1．（2023春·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新定義：若一個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)的2倍，則稱這個(gè)點(diǎn)為二倍點(diǎn)．若二次函數(shù)（c為常數(shù)）在的圖象上存在兩個(gè)二倍點(diǎn)，則c的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2．（2023春·湖北咸寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：我們將頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的二次函數(shù)稱為“互異二次函數(shù)”．若互異二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x＝1且圖象經(jīng)過點(diǎn)（﹣1，0），則這個(gè)互異二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)是（ ）
A．B．C．1D．﹣1
3．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）新定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（m，n）和點(diǎn)P′（m，n′），若滿足m≥0時(shí)，n′=n-4；m＜0時(shí)，n′=-n，則稱點(diǎn)P′（m，n′）是點(diǎn)P（m，n）的限變點(diǎn)．例如：點(diǎn)P1（2，5）的限變點(diǎn)是P1′（2，1），點(diǎn)P2（-2，3）的限變點(diǎn)是P2′（-2，-3）．若點(diǎn)P（m，n）在二次函數(shù)y=-x2+4x+2的圖象上，則當(dāng)-1≤m≤3時(shí)，其限變點(diǎn)P′的縱坐標(biāo)n'的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
4．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校?？计谀┒x：我們不妨把縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)稱為“青竹點(diǎn)”．例如：點(diǎn)、……都是“青竹點(diǎn)”．顯然，函數(shù)的圖象上有兩個(gè)“青竹點(diǎn)”：和．
(1)下列函數(shù)中，函數(shù)圖象上存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)?jiān)跈M線上打“√”，不存在“青竹點(diǎn)”的，請(qǐng)打“×”．
①________； ②________； ③________．
(2)若拋物線（m為常數(shù)）上存在兩個(gè)不同的“青竹點(diǎn)”，求m的取值范圍；
(3)若函數(shù)的圖象上存在唯一的一個(gè)“青竹點(diǎn)”，且當(dāng)時(shí)，a的最小值為c，求c的值．
5．（2023春·江蘇泰州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：兩個(gè)二次項(xiàng)系數(shù)之和為，對(duì)稱軸相同，且圖像與軸交點(diǎn)也相同的二次函數(shù)互為友好同軸二次函數(shù).例如：的友好同軸二次函數(shù)為．
(1)函數(shù)的友好同軸二次函數(shù)為 ．
(2)當(dāng)時(shí)，函數(shù) 的友好同軸二次函數(shù)有最大值為，求的值．
(3)已知點(diǎn)分別在二次函數(shù)及其友好同軸二次函數(shù)的圖像上，比較的大小，并說明理由．
6．（2023春·浙江金華·九年級(jí)校考期中）定義：若拋物線y＝ax2+bx+c與x軸兩交點(diǎn)間的距離為4，稱此拋物線為定弦拋物線．
(1)判斷拋物線y＝x2+2x﹣3是否是定弦拋物線，請(qǐng)說明理由；
(2)當(dāng)一定弦拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，且它的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)間的連線所圍成的圖形是直角三角形，求該拋物線的表達(dá)式；
(3)若定弦拋物線y＝x2+bx+c（b＜0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B左邊），當(dāng)2≤x≤4時(shí)，該拋物線的最大值與最小值之差等于OB之間的距離，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年級(jí)期末）定義：若拋物線與拋物線．同時(shí)滿足且，則稱這兩條拋物線是一對(duì)“共軛拋物線”．
(1)已知拋物線與是一對(duì)共軛拋物線，求的解析式；
(2)如圖1，將一副邊長(zhǎng)為的正方形七巧板拼成圖2的形式，若以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，直線BC為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)經(jīng)過點(diǎn)A，E，D的拋物線為，經(jīng)過A、B、C的拋物線為，請(qǐng)立接寫出、的解析式并判斷它們是否為一對(duì)共軛拋物線．
8．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)校聯(lián)考期末）定義：如果拋物線與軸交于點(diǎn)，，那么我們把線段叫做雅禮弦，兩點(diǎn)之間的距離稱為拋物線的雅禮弦長(zhǎng)．
(1)求拋物線的雅禮弦長(zhǎng)；
(2)求拋物線的雅禮弦長(zhǎng)的取值范圍；
(3)設(shè)，為正整數(shù)，且，拋物線的雅禮弦長(zhǎng)為，拋物線的雅禮弦長(zhǎng)為，，試求出與之間的函數(shù)關(guān)系式，若不論為何值，恒成立，求，的值．
9．（2023春·河南濮陽·九年級(jí)統(tǒng)考期中）小明在課外學(xué)習(xí)時(shí)遇到這樣一個(gè)問題：定義：如果二次函數(shù)y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）與y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）滿足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．求函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
