選擇性必修三 第八章 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 知識(shí)點(diǎn)清單 一、本章思維導(dǎo)圖 §8.1 成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性 相關(guān)關(guān)系： 兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系. 相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系;相關(guān)關(guān)系是相對(duì)于函數(shù)關(guān)系而言的. 像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系. 相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點(diǎn) 2.散點(diǎn)圖： 成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成了統(tǒng)計(jì)圖.我們我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖。 3.相關(guān)關(guān)系分類(lèi)： 正相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢(shì)，就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)； 負(fù)相關(guān)：當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)減小的趨勢(shì)，就稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān). 4.線性相關(guān)： 如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān). 5.樣本相關(guān)系數(shù)： （1） （2）樣本相關(guān)系數(shù)的數(shù)字特征： 當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)； 當(dāng)時(shí)，稱成對(duì)樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)； 當(dāng)越接近1時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； 當(dāng)越接近0時(shí)，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱. 線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來(lái)判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說(shuō)明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)． 利用相關(guān)系數(shù)r來(lái)檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與0.75作比較，若|r|>0.75，則線性相關(guān)較為顯著，否則不顯著． §8.2 一元線性回歸模型及其應(yīng)用 1.一元線性回歸模型： 稱為因變量或響應(yīng)變量，稱為自變量或解釋變量，為截距參數(shù)，為斜率參數(shù)，是與之間的隨機(jī)誤差. 2.經(jīng)驗(yàn)回歸方程： (1)相關(guān)概念： 經(jīng)驗(yàn)回歸直線：經(jīng)驗(yàn)回歸方程也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線. 最小二乘估計(jì)：求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的叫做的最小二乘估計(jì). 殘差：對(duì)于響應(yīng)變量，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差. （2） （3）決定系數(shù)： 越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好； 越小，表示殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差； 3.方法技巧 經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求法及應(yīng)用 在散點(diǎn)圖中，樣本點(diǎn)大致分布在一條直線附近，利用公式求出, 可寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程，利用經(jīng)驗(yàn)回歸模型進(jìn)行研究，可近似地利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程來(lái)預(yù)測(cè) 。 4.方法技巧 一元線性回歸模型擬合問(wèn)題的求解策略 在一元線性回歸模型中,R2與相關(guān)系數(shù)r都能刻畫(huà)模型擬合數(shù)據(jù)的效果.|r|越大,R2就越大,用模型擬合數(shù)據(jù)的效果就越好. §8.3 列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn) 1.分類(lèi)變量：現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或相互影響的問(wèn)題，為了表述方便，我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量，以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類(lèi)隨機(jī)變量稱為分類(lèi)變量. 2.列聯(lián)表： 3.獨(dú)立性檢驗(yàn)： （1）零假設(shè)（原假設(shè)）：，即分類(lèi)變量和獨(dú)立. （2）獨(dú)立性檢驗(yàn)： ① ②臨界值：對(duì)于小概率值，可以找到相應(yīng)的正實(shí)數(shù)，使下面關(guān)系成立：，我們稱為的臨界值. 常用小概率值和相應(yīng)的臨界值表： ③基于小概率值的檢驗(yàn)規(guī)則： 當(dāng)時(shí)，我們就推斷不成立，即認(rèn)為和不獨(dú)立，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò). 當(dāng)時(shí)，我們沒(méi)有充分證據(jù)推斷不成立，可以認(rèn)為和獨(dú)立. 