一、選擇題
1．下列說(shuō)法正確的是( )
A.若空間兩直線沒有公共點(diǎn),則這兩條直線異面;
B.與兩條異面直線都相交的兩直線可能是異面直線,也可能是相交直線;
C.空間三點(diǎn)確定一個(gè)平面;
D.過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線垂直.
2．已知向量，，若，則( )
A.1B.C.D.
3．如圖，圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為的水，若放入3個(gè)相同的鐵球（球的半徑與圓柱底面半徑相等）后，水恰好淹沒最上面的鐵球，則一個(gè)鐵球的表面積為( )
A.B.C.D.
4．溫州市的“永嘉昆曲”、“樂清細(xì)紋刻紙”、“瑞安東源木活字印刷術(shù)”、“泰順編梁木拱橋營(yíng)造技藝”四個(gè)項(xiàng)目已入選聯(lián)合國(guó)教科文組織非遺名錄.某學(xué)校計(jì)劃周末兩天分別從四個(gè)非遺項(xiàng)目中隨機(jī)選擇兩個(gè)不同項(xiàng)目開展研學(xué)活動(dòng)，則周六欣賞“永嘉昆曲”，周日體驗(yàn)“瑞安東源木活字印刷術(shù)”的概率為( )
A.B.C.D.
5．建盞是福建省南平市建陽(yáng)區(qū)的特產(chǎn)，是中國(guó)國(guó)家地理標(biāo)志產(chǎn)品，其多是口大底小，底部多為圈足且圈足較淺（如圖所示），因此可將建盞看作是圓臺(tái)與圓柱拼接而成的幾何體.現(xiàn)將某建盞的上半部分抽象成圓臺(tái)，已知該圓臺(tái)的上?下底面積分別為和，高超過(guò)，該圓臺(tái)上?下底面圓周上的各個(gè)點(diǎn)均在球O的表面上，且球O的表面積為，則該圓臺(tái)的體積為( )
A.B.C.D.
6．“不以規(guī)矩，不能成方圓”出自《孟子·離婁章句上》，“規(guī)”指圓規(guī)，“矩”指由相互垂直的長(zhǎng)短兩條直尺構(gòu)成的方尺，是古人用來(lái)測(cè)量、畫圓和方形圖案的工具，今有一塊圓形木板，按圖中數(shù)據(jù)，以“矩”量之，然后將這塊圓形木板截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個(gè)內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為( )
A.20cmB.cmC.cmD.30cm
7．已知向量，滿足，，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.B.
C.向量，的夾角是D.
8．折扇深受各階層人民喜愛.古人曾有詩(shī)贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機(jī)舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉棚齊編鳳翅長(zhǎng)”.折扇平面圖為下圖的扇形，其中，，，動(dòng)點(diǎn)P在弧上（含端點(diǎn)），連接交扇形的弧于點(diǎn)Q，且，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.若，則B.
C.D.若，則
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知樣本數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為6
B.數(shù)據(jù)，，的方差為9
C.數(shù)據(jù)，，，2的方差為1
D.數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為5
10．已知復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是( )
A.若z為純虛數(shù)，則
B.若z是的共軛復(fù)數(shù)，則
C.若，則
D.若，則取最大值時(shí)，
11．已知等腰直角的斜邊，D是斜邊上的一點(diǎn)，且滿足，若將沿著翻折到位置，得到三棱錐，則( )
A.
B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為
C.當(dāng)時(shí)，二面角的大小為
D.當(dāng)時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為
三、填空題
12．已知海島B在海島A的北偏東的方向上，且兩島的直線距離為.一艘海盜船以的速度沿著北偏東方向從海島B出發(fā)，同時(shí)海警船以的速度從海島A進(jìn)行追趕，經(jīng)過(guò)t小時(shí)后兩船相遇，則海警船的航行方向是北偏東________.
13．在三棱錐中，已知是邊長(zhǎng)為2的正三角形，且.若和的面積之積為，且二面角的余弦值為，則該三棱錐外接球的表面積為________.
