類型一 “一線兩點(diǎn)”型(一動(dòng)點(diǎn)＋兩定點(diǎn))
1. (2022永州)如圖，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(4，3)，B(0，－3)，在x軸上找一點(diǎn)P，使線段PA＋PB的值最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．
第1題圖
2. (2023眉山)如圖，點(diǎn)P為矩形ABCD的對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，連接PE，PB，若AB＝4，BC＝4 eq \r(3) ，則PE＋PB的最小值為________．
第2題圖
3. (2018銅仁)已知在平面直角坐標(biāo)系中有兩點(diǎn)A(0，1)，B(－1，0)，動(dòng)點(diǎn)P在反比例函數(shù)y＝ eq \f(2,x) 的圖象上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值最大時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
4. (2023遵義)如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)M，N分別為BC，AC上的動(dòng)點(diǎn)，且AN＝CM，AB＝ eq \r(2) .當(dāng)AM＋BN的值最小時(shí)，CM的長(zhǎng)為________.
第4題圖
5. (挑戰(zhàn)題) (2023成都)如圖，在菱形ABCD中，過點(diǎn)D作DE⊥CD交對(duì)角線AC于點(diǎn)E，連接BE，點(diǎn)P是線段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)P′，點(diǎn)Q是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接P′Q，DQ.若AE＝14，CE＝18，則DQ－P′Q的最大值為________．
第5題圖
類型二 “—點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)點(diǎn)＋一定點(diǎn))
6. 如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一定點(diǎn)，點(diǎn)M，N分別在AB，BC上，當(dāng)△PMN周長(zhǎng)最小時(shí)，∠MPN的度數(shù)是( )
A. 120° B. 90° C. 80° D. 60°
第6題圖
7. (2023聊城)如圖，一次函數(shù)y＝x＋4的圖象與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)C(－2，0)是x軸上一點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為直線y＝x＋4和y軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△CEF周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為( )
A. E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) )，F(xiàn)(0，2) B. E (－2，2)，F(xiàn) (0，2)
C. E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) )，F(xiàn)(0， eq \f(2,3) ) D. E(－2，2)，F(xiàn)(0， eq \f(2,3) )
第7題圖

類型三 “兩點(diǎn)兩線”型(兩動(dòng)點(diǎn)＋兩定點(diǎn))
8. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝2 eq \r(10) ，點(diǎn)D，E在BC邊上，BD＝CE＝1，點(diǎn)G，F(xiàn)分別是邊AB，AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則四邊形DEFG周長(zhǎng)的最小值為________．
第8題圖
9. (2023濱州)如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10.若點(diǎn)E是邊AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥AC且分別交對(duì)角線AC，直線BC于點(diǎn)O，F(xiàn)，則在點(diǎn)E移動(dòng)的過程中，AF＋FE＋EC的最小值為______________________．
第9題圖
類型四 “定長(zhǎng)＋定點(diǎn)”型
10. (2023鄂州)如圖，定直線MN∥PQ，點(diǎn)B，C分別為MN，PQ上的動(dòng)點(diǎn)，且BC＝12，BC在兩直線間運(yùn)動(dòng)過程中始終有∠BCQ＝60°.點(diǎn)A是MN上方一定點(diǎn)，點(diǎn)D是PQ下方一定點(diǎn)，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24 eq \r(3) ，當(dāng)線段BC在平移過程中，AB＋CD的最小值為( )
A. 24 eq \r(13) B. 24 eq \r(15) C. 12 eq \r(13) D. 12 eq \r(15)
第10題圖
11. (2022聊城)如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A，C分別在x軸，y軸上，B，D兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為B(－4，6)，D(0，4)，線段EF在邊OA上移動(dòng)，保持EF＝3，當(dāng)四邊形BDEF的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為________．
第11題圖
12. (2023自貢)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，G是AD的中點(diǎn)，線段EF在邊AB上左右滑動(dòng)，若EF＝1，則GE＋CF的最小值為________．
第12題圖
參考答案與解析
1. (2，0) 【解析】由題意可知，當(dāng)點(diǎn)P為AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，PA＋PB的值最小，最小為AB的長(zhǎng)．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，∵點(diǎn)A(4，3)，B(0，－3)在直線上，∴直線AB的解析式為y＝ eq \f(3,2) x－3，當(dāng)y＝0時(shí)，0＝ eq \f(3,2) x－3，解得x＝2，∴P(2，0).
