1.已知復(fù)數(shù)z=a2?16+(a+4)i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a=( )
A. ?4B. 4C. 0D. 4或?4
2.樣本數(shù)據(jù)11，12，13，14，15，16，17，18，19，20的第80百分位數(shù)是( )
A. 18B. 19C. 18.5D. 18或19
3.某班級有60名學(xué)生，班主任用不放回的簡單隨機(jī)抽樣的方法從這60名學(xué)生中抽取5人進(jìn)行家訪，則同學(xué)a被抽到的可能性為( )
A. 112B. 15C. 160D. 111
4.已知四棱柱ABCD?EFGH的高為3，其底面ABCD水平放置的直觀圖(斜二測畫法) A′B′C′D′如圖所示，其中A′B′=2A′D′=2D′C′=2，A′B′/?/C′D′，則這個(gè)四棱柱的體積為( )
A. 3 2B. 32C. 3 22D. 9 2
5.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a+csBb+csA=sinAsinB，則這個(gè)三角形是( )
A. 等腰三角形或直角三角形B. 直角三角形
C. 等腰三角形D. 等腰直角三角形
6.在△ABC中，AB=AC=1，AN=NC，P是BN上一點(diǎn)，且AP=mAB+13AC，則AP?BC=( )
A. ?16B. 19C. 0D. 1
7.河北定州開元寺塔是世界上現(xiàn)存最高的磚木結(jié)構(gòu)古塔(如圖1)，著名古建專家羅哲文譽(yù)其為“中華第一塔”.為了測量開元寺塔的高度，一研究小組選取了與該樓底部O在同一水平面內(nèi)三個(gè)共線的測量基點(diǎn)A，B，C，分別測得塔頂P點(diǎn)的仰角為45°，60°，45°，且AB=2BC=98m，示意圖如圖2，則該塔高PO=( )
A. 49 2mB. 98mC. 49mD. 49 3m
8.如圖，在正三棱臺ABC?A1B1C1中，AB=2AA1=2A1B1，M，N分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，則異面直線MN，BC1所成角的余弦值為( )
A. ?14B. 14C. 23D. ?23
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知事件A，B滿足P(A)=0.3，P(B)=0.5，則下列說法正確的是( )
A. 若事件A與事件B相互獨(dú)立，則它們的對立事件也相互獨(dú)立
B. 事件A與事件B可能為對立事件
C. 若事件A與事件B相互獨(dú)立，則P(AB)=0.15
D. 若事件A與事件B互斥，則P(A∪B)=0.8
10.已知向量a=(?1,x)，b=(1,2)，則下列說法正確的是( )
A. 若(2a?b)⊥b，則x=3
B. |2a?b|的最小值為3
C. 若(2a?b)//b，則x=14
D. 若x=1，則向量a在向量b上的投影向量的坐標(biāo)是(15,25)
11.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是A1A，C1C的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段A1C1上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( )
A. 點(diǎn)P到平面BEF的距離不變
B. 平面BEF截該正方體所得的截面面積為5
C. 當(dāng)點(diǎn)P在線段A1C1上運(yùn)動時(shí)，始終有PD/?/平面AB1C
D. D1P+PC的最小值為 8+4 2
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)3+i3?4i的共軛復(fù)數(shù)為 ．
13.為了豐富員工的業(yè)余生活，某企業(yè)舉辦了有獎答題活動，參加活動的員工依次回答三個(gè)問題，不管答對或者答錯，三題答完活動結(jié)束.規(guī)定每位員工只能參加一次活動，且至少答對兩道題才能獲獎.已知員工甲第一題答對的概率為34，第二題答對的概率為23，第三題答對的概率為12，假設(shè)員工甲是否答對每一題相互獨(dú)立，則員工甲獲獎的概率為 ．
14.在△ABC中，AB=2，AC=1，BC= 3，M，N分別為AC，AB上的動點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，將△AMN沿MN折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)A′的位置，且平面A′MN⊥平面BCMN.若點(diǎn)A′，B，C，M，N均在球O的球面上，則球O表面積的最小值為 ．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z1=2m?1+mi，z2=m+mi，m∈R，在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)分別為Z1，Z2，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若復(fù)數(shù)z1+z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線y=x+2上，求|z1+z2|的值;
(2)若OZ1與OZ2的夾角為銳角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
16.(本小題15分)
