2025年高考數(shù)學一輪復習講義考點歸納與方法總結第01練集合（精練：基礎+重難點）（含解析）-試卷下載-教習網

1.了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系，能用自然語言、圖形語言、集合語言?列舉法或描述法?描述不同的具體問題.
2.理解集合間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.在具體情境中，了解全集與空集的含義.
3.理解兩個集合的并集、交集與補集的含義，會求兩個簡單集合的并集、交集與補集.能使用Venn圖表示集合間的基本關系及集合的基本運算.
一、單選題
1．（2023·全國·高考真題）設全集，集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由題意可得的值，然后計算即可.
【詳解】
由題意可得，則.
故選：A.
2．（2023·全國·高考真題）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
3．（2023·全國·高考真題）設集合，，若，則（）．
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.
【詳解】因為，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
4．（2023·全國·高考真題）設全集,集合，（）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．
【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．
故選：A．
5．（2023·全國·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（）
A．－1B．C．0D．
【答案】B
【分析】
根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫出通項公式，再結合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】
依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
6．（2022·全國·高考真題）設全集，集合M滿足，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先寫出集合,然后逐項驗證即可
【詳解】由題知,對比選項知，正確,錯誤
故選:
7．（2022·全國·高考真題）若集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【詳解】，故，
故選：D
8．（2022·全國·高考真題）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：求出集合后可求.
【詳解】[方法一]：直接法
因為，故，故選：B.
[方法二]：【最優(yōu)解】代入排除法
代入集合，可得，不滿足，排除A、D；
代入集合，可得，不滿足，排除C.
故選：B.
【整體點評】方法一：直接解不等式，利用交集運算求出，是通性通法；
方法二：根據(jù)選擇題特征，利用特殊值代入驗證，是該題的最優(yōu)解．
【A級基礎鞏固練】
一、單選題
1．（2024·北京豐臺·一模）已知集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】解不等式化簡結合，結合并集的概念即可求解.
【詳解】因為，，
所以.
故選：A.
2．（2024·北京順義·二模）設集合，，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求出全集，然后根據(jù)補集運算可得.
【詳解】因為，，
所以.
故選：D
3．（2024·山東·二模）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先化簡集合，再利用交集運算求解.
【詳解】由可得，
所以.
故選：B
4．（23-24高三下·四川成都·階段練習）已知集合，則集合的子集個數(shù)為（）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【分析】計算出集合的元素后可得其子集的個數(shù).
【詳解】，故其子集的個數(shù)為8，
故選：D.
5．（2024·陜西安康·模擬預測）已知集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，再根據(jù)交集的定義即可得解.
【詳解】，
所以.
故選：D.
6．（23-24高三下·四川雅安·階段練習）若集合，，則中元素的最大值為（）
A．4B．5C．7D．10
【答案】C
【分析】根據(jù)B中元素的特征，只需滿足即可得解.
【詳解】由題意，
.
故選：C
7．（2024·四川成都·三模）設全集，若集合滿足，則（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)給定條件，利用集合的包含關系及補集的定義判斷即得.
【詳解】全集，由，知，則，A錯誤，B正確；
不能判斷，也不能判斷，CD錯誤.
故選：B
8．（2024·河北滄州·模擬預測）已知集合，，，則集合的子集共有（）
A．2個B．3個C．4個D．8個
【答案】C
【分析】首先用列舉法表示出集合、，即可求出集合，再求出其子集個數(shù).
【詳解】因為，又，
所以，所以，則集合的子集共有個．
故選：C
9．（2024·全國·模擬預測）若集合，則（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】化簡集合,根據(jù)集合的運算的定義求.
【詳解】由題意，得
因為，即，解得或
則，所以.
故選:D.
10．（2024·四川瀘州·三模）已知集合，，若中有且僅有一個元素，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)不等式的解法求得，結合中有且僅有一個元素，即可求解.
【詳解】由不等式，即，解得，即，
因為，要使得中有且僅有一個元素，則或，
即實數(shù)的取值范圍為.
故選：B.