2. 6 【解析】如解圖，作點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B′，交AC于點(diǎn)F，連接B′E交AC于點(diǎn)P，則PE＋PB的最小值為B′E的長(zhǎng)度，∵四邊形ABCD為矩形，∴AB＝CD＝4，∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝4 eq \r(3) ，∴tan ∠ACB＝ eq \f(AB,BC) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴∠ACB＝30°，由對(duì)稱的性質(zhì)可知，BB′＝2BF，BB′⊥AC，∴BF＝ eq \f(1,2) BC＝2 eq \r(3) ，∠CBF＝60°，∴BB′＝2BF＝4 eq \r(3) ，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EF＝B′F，設(shè)∠FB′E＝α，則∠FEB′＝α，∴2α＝60°，∴∠FB′E＝30°，∴∠B′EB＝90°，∴B′E＝ eq \r(B′B2－BE2) ＝ eq \r(（4\r(3)）2－（2\r(3)）2) ＝6，∴PE＋PB的最小值為6.
第2題解圖
3. (1，2)或(－2，－1) 【解析】如解圖，設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋b，將A(0，1)，B(－1，0)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1,－k＋b＝0)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝1,b＝1)) ，∴直線AB的解析式為y＝x＋1，直線AB與反比例函數(shù)y＝ eq \f(2,x) 圖象的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)P，此時(shí)|PA－PB|＝AB，即線段PA與線段PB之差的絕對(duì)值取得最大值，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋1,y＝\f(2,x))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝2)) 或 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－2,y＝－1)) ，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，2)或(－2，－1).
第3題解圖
4. 2－ eq \r(2) 【解析】如解圖①，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.設(shè)AN＝CM＝x.∵AB＝AC＝ eq \r(2) ，∠BAC＝90°，∴BC＝ eq \r(（\r(2)）2＋（\r(2)）2) ＝2.∵AH⊥BC，∴BH＝AH＝1，∴AH＝BH＝CH＝1，∴AM＋BN＝ eq \r(12＋（1－x）2) ＋ eq \r(（\r(2)）2＋x2) ，要求AM＋BN的最小值，相當(dāng)于在x軸上尋找一點(diǎn)P(x，0)，到E(1，1)，F(xiàn)(0， eq \r(2) )的距離和的最小值，如解圖②，作點(diǎn)F關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)F′，當(dāng)E，P，F(xiàn)′三點(diǎn)共線時(shí)，PE＋PF的值最小，此時(shí)直線EF′的解析式為y＝( eq \r(2) ＋1)x－ eq \r(2) ，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝2－ eq \r(2) ，∴AM＋BN的值最小時(shí)，CM的值為2－ eq \r(2) .
第4題解圖
【一題多解】2－ eq \r(2) 【解析】如解圖③，過點(diǎn)A作AD∥BC，且AD＝AC，連接DN，BD，∴∠DAN＝∠ACM，又∵AN＝CM，∴△AND≌△CMA，∴DN＝AM，∴AM＋BN＝DN＋BN≥BD，當(dāng)B，N，D三點(diǎn)共線時(shí)，AM＋BN取得最小值，此時(shí)如解圖④所示，∵在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝ eq \r(2) ，∴BC＝ eq \r(2) AB＝2，∵△AND≌△CMA，∴∠ADN＝∠CAM，∵AD＝AC＝AB，∴∠ADN＝∠ABN，∵AD∥BC，∴∠ADN＝∠MBN，∴∠ABN＝∠MBN，設(shè)∠CAM＝α，∴∠BAM＝∠BAC－α＝90°－α，∴∠ABM＝∠ABN＋∠MBN＝2α＝45°，∴α＝22.5°，∴∠AMB＝∠BAM＝67.5°，∴AB＝BM＝ eq \r(2) ，∴CM＝BC－BM＝2－ eq \r(2) ，即BN＋AM取得最小值時(shí)CM的長(zhǎng)為2－ eq \r(2) .
