滬教版九年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)01相似三角形(選填題)(原卷版+解析)

這是一份滬教版九年級數(shù)學(xué)上冊期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷特訓(xùn)01相似三角形(選填題)(原卷版+解析)，共62頁。試卷主要包含了單選題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練
一、單選題
1．下列選項中的兩個圖形一定相似的是（ ）
A．兩個等邊三角形B．兩個矩形C．兩個菱形D．兩個等腰梯形
2．下列各組圖形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一個角是100°的兩個等腰三角形
B．各有一個角是90°的兩個等腰三角形
C．各有一個角是60°的兩個等腰三角形
D．各有一個角是50°的兩個等腰三角形
3．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
4．在比例尺為1：50000的地圖上量出A、B兩地的距離是4cm，那么A、B兩地的兩地的實(shí)際距離是（ ）
A．200000米B．500千米C．20千米D．2千米
5．如果兩個相似多邊形的面積之比為，那么它們的周長之比是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知點(diǎn) 是線段 上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
8．如圖，已知，，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
9．如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
10．已知和都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
11．下列正確的有（ ）
（1）
（2）為單位向量，則
（3）平面內(nèi)向量、，總存在實(shí)數(shù)m使得向量
（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量
A．0個B．1個C．2個D．3個
12．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
13．已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之間夾角的正切值為5
14．下列說法中，正確的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是單位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
15．已知梯形ABCD的對角線交于O，AD∥BC，有以下四個結(jié)論：
①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
16．如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF?BF＝DF?CFB．BE?CD＝BF?CF
C．AE?AB＝AD?ACD．AE?BE＝AD?DC
17．如圖，點(diǎn) 是 的角平分線 的中點(diǎn)， 點(diǎn) 分別在 邊上，線段 過點(diǎn) ， 且 ，下列結(jié)論中， 錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
18．如圖, 點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn), , 下列結(jié)論中, 說法錯誤的是（ ）
A． 與 相似B． 與 相似
C．D．
19．如圖，在正方形ABCD中，△ABP是等邊三角形，AP，BP的延長線分別交邊CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AC，CP，AC與BF相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．AE＝2DEB．△CFP∽△APHC．△CFP∽△ACPD．CP2＝PH?PB
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R，再過點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點(diǎn)P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長為（ ）
A．14B．15
C．D．
二、填空題
21．若：：，則______．
22．若，則＝______．
23．如圖，已知，，求：（1）________；（2）________．
24．已知線段a＝2厘米，c＝8厘米，則線段a和c的比例中項b是_______厘米．
25．已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB．若AB＝2，則AP＝_____．
26．如圖, 已知，它們依次交直線 于點(diǎn) 和點(diǎn) . 如 果 , 那么線段 的長是_______．
27．四邊形和四邊形是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、D分別與點(diǎn)、、、對應(yīng)，已知，，，那么的長是______．
28．如圖，已知，它們依次交直線，于點(diǎn)A，D，F(xiàn)和點(diǎn)B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE＝______．
29．計算：________.
30．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．
31．已知：P為△ABC的重心，連接BP并延長，交AC于點(diǎn)D．設(shè)、，則________（請用含、的式子表示）；
32．如圖，點(diǎn)D在的邊上，當(dāng)______時，與相似．
33．如圖 ，在正六邊形ABCDEF 中，設(shè) BA ? a ， BC ? b ，那么向量 BF? ( )．
34．的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定” “一定不”）相似
35．如圖，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_________米．
36．如圖，中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB :S四邊形FEDC的值為__________
37．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．
38．如圖，已知、為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交、、的延長線于點(diǎn)、、，則________．
培優(yōu)特訓(xùn)練
特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練
一、單選題
1．設(shè)n為正整數(shù)，為非零向量，那么下列說法不正確的是（ ）
A．n表示n個相乘B．-n表示n個-相加
C．n與是平行向量D．-n與n互為相反向量
