人教A版普通高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十章第八節(jié)概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

考試要求：1.掌握概率與頻率分布直方圖的綜合問題．
2．掌握概率與回歸分析的綜合問題．
3．掌握概率與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問題．
頻率分布直方圖與分布列的綜合問題
【例1】為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識(shí)競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績(滿分100分)進(jìn)行分析，把他們的成績分成以下6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求圖中a的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績?chǔ)?(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)
(2)在(1)的條件下，若此次知識(shí)競賽得分X～N(μ，122)，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識(shí)的興趣，對參賽學(xué)生制定如下獎(jiǎng)勵(lì)方案：得分不超過57分的不予獎(jiǎng)勵(lì)，得分超過57分但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券10元，超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券15元．試估計(jì)全校1 000名學(xué)生參加知識(shí)競賽共可獲得食堂消費(fèi)券多少元．(結(jié)果四舍五入保留整數(shù))
附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由題意可知，(0.006×2＋a＋0.012＋0.026＋0.040)×10＝1，
解得a＝0.010.
μ＝(45＋95)×0.06＋55×0.12＋65×0.40＋75×0.26＋85×0.10＝69.
(2)隨機(jī)抽取一名學(xué)生，設(shè)獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券為Y元，
P(Y＝0)＝P(X≤57)≈0.5－0.682 72＝0.158 65，
P(Y＝5)＝P(57＜X≤81)≈0.682 7，
P(Y＝10)＝P(81＜X≤93)≈0.954 5?0.682 72＝0.135 9，
P(Y＝15)＝P(X＞93)≈1?0.954 52＝0.022 75，
所以Y的分布列為
即一名學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券的期望為E(Y)＝0×0.158 65＋5×0.682 7＋10×0.135 9＋15×0.022 75＝5.113 75，
所以全校學(xué)生可獲得食堂消費(fèi)券1 000×5.113 75＝5 113.75≈5 114(元)．
故估計(jì)全校1 000名學(xué)生參加知識(shí)競賽共可獲得食堂消費(fèi)券5 114元．
解頻率分布直方圖與分布列的綜合問題的策略
解題時(shí)要正確理解頻率分布直方圖，能利用頻率分布直方圖正確計(jì)算出各組數(shù)據(jù)．概率問題以計(jì)算為主，往往和實(shí)際問題相結(jié)合，要注意理解實(shí)際問題的意義，使之和相應(yīng)的概率計(jì)算對應(yīng)起來．

為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺(tái)組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺(tái)數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時(shí)間(滿時(shí)長為15小時(shí))，將其分成[3，5)，[5，7)，[7，9)，[9，11)，[11，13)，[13，15]六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)
(1)求a的值．
(2)用樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時(shí)間ξ近似服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，其中μ近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知σ≈2.39.若該地區(qū)有5 000 名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7.45，14.62]內(nèi)的人數(shù)．
(3)現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9)，[9，11)內(nèi)的教職工中抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)．(四舍五入取整數(shù))
附：若隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
解：(1)由題意得2×(0.02＋0.03＋a＋0.18＋0.10＋0.05)＝1，解得a＝0.12.
(2)由題意知樣本的平均數(shù)為4×0.02×2＋6×0.03×2＋8×0.12×2＋10×0.18×2＋12×0.10×2＋14×0.05×2＝9.84，所以μ≈9.84.
又σ≈2.39，所以P(7.45≤ξ≤14.62)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋2σ)＝12P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)＋12·P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈12×(0.682 7＋0.954 5)＝0.818 6.
又5 000×0.818 6＝4 093，
所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7.45，14.62]內(nèi)的人數(shù)約為4 093.
(3)因?yàn)閇7，9)，[9，11)對應(yīng)的頻率比為0.24∶0.36＝2∶3，
所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9)，[9，11)內(nèi)的人數(shù)分別為2，3.
設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9)內(nèi)的人數(shù)為X，
則X的所有可能取值為0，1，2，
P(X＝0)＝C33C53＝110，P(X＝1)＝C21C32C53＝35，P(X＝2)＝C22C31C53＝310，
所以E(X)＝0×110＋1×35＋2×310＝65≈1.
故這3人中學(xué)習(xí)時(shí)間在[7，9)內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1.