第4題解圖
5. eq \f(16\r(2),3) 【解析】如解圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，過點(diǎn)D作DK⊥BC于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DE交AB于點(diǎn)R，連接EP′并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)J，連接BQ，BP′，∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)B、D關(guān)于AC對(duì)稱，∴DQ＝BQ，當(dāng)點(diǎn)P是定點(diǎn)時(shí)，DQ－QP′＝BQ－QP′，當(dāng)B，P′，Q三點(diǎn)共線時(shí)，DQ－QP′的值最大，最大值是線段BP′的長(zhǎng)，當(dāng)點(diǎn)P與B重合時(shí)，點(diǎn)P′與J重合，當(dāng)點(diǎn)Q與A重合時(shí)，此時(shí)BQ－QP′的值最大，最大值是線段BJ的長(zhǎng)．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝OC，∵AE＝14，EC＝18，∴AC＝32，AO＝OC＝16，∴OE＝AO－AE＝16－14＝2，∵DE⊥CD，∴∠DOE＝∠EDC＝90°，∵∠DEO＝∠DEC，∴△EDO∽△ECD，∴ eq \f(ED,EC) ＝ eq \f(EO,ED) ，即DE2＝EO·EC＝36，∴DE＝EB＝EJ＝6(負(fù)值已舍去)，∴BC＝CD＝ eq \r(EC2－DE2) ＝ eq \r(182－62) ＝12 eq \r(2) ，OD＝ eq \r(DE2－OE2) ＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) ，∴BD＝8 eq \r(2) ，∵S△DCB＝ eq \f(1,2) OC·BD＝ eq \f(1,2) BC·DK，∴DK＝ eq \f(16×8\r(2),12\r(2)) ＝ eq \f(32,3) .∵∠DEB＋∠DCK＝180°，∠DEB＋∠BER＝180°，∴∠BER＝∠DCK，∴sin ∠BER＝ eq \f(BR,BE) ＝sin ∠DCK＝ eq \f(DK,CD) ＝ eq \f(\f(32,3),12\r(2)) ＝ eq \f(4\r(2),9) ，∴RB＝BE× eq \f(4\r(2),9) ＝ eq \f(8\r(2),3) ，∵EJ＝EB，ER⊥BJ，∴JR＝BR＝ eq \f(8\r(2),3) ，∴JB＝ eq \f(16\r(2),3) ，∴DQ－P′Q的最大值為 eq \f(16\r(2),3) .
第5題解圖
6. C 【解析】如解圖，分別作點(diǎn)P關(guān)于BA，BC的對(duì)稱點(diǎn)P1，P2，連接P1，P2，交BA于點(diǎn)M，交BC于點(diǎn)N，連接BP1，BP，BP2，∴BP1＝BP＝BP2，∠BP1M＝∠MPB，∠NPB＝∠NP2B，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得MP＝P1M，PN＝P2N，∴△PMN周長(zhǎng)的最小值為P1P2的長(zhǎng)，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠P1BP2＝2∠ABC，∴∠BP1P2＋∠BP2P1＝180°－2∠ABC＝80°，∴∠MPN＝∠BPM＋∠BPN＝∠BP1M＋∠BP2M＝∠BP1P2＋∠BP2P1＝80°.
