊，則的對應(yīng)角是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年級上·新疆和田·階段練習(xí)）和全等，記作 ．
4．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，與全等，可表示為 ，與是對應(yīng)角，AC與BD是對應(yīng)邊，其余的對應(yīng)角是 ，其余的對應(yīng)邊是 ．
5．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，若，與是對應(yīng)角，與是對應(yīng)邊，寫出其他的對應(yīng)邊及對應(yīng)角．
6．（23-24八年級上·陜西延安·階段練習(xí)）如圖，，請寫出圖中的對應(yīng)角，對應(yīng)邊．

①的對應(yīng)角為（ ）；②的對應(yīng)角為（ ）；③的對應(yīng)角為（ ）；④的對應(yīng)邊為（ ）；⑤的對應(yīng)邊為（ ）．
【典型例題三 全等三角形的性質(zhì)】
1．（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，若，，，則的長為（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．（23-24七年級上·山東煙臺·期中）如圖，，若，則（ ）
A．B．C．D．5°
3．（2023·湖南邵陽·三模）如圖，若≌，且，則 ．
4．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，，若，，則 ；
5．（23-24八年級上·河南安陽·階段練習(xí)）如圖，已知．如果，，求的長．
6．（22-23八年級上·山西忻州·階段練習(xí)）如圖，已知，點C、F在上，，．求的長．

【典型例題四 用SSS證明三角形全等(SSS)】
1．（23-24八年級上·山東淄博·階段練習(xí)）如圖，中，，，直接使用“”可判定（ ）
A．B．
C．D．
2．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期末）如圖，，，這樣可以證明．其依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年級上·遼寧盤錦·階段練習(xí)）如圖，已知，，．則可推出 全等．
4．（23-24八年級上·江蘇泰州·期中）如圖，的3個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上的三角形叫格點三角形．除格點外，在網(wǎng)格中可畫出與全等的格點三角形共有 個．

5．（22-23八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，點在同一條直線上，，，．求證：．

6．（2023·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，．求證：．
【典型例題五 用SSS間接證明三角形全等(SSS)】
1．（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）一個三角形的三邊長為，，，另一個三角形的三邊長為，，，如果由“”可以判定兩個三角形全等，則的值為（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級上·四川巴中·階段練習(xí)）如圖，點、在線段上，，，，要判定，較為快捷的方法為（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年級上·福建廈門·期中）如圖，AB，CD相交于點O，，請你補充一個條件，使得，你補充的條件是 ．
4．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）已知一條線段作等邊三角形，使其邊長等于已知線段，則作圖的依據(jù)是 ．
5．（22-23八年級上·廣東廣州·期中）如圖，點A、B、C、D在同一直線上，AM=CN，BM=DN，AC=BD．求證：BM//DN.
6．（23-24八年級上·廣東肇慶·期末）如圖，C是的中點，，．求證：．
【典型例題六 用SAS證明三角形全等(SAS)】
1．（23-24八年級上·河南洛陽·期中）下面不是全等三角形判定的基本事實的是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級上·江西上饒·期中）如圖，已知，，那么判定的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，．若要直接根據(jù)“SAS”說明，需添加的條件是 ．
4．（23-24七年級下·全國·假期作業(yè)）如圖，小明要測量水池的寬，但沒有足夠長的繩子，聰明的他想了如下辦法：先在地上取一個可以直接到達點和點的點，連接并延長到，使，連接并延長到，使，連接并測量出它的長度，則的長度就是的長，理由是根據(jù) （用簡寫形式即可），可以得到，從而由全等三角形的對應(yīng)邊相等得出結(jié)論．

5．（23-24九年級下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，中，為的中點，連接并延長到，使．求證：．
6．（23-24七年級上·山東東營·期中）如圖，在與中，，與全等嗎？說明理由．