這種利用的取值推斷分類(lèi)變量和是否獨(dú)立的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱獨(dú)立性檢驗(yàn). 4.方法技巧 獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟 (1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表; (2)根據(jù)公式計(jì)算χ2; (3)比較χ2與臨界值xα的大小關(guān)系,得到推斷結(jié)論. 關(guān)系 項(xiàng)目函數(shù)關(guān)系相關(guān)關(guān)系相同點(diǎn)都是兩個(gè)變量間的關(guān)系不同點(diǎn) 是一種確定關(guān)系是一種非確定關(guān)系是一種因果關(guān)系不一定是因果關(guān)系,也可能是伴隨關(guān)系  合計(jì)      合計(jì)   0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系考點(diǎn)分析 考法一 相關(guān)關(guān)系 1.對(duì)變量x，y有觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，3，…，10)，得散點(diǎn)圖1；對(duì)變量u，v有觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1，2，3，…，10)，得散點(diǎn)圖2，由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以斷定（ ） A．x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān) B．x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) C．x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān) D．x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān) 【答案】 C 【解析】 由圖1可知，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，故x與y負(fù)相關(guān)； 由圖2可知，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，各點(diǎn)整體呈遞增趨勢(shì)，故u與v正相關(guān)．故選：C． 考法一 相關(guān)關(guān)系 2.下列兩變量具有相關(guān)關(guān)系的是（ ） A．正方體的體積與邊長(zhǎng) B．人的身高與體重 C．勻速行駛車(chē)輛的行駛距離與時(shí)間 D．球的半徑與體積 【答案】B 【解析】對(duì)選項(xiàng)A，設(shè)正方體的體積，邊長(zhǎng)，則，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故A不正確； 對(duì)選項(xiàng)B，人的身高會(huì)影響體重，但不是唯一因素，故B正確． 對(duì)選項(xiàng)C，勻速行駛車(chē)輛的行駛距離與時(shí)間的關(guān)系為，其中為勻速速度，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故C不正確； 對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)球的半徑為，則球的體積為，它們之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系，故D不正確； 故選：B． 考點(diǎn)二 樣本的相關(guān)系數(shù) 3.兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)，，…，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ） A．相關(guān)系數(shù)越接近1，變量相關(guān)性越強(qiáng) B．落在回歸直線方程上的樣本點(diǎn)越多，回歸直線方程擬合效果越好 C．相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差 D．若表示女大學(xué)生的身高，表示體重則表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化 【答案】B 【解析】對(duì)于A. 根據(jù)相關(guān)系數(shù)越接近1，變量相關(guān)性越強(qiáng)，故正確； 對(duì)于B. 回歸直線方程擬合效果的強(qiáng)弱是由相關(guān)指數(shù)或相關(guān)系數(shù)判定，故不正確； 對(duì)于C. 相關(guān)指數(shù)越小，殘差平方和越大，效果越差，故正確； 對(duì)于D. 根據(jù)的實(shí)際意義可得，表示女大學(xué)生的身高解釋了的體重變化，故正確； 故選：B 考點(diǎn)二 樣本的相關(guān)系數(shù) 4.在線性回歸模型中，分別選擇了甲，乙，丙，丁四個(gè)不同的模型，它們的相關(guān)指數(shù)分別為0.46，0.85，0.72，0.93，其中回歸效果最好的模型是（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)變量y與x的回歸模型中，它們的相關(guān)指數(shù)越接近于1，這個(gè)模型的擬合效果越好， 而丁的相關(guān)指數(shù)0.93最大，所以回歸效果最好的模型是丁，故選：D 一元線性回歸模型及其應(yīng)用 考點(diǎn)一 樣本中心解小題 5.某產(chǎn)品在某零售攤位上的零售價(jià)（元）與每天的銷(xiāo)售量（個(gè)）統(tǒng)計(jì)如下表： 據(jù)上表可得回歸直線方程為，則上表中的的值為（ ） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】D 【解析】由題意，， 所以，解得．故選：D． 考點(diǎn)一 樣本中心解小題 6.蟋蟀鳴叫可以說(shuō)是大自然優(yōu)美、和諧的音樂(lè)，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．某地觀測(cè)人員根據(jù)下表的觀測(cè)數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程. 則當(dāng)蟋蟀每分鐘鳴叫次時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由表格中的數(shù)據(jù)可得，， 由于回歸直線過(guò)樣本中心點(diǎn)，可得，解得. 