第6題解圖
7. C 【解析】如解圖，作C(－2，0)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)G(2，0)，作C(2，0)關(guān)于直線y＝x＋4的對(duì)稱點(diǎn)D，連接AD，連接DG交AB于E，交y軸于F，∴DE＝CE，CF＝GF，∴CE＋CF＋EF＝DE＋GF＋EF＝DG，此時(shí)△CEF周長(zhǎng)最小，由y＝x＋4得A(－4，0)，B(0，4)，∴OA＝OB，△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAC＝45°.∵C，D關(guān)于直線AB對(duì)稱，∴∠DAB＝∠BAC＝45°，∴∠DAC＝90°.∵C(－2，0)，∴AC＝OA－OC＝2＝AD，∴D(－4，2)，∴直線DG解析式為y＝－ eq \f(1,3) x＋ eq \f(2,3) ，在y＝－ eq \f(1,3) x＋ eq \f(2,3) 中，令x＝0得y＝ eq \f(2,3) ，∴F(0， eq \f(2,3) )，由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x＋4,y＝－\f(1,3)x＋\f(2,3))) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(5,2),y＝\f(3,2))) ，∴E(－ eq \f(5,2) ， eq \f(3,2) ).
第7題解圖
8. 12 【解析】如解圖，作點(diǎn)D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，點(diǎn)E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)N，連接MN交AB于G，交AC于F，得到四邊形DEFG的周長(zhǎng)最小，延長(zhǎng)MD交NE的延長(zhǎng)線于T，設(shè)DM交AB于點(diǎn)J，EN交AC于點(diǎn)K.在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得出，BC＝7，∵BD＝CE＝1，∴DE＝5，∵點(diǎn)D，M關(guān)于AB對(duì)稱，∴DJ＝JM，DJ∥AC，∴△BJD∽△BAC，∴ eq \f(DJ,AC) ＝ eq \f(BD,BC) ，∴ eq \f(DJ,3) ＝ eq \f(1,7) ，∴DJ＝ eq \f(3,7) ，∵∠A＝∠AJT＝∠AKE＝90°，∴四邊形AJTK是矩形，∴∠T＝90°，ET∥BJ，∴△BDJ∽△EDT，∴ eq \f(DB,DE) ＝ eq \f(DJ,DT) ，∴ eq \f(1,5) ＝ eq \f(\f(3,7),DT) ，∴DT＝ eq \f(15,7) ，∴MT＝DT＋2DJ＝3，同理EK＝ eq \f(2\r(10),7) ，在Rt△DTE中，根據(jù)勾股定理得，ET＝ eq \f(10\r(10),7) ，∴TN＝ET＋2EK＝2 eq \r(10) ，∴MN＝ eq \r(TM2＋NT2) ＝7，∴四邊形DEFG的周長(zhǎng)的最小值為DE＋EF＋FG＋DG＝DE＋FN＋FG＋GM＝DE＋MN＝5＋7＝12.
第8題解圖
9. eq \f(25＋5\r(5),2) 【解析】如解圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AN∥EF使得AN＝EF，連接NE，∴四邊形ANEF是平行四邊形，∴AF＝NE，∴AF＋CE＝NE＋CE.∴當(dāng)N，E，C三點(diǎn)共線時(shí)，NE＋CE最小，最小值為CN的長(zhǎng)．∵EF⊥AC，E，F(xiàn)分別在邊AD，直線BC上，∴EF始終保持不變，∴AF＋FE＋EC的最小值為CN＋FE.∵四邊形ABCD是矩形，AB＝5，AD＝10，∴CD＝AB＝5，∠D＝90°，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝5 eq \r(5) .∵EM⊥BC，∴∠EMF＝∠AEM＝90°，EM＝CD＝5.又∵EF⊥AC，∴∠AOE＝90°，∴∠AEO＋∠FEM＝∠AEO＋∠OAE，∴∠FEM＝∠OAE，∴tan ∠FEM＝tan ∠DAC，∴ eq \f(FM,EM) ＝ eq \f(CD,AD) ，即 eq \f(FM,5) ＝ eq \f(5,10) ，解得FM＝ eq \f(5,2) .在Rt△EFM中，由勾股定理得EF＝ eq \r(FM2＋EM2) ＝ eq \f(5\r(5),2) ，∴AN＝ eq \f(5\r(5),2) .又∵EF⊥AC，AN∥EF，∴NA⊥AC，∴∠CAN＝90°，∴在Rt△ACN中，由勾股定理得CN＝ eq \r(AC2＋AN2) ＝ eq \f(25,2) ，∴AF＋FE＋EC的最小值為CN＋EF＝ eq \f(25＋5\r(5),2) .