四、雙空題
14．古希臘數(shù)學(xué)家托勒密于公元150年在他的名著《數(shù)學(xué)匯編》里給出了托勒密定理：圓的內(nèi)接凸四邊形的兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積.已知平面凸四邊形外接圓半徑為1，.
則（1）________；（2）的最小值為________.
五、解答題
15．已知，，與的夾角為.
(1)求；
(2)若向量與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且.
(1)求B；
(2)若的平分線交于點(diǎn)D，且，，求的面積.
17．袋中裝有質(zhì)地均勻、大小相同的紅球和白球共10個(gè).現(xiàn)進(jìn)行摸球游戲.
(1)若采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，共摸球兩次，至少有一次摸出白球的概率是.求袋中紅球的個(gè)數(shù)；
(2)已知袋中有紅球5個(gè)，從袋中每次摸出1個(gè)球，若是紅球則放回袋中，若是白球則不放回袋中，求摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率；
(3)若采取不放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球，若連續(xù)兩次摸到紅球則停止摸球，否則繼續(xù)摸球直至第六次摸球后結(jié)束.若第三次摸球后停止摸球的概率大于第五次摸球后停止摸球的概率，求袋中紅球個(gè)數(shù)的所有可能取值.
18．近年來(lái)，“直播帶貨”受到越來(lái)越多人的喜愛，目前已經(jīng)成為推動(dòng)消費(fèi)的一種流行的營(yíng)銷形式.某直播平臺(tái)1200個(gè)直播商家，對(duì)其進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)所售商品多為小吃、衣帽、生鮮、玩具、飾品類等，各類直播商家所占比例如圖所示.
(1)該直播平臺(tái)為了更好地服務(wù)買賣雙方，打算隨機(jī)抽取60個(gè)直播商家進(jìn)行問(wèn)詢交流.如果按照比例分層抽樣的方式抽取，則應(yīng)抽取小吃類、生鮮類商家各多少家？
(2)在問(wèn)詢了解直播商家的利潤(rùn)狀況時(shí)，工作人員對(duì)（1）中抽取的60個(gè)商家的平均日利潤(rùn)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)（單位：元），所得頻率分布直方圖如右圖所示，請(qǐng)根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算下面的問(wèn)題：
①估計(jì)該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)與平均數(shù)（結(jié)果保留一位小數(shù)，求平均數(shù)時(shí)同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
②若將平均日利潤(rùn)超過(guò)430元的商家評(píng)為“優(yōu)秀商家”，估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù).
19．《九章算術(shù)》中，將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.在如圖所示的陽(yáng)馬中，側(cè)棱底面，且，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，連接DE、BD、BE.
(1)證明：平面.試判斷四面體是否為鱉臑.若是，寫出其每個(gè)面的直角（只需寫出結(jié)論）；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)設(shè)H點(diǎn)是AD的中點(diǎn)，若面與面所成二面角的大小為，求四棱錐的外接球的表面積.
參考答案
1．答案：B
解析：A錯(cuò),沒有公共點(diǎn)也可能平行;B正確;C錯(cuò),三點(diǎn)共線時(shí)不能確定平面;D錯(cuò),過(guò)直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與已知直線垂直,在空間中,過(guò)直線外一點(diǎn),可以作無(wú)數(shù)條直線與已知直線垂直.答案:B
2．答案：D
解析：由，得，所以.
故選：D.
3．答案：B
解析：設(shè)鐵球的半徑為R，有，解得，
則一個(gè)鐵球的表面積為.
故選：B.
4．答案：D
解析：記“永嘉昆曲”、“樂清細(xì)紋刻紙”、“瑞安東源木活字印刷術(shù)”、“泰順編梁木拱橋營(yíng)造技藝”分別為a、b、c、d，
則所有可能結(jié)果為，，，，，，，
，，，，共12個(gè)，
所以所求事件的概率.
故選：D
5．答案：B
解析：
設(shè)球O的半徑為，上?下底面分別為圓，（這里上底面是指大的那個(gè)底面），
依題意，，解得，
因?yàn)椋?br>則，同理可得，，因?yàn)閳A臺(tái)的高超過(guò)，則該圓臺(tái)的高為，該圓臺(tái)的體積為.
