例．關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的分式方程有非負整數(shù)解的所有m的值的和是（ ）
A．-1B．2C．-7D．0
【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．4B．2C．0D．
【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（ ）
A．7B．10C．18D．21
【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是，且關(guān)于y的分式方程有非負整數(shù)解．則符合條件的所有整數(shù)k的和為（ ）
A．3B．1C．0D．6
【變式訓(xùn)練4】已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
類型二、增根問題
例1.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1.5B．-6C．1或-2D．1.5或-6
【變式訓(xùn)練1】關(guān)于x的分式方程：．
（1）當m＝3時，求此時方程的根；
（2）若這個關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，試求m的值．
【變式訓(xùn)練2】關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．B．C．1D．6
【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的分式方程有增根，則增根是______．
【變式訓(xùn)練4】若關(guān)于x的方程有增根，則的值為___________．
類型三、無解問題
例1．已知關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣2或﹣3D．0或3
【變式訓(xùn)練1】如果關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（ ）
A．－1B．1C．0D．0或1
【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于的分式方程無解，則的值為（ ）
A．B．或C．D．或或
【變式訓(xùn)練4】若分式方程無解，則的值為（ ）
A．0B．6C．0或6D．0或
專題08 分式方程解的三種考法
類型一、整數(shù)解的問題
例．關(guān)于x的不等式組有解，且使關(guān)于x的分式方程有非負整數(shù)解的所有m的值的和是（ ）
A．-1B．2C．-7D．0
【答案】C
【詳解】解：關(guān)于的不等式組有解，
由可得：
，解得，
由解得，
分式方程有非負整數(shù)解，
是非負整數(shù)，
，，，，
故選：．
【變式訓(xùn)練1】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集為，且關(guān)于y的分式方程的解是整數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是（ ）
A．4B．2C．0D．
【答案】D
【詳解】解：，
由①得，x＞2，由②得x＞a-1，
∵不等式組的解集為x＞2，∴a-1≤2，
∴a≤3，，3-ay+3=3-y，（a-1）y=3，y=
∵方程的解為整數(shù)，∴a=-2，0，2，4，
∵y≠3，∴≠3，∴a≠2，
∵a≤3，∴a的取值為-2，0，
∴所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是-2+0=-2，
故選：D．
【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的不等式組有且只有兩個奇數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有解，則所有滿足條件的整數(shù)m的和是（ ）
A．7B．10C．18D．21
【答案】C
【詳解】解不等式組：
由①得：
由②得：，，
∴不等式組的解集為
∵不等式組有且只有兩個奇數(shù)解
∴，解得：
∵分式方程有解，則分母不為零
∴
解分式方程：
，解得：
∴滿足條件的m值為5，6，7
∴所有滿足條件的整數(shù)m的和是，故選C．
【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的一元一次不等式組的解集是，且關(guān)于y的分式方程有非負整數(shù)解．則符合條件的所有整數(shù)k的和為（ ）
A．3B．1C．0D．6
【答案】B
【詳解】解：，解不等式①得x≤k，
解不等式②得x＜5，由題意得k＜5，
解分式方程得，y＝，
由題意得，≥0，且≠1，解得，k≥﹣3且k≠﹣1，
∴k的取值范圍為：﹣3≤k＜5，且k≠﹣1的整數(shù)，
∴k的取值為﹣3，﹣2，0，1，2，3，4，
當k＝﹣3時，＝0，當k＝﹣2時，＝，當k＝0時，＝，
當k＝1時，＝2，當k＝2時，＝，當k＝3時，＝3，當k＝4時，＝，
∵為整數(shù)，且k為整數(shù)，∴符合條件的整數(shù)k為﹣3，1，3，
∵﹣3＋1＋3＝1，∴符合條件的所有整數(shù)k的和為1．
故選：B
【變式訓(xùn)練4】已知關(guān)于x的分式方程的解為正數(shù)，關(guān)于y的不等式組，恰好有三個整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的和是（ ）
A．1B．3C．4D．6
【答案】C
【詳解】解：，去分母得，，解得 ，
時，方程產(chǎn)生增根，，即，，
，且，，
解不等式①得：，解不等式②得：，
不等式組有解，∴不等式組的解集為：，
恰好有三個整數(shù)解，，解得，
又且，且，整數(shù)為，其和為1+3=4，故選C．
類型二、增根問題
例1.若關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1.5B．-6C．1或-2D．1.5或-6
【答案】D
【詳解】解：，
方程兩邊同乘以，得，即，
關(guān)于的分式方程有增根，
或，即或，
（1）當時，則，解得，
（2）當時，則，解得，
綜上，的值為或，
故選：D．
【變式訓(xùn)練1】關(guān)于x的分式方程：．
（1）當m＝3時，求此時方程的根；
（2）若這個關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，試求m的值．
【答案】（1）x=-5；（2）-4或6
【詳解】解：（1）把m=3代入方程得：，去分母得：3x+2x+4=3x-6，解得：x=-5，
檢驗：當x=-5時，（x+2）（x-2）≠0，∴分式方程的解為x=-5；
（2）去分母得：mx+2x+4=3x-6，∵這個關(guān)于x的分式方程會產(chǎn)生增根，∴x=2或x=-2，
把x=2代入整式方程得：2m+4+4=0，解得：m=-4；把x=-2代入整式方程得：-2m=-12，
解得：m=6．
【變式訓(xùn)練2】關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．B．C．1D．6
【答案】A
【詳解】解：由題意得，分式兩邊同乘（x-2）得：，
化簡得：，
∵方程有增根，∴x=2，
即：，
解得：，
故選：A．
【變式訓(xùn)練3】若關(guān)于x的分式方程有增根，則增根是______．
【答案】1
【詳解】解： ，
方程兩邊都乘以

