1．（3分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）不改變分式的值，將分式中的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列調(diào)查中，適合用普查方式的是（ ）
A．檢測某城市空氣質(zhì)量
B．檢測神舟十三號載人飛船的零部件質(zhì)量情況
C．檢測一批節(jié)能燈的使用壽命
D．檢測某批次汽車的抗撞能力
4．（3分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
5．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對邊分別平行B．對角線相等
C．對角線互相垂直D．兩組對邊分別相等
6．（3分）反比例函數(shù)y＝的圖象在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，那么m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
7．（3分）某市為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹x萬棵（ ）
A．﹣＝10B．﹣＝10
C．﹣＝10D．﹣＝10
8．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于點(diǎn)E，則BC的長為（ ）
A．B．C．4D．2
9．（3分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AE，連接DE，CE，若，則DE的長為（ ）
A．B．C．D．10
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，AB交x軸于點(diǎn)E，AF⊥x軸，EF＝1．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面積為24．
A．2個B．3個C．4個D．5個
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.請將答案填在答題卷相應(yīng)橫線上.）
11．（3分）要使有意義，則x的取值范圍為 ．
12．（3分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝ ．
13．（3分）在一個不透明的口袋中裝有2個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他相同．通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近 個．
14．（3分）如圖，在△ABC中，D、E為邊AB、AC中點(diǎn)，那么四邊形DECB面積是 .
15．（3分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝ ．
16．（3分）如圖，在?ABCD中，∠A＝80°1BC1D1的位置，此時C1D1恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則∠ABA1＝ °．
17．（3分）如圖，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)y2＝ax+b交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)0＜y1≤y2時，x的取值范圍是 .
18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4（不與點(diǎn)B、C重合），連接AE，將AE繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到FE．連接CF，則∠DCF的度數(shù)是 .設(shè)AF與CD交于點(diǎn)G，連接DF，EG，四邊形CEGF的面積是 ．
三、解答題（本大題共9小題，共76分.請把解答過程寫在答題卷相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明）
19．（8分）計(jì)算：（1）；
（2）．
20．（8分）（1）化簡：；
（2）解方程：．
21．（5分）先化簡，再求值：（1﹣）?，其中．
22．（8分）某校為落實(shí)中央“雙減”精神，擬開設(shè)古風(fēng)詩社、工程教育、玩轉(zhuǎn)物理、博物歷史四門校本課程供學(xué)生選擇．為了解該校八年級800名學(xué)生對四門校本課程的選擇意向，陳老師做了以下工作：①整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖；③結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論；④收集40名學(xué)生對四門課程的選擇意向的相關(guān)數(shù)據(jù)．
（1）請按數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的規(guī)律對陳老師的工作步驟進(jìn)行正確排序 ；
（2）以上步驟中抽取40名學(xué)生最合適的方式是 ；
A．隨機(jī)抽取八年級三班的40名學(xué)生
B．隨機(jī)抽取八年級40名男生
C．隨機(jī)抽取八年級40名女生
D．隨機(jī)抽取八年級40名學(xué)生
（3）如圖是陳老師繪制的40名學(xué)生所選課后服務(wù)類型的條形統(tǒng)計(jì)圖．假設(shè)全年級每位學(xué)生都做出了選擇，且只選擇了一門課程．若學(xué)校規(guī)定每個班級不超過40人，請你根據(jù)圖表信息．
①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）
②估計(jì)該校八年級至少應(yīng)該開設(shè)幾個工程教育班？
23．（9分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AB于點(diǎn)F，連接AE、CF．
（1）求證：△COE≌△AOF；
（2）當(dāng)∠DEA＝2∠CAB時，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
24．（8分）如圖，已知?ABCD．
（1）用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)O，使OA＝OB，并且點(diǎn)O到CD的距離等于OA的長度．（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝4，，∠A＝α（0°＜α＜180°），當(dāng)α＝ 時，（1）中線段OA最短，線段OA的最小值是 ．
25．（10分）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A（﹣1，6），B（3，a﹣3），與x軸交于點(diǎn)C
