1．在式子，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
2．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列說法正確的是（ ）
A．若分式的值為0，則x＝2
B．是分式
C．與的最簡公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
4．下面是涂涂同學(xué)完成的一組分式化簡的練習(xí)題，每小題20分，他能得的分?jǐn)?shù)是（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
5．小麗在化簡分式時(shí)，部分不小心滴上小墨水，請(qǐng)你推測(cè)（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
6．化簡的結(jié)果為（ ）
A．1B．C．D．2
7．關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
8．、兩地相距160千米，甲車和乙車的平均速度之比為，兩車同時(shí)從地出發(fā)到地，乙車比甲車早到30分鐘，若求甲車的平均速度，設(shè)甲車平均速度為千米/小時(shí)，則所列方程是( )
A．B．
C．D．
9．要比較與中的大?。▁是正數(shù)），知道的正負(fù)就可以判斷，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
……，
按這樣的規(guī)律，第n個(gè)等式為（ ）
A．B．
C．D．
二、填空題
11．當(dāng)滿足條件___________時(shí)，分式?jīng)]有意義．
12．?dāng)?shù)學(xué)就在我們身邊，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房，它的截面呈正六邊形，既節(jié)約空間又很堅(jiān)固，巢房壁的厚度僅為米．?dāng)?shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
13．約分：① __________， ② __________，
③ ___________， ④ 若，則的值是________.
14．填空：
（1）當(dāng)x為______時(shí)，分式的值為0；
（2）當(dāng)為____時(shí)，分式的值為正；
（3）當(dāng)為______時(shí)，分式的值為負(fù)．
15．若分式方程=2的一個(gè)解是x=1，則a=____．
16．在分式中，最簡分式有______．
17．若非0有理數(shù)a使得關(guān)于的分式方程無解，則____．
18．若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是______．
三、解答題
19．計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
20．計(jì)算：
（1）； （2）
（3） （4）
21．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
22．先化簡，再求值：，其中．
23．從合肥火車站到合肥高鐵南站通常有兩種出行方式可以選擇．方式1：打車從南北一號(hào)高架，全程，交通比較擁堵；方式2：乘坐軌道交通1號(hào)線，路程，平均速度是方式1的倍，用時(shí)比方式1少2分鐘，求按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要多長時(shí)間？
24．冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．小聰在某網(wǎng)店分別用30000元購買A，B兩款冰墩墩玩偶進(jìn)行銷售，購得A款冰墩墩玩偶數(shù)量比B款冰墩墩玩偶少500個(gè)．給出如下兩個(gè)信息：
①A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)比B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)多；
②A、B兩款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)之比為4∶3；
請(qǐng)從以上兩個(gè)信息中選擇一個(gè)作為條件，求A、B兩款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)？你選擇的條件是______（填序號(hào)），并根據(jù)你選擇的條件給出求解過程．
25．定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)非零整式與一個(gè)分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個(gè)分式為“和諧分式”．例如：，，則和都是“和諧分式”．
(1)下列分式：①，②，③，其中屬于“和諧分式”的是__________（填序號(hào)）；
(2)分式是否為“和諧分式”，請(qǐng)說明理由；
(3)當(dāng)整數(shù)取多少時(shí)，的值為整數(shù)？
26．2022年4月8日，CCTV-13新聞?lì)l道《朝聞天下》，報(bào)道了山東新泰《香椿進(jìn)入收獲期“椿”意盎然助增收》，我市香椿將銷往全國各地．某商店決定購進(jìn)一批香椿，已知甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)比乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)少6元，花180元購買甲種香椿的件數(shù)與花240元購買乙種香椿的件數(shù)相等．
(1)求甲、乙兩種香椿每件的進(jìn)價(jià)；
(2)由于暢銷，第一批購進(jìn)的香椿已經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定用4320元再購進(jìn)一批甲、乙兩種香椿共200件．結(jié)果恰逢批發(fā)商進(jìn)行調(diào)價(jià)，甲種香椿在第一批進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上9折銷售，而乙種香椿比第一批進(jìn)價(jià)提高了5％，則最多可購買乙種香椿多少件？
27．閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：，這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式，我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：．類似地，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：