故選：B.
6．答案：D
解析：依題意圓形木板的直徑為.
設(shè)截得的四邊形木板為，設(shè)，，，，，，如下圖所示.
由且可得，
在中，由正弦定理得，解得.
在中，由余弦定理，得，
所以，，
即，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
在中，，
由余弦定理可得
，
即，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
因此，這塊四邊形木板周長(zhǎng)的最大值為.
故選：D.
7．答案：A
解析：對(duì)于A，設(shè)，則，解得，
由于，故或，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，B正確，
對(duì)于C，，，，故C正確，
對(duì)于D，，D正確，
故選：A.
8．答案：D
解析：對(duì)于A：若，則可得，兩邊平方可得，
所以，所以，顯然，
所以，所以，故A正確；
對(duì)于B：，故B正確
對(duì)于C：取的中點(diǎn)M，連接，，，
則可得，
在，易得，所以，
所以，故C正確
對(duì)于D：若，，故D錯(cuò)誤.
故選：D.
9．答案：BD
解析：因?yàn)闃颖緮?shù)據(jù)，，的平均數(shù)為2，方差為1，
對(duì)于選項(xiàng)A：所以數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：數(shù)據(jù)，，的方差為，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，?br>則數(shù)據(jù)，，，2的平均數(shù)為，
所以方差為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：由，，
得，可得，
所以數(shù)據(jù)，，的平均數(shù)為，故D正確；
故選：BD.
10．答案：CD
解析：對(duì)于A：復(fù)數(shù)的實(shí)部為a，虛部為b，若z為純虛數(shù)，則，
故，錯(cuò)誤；
對(duì)于B：因?yàn)?，所以，則，錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，則，正確；
對(duì)于D：因?yàn)?，所以，即?br>令，則，
因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取到最大值2，
此時(shí)，所以，正確.
故選：CD
11．答案：ABD
解析：等腰直角的斜邊，則，
又D是斜邊上的一點(diǎn)，且滿足，所以D是的中點(diǎn)，；
對(duì)于A：因?yàn)镈是的中點(diǎn)，所以，
則在三棱錐中，，，
因?yàn)?，平面?br>故平面，平面，故，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，
由于平面，故，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，
則，而，
故，
由于平面，，，故為二面角的平面角，
故當(dāng)時(shí)，二面角的大小為，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，
設(shè)的外接圓圓心為，半徑為r，則，所以，
因?yàn)槠矫?，所以三棱錐的外接球的球心位于過(guò)垂直于平面的直線上，
且在過(guò)的中點(diǎn)E垂直于的平面上，
設(shè)球心為O，由于平面，則，
故過(guò)E作的垂線，垂足即為O，即三棱錐的外接球的球心，
則四邊形為矩形，故，
設(shè)棱錐的外接球的半徑為R，連接，
故，則，
故三棱錐的外接球的表面積為，故D正確，
故選：ABD.
12．答案：
解析：設(shè)海警船的航行方向是北偏東，
由題知，，，
在中，由正弦定理得到，得到，
又，所以，得到，
故答案為：.
13．答案：/
解析：設(shè)中點(diǎn)為H，外接圓圓心為M，球心為O，因?yàn)椋裕?br>又是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以，結(jié)合題設(shè)有，
所以，得到，所以是等腰直角三角形，其外接圓圓心為H，
又因?yàn)椋詾槎娼堑钠矫娼?，結(jié)合已知該角為銳角，
由題意可知，，過(guò)H，M分別作平面，平面的垂線，相交于一點(diǎn)，
由截面圓的性質(zhì)可知，兩垂線的交點(diǎn)為球心O，如圖所示，
所以，，得到，
又易知，，所以，
所以外接球半徑，
所以外接球表面積，
故答案為：.