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)M在x軸上，若S△OAM＝S△OAB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
26．（10分）甲、乙兩個工程隊(duì)計(jì)劃參與某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個月，承建公司每個月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬元．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完工需要幾個月才能完成任務(wù)？
（2）為保證該工程按時完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊(duì)同時施工，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個月，乙隊(duì)施工時間不超過24個月，且a，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
27．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．如圖2，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點(diǎn)E
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）
（2）若點(diǎn)A（8，6），求FC的長；
（3）如圖3，對角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y＝x于點(diǎn)N1與S2．
①證明：△OFN是直角三角形；
②當(dāng)S1﹣S2＝7時，直接寫出AN的長度．
2023-2024學(xué)年江蘇省無錫市梁溪區(qū)江南中學(xué)八年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分.在每小題所給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是正確的，請用2B鉛筆把答題卷上相應(yīng)的選項(xiàng)標(biāo)號涂黑.）
1．（3分）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】軸對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿著一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形．據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：A、是中心對稱圖形，不符合題意；
B、既是軸對稱圖形，符合題意；
C、不是中心對稱圖形，不符合題意；
D、不是中心對稱圖形，不符合題意，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查軸對稱圖形、中心對稱圖形，理解定義，找準(zhǔn)對稱軸和對稱中心是解答的關(guān)鍵．
2．（3分）不改變分式的值，將分式中的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)化為整數(shù)，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】分式的分子、分母同乘以﹣1，再同乘以10，再化簡即可．
【解答】解：原式＝＝＝，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的基本性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是利用分式的分子、分母同乘以一個不等于0的數(shù)，分式的值不變來解決問題．
3．（3分）下列調(diào)查中，適合用普查方式的是（ ）
A．檢測某城市空氣質(zhì)量
B．檢測神舟十三號載人飛船的零部件質(zhì)量情況
C．檢測一批節(jié)能燈的使用壽命
D．檢測某批次汽車的抗撞能力
【分析】根據(jù)普查得到的調(diào)查結(jié)果比較準(zhǔn)確，但所費(fèi)人力、物力和時間較多，而抽樣調(diào)查得到的調(diào)查結(jié)果比較近似進(jìn)行判斷．
【解答】解：A．檢測某城市空氣質(zhì)量，故不符合題意；
B．檢測神舟十三號載人飛船的零部件質(zhì)量情況，故符合題意；
C．檢測一批節(jié)能燈的使用壽命，故不符合題意；
D．檢測某批次汽車的抗撞能力，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了全面調(diào)查與抽樣調(diào)查，熟練掌握全面調(diào)查與抽樣調(diào)查的特點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如果3x＝4y（y≠0），那么下列比例式中成立的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可得答案．
【解答】解：A、由比例的性質(zhì)，故A符合題意；
B、由比例的性質(zhì)，故B不符合題意；
C、由比例的性質(zhì)，故C不符合題意；
D、由比例的性質(zhì)，故D不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)評】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
5．（3分）菱形具有而矩形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．兩組對邊分別平行B．對角線相等
C．對角線互相垂直D．兩組對邊分別相等
【分析】菱形的性質(zhì)有四邊相等，對角相等，對角線平分、垂直且平分每組對角；矩形的性質(zhì)有對邊相等，四角相等，對角線平分且相等．
【解答】解：選項(xiàng)A，菱形和矩形都是特殊的平行四邊形，不符合題意；
選項(xiàng)B，矩形的對角線相等，不符合題意；
選項(xiàng)C，菱形的對角線互相平分且互相垂直，符合題意；
選項(xiàng)D，菱形和矩形都是平行四邊形，不符合題意．
故選：C．
【點(diǎn)評】本題考查菱形與矩形的性質(zhì)，需要同學(xué)們對各種平行四邊形的性質(zhì)熟練掌握并區(qū)分．
6．（3分）反比例函數(shù)y＝的圖象在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，那么m的值可以是（ ）
A．﹣1B．0C．5D．6
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵反比例函數(shù)y＝的圖象在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減小，
∴m﹣5＞8，即m＞5．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