11．（2024·北京東城·一模）如圖所示，是全集，是的子集，則陰影部分所表示的集合是（）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由給定的韋恩圖分析出陰影部分所表示的集合中元素滿足的條件，再根據(jù)集合運算的定義即可得解.
【詳解】由韋恩圖可知陰影部分所表示的集合是.
故選：D.
二、多選題
12．（2024·甘肅定西·一模）設集合，則（）
A．
B．的元素個數(shù)為16
C．
D．的子集個數(shù)為64
【答案】BCD
【分析】解二次不等式化簡集合，進而求得集合，利用集合的交并運算與常用數(shù)集的定義，結合集合子集個數(shù)的求法逐一分析各選項即可得解.
【詳解】對于ABC，因為，
所以，即，
所以有個元素，故A錯誤，BC正確；
對于D，而有個元素，所以的子集個數(shù)為，故D正確.
故選：BCD.
13．（23-24高一上·陜西西安·階段練習）設集合，，若，則的取值可能是（）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【分析】解方程，分情況討論集合與元素的關系.
【詳解】因為，
所以或或，
所以或或，
故選：ABD．
14．（2024·廣西·二模）若集合和關系的Venn圖如圖所示，則可能是（）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)Venn圖可知?，依次判定選項即可.
【詳解】根據(jù)Venn圖可知?，
對于A，顯然?，故A正確；
對于B，，則，故B錯誤；
對于C，，則?，故C正確；
對于D，，或，
則?，故D正確.
故選：ACD
三、填空題
15．（2024高一上·全國·專題練習）已知集合，且，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，列出方程，求得的值，結合集合元素的互異性，即可求解.
【詳解】因為，所以或，解得或，
當時，，，集合不滿足元素的互異性，所以舍去；
當時，經檢驗，符合題意，所以．
故答案為：．
16．（2024高三下·全國·專題練習）集合的真子集的個數(shù)是 .
【答案】31
【分析】利用列舉法解出該集合，結合真子集的定義即可求解.
【詳解】共5個元素，
則真子集的個數(shù)是.
故答案為：31
17．（23-24高一上·遼寧大連·期中）設，，若，則實數(shù)的值為 .
【答案】或
【分析】依題意可得，分和兩種情況討論.
【詳解】因為，
又，所以，
當時，符合題意；
當，則，解得，
綜上可得或.
故答案為：或
18．（2024·安徽合肥·一模）已知集合，若，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用一元二次不等式的解法及交集的定義即可求解.
【詳解】由，得,解得，
所以.
因為，
所以或，解得或，
所以的取值范圍是.
故答案為：.
19．（2024高三·全國·專題練習）設集合，且，，則實數(shù)的取值范圍為．
【答案】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)且得到不等式組，解得即可.
【詳解】由，即，解得，
即，
因為且，
所以，解得，即實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題
20．（23-24高一上·廣東湛江·期末）已知集合，，定義兩個集合P，Q的差運算：．
(1)當時，求與；
(2)若“”是“”的必要條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)，．
(2)
【分析】（1）用集合的新定義求解即可；
（2）由“”是“”的必要條件得到，再利用范圍求出即可.
【詳解】（1），
當時，，
所以，
．
（2）因為“”是“”的必要條件，
所以，
故，
解得，
即實數(shù)a的取值范圍是．
21．（2024高三·全國·專題練習）設是由直線上所有點構成的集合,即,在點集上定義運算“”：對任意則．
(1)若是直線上所有點的集合,計算的值．
(2)對（1）中的點集,能否確定（其中）的值？
(3)對（1）中的點集,若,請你寫出實數(shù),,可能的值．
【答案】(1)
(2)可以,48
(3)(答案不唯一)
【分析】(1)根據(jù)運算“”的定義代入運算即可.
(2)由題知點在直線上,代入直線方程,解得,的值,再根據(jù)運算“”的定義代入運算即可.
(3)根據(jù)點在直線是上,求得,,的值與關系,再根據(jù)運算“”的定義代入運算,即可求得的范圍,在相關范圍內取值均可.
【詳解】（1）由運算“”的定義知,.
（2）∵,即點在直線上,∴,得．
同理由,得．
由運算“”的定義知,．
所以可以確定，值為48.