14．答案：；
解析：，
由正弦定理可得：，
設(shè)，，，
由余弦定理可得，
在中，，可得，
由正弦定理可得，
，，，
設(shè)，，由余弦定理得，
由托勒密定理得，
即，平方得，
設(shè)，
，當(dāng)且僅當(dāng)且，即，時(shí)取等號(hào)，
的最小值為，即的最小值為.
故答案為：;.
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因?yàn)?，所以?br>則，
故.
（2）令，則，
所以，即，解得或，
當(dāng)與共線時(shí)，則，
則時(shí)，與不共線，則，
又向量與的夾角為鈍角，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為.
16．答案：(1)；
(2).
解析：（1）由正弦定理及，得，
所以，
整理，得.
因?yàn)?，所以，?
因?yàn)?，，所?
（2）因?yàn)闉榈钠椒志€，所以，
即，
化簡(jiǎn)，得，
由，得，
所以
.
17．答案：(1)4個(gè)；
(2)；
(3)4，5，6，7，8個(gè)
解析：（1）設(shè)袋中有紅球m個(gè).
設(shè)“采取有放回的方式從袋中每次摸出1個(gè)球”，則.
設(shè)“摸球兩次，至少得到一次白球”.“摸球兩次，兩次均為紅球”.
則，解得，即袋中紅球有4個(gè).
（2）設(shè)事“摸球三次共取出兩個(gè)白球”，
則三次摸球可能情況為：“白白紅”，“白紅白”，“紅白白”，
則.
所以摸球三次共取出兩個(gè)白球的概率為.
（3）設(shè)“第三次摸球后停止摸球”，“第五次摸球后停止摸球”.
由題意知：.
若，則不可能連續(xù)兩次摸到紅球，不合題意.
若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F五次摸球依次為“白白白紅紅”，，，不合題意.
若，則最多第四次就停止摸球，不符合題意.
若，則事件E三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F五次摸球依次為“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，
，，符合題意.
若，則事件E：三次摸球依次為“白紅紅”，，
事件F：五次摸球依次為“白白白紅紅”或“白紅白紅紅”或“紅白白紅紅”，
，
由得，，
即，解得或.即，5，6，7，
綜上所述，紅球個(gè)數(shù)的所有可能取值為4，5，6，7，8個(gè).
18．答案：(1)小吃類24家，生鮮類9家；
(2)①中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5；②168
解析：（1），，
所以應(yīng)抽取小吃類24家，生鮮類9家；
（2）①根據(jù)題意可得，解得，
設(shè)中位數(shù)為x，因?yàn)椋?br>所以，解得，
平均數(shù)為：
，所以該直播平臺(tái)商家平均日利潤(rùn)的中位數(shù)為342.9，平均數(shù)為352.5.
②，
所以估計(jì)該直播平臺(tái)“優(yōu)秀商家”的個(gè)數(shù)為168.
19．答案：(1)證明見解析，是鱉臑，四個(gè)面的直角分別是，，，；
(2)
解析：（1）因?yàn)榈酌妫矫?br>所以，
因?yàn)闉殚L(zhǎng)方形，所以，
因?yàn)椋矫?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
因?yàn)?，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，
所以，
因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
由平面PCD，平面PBC，
可知四面體的四個(gè)面都是直角三角形，
即四面體是一個(gè)鱉臑，
其四個(gè)面的直角分別是，，，；
（2）找中點(diǎn)F，連接，過(guò)F做，連接；
因?yàn)镋，F(xiàn)是PC，DC中點(diǎn)，
所以平面，面，
所以，
又因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，所以就是面與面所成二面角的平面角；
設(shè)，
又因?yàn)椋?br>所以，所以，
所以，又，得
所以，解得，
因?yàn)椋?，所以，，?br>所以，；
設(shè)的外接圓半徑為r，外接圓圓心為O，
則，，
過(guò)點(diǎn)O作，，垂足分別為M，K，連接，
則，，
又，所以，所以，
設(shè)球心為，設(shè)，
若球心和點(diǎn)E位于平面異側(cè)，
則，，
四棱錐的外接球的半徑為，
，
若球心和點(diǎn)E位于平面同側(cè)，則
，
解得（舍去）.

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