7．（3分）某市為美化城市環(huán)境，計(jì)劃種植樹木50萬棵，由于志愿者的加入，結(jié)果提前10天完成任務(wù)，設(shè)原計(jì)劃每天植樹x萬棵（ ）
A．﹣＝10B．﹣＝10
C．﹣＝10D．﹣＝10
【分析】根據(jù)“提前10天完成任務(wù)”即可列出方程．
【解答】解：設(shè)原計(jì)劃每天植樹x萬棵，需要，
∴實(shí)際每天植樹（x+0.2x）萬棵，需要，
∵提前10天完成任務(wù)，
∴﹣＝10，
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是利用題目中的等量關(guān)系，本題屬于基礎(chǔ)題型．
8．（3分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，AE垂直平分OB于點(diǎn)E，則BC的長為（ ）
A．B．C．4D．2
【分析】由矩形的性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)可證△AOB是等邊三角形，可得∠BAC＝60°，即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等邊三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝2，
故選：B．
【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，連接AD，把AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AE，連接DE，CE，若，則DE的長為（ ）
A．B．C．D．10
【分析】先證明△EAC≌△DAB（SAS），得到EC＝BD，推出BC＝12，再證明△EAD∽△CAB，據(jù)此即可求解．
【解答】解：∵AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)得到AE，∠EAD＝∠CAB，
∴AD＝AE，∠EAC＝∠EAD﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD＝∠DAB，
又∵AB＝AC，
∴△EAC≌△DAB（SAS），
∴EC＝BD，
∵EC+CD＝12，
∴BC＝12，
∵∠EAD＝∠CAB，，即，
∴△EAD∽△CAB，
∴，
∵BC＝12，
∴DE＝10．
故選：D．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是相似三角形判定定理的應(yīng)用．
10．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A在第一象限，B，AB交x軸于點(diǎn)E，AF⊥x軸，EF＝1．以下結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①OA＝3AF；
②AE平分∠OAF；
③點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣4，﹣）；
④BD＝6；
⑤矩形ABCD的面積為24．
A．2個B．3個C．4個D．5個
【分析】通過證明△AEF∽△BEO，可得BO＝3AF，由矩形的性質(zhì)可得OA＝OB＝3AF，故①正確；由等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)可得∠OBA＝∠OAB＝∠EAF，可得AE平分∠OAF，故②正確；由勾股定理可求AF的長，即可求點(diǎn)A坐標(biāo)，由矩形是中心對稱圖形，可得點(diǎn)C（﹣4，﹣），故③正確；由BD＝2AO＝6，故④錯誤，由面積公式可求矩形ABCD的面積＝2×S△ABD＝24，故⑤正確，即可求解．
【解答】解：∵∠OEB＝∠AEF，∠AFE＝∠BOE＝90°，
∴△AEF∽△BEO，
∴＝＝8，
∴BO＝3AF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，
∴AO＝OB，
∴AO＝3AF，∠OBA＝∠OAB；
∴∠OAB＝∠EAF，
∴AE平分∠OAF，故②正確；
∵OE＝2，EF＝1，
∴OF＝4，
∵OA8﹣AF2＝OF2，
∴7AF2＝16，
∴AF＝（負(fù)值舍去），
∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（8，），
∵點(diǎn)A，點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對稱，
∴點(diǎn)C（﹣4，﹣），故③正確；
∵AF＝，OA＝3AF，
∴AO＝6，
∴BO＝DO＝3，
∴BD＝6，故④錯誤；
∵S△ABD＝×6，
∴矩形ABCD的面積＝2×S△ABD＝24，故⑤正確，
故選：C．
【點(diǎn)評】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分.請將答案填在答題卷相應(yīng)橫線上.）
11．（3分）要使有意義，則x的取值范圍為 x≤1 ．
【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出關(guān)于x的不等式，求出x的取值范圍即可．
【解答】解：∵有意義，
∴﹣x+1≥3，
解得x≤1．
故答案為：x≤1．
【點(diǎn)評】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式中的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)是解題的關(guān)鍵．
12．（3分）若最簡二次根式與是同類二次根式，則a＝ 3 ．
【分析】先求出＝2，再根據(jù)同類二次根式的定義得出2a﹣3＝3，再求出答案即可．
【解答】解：＝2，
∵最簡二次根式與是同類二次根式，
∴2a﹣3＝3，
∴a＝3．
故答案為：3．
【點(diǎn)評】本題考查了同類二次根式和最簡二次根式，能得出2a﹣3＝3是解此題的關(guān)鍵．
13．（3分）在一個不透明的口袋中裝有2個紅球和若干個白球，它們除顏色外其他相同．通過多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.25附近 6 個．
【分析】根據(jù)摸到紅球的頻率估計(jì)出摸出紅球的概率，根據(jù)概率公式求出總球數(shù)，進(jìn)而得出白球個數(shù)即可．
【解答】解：根據(jù)題意得：
2÷0.25﹣5
＝8﹣2
＝5，
則口袋中白球個數(shù)很可能是6個．
故答案為：6．
【點(diǎn)評】此題考查了利用頻率估計(jì)概率，大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率．用到的知識點(diǎn)為：概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
14．（3分）如圖，在△ABC中，D、E為邊AB、AC中點(diǎn)，那么四邊形DECB面積是 12 .