；
．
請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問題：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)分式的值為整數(shù)．
(3)一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍．另一個(gè)兩位數(shù)n，十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同．若這個(gè)三位數(shù)的平方能被這個(gè)兩位數(shù)整除，求滿足條件的兩位數(shù)n．
28．閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù).例如：類似的，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：．
（1）參考上面的方法，將下列分式化為帶分式： . ．
（2）解分式方程：；
（3）當(dāng)x取什么整數(shù)值時(shí)，分式的值為整數(shù)．
（4）一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍，另一個(gè)兩位數(shù)n．十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同，若這個(gè)三位數(shù)的平方能整除這個(gè)兩位數(shù)，求滿足條件的三位數(shù)m．
①x+1；②3﹣x?2；③11；④；⑤（）?．
專題04 分式
一、單選題
1．在式子，，，，，中，分式的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】判斷分式的依據(jù)是看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含有字母則不是分式．
【解析】式子，， 中的分母中均不含有字母，因此它們是整式，而不是分式；
，，中分母中含有字母，因此是分式．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的定義，注意π不是字母，是常數(shù)，所以不是分式，是整式，掌握分母里含有字母是分式區(qū)別于整式的標(biāo)志是解題的關(guān)鍵．
2．下列等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)即可求出答案．
【解析】解：A、，故A不成立．
B、，故B不成立．
C、，故C成立．
D、，故D不成立．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的基本性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．
3．下列說法正確的是（ ）
A．若分式的值為0，則x＝2
B．是分式
C．與的最簡公分母是ab（x﹣y）（y﹣x）
D．
【答案】B
【分析】根據(jù)分式的值為零的條件，分式的定義，最簡公分母的確定方法以及分式的性質(zhì)進(jìn)行判斷．
【解析】解：A、若分式的值為0，則x2-4=0且x-2≠0，所以x=-2，該選項(xiàng)不符合題意；
B、的分母中含有字母，是分式，該選項(xiàng)符合題意；
C、與的最簡公分母是ab(x-y)，該選項(xiàng)不符合題意；
D、當(dāng)x=0時(shí)，該等式不成立，該選項(xiàng)不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了最簡公分母，分式的定義，分式的值為零的條件．注意：分式的分母不等于零．
4．下面是涂涂同學(xué)完成的一組分式化簡的練習(xí)題，每小題20分，他能得的分?jǐn)?shù)是（ ）
A．40分B．60分C．80分D．100分
【答案】A
【分析】根據(jù)分式的乘除和加減法對(duì)每個(gè)式子進(jìn)行化簡，然后判斷即可．
【解析】解：① ，化簡正確；
② ，化簡錯(cuò)誤；
③ ，化簡錯(cuò)誤；
④ ，化簡正確；
⑤ 化簡錯(cuò)誤；
∴正確的化簡有2個(gè)一共得分40分，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．
5．小麗在化簡分式時(shí)，部分不小心滴上小墨水，請(qǐng)你推測(cè)（ ）
A．x2﹣2x+1B．x2+2x+1C．x2﹣1D．x2﹣2x﹣1
【答案】A
【分析】直接利用分式的性質(zhì)結(jié)合約分得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
故*部分的式子應(yīng)該是x2﹣2x+1．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了約分，正確掌握分式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
6．化簡的結(jié)果為（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】先對(duì)式子的分子和分母因式分解，再將括號(hào)里的除號(hào)變?yōu)槌颂?hào)運(yùn)算，最后同樣進(jìn)行除法運(yùn)算化簡即可．
【解析】解：原式
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的化簡運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，注意計(jì)算的細(xì)節(jié)即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
7．關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】先將分式方程化為整式方程，再根據(jù)分式方程有增根，得到分式方程中的分母2(x- 4)等于0，求出m的值即可．
【解析】，
，
方程有增根，
2(x- 4)=0，
，
代入上式中，
得到，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)分式方程的增根確定其方程中字母參數(shù)值的問題，屬于基礎(chǔ)題，難度一般，明白使方程的分母為0的解稱為原分式方程的增根是解題關(guān)鍵．
8．、兩地相距160千米，甲車和乙車的平均速度之比為，兩車同時(shí)從地出發(fā)到地，乙車比甲車早到30分鐘，若求甲車的平均速度，設(shè)甲車平均速度為千米/小時(shí)，則所列方程是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，根據(jù)兩車同時(shí)從A地出發(fā)到B地，乙車比甲車早到30分鐘，列出方程即可得.