【典型例題七 用SAS間接證明三角形全等(SAS)】
1．（22-23八年級上·湖北武漢·期中）如圖，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，ABDE，運用“SAS”判定△ABC≌△DEF，需補充的條件是（ ）
A．AC＝DFB．∠A＝∠DC．BE＝CFD．∠ACB＝∠DFE
2．（22-23八年級上·云南保山·期中）如圖，AB∥DC，AB=DC，要使△ABD≌△CDB，直接利用三角形全等的判定方法是（ ）
A．AASB．SASC．ASAD．SSS
3．（2023·湖南長沙·中考真題）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AB=DE，BE=CF，AC=6，則DF=
4．（23-24八年級上·吉林松原·期中）如圖，為了測量A、B兩點之間的距離，在地面上找到一點C，使，然后在的延長線上確定點D，使，那么只要測量出的長度就得到A、B兩點之間的距離，其中的依據(jù)是 ．

5．（22-23七年級下·山東濟南·期中）如圖，點B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

6．（23-24八年級上·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖，小明想要測量池塘的長，池塘西邊有一座水房，在的中點處有一棵百年古樹，小明從出發(fā)，沿直線一直向前經(jīng)過點走到點三點在同一條直線上），并使，然后他測得點與水房之間的距離是10米，求池塘的長．
【典型例題八 尺規(guī)作一個角等于已知角】
1．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，用直尺和圓規(guī)作，作圖痕跡中，弧是（ ）
A．以點C為圓心，為半徑的弧B．以點C為圓心，為半徑的弧
C．以點G為圓心，為半徑的弧D．以點G為圓心，為半徑的弧
2．（23-24七年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）下面是黑板上出示的尺規(guī)作圖題，需要回答符號代表的內(nèi)容，下列回答不正確的是（ ）
A．☆表示點B．○表示任意長C．□表示D．△表示射線
3．（23-24八年級上·河南周口·期中）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角時，依據(jù)判定三角形全等的基本事實是 ．
4．（23-24七年級下·山東濟南·期中）如圖，，，根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可知的度數(shù)為 ．
5．（23-24八年級上·陜西西安·階段練習(xí)）已知：四邊形，在上求作一點，使（用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．
6．（23-24七年級上·安徽亳州·期末）如圖，已知，用直尺和圓規(guī)在射線的右側(cè)作，使得．（不寫作法，只需保留作圖痕跡）

【典型例題九 尺規(guī)作圖--作三角形】
1．（23-24八年級上·河北石家莊·期中）如圖是作的作圖痕跡，則此作圖的已知條件為（ ）
A．已知兩角及夾邊B．已知三邊
C．已知兩邊及夾角D．已知兩邊及一邊夾角
2．（23-24八年級上·河北承德·期末）已知線段a，c，，求作：，使，，．
以下是排亂的作圖步驟：
正確作圖步驟的順序是（ ）
A．①②③④B．①③②④C．①③④②D．①②④③
3．（22-23八年級上·全國·課后作業(yè)）已知線段a，b，c，求作，使．
①以點B為圓心，c的長為半徑畫?。?br>②連接；
③作；
④以點C為圓心，b的長為半徑畫弧，兩弧交于點A．
作法的合理順序是 ．
4．（22-23七年級上·河南濮陽·期中）如圖，已知線段a，b，c，求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c，下面作法中：①分別以B，C為圓心，c，b為半徑作弧，兩弧交于點A；②作線段BC＝a；③連接AB，AC，△ABC為所求作的三角形．正確順序應(yīng)為 ．（填序號）
5．（2023七年級下·上?！ｎ}練習(xí)）畫，，．
6．（23-24七年級上·山東煙臺·期中）已知：，，線段，如圖所示．求作：，使，，．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【典型例題十 用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或者AAS)】
1．（22-23八年級上·河南商丘·期中）如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分，很快他就根據(jù)所學(xué)知識畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·遼寧沈陽·階段練習(xí)）小軒用如圖所示的方法測量小河的寬度．他利用適當(dāng)?shù)墓ぞ撸?，點在同一直線上，就能保證，從而可通過測量的長度得知小河的寬度．在這個問題中，可作為證明的依據(jù)的是（ ）
A．SAS或SSSB．AAS或SSS
C．ASA或AASD．ASA或SAS
3．（23-24八年級上·湖南衡陽·期末）如圖，已知，若以“”為依據(jù)證明，還要添加的條件是 ．
4．（23-24七年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，太陽光線和是平行的，在同一時刻，兩根高度相等的木桿的影子是一樣長的，這利用了全等圖形的性質(zhì)，其中判斷的依據(jù)是 ．
5．（2024·云南昭通·一模）如圖，，求證：．
6．（22-23八年級·全國·課堂例題）如圖所示，如果，，，那么成立嗎?請說明理由．
【典型例題十一 用HL證全等(HL)】
1．（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為，，要根據(jù)“”證明與全等，則還需要添加一個條件是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級下·河南鄭州·期中）過射線上一點分別向的兩邊作垂線，得到垂線段與，若垂線段，則可以得到一對全等三角形，為了證明，運用到的全等三角形判定定理是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）如圖，在的兩邊上，分別取，再分別過點M、N作的垂線，交點為P，畫射線，則平分的依據(jù)是 ．（填或或）
4．（23-24八年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）將和如圖所示放置，已知，若利用“”證明，則需要添加的條件是 ．
5．（22-23八年級上·山東德州·階段練習(xí)）已知：如圖AD為△ABC的高，E為AC上一點BE交AD于F且有BF＝AC，F(xiàn)D＝CD．求證：Rt△BFD≌Rt△ACD．
6．（22-23八年級上·四川資陽·期中）如圖，已知AB＝AD，∠B＝∠D＝90°．求證：△ABC≌△ADC．