【分析】根據(jù)三角形的中位線定理求出DE＝BC，DE∥BC，求出△ADE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出比例式，代入求出△ABC的面積是16，即可作答．
【解答】解：∵D、E為邊AB，
∴DE＝BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝（）3＝14，
∵△ADE的面積為4，
∴△ABC的面積是16，
∴四邊形DECB面積＝S△ABC﹣S△ADE＝16﹣4＝12．
故答案為：12．
【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，三角形的中位線定理等知識點(diǎn)，能推出△ADE∽△ABC是解此題的關(guān)鍵，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．
15．（3分）若關(guān)于x的分式方程有增根，則m＝ ﹣2 ．
【分析】首先把所給的分式方程化為整式方程，然后根據(jù)分式方程有增根，得到x﹣3＝0，據(jù)此求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】解：去分母，得：2+m＝x﹣3，
由分式方程有增根，得到x﹣5＝0，
把x＝3代入整式方程，可得：m＝﹣2．
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)評】此題主要考查了分式方程的增根，解答此題的關(guān)鍵是要明確：（1）化分式方程為整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
16．（3分）如圖，在?ABCD中，∠A＝80°1BC1D1的位置，此時C1D1恰好經(jīng)過點(diǎn)C，則∠ABA1＝ 20 °．
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：?ABCD全等于?A1BC1D1，所以BC＝BC1，所以∠BCC1＝∠C1，又因?yàn)樾D(zhuǎn)角∠∠ABA1＝∠CBC1，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．
【解答】解：∵?ABCD繞頂點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)到?A1BC1D5，
∴BC＝BC1，
∴∠BCC1＝∠C7，
∵∠A＝80°，
∴∠C＝∠C1＝80°，
∴∠BCC1＝∠C3，
∴∠CBC1＝180°﹣2×80°＝20°，
∴∠ABA7＝20°，
故答案為：20．
【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是證明三角形CBC1是等腰三角形．
17．（3分）如圖，若反比例函數(shù)與一次函數(shù)y2＝ax+b交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)0＜y1≤y2時，x的取值范圍是 x≤﹣1 .
【分析】寫出在x軸的上方，且一次函數(shù)的圖象不在反比例函數(shù)的圖象下方的自變量的取值范圍即可．
【解答】解：觀察圖象可知，當(dāng)0＜y1≤y4時，x的取值范圍是x≤﹣1．
故答案為：x≤﹣1．
【點(diǎn)評】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．
18．（3分）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4（不與點(diǎn)B、C重合），連接AE，將AE繞點(diǎn)E按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到FE．連接CF，則∠DCF的度數(shù)是 45° .設(shè)AF與CD交于點(diǎn)G，連接DF，EG，四邊形CEGF的面積是 ．
【分析】通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，可得∠AEF＝∠ACF＝90°，可求∠DCF的度數(shù)，由相似三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)可求CG，CE，CH的長，由三角形的面積公式可求解．
【解答】解：如圖，連接AC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∵將AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，
∴AE＝EF，∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFE＝∠ACE，
∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)E四點(diǎn)共圓，
∴∠AEF＝∠ACF＝90°，
∴∠DCF＝45°，
∴當(dāng)DF⊥CF時，DF有最小值，
過點(diǎn)F作NH∥CD，交AD的延長線于N，
∵DF⊥CF，∠DCF＝45°，
∴∠FDC＝∠FCD＝45°，
∴FD＝FC，
∵AB＝CD＝AD＝BC＝4，
∴DF＝FC＝2，
∵NH∥CD，
∴∠NFD＝∠FDC＝45°，∠HFC＝∠FCD＝45°，
∴NF＝DN＝2，F(xiàn)H＝CH＝2，
∵DC∥NH，
∴△ADG∽△ANF，
∴，
∴，
∴DG＝，
∴GC＝，
∵∠AEF＝90°，
∴∠AEB+∠FEH＝90°＝∠AEB+∠BAE，
∴∠BAE＝∠FEH，
在△ABE和△EHF中，
，
∴△ABE≌△EHF（AAS），