所以，回歸直線方程為.在回歸直線方程中，令，可得.故選：D. 考點(diǎn)二 一元線性方程 7.配速是馬拉松運(yùn)動(dòng)中常使用的一個(gè)概念，是速度的一種，是指每公里所需要的時(shí)間，相比配速，把心率控制在一個(gè)合理水平是安全理性跑馬拉松的一個(gè)重要策略.圖1是一個(gè)馬拉松跑者的心率（單位：次/分鐘）和配速（單位：分鐘/公里）的散點(diǎn)圖，圖2是一次馬拉松比賽（全程約42公里）前3000名跑者成績(jī)（單位：分鐘）的頻率分布直方圖. （1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，求與的線性回歸方程； （2）該跑者如果參加本次比賽，將心率控制在160左右跑完全程，估計(jì)他跑完全程花費(fèi)的時(shí)間，并估計(jì)他能獲得的名次. 參考公式：線性回歸方程中，， 參考數(shù)據(jù)：. 【答案】（1）；（2）210分鐘，192名． 【解析】（1）由散點(diǎn)圖中數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，， ， ， 所以與的線性回歸方程為. （2）將代入回歸方程得， 所以該跑者跑完馬拉松全程所花的時(shí)間為分鐘. 從馬拉松比賽的頻率分布直方圖可知成績(jī)好于210分鐘的累積頻率為 ，有的跑者成績(jī)超過(guò)該跑者， 則該跑者在本次比賽獲得的名次大約是名. 考點(diǎn)二 一元線性方程 8.隨著電商事業(yè)的快速發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物交易額也快速提升，特別是每年的“雙十一”，天貓的交易額數(shù)目驚人.2020年天貓公司的工作人員為了迎接天貓“雙十一”年度購(gòu)物狂歡節(jié)，加班加點(diǎn)做了大量準(zhǔn)備活動(dòng)，截止2020年11月11日24時(shí)，2020年的天貓“雙十一”交易額定格在3700多億元，天貓總公司所有員工對(duì)于新的戰(zhàn)績(jī)皆大歡喜，同時(shí)又對(duì)2021年充滿了憧憬，因此公司工作人員反思從2014年至2020年每年“雙十一”總交易額(取近似值)，進(jìn)行分析統(tǒng)計(jì)如下表： （1）通過(guò)分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明； （2）利用最小二乘法建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.1)，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額. 參考數(shù)據(jù)：，，； 參考公式：相關(guān)系數(shù)； 回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，. 【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）回歸方程為，預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億. 【解析】（1），， ， 所以 因?yàn)榭偨灰最~y與年份代碼t的相關(guān)系數(shù)近似為0.98， 說(shuō)明總交易額y與年份代碼t的線性相關(guān)性很強(qiáng)， 從而可用線性回歸模型擬合總交易額y與年份代碼t的關(guān)系. （2）因?yàn)?，?所以， ， 所以y關(guān)于t的回歸方程為 又將2021年對(duì)應(yīng)的代入回歸方程得：. 所以預(yù)測(cè)2021年天貓“雙十一”的總交易額約為38百億. 考點(diǎn)三 非一元線性方程 9.在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得個(gè)樣本點(diǎn)，得到下表及散點(diǎn)圖． （1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷與哪一個(gè)適宜作為關(guān)于的回歸方程；（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由） （2）根據(jù)（1）的判斷結(jié)果試建立與的回歸方程；（計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)） （3）在（2）的條件下，設(shè)且，試求的最小值． 參考公式：回歸方程中，，. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）由題中散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為關(guān)于的回歸方程； （2）令，則，原數(shù)據(jù)變?yōu)?由表可知與近似具有線性相關(guān)關(guān)系，計(jì)算得， ， ， 所以，，則． 所以關(guān)于的回歸方程是． （3）由（2）得，， 任取、，且，即， 可得， 因?yàn)椋瑒t，，所以，， 所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則. 考點(diǎn)三 非一元線性方程 10.某種新產(chǎn)品投放市場(chǎng)一段時(shí)間后，經(jīng)過(guò)調(diào)研獲得了時(shí)間x（天數(shù)）與銷(xiāo)售單價(jià)y（元）的一組數(shù)據(jù)，且做了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），并作出了散點(diǎn)圖（如圖）. 表中. （1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類(lèi)型？（不必說(shuō)明理由） （2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程. （3）若該產(chǎn)品的日銷(xiāo)售量（件）與時(shí)間x的函數(shù)關(guān)系為，求該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第幾天的銷(xiāo)售額最高？最高為多少元？ 附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為. 【答案】（1）更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程；（2）；（3）第10天，最高銷(xiāo)售額為2420元； 【解析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖知更適合作價(jià)格y關(guān)于時(shí)間x的回歸方程類(lèi)型； （2）令，則， 而， ，即有； （3）由題意結(jié)合（2）知： 日銷(xiāo)售額為， ∴， 若，令， ∴時(shí)，，即天，元, 所以該產(chǎn)品投放市場(chǎng)第10天的銷(xiāo)售額最高，最高銷(xiāo)售額為2420元. 