已知e1，e2是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，若AB=2e1?e2，BP=e1?3e2，PC=e1+2e2．
(1)證明：A，B，C三點(diǎn)共線;
(2)若e1=(1,0)，e2=(0,1)，點(diǎn)D(2,1)，B，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形BCDP，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
17.(本小題15分)
某學(xué)校高一年級舉辦了數(shù)學(xué)競賽活動，共有1000名學(xué)生參加.從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù)，滿分為100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分組作出頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)求實(shí)數(shù)x的值，并估計(jì)該校高一年級本次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值表示);
(2)現(xiàn)從[80,90)，[90,100]兩組中用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取7人組成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，再從這7人中抽取2人作為組長，求至少一名組長來自[90,100]的概率．
18.(本小題17分)
在如圖所示的幾何體中，DE/?/BF，DE⊥平面ABCD，四邊形ABCD為菱形，AB=BF=4，DE=2，∠DAB=60°，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)．
(1)證明：DM⊥平面ABF;
(2)證明：平面AEF⊥平面ABF;
(3)求直線EM與平面ADE所成角的正弦值．
19.(本小題17分)
在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c， 14[b2c2?(b2+c2?a22)2]= 32(acsB?c)c．
(1)求角A;
(2)若D為BC邊上一點(diǎn)，且滿足AD=λ(AB|AB|+AC|AC|)，AD=2，
(ⅰ)求1b+1c的值;
(ⅱ)求1BD+1CD的取值范圍．
答案解析
1.B
【解析】解：復(fù)數(shù)z=a2?16+(a+4)i為純虛數(shù)，
所以a2?16=0,a+4≠0,，解得a=4，
故選B．
2.C
【解析】解：共10個(gè)數(shù)，已經(jīng)從小到大排列好，10×80%=8，
則第80百分位數(shù)是第8個(gè)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即18.5，
故選C．
3.A
【解析】解：總體有60個(gè)個(gè)體，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相同，均為560=112，
故選A．
4.D
【解析】解：由于直觀圖A′B′C′D′的面積為32，
所以四邊形ABCD的面積為32×2 2=3 2，
所以四棱柱的體積是3 2×3=9 2，
故選D．
5.A
【解析】解：由正弦定理可得a+csBb+csA=ab，化簡可得ab+bcsB=ab+acsA，即bcsB=acsA，
由正弦定理可得sinBcsB=sinAcsA，即sin2B=sin2A，
所以2B=2A或2B+2A=π，即B=A或B+A=π2，
所以這個(gè)三角形是等腰三角形或直角三角形，
故選A．
6.C
【解析】解：∵AN=NC，∴AN=12AC，且AP=mAB+13AC=mAB+23AN，
∵P，B，N三點(diǎn)共線，∴m+23=1，即m=13，
∴AP=13AB+13AC，所以AP?BC=(13AB+13AC)?(AC?AB)=13(AC2?AB2)=0，
故選C．
7.D
【解析】解：設(shè)PO=?，由在點(diǎn)A，B，C處分別測得塔頂P點(diǎn)的仰角為45°，60°，45°，
則OA=?，OB=? 3，OC=?，
在△OBC，△OBA中，由余弦定理知cs∠OBC=13?2+492??22×? 3×49，
cs∠OBA=13?2+982??22×? 3×98，
因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以∠OBC+∠OBA=180°，
則13?2+492??22×?3×49+13?2+982??22×? 3×98=0，解得?=49 3，
故選D．
8.C
【解析】解：如圖所示，連接MC，NC1，取MC的中點(diǎn)P，連接C1P，PB，
在正三棱臺ABC?A1B1C1中，設(shè)AB=2AA1=2A1B1=4，
由M，N分別是AB，A1B1的中點(diǎn)，
易知，MC//NC1，且MC=2MP=2NC1，
所以四邊形MPC1N是平行四邊形，
所以MN//PC1，∠PC1B即為異面直線MN，BC1所成角(或其補(bǔ)角)，
在梯形ABB1A1中，MN為梯形的高，
易知∠A1AB=60°，MN= 3，A1B=2 3，
即C1P= 3，C1B=2 3，在△ABC中，易知BP= 7，
所以cs∠PC1B=C1P2+C1B2?PB22C1P?C1B=23，
即異面直線MN，BC1所成角的余弦值為23，
故選C．
9.ACD