∴BE＝FH＝2，AB＝EH＝6，
∴CE＝2，
∴四邊形CEGF的面積＝×CG?CE+××2+×，
故答案為：45°，．
【點(diǎn)評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共9小題，共76分.請把解答過程寫在答題卷相應(yīng)的位置上，解答時應(yīng)寫出必要的計(jì)算過程、推演步驟或文字說明）
19．（8分）計(jì)算：（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘法，化為最簡二次根式，再合并即可；
（2）先去絕對值，分母有理化，化為最簡二次根式，再合并．
【解答】解：（1）原式＝3﹣
＝2﹣
＝8；
（2）原式＝﹣﹣2
＝﹣．
【點(diǎn)評】本題考查二次根式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式相關(guān)運(yùn)算的法則．
20．（8分）（1）化簡：；
（2）解方程：．
【分析】（1）根據(jù)分式的加減法則計(jì)算即可；
（2）將分式方程化為整式方程求解即可．
【解答】解：（1）
＝
＝
＝
＝；
（2），
方程兩邊同乘x（x﹣2），得3（x﹣7）﹣2x＝0，
解得x＝3，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時，x（x﹣2）≠6，
所以分式方程的解是x＝6．
【點(diǎn)評】本題考查了解分式方程，分式的加減，熟練掌握運(yùn)算法則及步驟是解題的關(guān)鍵．
21．（5分）先化簡，再求值：（1﹣）?，其中．
【分析】先根據(jù)分式的減法法則進(jìn)行計(jì)算，再根據(jù)分式的乘法法則進(jìn)行計(jì)算，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1﹣）?
＝?
＝?
＝m﹣1，
當(dāng)時，原式＝．
【點(diǎn)評】本題考查了分式的化簡求值，能正確根據(jù)分式的運(yùn)算法則進(jìn)行化簡是解此題的關(guān)鍵，注意運(yùn)算順序．
22．（8分）某校為落實(shí)中央“雙減”精神，擬開設(shè)古風(fēng)詩社、工程教育、玩轉(zhuǎn)物理、博物歷史四門校本課程供學(xué)生選擇．為了解該校八年級800名學(xué)生對四門校本課程的選擇意向，陳老師做了以下工作：①整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖；③結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)并得出結(jié)論；④收集40名學(xué)生對四門課程的選擇意向的相關(guān)數(shù)據(jù)．
（1）請按數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)的規(guī)律對陳老師的工作步驟進(jìn)行正確排序 ②④①③ ；
（2）以上步驟中抽取40名學(xué)生最合適的方式是 D ；
A．隨機(jī)抽取八年級三班的40名學(xué)生
B．隨機(jī)抽取八年級40名男生
C．隨機(jī)抽取八年級40名女生
D．隨機(jī)抽取八年級40名學(xué)生
（3）如圖是陳老師繪制的40名學(xué)生所選課后服務(wù)類型的條形統(tǒng)計(jì)圖．假設(shè)全年級每位學(xué)生都做出了選擇，且只選擇了一門課程．若學(xué)校規(guī)定每個班級不超過40人，請你根據(jù)圖表信息．
①補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；（畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù)）
②估計(jì)該校八年級至少應(yīng)該開設(shè)幾個工程教育班？
【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的收集與整理的具體步驟解答即可；
（2）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點(diǎn)解答即可；
（3）①用總?cè)藬?shù)分別減去選擇其它三門課程的人數(shù)，即可得出選擇工程教育的人數(shù)，進(jìn)而補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖；
②根據(jù)樣本估計(jì)總體思想解答即可．
【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)的收集與整理的具體步驟可判斷順序?yàn)椋孩冖堍佗郏?br>故答案為：②④①③；
（2）根據(jù)抽樣調(diào)查的特點(diǎn)易判斷出：D，
故答案為：D；
（3）選擇工程教育的人數(shù)為：40﹣16﹣4﹣12＝8（人），
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：
（2）估計(jì)該校八年級選擇工程教育的人數(shù)為：800×＝160（人），
＝4（個），
答：估計(jì)該校八年級至少應(yīng)該開設(shè)4個工程教育班．
【點(diǎn)評】本題考查條形統(tǒng)計(jì)圖，用樣本估計(jì)總體，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
23．（9分）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，連接EO并延長交AB于點(diǎn)F，連接AE、CF．
（1）求證：△COE≌△AOF；