【解析】甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，由題意得
－＝，
故選B.
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵.
9．要比較與中的大?。▁是正數(shù)），知道的正負(fù)就可以判斷，則下列說法正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】將進(jìn)行化簡得到，利用x是正數(shù)，可得出，即可判斷A和B的大小，進(jìn)而可得答案．
【解析】解：由題意可知：
∵，
∴，，
∴，即，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查比較分式大小，完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于正確的通分化簡．
10．觀察下列等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
……，
按這樣的規(guī)律，第n個(gè)等式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)所給的等式，分析數(shù)字變化的規(guī)律，再進(jìn)行總結(jié)即可．
【解析】解：∵第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
……，
可以看出：等式的左邊是兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的倒數(shù)和與它們積的倒數(shù)的差，等式右邊分母與左邊較大整數(shù)相同，分子是2，
按這樣的規(guī)律，第n個(gè)等式為：
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式分析清楚存在的規(guī)律．
二、填空題
11．當(dāng)滿足條件___________時(shí)，分式?jīng)]有意義．
【答案】
【分析】根據(jù)分式無意義的條件可直接進(jìn)行求解．
【解析】解：由分式?jīng)]有意義，可得，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查分式無意義的條件，熟練掌握分式不成立的條件是解題的關(guān)鍵．
12．?dāng)?shù)學(xué)就在我們身邊，如神奇的天然建筑物—蜜蜂的巢房，它的截面呈正六邊形，既節(jié)約空間又很堅(jiān)固，巢房壁的厚度僅為米．?dāng)?shù)字用科學(xué)記數(shù)法表示為______．
【答案】
【分析】利用科學(xué)記數(shù)法的法則轉(zhuǎn)換即可．
【解析】解： ，
故答案為：
【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法： ，當(dāng)m0．
13．約分：① __________， ② __________，
③ ___________， ④ 若，則的值是________.
【答案】 ； ； ； ．
【分析】（1）分子分母都約去公因式5ab即可；
（2）分別將分子和分母分解因式，再約分；
（3）分別將分子和分母分解因式，再約分；
（4）將前面的等式進(jìn)行變形后再代入后面的代數(shù)式進(jìn)行求值即可．
【解析】解：① ；
② ；
③ ；
④ 若，則,
∴．
故答案為：① ；② ； ③ ；④．
【點(diǎn)睛】本題考查了約分及分式的求值：約去分式的分子與分母的公因式，不改變分式的值，這樣的分式變形叫做分式的約分．
14．填空：
（1）當(dāng)x為______時(shí)，分式的值為0；
（2）當(dāng)為____時(shí)，分式的值為正；
（3）當(dāng)為______時(shí)，分式的值為負(fù)．
【答案】 2 ##>-0.5
【分析】（1）根據(jù)分式值為0的條件解答即可；
（2）分式的值為正即分子分母同號(hào)，由，得，從而得出，解答即可；
（3）分式的值為負(fù)即分子分母異號(hào)，由，得，從而得出，解答即可．
【解析】解：（1）由，得，
當(dāng)時(shí)，；
故答案為：2；
（2）由分式的值為正，得與同號(hào)，
∵，
∴，
∴，
解得：x，
故答案為：；
（3）由分式的值為負(fù)，得與異號(hào)，
∵，
∴，
∴，
解得：x，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的值為0、分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)的條件，熟練掌握分式的值為0、分式的值為正數(shù)或負(fù)數(shù)的條件是解決本題的關(guān)鍵，注意討論分式的值的前提是要使分式有意義．
15．若分式方程=2的一個(gè)解是x=1，則a=____．
【答案】0
【解析】把代入方程
得
解得：
經(jīng)檢驗(yàn)，a=0是方程的解，
故答案為：0.
