一、選擇題
1．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則Z的共轪復(fù)數(shù)( )
A.-1B.C.iD.1
2．如圖所示的中,點(diǎn)D是線段上犁近A的三等分點(diǎn),點(diǎn)E是線段的中點(diǎn),則( )
A.B.C.D.
3．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，它是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，則原平面圖形的周長(zhǎng)是( )
A.B.C.D.
4．已知,是兩個(gè)不共線的向量,,.若與是共線向量,實(shí)數(shù)k的值為( )
A.B.C.D.
5．在等腰中,,AD平分且與BC相交于點(diǎn)D,則向量在上的投影向量為( )
A.B.C.D.
6．下列命題正確的是( )
A.若a,b是兩條直線,,是兩個(gè)平面,且,則a,b是異面直線
B.四邊形可以確定一個(gè)甲面
C.已知兩條相交直線a,b,且平面,則b與的位置關(guān)系是相交
D.兩兩相交且不共點(diǎn)的三條直線確定一個(gè)平面
7．已知點(diǎn)O,N,P在所在平面內(nèi),且,,,則點(diǎn)O,N,P依次是的( )
A.重心,外心,垂心B.重心,外心,內(nèi)心
C.外心,重心,垂心D.外心,重心,內(nèi)心
二、多項(xiàng)選擇題
8．中,根據(jù)下列條件解三角形,其中有一解的是( )
A.B.
C.D.
9．如圖,透明望料制成的長(zhǎng)方體內(nèi)灌進(jìn)一些水,固定容器底面一邊于水平地面上,再將容器傾斜,隨著傾斜度不同,其中正確的命題的是( )
A.沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形;B.水面所在四邊形的面積為定值;
C.棱始終與水面所在平面平行;D.當(dāng)容器傾斜如圖（3）所示時(shí),是定值.
10．《數(shù)書(shū)九章》是南宋時(shí)期杰出數(shù)學(xué)家秦九韶的著作,全書(shū)十八卷,共八十一個(gè)問(wèn)題,分為九類(lèi),每類(lèi)九個(gè)問(wèn)題,《數(shù)書(shū)九章》中記錄了秦九韶的許多創(chuàng)造性成就,其中在卷五“三斜求積術(shù)”中提出了已知三角形三邊,求面積的公式,這與古希臘的海倫公式完全等價(jià),其求法是：“以少?gòu)V求之,以小斜冪并大斜冪減中斜冪,余半之,自乘于上;以小斜冪乘大斜冪減上,余四約之,為實(shí)：一為從隅,開(kāi)平方得積.”若把以上這段文字寫(xiě)成公式,即.現(xiàn)有滿(mǎn)足,且的面積,請(qǐng)運(yùn)用上述公式判斷下列結(jié)論正確的是（ ）
A.的周長(zhǎng)為B.三個(gè)內(nèi)角A,B,C滿(mǎn)足
C.外接圓的直徑為D.的中線的長(zhǎng)為
三、填空題
11．已知點(diǎn),向旦,,點(diǎn)P是線段的三等分點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo)__________.
12．如圖是一個(gè)正方體的展開(kāi)圖,如果將它還原為正方體,那么在,,,這四條線段中,有____________對(duì)異面直線？
13．如下圖,在中,點(diǎn)O是的中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線,于不同的兩點(diǎn)M,N.設(shè),,則________.
四、解答題
14．如圖，在中，已知，，，BC，AC邊上的兩條中線AM，BM相交于點(diǎn)P，求的余弦值.
15．如圖，圓錐PO的底面直徑和高均是a，過(guò)PO的中點(diǎn)作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個(gè)圓柱，求剩下幾何體的表面積和體積.
16．在復(fù)平面內(nèi),點(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是,（其中i是虛數(shù)單位）,設(shè)向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為Z.
（1）求復(fù)數(shù)Z;
（2）求;
（3）若,且是純虛數(shù),求實(shí)數(shù)m的值.
17．如圖,A,B是海面上位于東西方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東,B點(diǎn)北偏西的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào),位于B點(diǎn)南偏西且與B點(diǎn)相距海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救,其航行速度為30海里/小時(shí),試求：
（1）輪船D與觀測(cè)點(diǎn)B的距離;
（2）救援船到達(dá)D點(diǎn)所需要的時(shí)間.