【典型例題十二 添加條件使三角形全等(全等三角形的判定綜合)】
1．（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，， 下列條件中不能判斷的是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年級上·遼寧撫順·期末）如圖，已知， 那么添加下列一個條件后不能證明的是（ ）

A．B．C．D．
3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）如圖，B是中點，，請?zhí)砑右粋€條件，使得，可以添加的條件是 ．（寫出一個即可）
4．（23-24七年級下·江西吉安·期末）如圖，點在同一條直線上，，要使，只需添加一個條件，這個條件可以是 ．
5．（23-24八年級上·山東菏澤·期中）已知：如圖，，請你添加一個條件，使得，并給予證明．

6．（2023·湖北黃石·一模）如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，連結(jié)AD，請你添加一個條件，使△ABD≌△ACD，并說明全等的理由．
你添加的條件是
【典型例題十三 靈活選用判定方法證全等(全等三角形的判定綜合)】
1．（23-24八年級上·山西臨汾·期末）我們在探索兩個三角形有三組對應(yīng)相等的元素是否全等時，我們按照“三邊對應(yīng)相等，兩邊一角對應(yīng)相等，兩角一邊對應(yīng)相等，三角對應(yīng)相等的兩個三角形是否全等”進行，這種做法主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（ ）
A．化歸思想B．分類討論思想C．?dāng)?shù)形結(jié)合思想D．建模思想
2．（22-23八年級上·浙江臺州·期末）根據(jù)圖中四個三角形所給的條件，可以判定兩個三角形全等的有（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年級上·福建泉州·期中）如圖，在方格紙中，以為一邊作（點P不與點A重合），使之與全等，則這樣的點P有 個．

4．（23-24八年級上·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，四邊形中，對角線、相交于點，如果，，那么圖中一共有 對全等的三角形．
5．（22-23八年級·全國·課后作業(yè)）如圖，相交于點，你能找出兩對全等的三角形嗎？你能說明其中的道理嗎？
6．（2023·北京朝陽·三模）如圖，在中，C，D是邊上的兩點，有下面四個關(guān)系式：（1），（2），（3），（4）請用其中兩個作為已知條件，余下兩個作為求證的結(jié)論，寫出你的已知和求證（請寫具體內(nèi)容，不要寫序號）并證明．
已知：
求證：
證明：
【典型例題十四 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題(全等三角形的判定綜合)】
1．（2023八年級·全國·專題練習(xí)）下列各條件中，畫出的三角形不只有一個的是（ ）
A．已知兩邊和夾角B．已知兩邊和其中一邊的對角
C．已知兩角和夾邊D．已知三邊
2．（23-24八年級上·河北石家莊·期中）如圖，已知；，線段，求作．
作法；（1）作線段；
（2）在的同旁作，，與的另一邊交于點．則是所作三角形，這樣作圖的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
3．（22-23八年級下·浙江·期末）如圖，利用尺規(guī)作圖：作的平分線的原理是 ．
4．（22-23八年級上·湖北黃岡·階段練習(xí)）如圖，△ABC中，點A的坐標(biāo)為（0，-2），點C的坐標(biāo)為（2，1），點B的坐標(biāo)為（3，-1），要使△ACD與△ACB全等，那么符合條件的點D有 個．
5．（22-23八年級上·吉林長春·期末）如圖，小華想作出的平分線，但她沒帶圓規(guī)，手邊只有刻度尺，請你幫她設(shè)計一個方法．（要求：作出圖形，并寫出簡要的作圖步驟，不需要證明）