分類(lèi)變量與列聯(lián)表 考法一 列聯(lián)表 11.疫苗是為預(yù)防、控制傳染病的發(fā)生、流行，用于人體預(yù)防接種的預(yù)防性生物制品，其前期研發(fā)過(guò)程中，一般都會(huì)進(jìn)行動(dòng)物保護(hù)測(cè)試，為了考察某種疫苗預(yù)防效果，在進(jìn)行動(dòng)物試驗(yàn)時(shí)，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： 附表及公式： ，． 現(xiàn)從試驗(yàn)動(dòng)物中任取一只，取得“注射疫苗”的概率為，則下列判斷錯(cuò)誤的是（ ） A．注射疫苗發(fā)病的動(dòng)物數(shù)為10 B．從該試驗(yàn)未注射疫苗的動(dòng)物中任取一只，發(fā)病的概率為 C．能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0．001的前提下，認(rèn)為疫苗有效 D．該疫苗的有效率為75% 【答案】（1）D（2）D 【解析】（1）由題意得，，，，，， 所以，，，，，則.故選：D． （2）由題知：注射疫苗動(dòng)物共40只，未注射為60只， 補(bǔ)充列聯(lián)表， 由此可得A、B正確．計(jì)算得：， 故能在犯錯(cuò)概率不超過(guò)0．001的前提下認(rèn)為疫苗有效．C正確，D錯(cuò)誤．故選：D． 考法一 列聯(lián)表 12.現(xiàn)行普通高中學(xué)生在高一時(shí)面臨著選科的問(wèn)題，學(xué)校抽取了部分男?女學(xué)生意愿的一份樣本，制作出如下兩個(gè)等高堆積條形圖： 根據(jù)這兩幅圖中的信息，下列哪個(gè)統(tǒng)計(jì)結(jié)論是不正確的（ ） A．樣本中的女生數(shù)量多于男生數(shù)量 B．樣本中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量 C．樣本中的男生偏愛(ài)兩理一文 D．樣本中的女生偏愛(ài)兩文一理 【答案】D 【解析】由條形圖知女生數(shù)量多于男生數(shù)量，故A正確； 有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故B正確； 男生偏愛(ài)兩理一文，故C正確；女生中有兩理一文意愿的學(xué)生數(shù)量多于有兩文一理意愿的學(xué)生數(shù)量，故D錯(cuò)誤.故選：D. 考點(diǎn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn) 13.為了解使用手機(jī)是否對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)有影響，某校隨機(jī)抽取名學(xué)生，對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)和使用手機(jī)情況進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示（不完整）： （1）補(bǔ)充完整所給表格，并根據(jù)表格數(shù)據(jù)計(jì)算是否有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)； （2）現(xiàn)從上表不使用手機(jī)的學(xué)生中按學(xué)習(xí)成績(jī)是否優(yōu)秀分層抽樣選出人，再?gòu)倪@人中隨機(jī)抽取人，記這人中“學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀”的人數(shù)為，試求的分布列與數(shù)學(xué)期望. 參考公式：，其中. 參考數(shù)據(jù)： 【答案】（1）沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)；（2）分布列見(jiàn)解析，. 【解析】（1）列聯(lián)表如下表所示： 假設(shè)學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)無(wú)關(guān)， ， 所以，沒(méi)有的把握認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)成績(jī)與使用手機(jī)有關(guān)； （2）人中學(xué)習(xí)成績(jī)優(yōu)秀的人有人，學(xué)習(xí)成績(jī)一般的有人， 可能的取值有、、、， ，，，. 所以，隨機(jī)變量的分布列為 . 考點(diǎn)二 獨(dú)立性檢驗(yàn) 14.隨著新冠疫情防控進(jìn)入常態(tài)化，人們的生產(chǎn)生活逐步步入正軌.為拉動(dòng)消費(fèi)，某市發(fā)行億元消費(fèi)券.為了解該消費(fèi)券使用人群的年齡結(jié)構(gòu)情況，該市隨機(jī)抽取了人，對(duì)是否使用過(guò)消費(fèi)券的情況進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果如下表所示，其中年齡低于歲的人數(shù)占總?cè)藬?shù)的. （1）求、值； （2）若以“年齡歲為分界點(diǎn)”，由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān). 參考數(shù)據(jù)： ，其中. 【答案】（1），；（2）列聯(lián)表答案見(jiàn)解析，有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān). 【解析】（1）由題意得，解得，； （2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面列聯(lián)表，如下 根據(jù)公式計(jì)算， 所以有的把握認(rèn)為是否使用消費(fèi)券與人的年齡有關(guān). 易混易錯(cuò)練 易錯(cuò)點(diǎn)1　選錯(cuò)回歸模型致錯(cuò) 1.在一次抽樣調(diào)查中測(cè)得5組成對(duì)數(shù)據(jù),其數(shù)值及散點(diǎn)圖如下: (1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷y=a+bx與y=c+k·x-1哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型;(給出判斷即可,不必說(shuō)明理由) (2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),試建立y與x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(計(jì)算結(jié)果保留整數(shù)) (3)在(2)的條件下,設(shè)z=y+x且x∈[4,+∞),試求z的最小值. 