2．已知是一個單位向量，、是非零向量，那么下列等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．ABCD被分別平行于兩邊的四條線段EJ、FI、LG、KH分割成9個小平行四邊形，面積分別為S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n個，就一定能算出平行四邊形ABCD的面積，則n的最小值是（ ）．
A．2B．3C．4D．6
4．我們將頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊和腰的比值為黃金分割比）．如圖，已知，為第一個黃金三角形，為第二個黃金三角形，…，依次類推則第2021個黃金三角形的底邊長為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖，在ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列結(jié)論不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如圖，在梯形中，，對角線交于點(diǎn)是梯形的中位線，與分別交于點(diǎn)，如果的面積為，那么梯形的面積為（ ）
A．B．C．D．
7．已知：如圖，在△ABC中，于點(diǎn)G，于點(diǎn)F，，，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
8．正方形中，兩條對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，記，則有（ ）
A．B．C．D．
9．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC， AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)O，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延長EG交AD的延長線于點(diǎn)H，連接CG．有以下結(jié)論：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四邊形BEOF :S△AOF＝4，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
10．如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)，，，是中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)N．則個結(jié)論：；∽∽；；若，則；正確的結(jié)論有（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
11．如圖，已知D是的邊AC上一點(diǎn)，且AD＝2DC．如果，，那么向量關(guān)于、的分解式是_____
12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△EBD，點(diǎn)E、點(diǎn)D分別與點(diǎn)A、點(diǎn)C對應(yīng)，且點(diǎn)D在邊AC上，邊DE交邊AB于點(diǎn)F，△BDC∽△ABC．已知，AC＝5，那么△DBF的面積等于_____．
13．如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A’ 、B’、 D’，當(dāng)A’ 落在邊CD的延長線上時，邊A’ D’ 與邊 AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為____．
14．如如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC與BD相交于O，E為DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F，記d=，則d的最小值為 _____．
15．如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為______．
16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為邊AD上一動點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為折痕，將△AOP折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，線段PE與OD相交于點(diǎn)F．若△PDF為直角三角形，則DP的長為_______．
特訓(xùn)01 相似三角形（選填題）
基礎(chǔ)特訓(xùn)練
特訓(xùn)第一階——基礎(chǔ)特訓(xùn)練
一、單選題
1．下列選項中的兩個圖形一定相似的是（ ）
A．兩個等邊三角形B．兩個矩形C．兩個菱形D．兩個等腰梯形
【答案】A
【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷即可；
【解析】解：A、兩個等邊三角形，三個角都是60°
∴它們是相似圖形，符合題意；
B、兩個矩形四個角都是90°，但對應(yīng)邊的比不一定相等
∴它們不是相似圖形，不符合題意；
C、兩個菱形角不一定相等
∴它們不是相似圖形，不符合題意；
D、兩個等腰梯形對應(yīng)邊的比不一定相等，
∴它們不是相似圖形；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似圖形的判斷，掌握形狀相同的圖形稱為相似圖形是解題的關(guān)鍵．
2．下列各組圖形中，不一定相似的是（ ）
A．各有一個角是100°的兩個等腰三角形
B．各有一個角是90°的兩個等腰三角形
C．各有一個角是60°的兩個等腰三角形
D．各有一個角是50°的兩個等腰三角形
【答案】D
【分析】根據(jù)相似圖形的定義，以及等邊三角形的性質(zhì)對各選項分析判斷求解．
【解析】A、各有一個角是100°的兩個等腰三角形，100°的角只能是頂角，夾頂角的兩邊成比例，所以一定相似；
B、兩個等腰直角三角形，對應(yīng)邊的比相等，銳角都是45°，相等，所以一定相似；
C、各有一個角是60°的兩個等腰三角形，是等邊三角形，有兩對對應(yīng)角相等，所以一定相似；
D、各有一個角是50°的兩個等腰三角形，可能是頂角為50°，也可能底角為50°，所以對應(yīng)角不一定相等，所以不一定不相似；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的判斷，嚴(yán)格按照判定定理即可，另外，熟悉等腰三角形，等邊三角形的性質(zhì)對解題也很關(guān)鍵．
3．下列各組中的四條線段成比例的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)成比例線段的定義（在四條線段中，如果其中的兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段）逐項判斷即可得．
【解析】解：A、，則此項四條線段成比例，符合題意；
B、，則此項四條線段不是成比例線段，不符合題意；
C、，則此項四條線段不是成比例線段，不符合題意；
D、，則此項四條線段不是成比例線段，不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了成比例線段，熟記定義是解題關(guān)鍵．
4．在比例尺為1：50000的地圖上量出A、B兩地的距離是4cm，那么A、B兩地的兩地的實(shí)際距離是（ ）
A．200000米B．500千米C．20千米D．2千米
【答案】D
【分析】比例尺就是圖上距離與實(shí)地距離之比，變形計算即可．