6．（22-23八年級上·吉林長春·期末）圖①、圖②均為的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點，邊長均為1．在圖①、圖②中按下列要求各畫一個三角形．
要求：
(1)三角形的三個頂點都在格點上．
(2)與全等，且位置不同．
【典型例題十五 倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（22-23八年級上·重慶·階段練習(xí)）在中，，中線，則邊的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在中，為中線，在延長線上取一點E，連接，使．過點C作于點F．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）
①；②；③；④；⑤．

A．1個B．2個C．3個D．4個
3．（23-24八年級上·遼寧朝陽·期中）已知三角形的兩邊長分別為和8，則第三邊上中線長m的取值范圍是 ．
4（22-23八年級上·吉林長春·期末）如圖，中，，，是的中點，的取值范圍為 ．
5．（23-24八年級上·海南省直轄縣級單位·期中）如圖，已知中，，，是的中線，求的取值范圍．
6．（23-24八年級上·江西贛州·期中）安安同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖，中，，，是中線，求的取值范圍.
寧寧提示她可以延長到，使，連接，證明，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決.請解答：
(1)和全等嗎？請說明理由；
(2)求出的取值范圍.
【典型例題十六 旋轉(zhuǎn)模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（2023·天津東麗·一模）如圖，將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后得到，若，，且，則，兩點之間的距離為（ ）

A．B．
C．2D．
2．（22-23九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖所示，是線段上一點，分別以，為邊在同側(cè)作等邊和等邊，交于，交于，則圖中可通過旋轉(zhuǎn)而得到的全等三角形的對數(shù)為（ ）對．
A．1B．2
C．3D．4
3．（22-23八年級上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）如圖，按順時針方向轉(zhuǎn)動40°得，點D恰好在邊BC上，則∠C＝ °．
4．（22-23八年級下·全國·課后作業(yè)）如圖所示，等腰直角三角形中，，，為的中點，．則四邊形的面積為 ．
5．（22-23九年級上·云南玉溪·期中）如圖，將的斜邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段，過點作的垂線，交延長線于點．求證：．
6．（22-23九年級上·廣東東莞·期末）如圖所示，∠DBC＝90°，∠C＝45°，AC＝2，△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△DBE，連接AE．
（1）求證：△ABC≌△ABE；
（2）連接AD，求AD的長．
【典型例題十七 垂線模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（22-23八年級上·江蘇南通·期中）如圖，在中，，，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，求點的坐標(biāo)（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）如圖，△ABC是一個什么三角形？（ ）請說明理由．
A．等腰三角形；B．等邊三角形
C．直角三角形；D．等腰直角三角形
3．（22-23九年級上·福建寧德·期末）如圖，將正方形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點，點C的坐標(biāo)是（3，2），則點A的坐標(biāo)是 ．
4．（22-23八年級上·四川自貢·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將直角三角形的頂點放在P（5,5）處，兩直角邊與坐標(biāo)軸交點為A,B,則OA+OB的長是 .
5．（22-23七年級下·安徽阜陽·期末）如圖，已知：，，，，那么AC與CE有什么關(guān)系？寫出你的猜想并說明理由．
6．（2023九年級·全國·專題練習(xí)）如圖所示，，且，延長交于點，且．求證：．
【典型例題十八 全等三角形綜合問題】
1．（23-24八年級上·廣東廣州·期中）下列說法正確的是( )
A．全等三角形的邊相等B．全等三角形的角相等
C．全等三角形的面積相等D．面積相等的兩個三角形全等
2．（22-23八年級上·河南開封·期末）如圖是小華作業(yè)的部分片段，則被污染的部分可能是（ ）
A．B．C．D．
3．（23-24八年級上·四川南充·期末）如圖，中，，點P與點Q分別在和上移動，且則當(dāng) 時，和全等．
4．（23-24七年級下·遼寧阜新·期中）如圖，已知線段米，射線于點A，射線于點B，M點從B點向A運動，每秒走1米，N點從B點向D點運動，每秒走4米，M、N同時從B出發(fā)，若射線上有一點P，使得和全等，則線段的長度為 米．
5．（23-24八年級上·貴州黔西·階段練習(xí)）如圖①，點A，E，F(xiàn)，C在同一直線上，，過點E，F(xiàn)分別作．
(1)求證：
(2)若與交于點G，試證明平分；
6．（23-24七年級下·遼寧丹東·期中）如圖，在中，，，點是外部一點，連結(jié)，作，，垂足分別為點，
(1)求證：；
(2)已知，，求的長．
【變式訓(xùn)練1 圖形的全等】
1．（23-24七年級上·山東東營·階段練習(xí)）在下列每組圖形中，是全等形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23七年級下·福建泉州·期末）如圖，四邊形四邊形，則的大小是 ．
3．（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）請用不同的方法在下面三個圖中沿著虛線把它們分割成四個全等的圖形.
【變式訓(xùn)練2全等三角形的概念】
1．（23-24八年級上·福建福州·開學(xué)考試）如圖，，C，B是對應(yīng)點，下列結(jié)論錯誤的是（ ）