（2）當(dāng)∠DEA＝2∠CAB時，試判斷四邊形AECF的形狀，并說明理由．
【分析】（1）利用矩形的性質(zhì)，即可得依據(jù)ASA或AAS判定△COE≌△AOF；
（2）先判定四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)AE＝CE，即可得出四邊形AECF是菱形．
【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠OCE＝∠OAF，
∵點(diǎn)O為對角線AC的中點(diǎn)，
∴CO＝AO，
在△COE和△AOF中，
，
∴△COE≌△AOF（ASA）；
（2）四邊形AECF為菱形，理由：
∵△COE≌△AOF，
∴CE＝AF，
又∵CE∥AF，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∵CD∥AB，
∴∠DEA＝∠BAE，
又∵∠DEA＝2∠CAB，
∴∠BAE＝2∠CAB，
即∠BAC＝∠EAC，
∵CD∥AB，
∴∠BAC＝∠ACE，
∴∠CAE＝∠ACE，
∴AE＝CE，
∴四邊形AECF是菱形．
【點(diǎn)評】本題主要考查了全等三角形的判定，菱形的判定，在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．在判定三角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．
24．（8分）如圖，已知?ABCD．
（1）用直尺和圓規(guī)作一點(diǎn)O，使OA＝OB，并且點(diǎn)O到CD的距離等于OA的長度．（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）若AB＝4，，∠A＝α（0°＜α＜180°），當(dāng)α＝ 45° 時，（1）中線段OA最短，線段OA的最小值是 2 ．
【分析】（1）作線段AB的垂直平分線EF，交CD一點(diǎn)E，連接AE，作線段AE的垂直平分線交EF一點(diǎn)O，點(diǎn)O即為所求；
（2）△ABE是等腰三角形，AB＝4＝定值，當(dāng)△AEB是直角三角形時，OA的值最?。?br>【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)O即為所求；
（2）∵EA＝EB，AB＝4，
當(dāng)AB是直徑時，OA的值最小，OA的最小值為2．
故答案為：45°，7．
【點(diǎn)評】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．
25．（10分）如圖，一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A（﹣1，6），B（3，a﹣3），與x軸交于點(diǎn)C
（1）求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)M在x軸上，若S△OAM＝S△OAB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
【分析】（1）把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，即可求出反比例函數(shù)的解析式，把B的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求出B的坐標(biāo)，把A、B的坐標(biāo)代入所設(shè)一次函數(shù)解析式即可求出函數(shù)的解析式；
（2）依據(jù)題意求得C點(diǎn)的坐標(biāo)，求出△AOB的面積，利用S△OAM＝S△OAB，即可求出OM，進(jìn)而即可求得M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，
∵A（﹣1，7）在反比例函數(shù)圖象上，
解得k1＝﹣1×5＝﹣6，
∴反比例函數(shù)的解析式為y＝﹣，
把B（6，a﹣3）代入y＝﹣，
解得a＝1，
∴B（8，﹣2），
設(shè)一次函數(shù)的解析式為y＝k2x+b，
將A（﹣7，6），﹣2）代入y＝k2x+b，
可得，
解得，
∴一次函數(shù)的解析式為 y＝﹣7x+4；
（2）當(dāng)y＝0 時，可得4＝﹣2x+4，
∴C（7，0），
∴OC＝2，
∴s△OAB＝S△OAC+S△OBC＝，
∵S△OAM＝S△OAB，
∴S△OAM＝＝7，
∴OM＝，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（﹣，0）或（．
【點(diǎn)評】本題考查一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，三角形的面積等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，主要考查學(xué)生的計(jì)算能力和觀察圖形的能力，以及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
26．（10分）甲、乙兩個工程隊(duì)計(jì)劃參與某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個月，承建公司每個月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬元．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完工需要幾個月才能完成任務(wù)？