回歸模型與分布列的綜合問題
【例2】近期，某公交公司推出掃碼支付乘車活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引越來越多的人開始使用掃碼支付．某線路公交車隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示活動(dòng)推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(單位：十人次)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示．
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了散點(diǎn)圖如下：
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，y＝a＋bx與y＝c·dx(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適合作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型？給出判斷，不必說明理由．
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次．
(3)推廣期結(jié)束后，車隊(duì)對乘客的支付方式進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下表：
車隊(duì)為緩解周邊居民出行壓力，以80萬元的單價(jià)購進(jìn)了一批新車，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)可知，每輛車每個(gè)月的運(yùn)營成本約為0.66萬元．已知該線路公交車票價(jià)為2元，使用現(xiàn)金支付的乘客無優(yōu)惠，使用乘車卡支付的乘客享受8折優(yōu)惠，掃碼支付的乘客隨機(jī)優(yōu)惠．根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果得知，使用掃碼支付的乘客中有16的概率享受7折優(yōu)惠，有13的概率享受8折優(yōu)惠，有12的概率享受9折優(yōu)惠．預(yù)計(jì)該車隊(duì)每輛車每個(gè)月有1萬人次乘車，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率，在不考慮其他因素的條件下，按照上述收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)，假設(shè)這批車需要n(n∈N*)年才能開始盈利，求n的值．
附：其中vi＝lg yi，.
對于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸直線v＝a＋bu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b＝，a＝v－bu.
解：(1)因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)近似在指數(shù)型函數(shù)的圖象上，所以y＝c·dx適合作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類型．
(2)因?yàn)閥＝c·dx，兩邊同時(shí)取常用對數(shù)，得lg y＝lg (c·dx)＝lg c＋x lg d.
設(shè)lg y＝v，所以v＝lg c＋x lg d.
因?yàn)閤＝4，v＝1.54，＝140，
所以lgd =＝50.12?7×4×1.54140?7×16＝728＝0.25，
lg c＝1.54－0.25×4＝0.54，所以v＝0.54＋0.25x，
所以lg y＝0.54＋0.25x，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是y＝100.54+0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x.
把x＝8代入上式，得y＝3.47×100.25×8＝347，
347×10＝3 470，
所以預(yù)測活動(dòng)推出第8天使用掃碼支付的人次為3 470.
(3)記一名乘客乘車支付的費(fèi)用為Z，則Z的可能取值為2，1.8，1.6，1.4.
由題意知P(Z＝2)＝0.1，P(Z＝1.8)＝0.3×12＝0.15，P(Z＝1.6)＝0.6＋0.3×13＝0.7，P(Z＝1.4)＝0.3×16＝0.05，
所以一名乘客一次乘車的平均費(fèi)用為
2×0.1＋1.8×0.15＋1.6×0.7＋1.4×0.05＝1.66(元)．
由題意可知1.66×1×12×n－0.66×12×n－80＞0，
得n＞203．
又n∈N*，所以n＝7.故估計(jì)這批車大概需要7年才能開始盈利．
解回歸模型與分布列的綜合問題的策略
求經(jīng)驗(yàn)回歸方程時(shí)要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算．求解概率問題時(shí)要注意概率模型的應(yīng)用，明確所求問題的事件類型是關(guān)鍵．
(2024·濱州模擬)2022年，中國新能源汽車銷售火爆，A省相關(guān)部門調(diào)查了該省2022年1月至10月的新能源汽車銷量情況，得到一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，10)，其中xi表示第i個(gè)月，yi表示第i個(gè)月A省新能源汽車的銷量(單位：萬輛)，由樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可知，y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，并將這10個(gè)月的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面一些統(tǒng)計(jì)量的值：
附：對于一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其經(jīng)驗(yàn)回歸方程y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為b＝，a＝y(tǒng)－bx.