16．在分式中，最簡分式有______．
【答案】
【分析】根據(jù)最簡分式的意義對(duì)每項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)判斷．
【解析】解：由=，得到此分式不是最簡分式；
由=m﹣n，得到此分式不是最簡分式；
由=，得到此分式不是最簡分式；
由=﹣1，得到此分式不是最簡分式；
而分子分母沒有公因式，是最簡分式．
故答案為： ．
【點(diǎn)睛】本題考查分式的應(yīng)用，熟練掌握最簡分式的意義和正確進(jìn)行分式約分的方法是解題關(guān)鍵．
17．若非0有理數(shù)a使得關(guān)于的分式方程無解，則____．
【答案】－1
【解析】試題解析：首先去分母可得：
解得： 因?yàn)榉匠虩o解，
所以或2，
即或，解得：或
因?yàn)闉榉橇銓?shí)數(shù)，所以
故答案為
18．若關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是______．
【答案】且##且
【分析】先去分母把分式方程化為整式方程，進(jìn)一步即可求出整式方程的解，然后根據(jù)解為非負(fù)數(shù)和原方程中可得關(guān)于a的不等式組，解不等式組即得答案．
【解析】方程兩邊同乘，得，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)，得，
系數(shù)化為1，得
∵關(guān)于x的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，，
∴，解得且．
故答案為：且
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法和一元一次不等式組的解法，屬于常考題型，正確理解題意、熟練掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
三、解答題
19．計(jì)算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）1
【分析】（1）根據(jù)同分母分式的加減和整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)同分母分式的加減和整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)異分母分式的加減和整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；
（4）根據(jù)同分母分式的加減和整式的加減計(jì)算法則進(jìn)行求解即可．
【解析】解：（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的加減和整式的加減，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．
20．計(jì)算：
（1）； （2）
（3） （4）
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）原式利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分即可得到結(jié)果；
（2）原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分即可得到結(jié)果；
（3）原式利用除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，約分即可得到結(jié)果；
（4）利用完全平方差、平方差公式、通分運(yùn)算進(jìn)行求解．
【解析】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
（4）原式．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的混合運(yùn)算，完全平方公式、平方差公式，解題的關(guān)鍵是掌握分式乘除法的關(guān)鍵是約分，約分的關(guān)鍵是找公因式．
21．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）無解；（4）
【分析】（1）方程兩邊都乘以2x(x+3)，將分式方程化為整式方程，解這個(gè)方程，檢驗(yàn)即可；
（2）方程兩邊都乘以3(x+1)，將分式方程化為整式方程，解這個(gè)方程，檢驗(yàn)即可；
（3）方程兩邊都乘以(x+1) (x-1)，將分式方程化為整式方程，解這個(gè)方程，檢驗(yàn)即可；
（4）方程兩邊都乘以x (x+1) (x-1)，將分式方程化為整式方程，解這個(gè)方程，檢驗(yàn)即可．
【解析】解（1），
方程兩邊都乘以2x(x+3)，得：，
解這個(gè)方程得：
檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，，
∴x=1是原分式方程的解；
（2），
方程兩邊都乘以3(x+1)，得：，
解這個(gè)方程得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴是原分式方程的解；
（3），
方程兩邊都乘以 (x+1) (x-1)，得：，
解這個(gè)方程得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)x=1時(shí)，，
∴x=1不是原分式方程的解，
∴原分式方程無解；
（4）
方程兩邊都乘以x(x+1) (x-1)，得：，
解這個(gè)方程得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
∴是原分式方程的解．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，掌握解分式方程的方向與步驟是解題關(guān)鍵．
22．先化簡，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先通分，因式分解，然后進(jìn)行除法運(yùn)算得到化簡結(jié)果，最后將值代入求解即可．
【解析】.解：
當(dāng)時(shí)，原式=
【點(diǎn)睛】本題考查了分式的化簡求值．解題的關(guān)鍵在于正確熟練掌握因式分解進(jìn)行化簡．
23．從合肥火車站到合肥高鐵南站通常有兩種出行方式可以選擇．方式1：打車從南北一號(hào)高架，全程，交通比較擁堵；方式2：乘坐軌道交通1號(hào)線，路程，平均速度是方式1的倍，用時(shí)比方式1少2分鐘，求按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要多長時(shí)間？
【答案】32分鐘
【分析】設(shè)方式1的用時(shí)為x分鐘，根據(jù)方式2的平均速度是方式1的倍，列出方程，解之即可．
【解析】解：設(shè)方式1的用時(shí)為x分鐘，
由題意可得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，