A．和是對應(yīng)角B．和是對應(yīng)角
C．與是對應(yīng)邊D．和是對應(yīng)邊
2．（22-23八年級上·北京西城·階段練習(xí)）如圖，在中，，，，D是坐標(biāo)平面上一點，若以A，B，D為頂點的三角形與全等，則點D的坐標(biāo)是 ．
3．（23-24八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，，請指出兩個全等三角形的對應(yīng)邊和對應(yīng)角．

【變式訓(xùn)練3 全等三角形的性質(zhì)】
1．（2024九年級下·全國·專題練習(xí)）已知下圖中的兩個三角形全等，則等于（ ）

A．B．C．D．
2．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）茗茗用同種材料制成的金屬框架如圖所示，已知，其中的周長為，，則制成整個金屬框架所需這種材料的長度為 ．
3．（23-24七年級下·河南周口·期末）如圖，，，，，．

(1)試說明：；
(2)求的長度．
【變式訓(xùn)練4 用SSS證明三角形全等(SSS)】
1．（23-24八年級上·浙江溫州·期中）如圖是雨傘在開合過程中某時刻的結(jié)構(gòu)圖，是傘骨，是連接彈簧和傘骨的支架，已知點D，E分別是的中點，，．彈簧M在向上滑動的過程中，總有，其判定依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級上·吉林長春·期末）如圖，，，則，應(yīng)用的判定方法是 ．
3．（23-24七年級下·陜西咸陽·階段練習(xí)）如圖，點A，F(xiàn)，C，D在同一條直線上，，，，和全等嗎？請說明理由．
【變式訓(xùn)練5 用SSS間接證明三角形全等(SSS)】
1．（22-23八年級上·天津?qū)幒印て谥校┤鐖D已知，，點B，D，E，C在同一條直線上，要利用“”，推理出還需要添加的一個條件可以是（ ）
A．B．C．D．以上都對
2．（22-23八年級上·吉林白城·期中）已知，如圖，AD=AC，BD=BC，O為AB上一點，那么圖中共有 對全等三角形．
3．（23-24八年級上·陜西商洛·階段練習(xí)）如圖，在和中，，且點在同一條直線上．求證：．