(1)建立y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并估計(jì)A省12月新能源汽車的銷量；
(2)為鼓勵(lì)新能源汽車銷售商積極參與調(diào)查，A省汽車行業(yè)協(xié)會(huì)針對新能源汽車銷售商開展抽獎(jiǎng)活動(dòng)，所有費(fèi)用由某新能源汽車廠商贊助．獎(jiǎng)項(xiàng)共設(shè)一、二、三等獎(jiǎng)共三個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，其中一、二、三等獎(jiǎng)分別獎(jiǎng)勵(lì)2萬元、1萬元、0.5萬元，抽中一、二、三等獎(jiǎng)的概率分別為16，13，12．現(xiàn)有甲、乙兩家汽車銷售商參加了抽獎(jiǎng)活動(dòng)，假設(shè)他們是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立，求這兩家汽車銷售商所獲獎(jiǎng)金總額X(單位：萬元)的分布列及均值．
解：(1)由題意得，x＝1+2+3+…+9+1010＝5.5，
又y＝1.5，＝89.1，＝385，
所以b＝＝89.1?10×5.5×1.5385?10×5.52＝0.08，
a＝1.5－0.08×5.5＝1.06，
所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y＝1.06＋0.08x，
當(dāng)x＝12時(shí)，y＝2.02，
故A省12月份新能源汽車的銷量約為2.02萬輛．
(2)這兩家汽車銷售商所獲得的獎(jiǎng)金總額X的所有可能取值為4，3，2.5，2，1.5，1，
P(X＝4)＝16×16＝136，
P(X＝3)＝2×16×13＝19，
P(X＝2.5)＝2×16×12＝16，
P(X＝2)＝13×13＝19，
P(X＝1.5)＝2×13×12＝13，
P(X＝1)＝12×12＝14，
則X的分布列為
E(X)＝4×136＋3×19＋2.5×16＋2×19＋1.5×13＋1×14＝116．
獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問題
【例3】(2022·新高考全國Ⅰ卷)一醫(yī)療團(tuán)隊(duì)為研究某地的一種地方性疾病與當(dāng)?shù)鼐用竦男l(wèi)生習(xí)慣(衛(wèi)生習(xí)慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機(jī)調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時(shí)在未患該疾病的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)能否有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異？
(2)從該地的人群中任選一人，A 表示事件“選到的人衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好”，B 表示事件“選到的人患有該疾病”．PBAPBA 與PBAPBA 的比值是衛(wèi)生習(xí)慣不夠良好對患該疾病風(fēng)險(xiǎn)程度的一項(xiàng)度量指標(biāo)，記該指標(biāo)為R.
①證明：R＝PABPAB·PABPAB；
②利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計(jì)值，并利用①的結(jié)果給出R 的估計(jì)值．
附：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d．
(1)解：零假設(shè)為H0：患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣無差異．由已知得
χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d
＝200×40×90?60×102100×100×50×150＝24.
又x0.010＝6.635，且24＞6.635，所以依據(jù)α＝0.010的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
所以有99%的把握認(rèn)為患該疾病群體與未患該疾病群體的衛(wèi)生習(xí)慣有差異．
(2)①證明：因?yàn)镽＝PBAPBA·PBAPBA＝PABPA·PAPAB·PABPA·PAPAB，
所以R＝PABPB·PBPAB·PABPB·PBPAB，
所以R＝PABPAB·PABPAB．
②解：由題可得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100＝110，
又P(A|B)＝60100＝35，P(A|B)＝90100＝910，
所以R＝PABPAB·PABPAB＝6.
解獨(dú)立性檢驗(yàn)與分布列的綜合問題的策略
解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，要注意過好“三關(guān)”：假設(shè)關(guān)、公式關(guān)、對比關(guān)．解決概率問題要準(zhǔn)確地把握題中所涉及的事件，明確所求問題的事件類型．
新修訂的《中華人民共和國體育法》于2023年1月1日起施行，對于引領(lǐng)我國體育事業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，推進(jìn)體育強(qiáng)國和健康中國建設(shè)具有十分重要的意義．某高校為調(diào)查學(xué)生性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)的關(guān)系，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機(jī)抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到了如圖所示的等高堆積條形圖．
(1)根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)？
單位：名
(2)將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校的學(xué)生中隨機(jī)抽取50名學(xué)生，設(shè)其中喜歡排球運(yùn)動(dòng)的學(xué)生的人數(shù)為X，求使得P(X＝k)取得最大值時(shí)的k值．
附：χ2＝nad?bc2a+bc+da+cb+d，其中n＝a＋b＋c＋d，x0.001＝10.828.
解：(1)由等高堆積條形圖得2×2列聯(lián)表如下：
單位：名
零假設(shè)為H0: 學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
得χ2＝200×30×40?70×602100×100×90×110≈18.182＞10.828＝x0.001，
依據(jù)小概率值α＝0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可以推斷H0不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生的性別與是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.