（3）由,知,即,且,即.
由運算“”的定義知,,解得．
取,知,此時,即符合題意．
取,知,即也符合題意．
【B級能力提升練】
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知集合，則（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】求出集合，根據(jù)集合交集運算可得結果.
【詳解】因為，
所以．
故選：A．
2．（2024·寧夏銀川·一模）設全集，則集合（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由交集，補集和解不等式運算可得.
【詳解】因為，所以，
所以，
所以，
所以，
故ABD錯誤，故C正確；
故選：C
3．（23-24高三上·內蒙古赤峰·階段練習）已知集合，集合，若，則實數(shù)的取值范圍為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先求出集合，然后根據(jù)，即可求解.
【詳解】由，得，所以，
因為，，所以，故D正確.
故選：D.
4．（23-24高一上·全國·期末）已知，，若集合，則的值為（）
A．B．C．1D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由集合相等列出方程，即可求得，代入計算，即可得到結果.
【詳解】因為，
所以，解得或
當時，不滿足集合元素的互異性，
故，，.
故選：B.
5．（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）已知全集，，則集合B的元素個數(shù)為（）
A．6B．7C．8D．不確定
【答案】B
【分析】由已知求出全集，再由可知中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，從而可求出中的元素.
【詳解】因為全集，，
所以中肯定有1，3，5，7，中肯定沒有1，3，5，7，和中都有可能有0，2，4，6，8，9，10，
且除了1，3，5，7，中有的其他數(shù)字，中也一定會有，中沒有的數(shù)字，中也一定會有，
所以，
故選：B
6．（23-24高三下·甘肅·階段練習）如果集合U存在一組兩兩不交（兩個集合交集為空集時，稱為不交）的非空子集，且滿足，那么稱子集組構成集合U的一個k劃分．若集合I中含有4個元素，則集合I的所有劃分的個數(shù)為（）
A．7個B．9個C．10個D．14個
【答案】D
【分析】分別計算2劃分，3劃分和4劃分的個數(shù)，再相加即可.
【詳解】不妨設，則：
的2劃分有，，，，，，；
的3劃分有，，，，，；
的4劃分只有.
綜上，的劃分共有個，D正確.
故選：D.
二、多選題
7．（2024·江蘇泰州·模擬預測）對任意，記，并稱為集合的對稱差．例如：若，則．下列命題中，為真命題的是（）
A．若且，則
B．若且，則
C．若且，則
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】集合的新定義，結合選項以及交并補的性質逐一判斷即可.
【詳解】對于A,因為⊕，所以，，
所以，且中的元素不能出現(xiàn)在中，因此，即A正確；
對于B，因為⊕，所以，，
即與是相同的，所以，B正確；
對于C,因為⊕，所以，，
所以，即C錯誤；
對于D由于
，
而，故，即D錯誤．
故選：AB．
三、填空題
8．（2024·浙江紹興·二模）已知集合，，且有4個子集，則實數(shù)的最小值是 .
【答案】/0.5
【分析】根據(jù)的子集個數(shù)，得到元素個數(shù)，分和討論，進而得到實數(shù)m的取值范圍.
【詳解】由有4個子集，所以中有2個元素，
所以，所以，
所以滿足，或，
綜上，實數(shù)的取值范圍為，或，
故答案為：
9．（2024·湖南·二模）對于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義可得可取，即可得到的取值范圍.
【詳解】由題知：可取，
若.則，
即集合，得，即的取值范圍為.
故答案為：
【C級拓廣探索練】
一、單選題
1．（2023·上海普陀·一模）設、、、、是均含有個元素的集合，且，，記，則中元素個數(shù)的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進行分析，驗證題中的條件是否滿足，即可得解.
【詳解】解：設、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.
①假設集合中含有個元素，可設，則，
，這與矛盾；
②假設集合中含有個元素，可設，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個數(shù)最少為.
故選：A.
【點睛】關鍵點點睛：本題考查集合元素個數(shù)的最值的求解，解題的關鍵在于對集合元素的個數(shù)由小到大進行分類，對集合中的元素進行分析，驗證題中條件是否成立即可.