【變式訓(xùn)練6 用SAS證明三角形全等(SAS)】
1．（23-24八年級上·北京西城·期中）在生物實驗課上，老師布置了“測量雉形瓶內(nèi)部底面內(nèi)徑”的任務(wù)．小亮同學(xué)想到了以下這個方案：如圖，用螺絲釘將兩根小棒，的中點固定，利用全等三角形的性質(zhì)，只要測得，之間的距離，就可知道內(nèi)徑的長度．此方案中，判定和是全等三角形的依據(jù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24八年級上·吉林長春·期中）如圖所示的5個三角形中： ， ．
3．（2024·云南麗江·二模）如圖，點B，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，，，，求證：．
【變式訓(xùn)練7 用SAS間接證明三角形全等(SAS)】
1．（22-23九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，由∠1=∠2，BC=DC，AC=EC，得△ABC≌△EDC的根據(jù)是（ ）
A．SASB．ASAC．AASD．SSS
2．（23-24八年級上·江蘇鹽城·期末）如圖，，，添加條件 ，可以根據(jù)“”得到．
3．（23-24八年級上·廣東江門·期中）如圖，已知，，，求證：．
【變式訓(xùn)練8 尺規(guī)作一個角等于已知角】
1．（23-24七年級下·山東濟南·期中）如下所示的尺規(guī)作圖題，題中符號代表的內(nèi)容正確的是（ ）
如圖，已知，求作：，使
作法：（1）以①為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點；
（2）作射線，并以點為圓心，以②長為半徑畫弧交于點；
（3）以點為圓心，以③長為半徑畫弧交（2）步中所畫弧于點；
（4）作④，即為所求作的角．
A．①表示點B．②表示C．③表示D．④表示射線
2．（23-24七年級上·山東泰安·期中）如圖，若，根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，則的度數(shù)為 ．

3．（23-24七年級下·陜西西安·期末）如圖，根據(jù)給出的，，求作，使．（保留作圖痕跡，不寫作法）


【變式訓(xùn)練9 尺規(guī)作圖--作三角形】
1．（22-23八年級上·山東青島·期中）如圖（1）所示，已知線段，，求作，使，，張蕾的作法如圖（2）所示，則下列說法中一定正確的是（ ）
A．作的依據(jù)為B．弧是以長為半徑畫的
C．弧是以點A為圓心，為半徑畫的D．弧是以長為半徑畫的
2．（22-23七年級下·全國·課后作業(yè)）尺規(guī)作三角形的類型：
3．（23-24七年級下·遼寧沈陽·期中）尺規(guī)作圖：（不寫作法，保留作圖痕跡）
已知：已知線段a，b和
求作：使，，
【變式訓(xùn)練10 用ASA(AAS)證明三角形全等(ASA或者AAS)】
1．（23-24七年級下·重慶·期末）如圖，某段河流的兩岸是平行的，小開想出了一個不用涉水過河就能測得河的寬度的方案，首先在岸邊點B處，選對岸正對的一棵樹A，然后沿河岸直行到達樹C，繼續(xù)前行到達點D處，再從點D處沿河岸垂直的方向行走．當(dāng)?shù)竭_樹A正好被樹C遮擋住的點E處時，停止行走，此時的長度即為河岸的寬度．小開這樣判斷的依據(jù)是（ ）

A． B． C． D．
2．（23-24八年級上·云南昭通·階段練習(xí)）如圖，，，，，則等于 ．
3．（2024·陜西西安·一模）如圖，點在上，，，．求證：
【變式訓(xùn)練11 用HL證全等(HL)】
1．（23-24八年級上·云南保山·期末）用三角尺可按下面方法畫角平分線：如圖擺放使得三角板刻度相同，即，畫射線，則平分．作圖過程用了，那么所用的判定定理是（ ）
A．B．C．D．
2．（22-23八年級上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，，，垂足分別為D，E，，則 ，理由是 ．

3．（22-23八年級下·廣東深圳·階段練習(xí)）如圖，已知，、在線段上，與交于點，且，．求證：．
【變式訓(xùn)練12 添加條件使三角形全等(全等三角形的判定綜合)】
1．（23-24七年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，在和中，點B，F(xiàn)，C，E在同一直線上，，只添加一個條件，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年級下·福建福州·期末）如圖，點E、F在上，，，相交于點G，請?zhí)砑右粋€條件 使得．