小明是這樣思考的：由函數(shù)y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根據(jù)a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能確定這個(gè)函數(shù)的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”．
請(qǐng)參考小明的方法解決下面問題：
(1)直接寫出函數(shù)y=x2-3x-2的“旋轉(zhuǎn)函數(shù)” ；
(2)若函數(shù)與y=x2-2nx+n互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（A在B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A、B、C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別是A1，B1，C1，試證明經(jīng)過點(diǎn)A1，B1，C1的二次函數(shù)與函數(shù)互為“旋轉(zhuǎn)函數(shù)”
10．（2023春·山西大同·九年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：
定義：我們把自變量為的二次函數(shù)與（，）稱為一對(duì)“親密函數(shù)”，如的“親密函數(shù)”是．
任務(wù)：
（1）寫出二次函數(shù)的“親密函數(shù)”：______；
（2）二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，它的“親密函數(shù)”的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______，猜想二次函數(shù)（）的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)與其“親密函數(shù)”的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之間的關(guān)系是______；
（3）二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1和，請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論直接寫出二次函數(shù)的圖像與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
【類型2 二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題中的新定義問題】
（2023春·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）定義：由a，b構(gòu)造的二次函數(shù)叫做一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”，一次函數(shù)y＝ax＋b叫做二次函數(shù)的“本源函數(shù)”（a，b為常數(shù)，且）．若一次函數(shù)y＝ax＋b的“滋生函數(shù)”是，那么二次函數(shù)的“本源函數(shù)”是 ．
2．（2023春·浙江湖州·九年級(jí)統(tǒng)考期中）定義：如果函數(shù)圖象上存在橫?縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．例如，點(diǎn)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．已知二次函數(shù)（是實(shí)數(shù)）．
(1)若點(diǎn)是該二次函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的值；
(2)若該二次函數(shù)始終存在不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍．
3．（2023·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)與函數(shù)，定義“和函數(shù)”．
(1)若，則“和函數(shù)” ；
(2)若“和函數(shù)”為，則 ， ；
(3)若該“和函數(shù)”的頂點(diǎn)在直線上，求．
4．（2023·北京·模擬預(yù)測(cè)）城市的許多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直線行走到達(dá)目的地，只能按直角拐彎的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)兩點(diǎn)和，用以下方式定義兩點(diǎn)間距離：．
(1)①已知點(diǎn)，則______．
②函數(shù)的圖象如圖①所示，是圖象上一點(diǎn)，，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
函數(shù)的圖象如圖②所示，是圖象上一點(diǎn)，求的最小值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)．
5．（2023春·上?！ぞ拍昙?jí)上海市民辦新復(fù)興初級(jí)中學(xué)?？计谥校┪覀兌x【，，】為函數(shù)的“特征數(shù)”，如：函數(shù)的“特征數(shù)”是【2，，5】，函數(shù)的“特征數(shù)”是【0，1，2】
(1)若一個(gè)函數(shù)的“特征數(shù)”是【1，，1】，將此函數(shù)圖像先向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到一個(gè)圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)“特征數(shù)”是______；
(2)將“特征數(shù)”是【0，，】的圖像向上平移2個(gè)單位，得到一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的兩個(gè)函數(shù)圖像分別與軸交于A、兩點(diǎn)，與直線分別交于、兩點(diǎn)，在給出的平面直角坐標(biāo)系中畫出圖形，并求出以A、、、四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積；
(4)若（3）中的四邊形與“特征數(shù)”是【1，，】的函數(shù)圖像有交點(diǎn)，求滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍．
6．（2023春·福建龍巖·九年級(jí)?？计谀┒x：對(duì)于給定的兩個(gè)函數(shù)，任取自變量x的一個(gè)值，當(dāng)x

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