二、多選題
2．（2024·浙江寧波·二模）指示函數(shù)是一個重要的數(shù)學函數(shù)，通常用來表示某個條件的成立情況.已知為全集且元素個數(shù)有限，對于的任意一個子集，定義集合的指示函數(shù)若，則（）
注：表示中所有元素所對應的函數(shù)值之和（其中是定義域的子集）.
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根據(jù)的定義，即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于A，由于,所以
故，故A錯誤，
對于B，若,則，此時滿足，
若且時，，
若且時，，
若且時，，
綜上可得，故B正確，
對于C，
而，
由于，所以
故,C正確，
,
當時，此時中至少一個為1，所以，
當時，此時均為0，所以，
故,故D正確，
故選：BCD
【點睛】關鍵點點睛：充分利用的定義以及的定義，由此可得時，此時均為0，時，此時中至少一個為1，結合的定義化簡求解.
三、填空題
3．（23-24高三上·江西·期末）定義：有限集合，則稱為集合的“元素和”，記為.若集合，集合的所有非空子集分別為，，…，，則 .
【答案】
【分析】根據(jù)錯位相減可得中的元素和，根據(jù)每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，因此，即可求解．
【詳解】由題意知集合中的元素分別為，，，，，
設①，則②，
①②，得，所以．
由于集合中每一個元素在子集中出現(xiàn)的次數(shù)為，所以．
故答案為：．
四、解答題
4．（2024·浙江臺州·二模）設A，B是兩個非空集合，如果對于集合A中的任意一個元素x，按照某種確定的對應關系，在集合B中都有唯一確定的元素y和它對應，并且不同的x對應不同的y；同時B中的每一個元素y，都有一個A中的元素x與它對應，則稱：為從集合A到集合B的一一對應，并稱集合A與B等勢，記作.若集合A與B之間不存在一一對應關系，則稱A與B不等勢，記作.
例如：對于集合，，存在一一對應關系，因此.
(1)已知集合，，試判斷是否成立?請說明理由；
(2)證明：①；
②.
【答案】(1)成立，理由見解析
(2)①證明見解析；②證明見解析
【分析】（1）根據(jù)新定義判斷即可；
（2）①取特殊函數(shù)滿足定義域為，值域為即可利用其證明
②設，，假設，利用反證法得證.
【詳解】（1）設，，令
則C與D存在一一對應，所以集合.
（2）①取函數(shù)，其中，，兩個集合之間存在一一對應，故.
備注：函數(shù)舉例不唯一，只要保證定義域為，值域為即可，
如：或等等均可，
②設，，
假設，即存在對應關系：為一一對應，
對于集合B中的元素，，，至少存在一個（，且）與這三個集合中的某一個對應，所以集合A中必存在.
記，則，故，
從而存在，使得；
若，則，矛盾；
若，則，矛盾.
因此，不存在A到B的一一對應，所以.
5．（2024·北京延慶·一模）已知數(shù)列，記集合.
(1)若數(shù)列為，寫出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由；
(3)若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值．
【答案】(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【分析】（1）根據(jù)題目給出的集合的定義求解即可；
（2）使用假設法，假設存在，使得，進行計算檢驗，從而得出結論；
（3）首先證明時，對任意的都有，然后證明除形式以外的數(shù)都可以寫成若干個連續(xù)正整數(shù)之和，分類討論即可得解.
【詳解】（1）由題意可得，，，
所以.
（2）假設存在，使得，
則有，
由于與的奇偶性相同，與奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇數(shù)因子，這與無以外的奇數(shù)因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先證明時，對任意的都有，
因為，
由于與均大于且奇偶性不同，
所以為奇數(shù)，對任意的都有，
其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫成若干個連續(xù)正整數(shù)之和，
若正整數(shù)，其中，
則當時，由等差數(shù)列的性質可得：
，此時結論成立，
當時，由等差數(shù)列的性質可得：
，此時結論成立，
對于數(shù)列，此問題等價于數(shù)列其相應集合中滿足有多少項，
由前面證明可知正整數(shù)不是中的項，
所以的最大值為.

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