（2）為保證該工程按時完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個工程隊(duì)同時施工，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個月，乙隊(duì)施工時間不超過24個月，且a，則甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時間安排有幾種方式？哪種安排方式所支付費(fèi)用最低？
【分析】（1）設(shè)乙單獨(dú)完成需要x個月，由“乙先單獨(dú)施工2個月，再由甲、乙合作施工10個月恰好完成任務(wù)”建立分式方程求解即可；
（2）由題意可得：，可得，結(jié)合a≤6，b≤24，可得18≤b≤24，結(jié)合a，b都為正整數(shù)，可得b為3的倍數(shù)，可得甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時間安排有3種方式，從而可得答案．
【解答】解：（1）設(shè)乙單獨(dú)完成需要x個月，則
，
解得：x＝27，
經(jīng)檢驗(yàn)x＝27是原方程的解且符合題意；
答：乙隊(duì)單獨(dú)完工需要27個月才能完成任務(wù)．
（2）由題意可得：，
∴4a+2b＝54，
∴，
∵a≤6，b≤24，
∴，解得：18≤b≤24，
∵a，b都為正整數(shù)，
∴b為3的倍數(shù)，
∴或或，
∴甲乙兩隊(duì)實(shí)際施工的時間安排有3種方式，
方案①：安排甲工作6個月，乙工作18個月，
方案②：安排甲工作4個月，乙工作21個月，
方案③：安排甲工作4個月，乙工作24個月，
∴安排甲工作2個月，乙工作24個月．
【點(diǎn)評】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，二元一次方程的應(yīng)用，一元一次不等式組的應(yīng)用，確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．
27．（10分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上．如圖2，旋轉(zhuǎn)角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點(diǎn)E
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結(jié)果，不要求寫解答過程）
（2）若點(diǎn)A（8，6），求FC的長；
（3）如圖3，對角線AC交y軸于點(diǎn)M，交直線y＝x于點(diǎn)N1與S2．
①證明：△OFN是直角三角形；
②當(dāng)S1﹣S2＝7時，直接寫出AN的長度．
【分析】（1）證明Rt△AOE≌Rt△COF（HL），則∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉(zhuǎn)角），進(jìn)而求解；
（2）證明Rt△AOG∽Rt△FOC，得到FC＝＝＝，即可求解；
（3）①證明O、N、F、C四點(diǎn)共圓，即可求解；
②S1＝S△OFN＝ON2＝（OQ2+NQ2）＝（PN2+NQ2）＝PN2+QN2，S2＝S△COF＝CF?CO＝（PC﹣PF）（PN+NQ）＝（PN﹣NQ）（PN+NQ）＝PN2﹣NQ2，進(jìn)而求解．
【解答】（1）解：當(dāng)OE＝OF時，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉(zhuǎn)角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為22.6°時，OE＝OF；
（2）解：過點(diǎn)A作AG⊥x軸于點(diǎn)G，則有AG＝6，
∴OA＝10，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COF＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴OC：OG＝FC：AG，
∴FC＝＝＝，
∴FC的長為；
（3）①證明：△OFN是等腰直角三角形，理由如下：
∵直線y＝x，
∴∠FON＝45°，
∵OABC是正方形，
∴∠ACB＝45°，
∴∠FON＝∠ACB＝45°，
∴O、N、F、C四點(diǎn)共圓，
∴∠OFN＝∠ACO＝45°，
在三角形OFN中，
∠FON＝∠OFN＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形．
②解：過點(diǎn)N作直線PQ⊥BC于點(diǎn)P，交OA于點(diǎn)Q，
由①可知△ONF是等腰直角三角形，
∴FN＝ON，
∵，
∴△NPF≌△OQN（AAS），
∴NP＝OQ，F(xiàn)P＝NQ，
∵四邊形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴S1＝S△OFN＝ON2＝（OQ2+NQ2）＝（PN2+NQ5）＝PN2+QN2，
S2＝S△COF＝CF?CO＝（PN﹣NQ）（PN+NQ）＝2﹣NQ2，
∴S＝S1﹣S7＝NQ2，
又∵△ANQ為等腰直角三角形，設(shè)AN＝n，
∴NQ＝AN＝n，
∴S＝NQ6＝（n）2＝n2，
即7＝n2，
解得：n＝（負(fù)值已舍去），
即AN＝．
【點(diǎn)評】本題考查了一次函數(shù)和正方形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/9 23:36:37；用戶：李佳琳；郵箱：19523779563；學(xué)號：55883986

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