【解析】解：對于A，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義易知正確；對于B，對立事件的概率和為1，但P(A)+P(B)=0.8≠1，故B錯誤；對于C，根據(jù)相互獨(dú)立事件的定義，P(AB)=P(A)P(B)=0.15，故C正確；對于D，事件A與事件B互斥，則P(A∪B)
=P(A)+P(B)=0.8，故D正確，故選：ACD．
10.BD
【解析】解：對于A，由a=(?1,x)，b=(1,2)，得2a?b=(?3,2x?2)，由(2a?b)⊥b，得?3+2(2x?2)=0，解得x=74，故A錯誤；對于B，2a?b=(?3,2x?2)，因此|2a?b|= (?3)2+(2x?2)2= (2x?2)2+9≥3，故B正確；對于C，因?yàn)?br>(2a?b)//b，所以?6=2x?2，即x=?2，故C錯誤；對于D，向量a在向量b上的投影向量為a?b|b|2·b=1( 5)2b=
(15,25)，故D正確，故選：BD．
11.ACD
【解析】解：對于A，易知A1C1//EF，EF?平面BEF，A1C1?平面BEF，所以A1C1//平面BEF，點(diǎn)P在線段A1C1上，所以點(diǎn)P到平面BEF的距離不變，故A正確；
對于B，如圖1，連接D1F，D1E，易知D1F//EB，D1E//FB，平面BEF截該正方體所得的截面為平面EBFD1，EF=2 2，BE=BF=D1E=D1F= 5，
所以易知四邊形EBFD1的面積為2 6，故B錯誤；
對于C，如圖2，連接A1D，C1D，易知平面A1DC1//平面AB1C，又因?yàn)镻D?平面A1DC1，所以始終有PD/?/平面AB1C，故C正確；
對于D，如圖3，連接A1C，把平面A1D1C1沿A1C1展開到平面CC1A1所在平面，如圖4，連接D1C交A1C1于點(diǎn)P，此時(shí)D1P+PC取得最小值，
即最小值為D1C，在△D1C1C中，D1C1=C1C=2，∠D1C1C=135°，由余弦定理得，D1C= 8+4 2，故D正確．
故選：ACD．
12.15?35i
【解析】解：由題意可得，3+i3?4i=(3+i)(3+4i)(3?4i)(3+4i)=5+15i25=15+35i，所以復(fù)數(shù)3+i3?4i的共軛復(fù)數(shù)為15?35i
13.1724
【解析】解：員工甲答對兩題的概率為34×23×12+34×13×12+14×23×12=1124，員工甲答對三題的概率為34×23×12=14，
所以員工甲獲獎的概率為P=1124+14=1724．
14.16π5
【解析】解：顯然M不與A重合，由點(diǎn)A′，B，C，M，N均在球O的球面上，得B，C，M，N四點(diǎn)共圓，則∠C+∠MNB=π，
又△ABC為直角三角形，AB為斜邊，則有MN⊥AB，
如圖，將△AMN翻折后，MN⊥A′N，MN⊥BN，又平面A′MN⊥平面BCMN，平面A′MN∩平面BCMN=MN，A′N?平面A′MN，BN?平面BCMN，
于是A′N⊥平面BCMN，BN⊥平面A′MN，顯然A′M，BM的中點(diǎn)D，E分別為△A′MN，四邊形BCMN外接圓圓心，
則DO⊥平面A′MN，EO⊥平面BCMN，因此DO//BN，EO//A′N，取NM的中點(diǎn)F，
連接DF，EF，則有EF//BN//DO，DF//A′N//EO，所以四邊形EFDO為平行四邊形，
設(shè)A′N=x且00，
即(2m?1)m+m2>0，
即3m2?m>0，解得m>13或m0，
即(2m?1,m)=λ(m,m)，(2m?1,m)=(λm,λm)，
所以2m?1=λm,m=λm,解得λ=1，m=1，所以m≠1，
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為(?∞,0)∪(13,1)∪(1,+∞).
【解析】本題考查復(fù)數(shù)的模及復(fù)數(shù)的運(yùn)算，考查向量的數(shù)量積，屬于中檔題．
(1)根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算計(jì)算，進(jìn)一步求模即可；
(2)OZ1=(2m?1,m)，OZ2=(m,m)，根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算可得關(guān)于m的不等式，進(jìn)一步求解即可．
16.解：(1)因?yàn)锽C=BP+PC=2e1?e2，所以AB=BC，所以A，B，C三點(diǎn)共線．
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則PD=(2?x,1?y)，BC=BP+PC=2e1?e2=(2,?1)，
因?yàn)锽，C，D，P恰好構(gòu)成平行四邊形BCDP，所以PD=BC，即2?x=2,1?y=?1,解得x=0,y=2,
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,2)．
【解析】本題考查平面向量共線定理與三點(diǎn)共線問題、向量的加法運(yùn)算、向量的坐標(biāo)表示，屬于一般題．
(1)求出AB=BC，，即可求出結(jié)果；
(2)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則PD=(2?x,1?y)，根據(jù)PD=BC，即可求解。
17.解：(1)在頻率分布直方圖中，(x+0.030+0.040+0.010+0.004)×10=1，解得x=0.016，
結(jié)合頻率分布直方圖，估計(jì)該校高一年級本次數(shù)學(xué)競賽成績的眾數(shù)為75分，
落在[50,60)的頻率為0.16，[60,70)的頻率為0.3，[70,80)的頻率為0.4，
則中位數(shù)落在[70,80)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為y，