3．（2024·陜西西安·三模）如圖，在和中，與交于點O，，請你再添加—個條件：______，使得，并說明理由．
【變式訓(xùn)練13 靈活選用判定方法證全等(全等三角形的判定綜合)】
1．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）已知的三個內(nèi)角三條邊長如圖所示，則甲、乙、丙三個三角形中，和全等的圖形是（ ）
A．甲和乙B．乙和丙C．只有乙D．只有丙
2．（22-23八年級上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）（1）周長相等的兩個三角形全等．（2）周長相等的兩個等邊三角形全等．（3）有三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等．（4）有三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．以上說法中，錯誤的有 個．
3．（23-24八年級上·安徽阜陽·期末）如圖，在和中，，，，在同一條直線上．下面四個條件：①；②；③；④．
(1)請選擇其中的三個作為條件，另一個作為結(jié)論，組成一個真命題（寫出兩種情況即可，填序號）．
①已知：_____________；求證：__________；
②已知：_____________；求證：_____________；
(2)在（1）的條件下，選擇一種情況進行證明．
【變式訓(xùn)練14 結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題(全等三角形的判定綜合)】
1．（23-24八年級上·河北邢臺·期中）如圖，課本上給出了小明一個畫圖的過程，這個畫圖過程說明的事實是（ ）

A．兩個三角形的兩條邊和夾角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等
B．兩個三角形的兩個角和其中一角的對邊對應(yīng)相等，這兩個三角形全等
C．兩個三角形的兩條邊和其中一邊對角對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等
D．兩個三角形的兩個角和夾邊對應(yīng)相等，這兩個三角形不一定全等
2．（23-24八年級上·江蘇宿遷·期中）如圖，的3個頂點分別在小正方形的頂點（格點）上，這樣的三角形叫做格點三角形．若要在圖中再畫1個格點三角形，使，則這樣的格點三角形最多可以畫 個．

3．（22-23八年級上·吉林長春·期中）圖①、圖②均為邊長為1的正方形網(wǎng)格．△ABC的頂點A、B、C均在小正方形的格點上，按要求在圖①、圖②中各畫一個三角形．
（1）在圖①中畫一個三角形與△ABC全等，且只有1個公共頂點．
（2）在圖②中畫一個三角形與△ABC全等，且只有1條公共邊．
【變式訓(xùn)練15 倍長中線模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（23-24八年級上·廣西河池·期中）如圖，中，，，是邊上的中線，若，則的取值范圍為（ ）

A．B．C．D．
2．（22-23八年級上·湖北孝感·期中）在中，是邊上的中線，，，則的取值范圍是 ．
3．（22-23七年級下·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）如圖所示，是的邊的中線．

(1)畫出以點為對稱中心且與成中心對稱的三角形；
(2)若，，求的長的取值范圍．
【變式訓(xùn)練16 旋轉(zhuǎn)模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（2023九年級·全國·專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的形狀和大小保持不變，將菱形ABCD繞點B旋轉(zhuǎn)適當(dāng)角度得到菱形A'BC'D'，邊A'D'與AD，DC交于E，F(xiàn)（D，E，F(xiàn)不重合），連接EB，F(xiàn)B．在旋轉(zhuǎn)過程中，下列判斷錯誤的是（ ）
A．EB平分∠AED'
B．FB平分∠A'FC
C．△DEF的周長是一個定值
D．S△DEF+2S△BEF＝S菱形ABCD
2．（22-23九年級上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）如圖，將繞著直角頂點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，若，則 度．
3．（22-23九年級上·福建福州·期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45°得到△BDE，點D的對應(yīng)點為點A，連接AD，求∠ADE的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練17 垂線模型(全等三角形的輔助線問題)】
1．（23-24八年級下·安徽蚌埠·開學(xué)考試）如圖所示，在中，，，于點，于點，，，則的長是( )