【解析】4×50000＝200000cm＝2000m，故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查比例尺的相關(guān)計算，較為簡單．
5．如果兩個相似多邊形的面積之比為，那么它們的周長之比是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方進(jìn)行解答即可．
【解析】解：∵兩個相似多邊形面積的比為，
∴兩個相似多邊形周長的比等于，
∴這兩個相似多邊形周長的比是．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似多邊形的性質(zhì)，即相似多邊形周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方．
6．如圖，已知，求作，則下列作圖正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先在射線上依次截取，，在射線上截取，連接，過作CE∥BD，交于，則即，再根據(jù)，即可得出結(jié)論．
【解析】如圖，需要在射線上依次截取，，在射線上截取，
連接，過作CE∥BD，交于，則
，即，
所以；
因為，
所以DE=x即即為所求．
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理的基本作圖，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．
7．已知點(diǎn) 是線段 上的一點(diǎn)，線段是和的比例中項，下列結(jié)論中，正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，由比例中項得出AP2=PB·AB，代入解一元二次方程即可解答．
【解析】解：設(shè)AB=1，AP=x，則PB=1－x，
∵線段是和的比例中項，
∴AP2=PB·AB，即x2=1－x，
∴x2+x－1=0，
解得：，（舍去），
∴PB=1－= ，
∴ ，，，，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查比例中項、線段的比、解一元二次方程，熟知比例中項的定義是解答的關(guān)鍵．
8．如圖，已知，，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解析】解：，
，，
，故A錯誤；
，故D正確；
根據(jù)平行線分線段成比例定理無法判定B，C，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例定理，正確理解平行線分線段成比例定理是解本題的關(guān)鍵．
9．如圖，點(diǎn)F是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，射線BF交AD的延長線于點(diǎn)E，則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，由得到,從而得到＝，＝，則可對B、C進(jìn)行判斷；由 得,從而得到＝，則可對A進(jìn)行判斷；由于＝，利用BC＝AD，則可對D進(jìn)行判斷．
【解析】解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝，所以B選項結(jié)論正確，C選項錯誤；
∵
∴
又∵
∴
∴＝，＝
所以A選項的結(jié)論正確；
∵BC＝AD
∴＝
所以D選項的結(jié)論正確．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，根據(jù)圖形找見相似的條件是解題的切入點(diǎn)．
10．已知和都是單位向量，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)進(jìn)行一一分析判斷．
【解析】解：、向量與方向相同時，該等式才成立，故本選項不符合題意；
、當(dāng)向量與方向相反時，，故本選項不符合題意；
、當(dāng)向量與方向相同時，，故本選項不符合題意；
、由題意知，，故本選項符合題意；
故選：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．
11．下列正確的有（ ）
（1）
（2）為單位向量，則
（3）平面內(nèi)向量、，總存在實(shí)數(shù)m使得向量
（4）若，，，則，就是在、方向上的分向量
A．0個B．1個C．2個D．3個
【答案】B
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則和性質(zhì)逐一判斷即可．
【解析】∵，
∴結(jié)論(1)不符合題意；
∵為單位向量，
∴
∴結(jié)論(2)不符合題意；
∵向量、是平行向量時，總存在實(shí)數(shù)m使得向量
∴結(jié)論(3)不符合題意；
∵若，，，則，就是在、方向上的分向量，
∴結(jié)論(4)符合題意；
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的性質(zhì)，平行向量的性質(zhì)，向量的運(yùn)算，熟練掌握向量的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，點(diǎn)G是△ABC的重心，聯(lián)結(jié)AG并延長交BC邊于點(diǎn)D．設(shè)，，那么向量用向量、表示為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】G是△ABC的重心，推出AG＝2DG，推出AD＝3DG，利用三角形法則求出即可解決問題．
【解析】解：∵G是△ABC的重心，
∴AG＝2DG，
∴AD＝3DG，
∴＝3＝3，
∵＝+＝﹣+3，DB＝BD，
∴＝2＝6﹣2，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查三角形的重心，平面向量，三角形法則，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
13．已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（ ）
A．∥，并且和方向一致B．∥，并且和方向相反
C．和方向互相垂直D．和之間夾角的正切值為5
【答案】B
【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)解決問題即可．
【解析】∵已知，為非零向量，如果＝﹣5，
∴∥，與的方向相反，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記向量的長度和方向是解題關(guān)鍵．
14．下列說法中，正確的是（ ）
A．如果k＝0，是非零向量，那么k＝0B．如果是單位向量，那么＝1
C．如果||＝||，那么＝或＝﹣D．已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥
【答案】D
【分析】根據(jù)平面向量的性質(zhì)一一判斷即可．
【解析】解：A、如果k＝0，是非零向量，那么k＝0，錯誤，應(yīng)該是k＝．
B、如果是單位向量，那么＝1，錯誤．應(yīng)該是＝1．
C、如果||＝||，那么＝或＝﹣，錯誤．模相等的向量，不一定平行．
D、已知非零向量，如果向量＝﹣5，那么∥，正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量，平行向量等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量的基本知識.