則(y?70)×0.040=0.5?0.16?0.3，解得y=71，即中位數(shù)為71分，
平均數(shù)為55×0.16+65×0.3+75×0.4+85×0.1+95×0.04=70.6(分)．
(2)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，
[80,90)中抽取的人數(shù)為0.10.1+0.04×7=57×7=5，
[90,100]中抽取的人數(shù)為0.040.1+0.04×7=27×7=2，
記來自[80,90)的5人和來自[90,100]的2人分別為a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，
則所有基本事件為a1a2，a1a3，a1a4，a1a5，a1b1，a1b2，a2a3，a2a4，a2a5，a2b1，a2b2，a3a4，a3a5，a3b1，a3b2，a4a5，a4b1，a4b2，a5b1，a5b2，b1b2，共21個(gè)，
滿足題意的有11個(gè)，由古典概型知，至少一名組長來自[90,100]的概率為1121．
【解析】本題考查了頻率分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和古典概型及其計(jì)算，屬于中檔題．
(1)由頻率和為1得出x，再由眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的公式計(jì)算即可；
(2)先由分層抽樣得出兩組抽取的人數(shù)，由列舉法和古典概型公式可得結(jié)果．
18.【解答】
(1)證明：因?yàn)镈E/?/BF，DE⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD，因?yàn)镈M?平面ABCD，所以DM⊥BF，因?yàn)椤鰽BD是等邊三角形，點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，所以DM⊥AB，又BF∩AB=B，BF，AB?平面ABF，所以DM⊥平面ABF；
(2)證明：如圖，取AF的中點(diǎn)N，連接EN，MN，因?yàn)镸，N分別為AB，AF的中點(diǎn)，所以MN//BF，MN=12B，又因?yàn)镈E/?/BF，DE=12BF，所以MN/?/DE，MN=DE，所以四邊形EDMN為平行四邊形，所以EN//DM，由(1)知DM⊥平面ABF，所以EN⊥平面ABF，因?yàn)镋N?平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABF；
(3)因?yàn)镈E⊥平面ABCD，DE?平面ADE，所以平面ABCD⊥平面ADE，又平面ABCD∩平面ADE=AD，過點(diǎn)M作AD的垂線，垂足為Q，即MQ⊥AD，所以MQ⊥平面ADE，連接EQ，所以∠MEQ是直線EM與平面ADE所成的角，易知點(diǎn)Q為AD上靠近點(diǎn)A的四等分點(diǎn)，在Rt△MQA中，∠DAB=60°，則MQ= 3，因?yàn)镈E⊥平面ABCD，DM?平面ABCD，所以DE⊥DM，又DM=2 3，所以在Rt△EDM中，EM=4，因?yàn)镸Q⊥平面ADE，EQ?平面ADE，所以MQ⊥EQ，在Rt△EMQ中，sin∠MEQ=MQEM= 34，所以直線EM與平面ADE所成角的正弦值為 34．
【解析】【分析】本題考查了線面垂直的判定，面面垂直的判定，直線與平面所成的角，屬于中檔題．
(1)根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明；
(2)根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明；
(3)根據(jù)題意找出直線EM與平面ADE所成的角，然后求解即可．
19.解：(1)由余弦定理，等式左邊= 14[b2c2?(bccsA)2]= 14b2c2(1?cs2A)= 14b2c2sin2A，
因?yàn)锳∈(0,π)，所以sinA>0，
所以等式左邊=12bcsinA，
所以12bcsinA= 32(acsB?c)c，
化簡得bsinA= 3acsB? 3c，
由正弦定理得sinBsinA= 3sinAcsB? 3sinC，
因?yàn)镃=π?(A+B)，所以sinC=sin[π?(A+B)]=sin(A+B)=sinAcsB+csAsinB，
代入上式化簡得sinBsinA=? 3csAsinB，
因?yàn)锽∈(0,π)，所以sinB>0，
所以sinA=? 3csA，即tanA=? 3，
因?yàn)锳∈(0,π)，所以A=2π3．
(2)(i)AD=λ(AB|AB|+AC|AC|)，
所以AD是∠BAC的平分線，
由(1)知，A=2π3，所以∠BAD=∠CAD=π3，
在△ABC中，S△ABC=S△ABD+S△ACD，
即12bcsinA=12c×AD×sin∠BAD+12b×AD×sin∠CAD，
化簡得bc=2(b+c)，則1b+1c=b+cbc=12．
(ii)在△ABD中，由正弦定理得BDsin∠BAD=ADsinB，
即BD=ADsin∠BADsinB= 3sinB，
在△CAD中，由正弦定理得CD=ADsin∠CADsinC= 3sinC，
所以1BD+1CD=1 3sinB+1 3sinC= 33(sinB+sinC)，
因?yàn)锳=2π3，所以B+C=π3，
所以1BD+1CD= 33[sinB+sin(π3?B)]
= 33(12sinB+ 32csB)= 33sin(B+π3).
因?yàn)?

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