∴方程的增根是使的x的值，

故答案為1
【變式訓(xùn)練4】若關(guān)于x的方程有增根，則的值為___________．
【答案】-1
【詳解】解：方程兩邊同乘以x?2
得①
∵原方程有增根，∴x?2=0，
即x=2.
把x=2代入①，得
m=?1.
故答案為：-1．
類型三、無解問題
例1．已知關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣2或﹣3D．0或3
【答案】C
【詳解】解：兩邊都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，
解得：，
①當m+2＝0，即m＝﹣2時整數(shù)方程無解，即分式方程無解，
②∵關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，∴或，即無解或3（m+2）＝﹣3，
解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．
故選C．
【變式訓(xùn)練1】如果關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【詳解】解：，方程兩邊同時乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5，
去括號得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m，
∵原分式方程無解，∴x＝5，∴m＝1，
故選：B．
【變式訓(xùn)練2】若關(guān)于x的分式方程無解，則m的值是（ ）
A．－1B．1C．0D．0或1
【答案】D
【詳解】方程左右兩邊同乘（x-1）得，
2m+x-1=m（x-1），化簡整理后得，
（m-1）x=3m-1，
當m-1=0，m=1時，0·x=2，此時x無解；
當x=1時，是分式方程的增根，則分式方程無解，將x=1代入，得，
m-1=3m-1，則m=0，
所以當m=0或1時，分式方程無解，故選D．
【變式訓(xùn)練3】已知關(guān)于的分式方程無解，則的值為（ ）
A．B．或C．D．或或
【答案】D
【詳解】解：由得x=
∵分式方程無解
∴=±2或m+4=0
∴m=0或m=-8或
∴或或
故答案為D.
【點睛】
本題考查了分式的解和分式方程的解法，解答的關(guān)鍵在于解分式方程和分式無解的條件.另外，讓分式的解有意義是本題的易錯點.
【變式訓(xùn)練4】若分式方程無解，則的值為（ ）
A．0B．6C．0或6D．0或
【答案】C
【詳解】情況一：解是方程的增根
分式方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程為：mx=6x－18
移項并合并同類項得：(6－m)x=18
解得：
∵分式方程無解，∴這個解為分式方程的增根
要想是分式方程的增根，則x=3或x=0
顯然不可能為0，則
解得：m=0
情況二：轉(zhuǎn)化的一元一次方程無解
由上知，分式方程可轉(zhuǎn)化為：(6－m)x=18
要使上述一元一次方程無解，則6－m=0
解得：m=6，故選：C

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