第9題解圖
10. C 【解析】如解圖，過點(diǎn)B作BG⊥PQ于點(diǎn)G，過點(diǎn)D作DL⊥PQ于點(diǎn)L，過點(diǎn)A作PQ的垂線AR，交PQ的平行線DR于點(diǎn)R，AR，MN交于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DF至T，使DT＝BC＝12，連接AT交MN于點(diǎn)B′，作B′C′∥BC，交PQ于點(diǎn)C′，則當(dāng)BC在B′C′時(shí)，AB＋CD最小，最小值為AT的長(zhǎng)，可得AK＝AE·sin 60°＝ eq \f(\r(3),2) AE＝2 eq \r(3) ，DL＝ eq \f(\r(3),2) DF＝4 eq \r(3) ，BG＝ eq \f(\r(3),2) BC＝6 eq \r(3) ，∴AR＝2 eq \r(3) ＋6 eq \r(3) ＋4 eq \r(3) ＝12 eq \r(3) ，∵AD＝24 eq \r(3) ，∴sin ∠ADR＝ eq \f(AR,AD) ＝ eq \f(1,2) ，∴∠ADR＝30°，∵∠PFD＝∠BCQ＝60°，∴∠ADT＝90°，∴AT＝ eq \r(AD2＋DT2) ＝ eq \r(（24\r(3)）2＋122) ＝12 eq \r(13) .
第10題解圖
11. (－ eq \f(2,5) ，0) 【解析】如解圖，在BC上截取BM＝3，作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接ED′，則BM＝EF，∴M(－1，6)，D′(0，－4).∵四邊形OABC為矩形，∴BC∥OA，∴四邊形BMEF為平行四邊形，∴BF＝ME，∴BF＋DE＝ME＋DE.∵點(diǎn)D和D′關(guān)于x軸對(duì)稱，∴ED＝ED′.∵BD，EF都是定值，∴當(dāng)點(diǎn)M，E，D′在同一條直線上時(shí)，BF＋DE＝ME＋DE＝ME＋D′E的值最?。O(shè)直線MD′的解析式為y＝kx＋b，把M(－1，6)，D′(0，－4)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－k＋b＝6,b＝－4)) ，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－10,b＝－4)) ，∴直線MD′的解析式為y＝－10x－4，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝－ eq \f(2,5) ，∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(－ eq \f(2,5) ，0).
第11題解圖
12. 3 eq \r(2) 【解析】如解圖，作點(diǎn)G關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)M，連接EM，∴GE＝ME，在CD上截取CH＝1，連接EH，得四邊形EFCH為平行四邊形，∴CF＝HE，連接HM交AB于點(diǎn)E′，則GE＋CF＝ME＋HE≥HM，當(dāng)M，E，H三點(diǎn)共線時(shí)，GE＋CF最小，∵G為AD的中點(diǎn)，∴AG＝DG＝AM＝1，DM＝AD＋AM＝3，DH＝CD－CH＝3，在Rt△DMH中，MH＝ eq \r(DH2＋DM2) ＝ eq \r(32＋32) ＝3 eq \r(2) ，∴GE＋CF的最小值為3 eq \r(2) .
第12題解圖

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