(2)由(1)知，喜歡排球運(yùn)動(dòng)的頻率為90200＝920，
所以隨機(jī)變量X～B50，920，
則P(X＝k)＝C50k920k1?92050-k(0≤k≤50，k∈N)．
令C50k920 k1?920 50?k≥C50k?1920 k?11?920 51?k，C50k920 k1?920 50?k≥C50k+1920 k+11?920 49?k，
解得43920≤k≤45920．
因?yàn)閗∈N，所以當(dāng)k＝22時(shí)，P(X＝k)取得最大值．
課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(六十八)
1．為慶祝中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某校團(tuán)委組織團(tuán)員參加知識(shí)競賽．根據(jù)成績(單位：分)制成如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)計(jì)算x的值；
(2)采用按比例分層隨機(jī)抽樣的方法從成績在[80，90)，[90，100]的兩組中共抽取7人，再從這7人中隨機(jī)抽取3人，記X為這3人中成績落在[80，90)的人數(shù)，求X的分布列和期望．
解：(1)由題圖可知0.005×10＋0.010×10＋0.015×10＋10x＋0.040×10＝1，所以x＝0.030.
(2)由題可知，7人中成績在[80，90)，[90，100]的人數(shù)分別為3，4，所以X的所有可能取值為0，1，2，3，則P(X＝0)＝C43C73＝435，P(X＝1)＝C31C42C73＝1835，P(X＝2)＝C32C41C73＝1235，P(X＝3)＝C33C73＝135，
所以X的分布列為
所以E(X)＝0×435＋1×1835＋2×1235＋3×135＝97．
2．(2024·深圳模擬)某縣城為活躍經(jīng)濟(jì)，特舉辦傳統(tǒng)文化民俗節(jié)，小張弄了一個(gè)套小白兔的攤位，設(shè)xi表示第i天的平均氣溫，yi表示第i天參與活動(dòng)的人數(shù)，i＝1，2，…，20，根據(jù)統(tǒng)計(jì)，計(jì)算得到如下一些統(tǒng)計(jì)量的值：
(xi－ eq \x\t(x))2＝80，(yi－ eq \x\t(y))2＝9 000，(xi－ eq \x\t(x))(yi－ eq \x\t(y))＝800.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)r判斷是否可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；(精確到0.01)
(2)現(xiàn)有兩個(gè)家庭參與套圈，A家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率都為310，B家庭3位成員每輪每人套住小白兔的概率分別為13，14，16，每個(gè)家庭的3位成員均玩一次套圈為一輪，每輪每人收費(fèi)20元，每個(gè)小白兔價(jià)值40元，且每人是否套住相互獨(dú)立，以每個(gè)家庭的盈利的期望為決策依據(jù)，問：一輪結(jié)束后，哪個(gè)家庭損失較大？
附：相關(guān)系數(shù)r＝．
解：(1)由題意可知，
r＝
＝ eq \f(800,\r(80×9 000))
＝223≈0.94，
故可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．
(2)設(shè)A家庭中套中小白兔的人數(shù)為X1，則X1～B3，310，
所以E(X1)＝3×310＝910．
設(shè)A家庭的盈利為X2元，則X2＝40X1－60，
所以E(X2)＝40E(X1)－60＝－24.
設(shè)B家庭中套中小白兔的人數(shù)為Y1，
則Y1的所有可能取值為0，1，2，3，
P(Y1＝0)＝23×34×56＝512，
P(Y1＝1)＝13×34×56＋23×14×56＋23×34×16＝3172，
P(Y1＝2)＝13×14×56＋13×34×16＋23×14×16＝536，
P(Y1＝3)＝13×14×16＝172，
所以E(Y1)＝0×512＋1×3172＋2×536＋3×172＝34．
設(shè)B家庭的盈利為Y2元，則Y2＝40Y1－60，
所以E(Y2)＝40E(Y1)－60＝40×34－60＝－30.