15．已知梯形ABCD的對角線交于O，AD∥BC，有以下四個結(jié)論：
①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S△COD：S△AOD＝BC：AD；④S△COD＝S△AOB；正確結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理、三角形的面積公式對各選項進(jìn)行一一判斷即可．
【解析】解：∵AD∥BC，
∵∠BAO不一定等于∠CDO，
∴△AOB與△COD不一定相似，①錯誤；
△AOD∽△BOC，②正確；
∴S△DOC：S△AOD＝CO：AO＝BC：AD，③正確；
S△COD＝S△AOB，④正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定、梯形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，∠BEC＝∠CDB，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．EF?BF＝DF?CFB．BE?CD＝BF?CF
C．AE?AB＝AD?ACD．AE?BE＝AD?DC
【答案】C
【分析】根據(jù)條件證明出，根據(jù)性質(zhì)得：，變形即可得到．
【解析】解：，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形相似的判定及性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明出．
17．如圖，點(diǎn) 是 的角平分線 的中點(diǎn)， 點(diǎn) 分別在 邊上，線段 過點(diǎn) ， 且 ，下列結(jié)論中， 錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)AG平分∠BAC，可得∠BAG=∠CAG，再由點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，可得 ，然后根據(jù)，可得到△DAE∽△CAB，進(jìn)而得到△EAF∽△BAG，△ADF∽△ACG，即可求解．
【解析】解：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG=∠CAG，
∵點(diǎn) 是 的中點(diǎn)，
∴ ，
∵，∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△CAB，
∴ ，
∴∠AED=∠B，
∴△EAF∽△BAG，
∴ ，故C正確，不符合題意；
∵，∠BAG=∠CAG，
∴△ADF∽△ACG，
∴ ，故A正確，不符合題意；D錯誤，符合題意；
∴，故B正確，不符合題意；
故選：D
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
18．如圖, 點(diǎn) 是線段 的中點(diǎn), , 下列結(jié)論中, 說法錯誤的是（ ）
A． 與 相似B． 與 相似
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)外角的性質(zhì)可得，結(jié)合已知條件即可證明，從而判斷A，進(jìn)而可得，根據(jù)是中點(diǎn)，代換，進(jìn)而根據(jù)兩邊成比例夾角相等可證，進(jìn)而判斷B，C，對于D選項，利用反證法證明即可．
【解析】解：，
又
故A選項正確
為的中點(diǎn)
又
故B、C選項正確
若
則
根據(jù)現(xiàn)有條件無法判斷，故
故D選項不正確
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
19．如圖，在正方形ABCD中，△ABP是等邊三角形，AP，BP的延長線分別交邊CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，連結(jié)AC，CP，AC與BF相交于點(diǎn)H，下列結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．AE＝2DEB．△CFP∽△APHC．△CFP∽△ACPD．CP2＝PH?PB
【答案】C
【分析】由四邊形ABCD是正方形，可得∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，由△ABP是等邊三角形，可得∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，即可得到∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，由此即可判斷A；由AB∥CD，可得∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，再由BC=BP，∠PBC=30°，推出∠BPC=∠BCP=75°，則∠CPF=105°，即可推出∠PHA=∠CPF，證明△CFP∽△APH，即可判斷B；由∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，即可判斷C；證明△PCH∽△PBC，得到，即可判斷D．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠D=∠ABC=∠DAB=90°，AB∥CD，∠BAH=∠BCH=45°，AB=BC，
∵△ABP是等邊三角形，
∴∠PAB=∠PBA=∠APB=60°，AB=BP=AP，
∴∠DAE=∠PBC=30°，BP=BC，
∴AE=2DE，故A不符合題意；
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠ABP=∠APH=60°，
∵BC=BP，∠PBC=30°，
∴∠BPC=∠BCP=75°，
∴∠CPF=105°，
又∵∠PHA=∠PBA+∠BAH=60°+45°=105°，
∴∠PHA=∠CPF，
又∵∠APB=∠CFP=60°，
∴△CFP∽△APH，故B不符合題意；
∵∠CPA=∠APB+∠BPC=135°≠∠CPF，
∴△PFC與△PCA不相似，故C符合題意；
∵∠PCH=∠PCB-∠BCH=75°-45°=30°，
∴∠PCH=∠PBC，
∵∠CPH=∠BPC，
∴△PCH∽△PBC，
∴，