A．B．C．D．
2．（22-23八年級上·河南鄭州·期末）如圖，，以點為直角頂點在第一象限作等腰直角，則點的坐標(biāo)為
3．（22-23八年級上·新疆烏魯木齊·期中）如圖，為等腰直角三角形，，．
(1)求證：；
(2)求證：
【變式訓(xùn)練18 全等三角形綜合問題】
1．（23-24七年級下·陜西西安·期中）如圖，已知線段米，射線于點，射線于，點從點向運動，每秒走1米，點從點向運動，每秒走4米，同時從出發(fā)，若射線上有一點P，使得和全等，則線段的長度為（ ）米
A．6或60B．60C．24或60D．6
2．（23-24八年級上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，已知四邊形中，厘米，厘米，厘米，，點E為線段的中點．如果點在P線段上以3厘米/秒的速度由B點C向點運動，同時，點Q在線段上由點C向點D運動．當(dāng)點Q的運動速度為 厘米/秒時，能夠使與全等．
3．（23-24八年級上·遼寧營口·階段練習(xí)）在三角形中，度，， 直線經(jīng)過點，且于，于點．
(1)當(dāng)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時，求證：①；②．
(2)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，（1） 中的結(jié)論還成立嗎?若成立，請給予證明；若不成立，說明理由．
(3)直線繞點旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，試問：，，有怎樣的關(guān)系?請寫出這個等量關(guān)系，并加以證明．
1．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列四組圖形中，不是全等形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24八年級上·重慶南川·期末）如圖，，若，，則線段的長是（ ）
A．8B．10C．15D．20
3．（23-24八年級上·貴州黔東南·期中）用直尺和圓規(guī)作一個角等于已知角的示意圖如右圖，則要說明，需要證明和全等，則這兩個三角形全等的依據(jù)是（ ）
A． B． C． D．
4．（22-23八年級上·安徽合肥·期末）如圖，一個三角形鋼板插在水泥臺面中，某同學(xué)說：“不用拔出鋼板，就能畫出一個與該三角形鋼板完全重合的三角形”，那么他所用到的數(shù)學(xué)知識是（ ）
A．B．C．D．
5．（22-23八年級上·河南南陽·期中）如圖，在正方形方格中，各正方形的頂點叫做格點，三個頂點都在格點上的三角形稱為格點三角形．圖中是格點三角形，請你找出方格中所有與全等，且以為頂點的格點三角形，這樣的三角形共有（ ）個（除外）．
A．2B．3C．4D．5
6．（22-23七年級·全國·課后作業(yè)）如圖，圖中有6個條形方格圖，圖上由實線圍成的圖形是全等形的有 對．
7．（23-24七年級下·遼寧遼陽·期中）如圖，在長方形中，，，點P以的速度由點B向點C運動，同時點Q以的速度由點C向點D運動，若和全等，則a的值為 ．
8．（23-24八年級上·吉林·期中）如圖，，，M，N分別是，的中點，若的面積為，則圖中陰影部分的面積為 ．

9．（22-23八年級上·山東菏澤·期中）如圖，四邊形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝4cm，BD＝BC＝7cm，CE⊥BD于點E，則DE的長 cm．
10．（22-23八年級上·河北秦皇島·期末）學(xué)了全等三角形的判定后，小明編了這樣一個題目：“已知：如圖，，，，求證：”．老師說他的已知條件給多了，那么可以去掉的一個已知條件是： （寫出所有符合條件的結(jié)果）．
11．（23-24八年級上·云南紅河·期中）已知：如圖，，，與全等嗎？并說明理由？
12．（23-24八年級上·山東菏澤·期中）已知：如圖，，，，試說明的道理.
13．（23-24八年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，，與為對應(yīng)角，與為對應(yīng)邊．
(1)寫出其他對應(yīng)邊及對應(yīng)角；
(2)若，，求的長．
14．（23-24八年級上·陜西商洛·期末）如圖，在與中，于點E，于點D，，．證明：．
15．（23-24八年級下·四川眉山·期中）如圖，等腰中，，，點為射線上一動點，連接，作且．
(1)如圖1，過F點作交于G點，求證：；
(2)如圖2，連接交于點，若，求證：點為中點；
(3)如圖3，當(dāng)點在的延長線上時，連接與的延長線交于點，若，則 ．
如圖，已知，求作：，使．
作法：①以☆為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交于點；
②作射線；并以點為圓心，○為半徑畫弧交于點；
③以點為圓心，□長為半徑畫弧交前弧于點；
④作△，則即為所求作的角．
題干：……，求證：．
證明：在和中，，
∴．

尺
規(guī)
作
圖
類型
依據(jù)
已知兩邊及其夾角作三角形

已知兩角一邊作三角形
（或）
已知三邊作三角形

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第07講 軸對稱（5大知識點+9大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）-（暑期銜接課堂）2024年暑假七升八數(shù)學(xué)銜接講義（人教版）：

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第06講 全等三角形常見七大模型（7大知識點+7大典例+變式訓(xùn)練+隨堂檢測）-（暑期銜接課堂）2024年暑假七升八數(shù)學(xué)銜接講義（人教版）：

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