∴按方式1從合肥火車站到高鐵南站需要32分鐘．
【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握路程，速度與時(shí)間的關(guān)系．
24．冰墩墩（BingDwenDwen）是2022年北京冬季奧運(yùn)會(huì)的吉祥物．小聰在某網(wǎng)店分別用30000元購買A，B兩款冰墩墩玩偶進(jìn)行銷售，購得A款冰墩墩玩偶數(shù)量比B款冰墩墩玩偶少500個(gè)．給出如下兩個(gè)信息：
①A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)比B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)多；
②A、B兩款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)之比為4∶3；
請(qǐng)從以上兩個(gè)信息中選擇一個(gè)作為條件，求A、B兩款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)？你選擇的條件是______（填序號(hào)），并根據(jù)你選擇的條件給出求解過程．
【答案】A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為20元，B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為15元；①或②；過程見解析
【分析】選擇①，設(shè)B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為x元，則A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為元，根據(jù)“分別用30000元購買A，B兩款冰墩墩玩偶進(jìn)行銷售，購得A款冰墩墩玩偶數(shù)量比B款冰墩墩玩偶少500個(gè)．”列出方程，即可求解；選擇②，設(shè)A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為4x元，則B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為3x元，根據(jù)“分別用30000元購買A，B兩款冰墩墩玩偶進(jìn)行銷售，購得A款冰墩墩玩偶數(shù)量比B款冰墩墩玩偶少500個(gè)．”列出方程，即可求解．
【解析】解：選擇①，
設(shè)B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為x元，則A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為元，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為20元，B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為15元；
選擇②，
設(shè)A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為4x元，則B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為3x元，根據(jù)題意得：
，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：A款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為20元，B款冰墩墩玩偶的進(jìn)貨價(jià)為15元；
【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
25．定義：如果一個(gè)分式能化成一個(gè)非零整式與一個(gè)分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，那么稱這個(gè)分式為“和諧分式”．例如：，，則和都是“和諧分式”．
(1)下列分式：①，②，③，其中屬于“和諧分式”的是__________（填序號(hào)）；
(2)分式是否為“和諧分式”，請(qǐng)說明理由；
(3)當(dāng)整數(shù)取多少時(shí)，的值為整數(shù)？
【答案】(1)①③
(2)是，理由見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)題干“和諧分式”定義，逐個(gè)化簡變形即可得到答案；
（2）將式子化簡變形即可得到答案；
（3）將式子化簡，根據(jù)值為整數(shù)及分式的分子是分母的整數(shù)倍得到相關(guān)數(shù)值，再根據(jù)分式有意義取舍即可得到答案；
【解析】（1）解：∵①，是“和諧分式”；
②不能化成一個(gè)非零整式與一個(gè)分子為非零常數(shù)的分式的和的形式，所以不是“和諧分式”；
③，是“和諧分式”，
故答案為①③；
（2）解：是“和諧分式”，理由如下，
∵，
∴是和諧分式；
（3）解：
當(dāng)，，0，1時(shí)，的值為整數(shù)．
由于當(dāng)，0，1時(shí)，原分式?jīng)]有意義，
所以當(dāng)時(shí)，該分式的值為整數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題考查分式化簡，新定義的理解及分式有意義條件，解題的關(guān)鍵是讀懂題干新定義．
26．2022年4月8日，CCTV-13新聞?lì)l道《朝聞天下》，報(bào)道了山東新泰《香椿進(jìn)入收獲期“椿”意盎然助增收》，我市香椿將銷往全國各地．某商店決定購進(jìn)一批香椿，已知甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)比乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)少6元，花180元購買甲種香椿的件數(shù)與花240元購買乙種香椿的件數(shù)相等．
(1)求甲、乙兩種香椿每件的進(jìn)價(jià)；
(2)由于暢銷，第一批購進(jìn)的香椿已經(jīng)售馨，現(xiàn)該商店決定用4320元再購進(jìn)一批甲、乙兩種香椿共200件．結(jié)果恰逢批發(fā)商進(jìn)行調(diào)價(jià)，甲種香椿在第一批進(jìn)價(jià)的基礎(chǔ)上9折銷售，而乙種香椿比第一批進(jìn)價(jià)提高了5％，則最多可購買乙種香椿多少件？
【答案】(1)甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)為18元，則乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)為24元；
(2)最多可購買乙種香椿120件．