∴PC2=PH?PB，故D不符合題意，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．
20．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三邊為邊向外作正方形，過點(diǎn)C作CR⊥FG于點(diǎn)R，再過點(diǎn)C作PQ⊥CR分別交邊DE，BH于點(diǎn)P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，則CR的長為（ ）
A．14B．15
C．D．
【答案】A
【分析】方法一：連接EC，CH，設(shè)AB交CR于點(diǎn)J，先證得△ECP∽△HCQ，可得，進(jìn)而可求得CQ＝10，AC:BC＝1:2，由此可設(shè)AC＝a，則BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可證得四邊形ABQC為平行四邊形，由此可得AB＝CQ＝10，再根據(jù)勾股定理求得，，利用等積法求得，進(jìn)而可求得CR的長．
方法二：設(shè)AB交CR于點(diǎn)M，先證得，可得、，進(jìn)而可求得PC＝5，CQ＝10，設(shè)AC＝a，則BC＝2a，利用AC∥BQ，CQ∥AB，可證得四邊形ABQC為平行四邊形，由此可得AB＝CQ＝10，再根據(jù)勾股定理求得，，利用等積法求得，進(jìn)而可求得CR的長．
【解析】方法一：
解：如圖，連接EC，CH，設(shè)AB交CR于點(diǎn)J，
∵四邊形ACDE，四邊形BCIH都是正方形，
∴∠ACE＝∠BCH＝45°，
∵∠ACB＝90°，∠BCI＝90°，
∴∠ACE＋∠ACB＋∠BCH＝180°，∠ACB＋∠BCI＝180°，
∴點(diǎn)E、C、H在同一直線上，點(diǎn)A、C、I在同一直線上，
∵DE∥AI∥BH，
∴∠CEP＝∠CHQ，
∵∠ECP＝∠QCH，
∴△ECP∽△HCQ，
∴，
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10，
∵EC:CH＝1:2，
∴AC:BC＝1:2，
設(shè)AC＝a，則BC＝2a，
∵PQ⊥CR，CR⊥AB，
∴CQ∥AB，
∵AC∥BQ，CQ∥AB，
∴四邊形ABQC為平行四邊形，
∴AB＝CQ＝10，
∵，
∴，
∴（舍負(fù)）
∴，，
∵，
∴，
∵JR＝AF＝AB＝10，
∴CR＝CJ＋JR＝14，
故選：A．
方法二：
∵四邊形ACDE，四邊形BCIH都是正方形
∵PQ＝15，
∴PC＝5，CQ＝10
設(shè)，則
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°
由勾股定理得
由等面積法得
設(shè)與交于點(diǎn)J
∵四邊形ABGF是正方形
PQ⊥CR，CR⊥AB，∠ACB＝90°
∴CQAB，ACBQ，四邊形AMRF是矩形
∴四邊形ABQC為平行四邊形，
∴
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、平行四邊形的判定及性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用及等面積法，作出正確的輔助線并靈活運(yùn)用相關(guān)圖形的性質(zhì)與判定是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
21．若：：，則______．
【答案】
【分析】根據(jù)比例設(shè)，，然后代入比例式計算即可得解．
【解析】解：，
設(shè)，，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，此類題目，利用“設(shè)法”求解更加簡便．
22．若，則＝______．
【答案】
【分析】根據(jù)可得，把a(bǔ)，c，e代入所求代數(shù)式中，約分后即可求得結(jié)果．
【解析】∵
∴
∴
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了比例的性質(zhì)，求代數(shù)式的值，根據(jù)比例的性質(zhì)變形是關(guān)鍵．
23．如圖，已知，，求：（1）________；（2）________．
【答案】 1 1
【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例可得，，即可求解；
（2）根據(jù)平行線分線段成比例可得，，即可求解．
【解析】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
；
故答案為：1；
（2）∵，
，
∵，，
，
；
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例，掌握平行線分線段成比例是解題的關(guān)鍵．
24．已知線段a＝2厘米，c＝8厘米，則線段a和c的比例中項b是_______厘米．
【答案】4
【分析】根據(jù)線段比例中項的概念，可得a：b=b：c，可得b2=ac=16，故b的值可求．
【解析】解：∵線段b是a、c的比例中項，
∴b2＝ac＝2×8＝16，
解得b＝±4，
又∵線段是正數(shù)，
∴b＝4．
故答案為4．
【點(diǎn)睛】本題考查了比例中項的概念，注意：求兩個數(shù)的比例中項的時候，應(yīng)開平方．求兩條線段的比例中項的時候，負(fù)數(shù)應(yīng)舍去．
25．已知點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn)，AP＞PB．若AB＝2，則AP＝_____．
【答案】##
【分析】根據(jù)黃金分割點(diǎn)的定義，知AP是較長線段；則AP＝AB，代入數(shù)據(jù)即可得出AP的長．
【解析】解：由于P為線段AB＝2的黃金分割點(diǎn)，且AP是較長線段；
則AP＝2×＝，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金分割點(diǎn)即線段上一點(diǎn)把線段分成較長和較短的兩條線段，且較長線段的平方等于較短線段與全線段的積，熟練掌握黃金分割點(diǎn)的公式是解題的關(guān)鍵．
26．如圖, 已知，它們依次交直線 于點(diǎn) 和點(diǎn) . 如 果 , 那么線段 的長是_______．
【答案】
【分析】先證明再利用求解從而可得答案.