因?yàn)椋?4＞－30，所以B家庭的損失較大．
3．某學(xué)校共有3 000名學(xué)生，其中男生1 800人，為了解該校學(xué)生在校的月消費(fèi)情況，采取比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方式抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，先統(tǒng)計(jì)他們某月的消費(fèi)金額，然后按“男生、女生”分成兩組，再分別將兩組學(xué)生的月消費(fèi)金額(單位：元)分成5組：[300，400)，[400，500)，[500，600)，[600，700)，[700，800]分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)將月消費(fèi)金額不低于600元的學(xué)生稱為“高消費(fèi)群”．請你根據(jù)已知條件完成下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”是否與性別有關(guān)．
單位：人
(2)用樣本估計(jì)總體，將調(diào)查所得到的頻率視為概率，現(xiàn)從該校中每次隨機(jī)抽取1名學(xué)生，共抽取4次，且每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，記被抽取的4名學(xué)生中屬于“高消費(fèi)群”的人數(shù)為X，求X的均值E(X)和方差D(X)．
解：(1)由題意可得，抽取的100人中有男生60人，女生40人．根據(jù)題意及頻率分布直方圖可得2×2列聯(lián)表如下：
單位：人
零假設(shè)為H0：該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與性別無關(guān)．
由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得χ2＝100×15×20?45×20260×40×35×65＝60091≈6.593＞3.841＝x0.05，
所以根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為該校學(xué)生屬于“高消費(fèi)群”與性別有關(guān)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
(2)用樣本估計(jì)總體，則從學(xué)校中隨機(jī)抽取1名學(xué)生是“高消費(fèi)群”的概率為35100＝720，所以X～B4，720，
所以E(X)＝4×720＝75，D(X)＝4×720×1?720＝91100．
4．(2024·福州模擬)某網(wǎng)紅店推出A，B兩種不同風(fēng)味的飲品．為了研究消費(fèi)者性別和飲品偏好的關(guān)聯(lián)性，店主調(diào)查了首次到店的消費(fèi)者，整理得到如下列聯(lián)表：
單位：人
(1)請畫出等高堆積條形圖，并依據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好是否有關(guān)聯(lián)．如果結(jié)論是性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)聯(lián)，請解釋它們之間如何相互影響．
(2)店主進(jìn)一步調(diào)查發(fā)現(xiàn)：女性消費(fèi)者若前一次選擇A飲品，則下一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為13，23；若前一次選擇B飲品，則下一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為23，13；如此循環(huán)下去，求女性消費(fèi)者前三次選擇A，B兩種飲品的數(shù)學(xué)期望，并解釋其實(shí)際含義．
解：(1)對于A飲品：女性消費(fèi)者的頻率為60100＝0.6，男性消費(fèi)者的頻率為40100＝0.4，
對于B飲品：女性消費(fèi)者的頻率為40100＝0.4，男性消費(fèi)者的頻率為60100＝0.6，
可得等高堆積條形圖，如下圖所示．
零假設(shè)為H0：首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好無關(guān)．
由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得χ2＝200×60×60?40×402100×100×100×100＝8＞6.635＝x0.01，
所以根據(jù)小概率值α＝0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為首次到店消費(fèi)者的性別與飲品風(fēng)味偏好有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01.
可知首次到店消費(fèi)者中女性消費(fèi)者更青睞于A飲品，男性消費(fèi)者更青睞于B飲品．
(2)由題意可知，女性消費(fèi)者第一次選擇A，B兩種飲品的概率分別為60100＝35，40100＝25．
設(shè)前三次選擇A飲品的次數(shù)為X，則X的可能取值為0，1，2，3，
因?yàn)镻(X＝0)＝25×13×13＝245，
P(X＝1)＝35×23×13＋25×23×23＋25×13×23＝25，
P(X＝2)＝35×13×23＋35×23×23＋25×23×13＝2245，
P(X＝3)＝35×13×13＝115，
所以X的分布列為
所以X的期望E(X)＝0×245＋1×25＋2×2245＋3×115＝7145．
設(shè)前三次選擇B飲品的次數(shù)為Y，則Y＝3－X，所以Y的期望E(Y)＝3－E(X)＝3－7145＝6445，
即女性消費(fèi)者前三次中，平均有7145次選擇A飲品，有6445次選擇B飲品．
Y
0
5
10
15
P
0.158 65
0.682 7
0.135 9
0.022 75
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
101
196
支付方式
現(xiàn)金
乘車卡
掃碼
比例
10%
60%
30%
y
v
100.54
62.14
1.54
2 535
50.12
3.47
y
1.5
89.1
385
15
X
4
3
2.5
2
1.5
1
P
136
19
16
19
13
14
不夠良好
良好
病例組
40
60
對照組
10
90
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
性別
是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
是
否
男
女
合計(jì)
100
性別
是否喜歡排球運(yùn)動(dòng)
合計(jì)
是
否
男
30
70
100
女
60
40
100
合計(jì)
90
110
200
X
0
1
2
3
P
435
1835
1235
135
性別
是否屬于“高消費(fèi)群”
合計(jì)
屬于
不屬于
男
女
合計(jì)
性別
是否屬于“高消費(fèi)群”
合計(jì)
屬于
不屬于
男
15
45
60
女
20
20
40
合計(jì)
35
65
100
性別
種類
合計(jì)
A飲品
B飲品
女
60
40
100
男
40
60
100
合計(jì)
100
100
200
X
0
1
2
3
P
245
25
2245
115

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