【分析】（1）設(shè)甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)為元，則乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)為元，再利用花180元購買甲種香椿的件數(shù)與花240元購買乙種香椿的件數(shù)相等列方程，再解方程即可；
（2）設(shè)購買乙種香椿件，則購買甲種香椿件，利用總費(fèi)用為4320元，列不等式，再解不等式即可．
【解析】（1）解：設(shè)甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)為元，則乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，則，
答：甲種香椿每件的進(jìn)價(jià)為18元，則乙種香椿每件的進(jìn)價(jià)為24元；
（2）設(shè)購買乙種香椿件，則購買甲種香椿件，
由題意得：，
解得：，
為正整數(shù)，
的最大值為120，
答：最多可購買乙種香椿120件．
【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系列方程，確定不等關(guān)系列不等式都是解本題的關(guān)鍵．
27．閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：，這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式，我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù)，例如：．類似地，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：
；
．
請(qǐng)根據(jù)上述材料，解答下列問題：
(1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）．
②把下列假分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式：
______＋______．
(2)把分式化成一個(gè)整式與一個(gè)真分式的和（差）的形式，并求x取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)分式的值為整數(shù)．
(3)一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍．另一個(gè)兩位數(shù)n，十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同．若這個(gè)三位數(shù)的平方能被這個(gè)兩位數(shù)整除，求滿足條件的兩位數(shù)n．
【答案】(1)①真；②，
(2)，或或或
(3)36
【分析】（1）①根據(jù)真分式的定義判斷即可；②根據(jù)材料中的方法變形即可得到結(jié)果；
（2）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時(shí)整數(shù)的值；
（3）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，然后表示出，的表達(dá)式，再計(jì)算，然后利用材料中的方法變形，進(jìn)行討論即可．
【解析】（1）解：①的分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)，
∴分式是真分式，
故答案為：真；
②，
故答案為：，；
（2）解：
若這個(gè)分式的值為整數(shù)，
則或或或，
∴或或或；
（3）解：設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為，十位數(shù)字為，
則個(gè)位數(shù)字為，，，
，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，
為正整數(shù)，
，
當(dāng)時(shí)，且為正整數(shù)，
不可能為整數(shù)，
．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
28．閱讀：在分式中，當(dāng)分子的次數(shù)大于或等于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“假分式”，例如：這樣的分式就是假分式；當(dāng)分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時(shí)，我們稱之為“真分式”，例如：，這樣的分式就是真分式．我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為帶分?jǐn)?shù).例如：類似的，假分式也可以化為“帶分式”，即整式與真分式的和的形式，例如：．
（1）參考上面的方法，將下列分式化為帶分式： . ．
（2）解分式方程：；
（3）當(dāng)x取什么整數(shù)值時(shí)，分式的值為整數(shù)．
（4）一個(gè)三位數(shù)m，個(gè)位數(shù)字是百位數(shù)字的兩倍，另一個(gè)兩位數(shù)n．十位數(shù)字與m的百位數(shù)字相同，個(gè)位數(shù)字與m的十位數(shù)字相同，若這個(gè)三位數(shù)的平方能整除這個(gè)兩位數(shù)，求滿足條件的三位數(shù)m．
【答案】（1），；（2）；（3）x=0；（4）m=366
【分析】（1）兩式根據(jù)材料中的方法變形即可得到結(jié)果；
（2）原式利用材料中的方法變形化簡方程即可求解；
（3）原式利用材料中的方法變形，即可確定出分式的值為整數(shù)時(shí)，整數(shù)x的值；
（4）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，然后表示出m，n的表達(dá)式，再計(jì)算，然后利用材料中的方法變形，進(jìn)行討論即可．
【解析】解：（1）
（2）
∴x2-x-6=x2-4x+4，
∴3x=10，
∴
經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解；
（3）
∴當(dāng)x=0時(shí)，原式=2為整數(shù)；
（4）設(shè)三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，則個(gè)位數(shù)字為2x，n=10x+y，m=100x+10y+2x=102x+10y，
∵2x＜10，
∴x＜5，
∵是整數(shù)，
∴為整數(shù)，
∵0＜x＜5且x為整數(shù)，0＜y＜10且y為正整數(shù)，
當(dāng)x=3，y=6時(shí)，為正整數(shù)，
∴m=366．
【點(diǎn)睛】此題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
①x+1；②3﹣x?2；③11；④；⑤（）?．

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