【解析】解：

設(shè) 則



解得： 經(jīng)檢驗符合題意；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線分線段成比例，掌握“利用平行線分線段成比例列方程”是解本題的關(guān)鍵.
27．四邊形和四邊形是相似圖形，點(diǎn)A、B、C、D分別與點(diǎn)、、、對應(yīng)，已知，，，那么的長是______．
【答案】
【分析】根據(jù)相似圖形的性質(zhì)即可得．
【解析】四邊形和四邊形是相似圖形，且點(diǎn)分別與點(diǎn)對應(yīng)，
，
又，，，
，
解得，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似圖形的性質(zhì)，熟練掌握相似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
28．如圖，已知，它們依次交直線，于點(diǎn)A，D，F(xiàn)和點(diǎn)B，C，E，如果AD＝6，DF＝3，BC＝5，那么BE＝______．
【答案】7.5
【分析】由平行線分線段成比例可得到，代入相關(guān)數(shù)據(jù)可求得CE，再根據(jù)線段的和可求得BE．
【解析】解：∵AB//CD//EF，
∴，
又AD＝6，DF＝3，BC＝5，
∴，
解得CE＝2.5，
∴BE＝BC＋CE＝5＋2.5＝7.5．
故答案為7.5
【點(diǎn)睛】本題主要考查平行線分線段成比例，掌握平行線分線段所得線段對應(yīng)成比例是解題的關(guān)鍵．
29．計算：________.
【答案】
【分析】去括號，按照向量的加減法法則計算即可．
【解析】原式=
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了向量的線性運(yùn)算，熟練掌握向量的線性運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．?dāng)?shù)乘向量滿足下列運(yùn)算律：設(shè)，為實(shí)數(shù)，則①，②，③．
30．如圖，在平行四邊形中，對角線、交于點(diǎn)，設(shè)，，那么向量用向量、表示為______．
【答案】
【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)可得,再用向量進(jìn)行表示即可．
【解析】∵平行四邊形
∴，，
∵
∴
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平面向量等知識，解題的關(guān)鍵是注意向量的方向，屬于中考常考題型．
31．已知：P為△ABC的重心，連接BP并延長，交AC于點(diǎn)D．設(shè)、，則________（請用含、的式子表示）；
【答案】
【分析】先根據(jù)向量的加法法則表示，根據(jù)重心為三角形中線的交點(diǎn)且將中線分為2：1和向量的減法法則求得，再由求解即可．
【解析】解：∵、，
∴，
∵P為△ABC的重心，
∴，，
∴=，
∴==，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算、三角形的重心性質(zhì)，熟練掌握向量加減法的運(yùn)算法則，熟知三角形的重心性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
32．如圖，點(diǎn)D在的邊上，當(dāng)______時，與相似．
【答案】
【分析】要使∽，由∠BAC=∠CAD共用，只要滿足即可．
【解析】由∠BAC=∠CAD共用，
當(dāng)時，
∽．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形判定問題，關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．
33．如圖 ，在正六邊形ABCDEF 中，設(shè) BA ? a ， BC ? b ，那么向量 BF? ( )．
【答案】##
【分析】連接CF，由向量共線可得，利用三角形法則：，即可得出答案．
【解析】解：連接CF，
∵多邊形ABCDEF是正六邊形，
AB∥CF，CF=2BA，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則．
34．的邊長分別為的邊長分別，則與____________（選填“一定”“不一定” “一定不”）相似
【答案】不一定
【分析】先求出兩個三角形三邊的比，再根據(jù)三邊對應(yīng)成比例判斷兩個三角形相似即可．
【解析】解：∵的邊長分別為的邊長分別，
∴兩個三角形對應(yīng)邊的比分別為：
，
當(dāng)a=b=c時，，這兩個三角形相似，
當(dāng)a≠b≠c時，，這兩個三角形不相似，
∴與不一定相似，
故答案為：不一定．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．