18．在等腰梯形中,,,,,,動(dòng)點(diǎn)E,F分別在線段和上（不包含端點(diǎn)）,和交于點(diǎn),且,.
（1）用向量,表示向量;
（2）求的取值范圍;
（3）是否存在點(diǎn)E,使得.若存在,求;若不存在,說(shuō)明理由.
19．“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn),使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答,當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí),使得的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn);當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí),最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且
（1）求A;
（2）若,設(shè)點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),求;
（3）設(shè)點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),,求實(shí)數(shù)t的最小值.
參考答案
1．答案：C
解析：,
因?yàn)閺?fù)數(shù)是純虛數(shù),
所以,
則,所以.
故本題正確答案為：C.
2．答案：B
解析：依題意.
3．答案：A
解析：直觀圖正方形的邊長(zhǎng)為，，
原圖形為平行四邊形，如圖：
其中，高，
，
原圖形的周長(zhǎng).
故選：A.
4．答案：C
解析：
5．答案：B
解析：由余弦定理可知,
,,
AD平分且與BC相交于點(diǎn)D,是等腰三角形,
是中點(diǎn),,
由圖可知向量在上的投影向量為,
,,.
故選：B.
6．答案：D
解析：
7．答案：C
解析：,則點(diǎn)O到的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等,
O是的外心.,,
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M,則,由此可知N為AB邊上中線的三等分點(diǎn)(靠近中點(diǎn)M),
所以N是的重心.
,.
即,同理由,可得.
所以P是的垂心.
故選：C.
8．答案：BC
解析：
9．答案：ACD
解析：
10．答案：ABC
解析：
11．答案：或
解析：
12．答案：3
解析：如圖所示：把展開(kāi)圖再還原成正方體,
由經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)和平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線可得,,,,這四條線段所在直線是異面直線的有:
和,和,和,共三對(duì),
故答案為：3.
13．答案：2
解析：
14．答案：
解析：M，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，
，.
與的夾角等于，.
，
，
，
.
15．答案：表面積為，體積為
解析：設(shè)圓錐底面半徑為r，圓柱底面半徑為，則，.
又可知圓柱母線長(zhǎng)，圓錐母線長(zhǎng)，
剩下幾何體的表面積
.
剩下幾何體的體積.
答：剩下幾何體的表面積為，體積為.
16．答案：（1）
（2）
（3）-1
解析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A,B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是,,所以,,
所以,故.
（2）因?yàn)?所以
.
（3）因?yàn)?所以,
由是純虛數(shù),可知且,解得.
17．答案：（1）海里
（2）1小時(shí)
解析：（1）由D在A的北偏東,在B的北偏西,
,,,
由正弦定理得,
又,
代入上式得：（海里）,
答：輪船D與觀測(cè)點(diǎn)B的距離為海里;
（2）中,海里,海里,,
,
,解得海里,（小時(shí)）,
答：救援船到達(dá)D所需的時(shí)間為1小時(shí).
18．答案：（1）
（2）
（3）
解析:（1）因?yàn)?
所以.
又.
（2）,
因?yàn)?
所以
.
因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)E,F分別在線段和上?且不包含端點(diǎn),所以,
所以,
所以的取值范圍是.
（3）設(shè),其中,
則,
因?yàn)?
由平面向量基本定理,得
解得,
由,得,故,
所以,解得,或.因?yàn)?所以.
19．答案：（1）
（2）
（3）
解析：（1）由已知中,即,
故,由正弦定理可得,
故直角三角形,即.
（2）由（1）,所以三角形的三個(gè)角都小于,
則由費(fèi)馬點(diǎn)定義可知：,
設(shè),,,由得：
,整理得,
則.
（3）點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn),則,
設(shè),,,,,
則由得;
由余弦定理得,
,
,
故由得,
即,而,,故,
當(dāng)且僅當(dāng),結(jié)合,解得時(shí),等號(hào)成立,
又,即有,解得或（舍去）,
故實(shí)數(shù)t的最小值為.

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