參考公式:經(jīng)驗(yàn)回歸方程y^=b^x+a^中, b^=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2=∑i=1nxiyi-nx y∑i=1nxi2-nx?2,a^=y-b^x. 1.解析　(1)由題中散點(diǎn)圖可以判斷,y=c+k·x-1更適宜作為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型. (2)令t=x-1,則y=c+kt,構(gòu)造新的成對(duì)數(shù)據(jù),如下表: 易知y與t存在線性相關(guān)關(guān)系. 計(jì)算得t=1.55,y=7.2,k^≈4,c^=y-k^ t=1,所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=4t+1, 所以y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為y^=4x+1. (3)由(2)得z=y+x=4x+x+1,易得z=4x+x+1在x∈[4,+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù),即最小值為6. 易錯(cuò)點(diǎn)2　求χ2用錯(cuò)公式致錯(cuò) 2.為了解人們對(duì)延遲退休年齡政策的態(tài)度,某部門(mén)從年齡在15歲到65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查了100人,并得到如圖所示的頻率分布直方圖,在這100人中不支持延遲退休年齡政策的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示. (1)由頻率分布直方圖,估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代表); (2)根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的2×2列聯(lián)表,并依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)延遲退休年齡政策的態(tài)度是否存在差異. 單位:人 附表及公式: χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 2.解析　(1)估計(jì)這100人年齡的平均數(shù)為20×0.2+30×0.1+40×0.2+50×0.3+60×0.2=42(歲). (2)由題中頻率分布直方圖可知,45歲以下的有50人,45歲及以上的有50人. 可得2×2列聯(lián)表如下: 單位:人 零假設(shè)為H0:不同人群與態(tài)度相互獨(dú)立,即以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)延遲退休年齡政策的態(tài)度不存在差異.計(jì)算可得χ2=100×(35×10?40×15)275×25×50×50≈1.3333.841=x0.05. 依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷H0不成立,即認(rèn)為確診患新冠肺炎與年齡有關(guān). 4.某地區(qū)在“精準(zhǔn)扶貧”工作中切實(shí)貫徹習(xí)近平總書(shū)記提出的“因地制宜”的指導(dǎo)思想,扶貧工作小組經(jīng)過(guò)多方調(diào)研,綜合該地區(qū)的氣候、地質(zhì)、地理位置等特點(diǎn),決定向當(dāng)?shù)剞r(nóng)戶推行某類(lèi)景觀樹(shù)苗種植.工作小組根據(jù)市場(chǎng)前景重點(diǎn)考察了A,B兩種景觀樹(shù)苗,為對(duì)比兩種樹(shù)苗的成活率,工作小組進(jìn)行了引種試驗(yàn),分別引種樹(shù)苗A,B各50株,試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹(shù)苗成活,未成活的樹(shù)苗A,B株數(shù)之比為1∶3. (1)完成下面的2×2列聯(lián)表,依據(jù)α=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析樹(shù)苗A,B的成活率是否有差異; (2)已知樹(shù)苗A引種成活后再經(jīng)過(guò)1年的生長(zhǎng)即可作為景觀樹(shù)A在市場(chǎng)上出售,但每株售價(jià)y(單位:百元)受其樹(shù)干的直徑x(單位:cm)影響,扶貧工作小組對(duì)一批已出售的景觀樹(shù)A的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到結(jié)果如下表: 根據(jù)上述數(shù)據(jù),判斷是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,并用樣本相關(guān)系數(shù)r加以說(shuō)明.(一般認(rèn)為|r|>0.75為高度線性相關(guān)) 參考公式及數(shù)據(jù):樣本相關(guān)系數(shù)r=∑i=1n(xi-x)(yi-y)∑i=1n(xi-x)2∑i=1n(yi-y)2,∑i=15(xi-x)2=250, ∑i=15(yi-y)2=320. χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d. 附表: 4.解析　試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)有80%的樹(shù)苗成活,故未成活的樹(shù)苗有20株,未成活的樹(shù)苗A,B株數(shù)之比為1∶3,所以樹(shù)苗A未成活5株,成活45株,樹(shù)苗B未成活15株,成活35株. (1)補(bǔ)充列聯(lián)表如下: 零假設(shè)為H0:樹(shù)苗A,B的成活率無(wú)差異.計(jì)算可得χ2=100×(45×15-35×5)280×20×50×50=6.250.75.故可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系. 一、數(shù)形結(jié)合思想在統(tǒng)計(jì)中的應(yīng)用 1.下圖是某地區(qū)2010年至2019年污染天數(shù)y與年份x的折線圖,根據(jù)2010年至2014年的數(shù)據(jù),2015年至2019年的數(shù)據(jù),2010年至2019年的數(shù)據(jù)分別建立一元線性回歸模型y^=b1x+a1,y^=b2x+a2,y^=b3x+a3,則(　　) A.b1

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