35．如圖，小明在打網(wǎng)球時，要使球恰好能打過網(wǎng)，且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)4米的位置上，已知網(wǎng)高為0.8米，擊球點(diǎn)到網(wǎng)的水平距離為3米則球拍擊球的高度h為_________米．
【答案】1.4
【分析】由于DBEC，可得△ADB∽△AEC，故可用相似三角形的性質(zhì)求解．
【解析】解：如圖，
∵DB//EC，
∴△ADB∽△AEC，
∴，即0.8×（4+3）=4h，
∴h=1.4 (m)．
故答案為1.4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是找出相似三角形，然后根據(jù)對應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解決問題．
36．如圖，中，E是邊AD的中點(diǎn)，BE交對角線AC于點(diǎn)F，那么S△AFB :S四邊形FEDC的值為__________
【答案】
【分析】證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，，分別求得S△AFB :S四邊形FEDC即可求解．
【解析】四邊形是平行四邊形
，
是邊AD的中點(diǎn)，
設(shè)，則，
S四邊形FEDC
S△AFB :S四邊形FEDC的值為
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
37．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，點(diǎn)F在BC的延長線上，AF與BD相交于點(diǎn)E，與CD邊相交于點(diǎn)G．如果AD＝2CF，那么?DEG與?CFG的面積之比等于________．
【答案】16:7
【分析】根據(jù)△ADG∽△FCG和△ADE∽△FBE，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊比值相等和相似三角形面積比為相似比的平方即可解題．
【解析】解：∵AD∥BC，
∴△ADG∽△FCG，
∴=2，
∴△ADG與△CFG的面積比是4：1，
△ADE∽△FBE，
∴，
∴令GF=1，則AG=2，
設(shè)AE=x，EG=y，
則x：（y+1）=2：5，
x+y=2，
解得，
∴△DEG與△ADE的面積比是8：6=4：3，
∴△DEG與△CFG的面積比是16：7．
故答案為16：7．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形對應(yīng)邊比例相等的性質(zhì)，考查了相似三角形面積比為相似比的平方的性質(zhì)．
38．如圖，已知、為的邊上的兩點(diǎn)，且滿足，一條平行于的直線分別交、、的延長線于點(diǎn)、、，則________．
【答案】3
【分析】過點(diǎn)M作MGDF，點(diǎn)G在AB上，過點(diǎn)N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，則有MGDFNHAC，利用平行線分線段成比例和平行線判定三角形相似可得，再利用DFNH得到，從而得解．
【解析】過點(diǎn)M作MGDF，點(diǎn)G在AB上，過點(diǎn)N作NHDF，H在AB上，NH交AM于I，
則有MGDFNHAC
∵GMNH，
∴△BMG∽△BNH
∴
又∵BM=，
∴
∵M(jìn)GNHAC，
∴
∴
∵M(jìn)GNH
∴△AHI∽△AGM
∴
又∵
∴
∴
又∵DFNH
∴△AHI∽△ADE，△ANI∽△AFE，
∴
∴
∴
故答案是：3．
【點(diǎn)睛】本題考查平行線分線段成比例和三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
培優(yōu)特訓(xùn)練
特訓(xùn)第二階——拓展培優(yōu)練
一、單選題
1．設(shè)n為正整數(shù)，為非零向量，那么下列說法不正確的是（ ）
A．n表示n個相乘B．-n表示n個-相加
C．n與是平行向量D．-n與n互為相反向量
【答案】A
【分析】根據(jù)單位向量、平行向量以及模的定義的知識求解即可求得答案．
【解析】根據(jù)向量的性質(zhì)和意義，可知：A、n表示n個相加，錯誤；
B、-n表示n個-相加，正確；
C、n與是平行向量，正確；
D、﹣n與n互為相反向量，正確；
故選A.
2．已知是一個單位向量，、是非零向量，那么下列等式正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】長度不為0的向量叫做非零向量，向量包括長度及方向，而長度等于1個單位長度的向量叫做單位向量，注意單位向量只規(guī)定大小沒規(guī)定方向，則可分析求解．
【解析】A. 由于單位向量只限制長度，不確定方向，故錯誤；
B. 符合向量的長度及方向，正確；
C. 得出的是a的方向不是單位向量，故錯誤；
D. 左邊得出的是a的方向，右邊得出的是b的方向，兩者方向不一定相同，故錯誤.
故答案選B.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是平面向量，解題的關(guān)鍵是熟練的掌握平面向量.
