2024.06
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求）
1.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. D.
2.方程的解所在區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
3.數(shù)據(jù)的45百分位數(shù)為（ ）
A.73 B.76 C.77 D.78
4.已知平面向量，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5.如圖，為了測(cè)量河對(duì)岸兩點(diǎn)之間的距離，在河岸這邊找到在同一直線上的三點(diǎn).從點(diǎn)測(cè)得，從點(diǎn)測(cè)得，從點(diǎn)測(cè)得.若測(cè)得（單位：百米），則兩點(diǎn)的距離為（ ）百米.
A. B. C. D.3
6.在正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）.
A. B.
C.平面 D.平面平面
7.如圖，在中，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值為（ ）
A.50 B.80 C.86 D.110
8.已知，則的值（ ）
A. B. C. D.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分）
9.在中，角所對(duì)的邊為，根據(jù)下列條件解三角形，其中僅有一解的有（ ）
A. B.
C. D.
10.連續(xù)拋擲兩次骰子，“第一次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)小于3”記為事件A，“第二次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”記為事件B，“兩次拋擲，結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”記為事件，則下列敘述中正確的有（ ）
A.與互斥 B.與相互獨(dú)立
C.與對(duì)立 D.
11.如圖，正方形的中心為，邊長(zhǎng)為4，將其沿對(duì)角線折成直二面角，設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.三棱錐的外接球表面積為
B.直線與平面所成角的正切值為
C.點(diǎn)到平面的距離為
D.三角形沿直線旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知一個(gè)正四棱臺(tái)的體積為，上?下底面邊長(zhǎng)分別為，則棱臺(tái)的高為_(kāi)_________.
13.若復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是__________.
14.已知的面積為滿足條件，則__________.；若，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，則__________.（第一空2分，第二空3分）
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟）
15.（本小題滿分13分）
已知.設(shè).
（1）若三點(diǎn)共線，求的值；
（2）若，求的值.
16.（本小題滿分15分）
某保險(xiǎn)公司為了給年齡在20~70歲的民眾提供某種醫(yī)療保障，設(shè)計(jì)了一款針對(duì)某疾病的保險(xiǎn).現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名進(jìn)行分析，并按年齡段分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示，每人每年所交納的保費(fèi)與參保年齡如下表所示：
（1）若采用分層抽樣的方法，從年齡段在和內(nèi)的參保人員中共抽取6人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，再?gòu)闹羞x取2人進(jìn)行調(diào)查對(duì)該種保險(xiǎn)的滿意度，求這2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)的概率.
（2）由于10000人參加保險(xiǎn)，該公司每年為此項(xiàng)保險(xiǎn)支出的各種費(fèi)用為200萬(wàn)元.為使公司不虧本，則年齡段的參保人員每人每年需要繳納的保費(fèi)至少為多少元？
17.（本小題滿分15分）
已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和.
18.（本小題滿分17分）
如圖，在斜三棱柱中，側(cè)面為菱形，，為中點(diǎn)，與的交點(diǎn)為.
（1）求證：平面；
（2）求證：平面；
（3）求二面角的正弦值.
19.（本小題滿分17分）
如圖所示，已知是以為斜邊的等腰直角三角形，在中，，.
（1）若，求的面積；
（2）①求的值；
②求的最大值.
年齡
保費(fèi)（單位：元）
2023—2024學(xué)年第二學(xué)期期末檢測(cè)
高一數(shù)學(xué)答案及評(píng)分建議
2024.06
1.B 2.C 3.B 4.A 5.D 6.C 7.B 8.D
9.ABD 10.BD 11.ACD
12. 13. 14.；
15.解：（1）因?yàn)椋?br>，
又因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，則，解得.
（2），即
.
16.解：（1）由得，
設(shè)“抽取2人中恰好有1人年齡段在內(nèi)”為事件.
由題設(shè)可知，年齡在和內(nèi)的頻率分別為0.16和0.32，則抽取的6人中，年齡在內(nèi)的有2人，年齡在內(nèi)的有4人.
記年齡在內(nèi)2位參保人員為，年齡在的4位參保人員為，則從6人中任取2人，樣本空間，共包含15個(gè)樣本點(diǎn)，共包含8個(gè)樣本點(diǎn)，所以.
（2）保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為：
，
所以要使公司不虧本，則，即，解得，即保費(fèi)元，所以年齗段需要繳納的保費(fèi)至少為250元.
17.解：（1）
因?yàn)椋裕?br>所以，則的值域?yàn)椋?br>（2）因?yàn)?，所以，由?br>所以，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上的所有零點(diǎn)之和為.
18.解：（1）如圖（1），連接.
由三棱柱可知側(cè)面為平行四邊形，所以為中點(diǎn)；
又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，
又平面平面，所以平面；
（2）如圖（2），連接.
由菱形可知，因?yàn)?，可得為等邊三角形?br>因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，且；因?yàn)闉橹苯侨切危遥?br>所以；因?yàn)?，可得，所以，平面平面，所以平面?br>（3）由（2）可知平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br>如圖（3），過(guò)點(diǎn)作，垂足為，過(guò)作，垂足為，連接.
因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫云矫妫?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>又平面，所以，
所以為二面角的平面角
在中，，可得，
在中，，可得，
在中，，可得，
因?yàn)?，所以?br>即二面角的正弦值為.
19.解：（1）在中，由余弦定理得，，
且是等腰直角三角形，則.
（2）①設(shè)，因?yàn)?，由余弦定理可得，?br>，即；
②在中，，
由正弦定理可得，則，
，又，
在中，由余弦定理得
（其中為銳角，且），
由可得，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最大值.

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