3．ABCD被分別平行于兩邊的四條線段EJ、FI、LG、KH分割成9個小平行四邊形，面積分別為S1-9，已知ALME∽PICH∽ABCD．若知道S1-9中的n個，就一定能算出平行四邊形ABCD的面積，則n的最小值是（ ）．
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】由題述相似關(guān)系得AL：AE=KB：FD，設(shè)AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
又AB：AD=AL：AE=KB：FD可得（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由x2：y2：z2= S1：S3：S5得到x：y：z=，于是
SABCD= S1·=．
【解析】解：如圖，
由題述相似關(guān)系得AL：AE=KB：FD，
設(shè)AE=x，AL=kx；FD=z，KB=kz；EF=y．
∵AB：AD=AL：AE=KB：FD
∴（kx+LK+kz）：（x+y+z）=kx：x=ky：y=k，
∴LK=ky．
只需知道S1，S3，S5，便可由
x2：y2：z2= S1：S3：S5
得到x：y：z=，
于是SABCD= S1·=，
故答案選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵在于設(shè)出未知數(shù)，用正確的表達(dá)式表示面積．
4．我們將頂角為36°的等腰三角形稱為黃金三角形（底邊和腰的比值為黃金分割比）．如圖，已知，為第一個黃金三角形，為第二個黃金三角形，…，依次類推則第2021個黃金三角形的底邊長為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由黃金三角形的定義得BC=AB=，同理：△BCD是第二個黃金三角形，，△CDE是第三個黃金三角形，則CE=，由此得出規(guī)律，即可得出結(jié)論．
【解析】解：∵AB=AC=1，∠A=36°，△ABC是第一個黃金三角形，
∴底邊與腰之比等于，
即，
∴BC=AB=，
同理：△BCD是第二個黃金三角形，
∴
△CDE是第三個黃金三角形，
則CE= …，
∴第2021個黃金三角形的底邊長
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了黃金三角形，等腰三角形的性質(zhì)，規(guī)律型等知識；熟練掌握黃金三角形的定義，得出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
5．如圖，在ABC中，點(diǎn)D、F是邊AB上的點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC上的點(diǎn)，如果∠ACD=∠B，DEBC，EFCD，下列結(jié)論不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根據(jù)相似三角形的判定及性質(zhì)以及平行線分線段成比例對每個選項逐個證明即可．
【解析】解：∵DEBC，EFCD，
∴∠ADE=∠B，∠ACD=∠AEF，
又∵∠ACD=∠B，
∴∠ADE=∠AEF，
∵∠ADE=∠AEF，∠A=∠A，
∴AEF∽ADE，
∴，
∴，故選項A正確；
∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，
∴ACD∽ABC，
∴，
∴，故選項B正確；
∵DEBC，
∴，
∵EFCD，
∴，
∴，
∴，故選項D正確；
∵EFCD，
∴，
∴，故選項C錯誤，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線分線段成比例以及相似三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
6．如圖，在梯形中，，對角線交于點(diǎn)是梯形的中位線，與分別交于點(diǎn)，如果的面積為，那么梯形的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)AD=2x，BC=6x，根據(jù)EF是梯形的中位線，求得EG=FH==x，GF==3x，證得GH=AD，由此得到，，，即可求出答案．
【解析】設(shè)AD=2x，BC=6x，
∵EF是梯形的中位線，
∴點(diǎn)E、F、G、H分別為AB、CD、BD、AC的中點(diǎn)，EF∥AD∥BC，
∴EF=x，
∴EG=FH==x，GF==3x，
∴GH=2x，
∴GH=AD，
∵GH∥AD,
∴△OAD∽△OHG,
∴，
∴OG=OD，，
∵GH∥BC,
∴△OGH∽△OBC，
∵
∴，
∵O是DG的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)，
∴，
，
故選：C．
．
【點(diǎn)睛】此題考查梯形中位線的性質(zhì)定理，三角形中位線的性質(zhì)定理，同底或同高三角形面積的關(guān)系，相似三角形的性質(zhì)，這是一道與中位線相關(guān)的綜合題．
7．已知：如圖，在△ABC中，于點(diǎn)G，于點(diǎn)F，，，以下結(jié)論：①，②，③，④，其中正確的是（ ）
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】C
【分析】利用等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形的兩銳角互余可以判斷結(jié)論①；證可判斷結(jié)論③的正誤；再證可判斷②④結(jié)論的正確性．
【解析】解：∵于點(diǎn)G，于點(diǎn)F，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，故結(jié)論①正確；
∵，，
∴，
∴，故結(jié)論③正確；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，故結(jié)論②錯誤，結(jié)論④正確，
∴正確的結(jié)論有①③④，
故選：
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．
8．正方形中，兩條對角線交于點(diǎn)O，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)F，交于點(diǎn)M，與交于點(diǎn)N，記，則有（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，推導(dǎo)得q=2，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，推導(dǎo)得r=2，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，通過證明，得p>2，從而完成求解．
【解析】過點(diǎn)B作，延長DF交BQ于點(diǎn)Q，點(diǎn)Z為DF與AE的交點(diǎn)
∵正方形，兩條對角線交于點(diǎn)O，
∴，，
∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)
∴
∵
∴
∴
∴q=2
∵
∴，
∴
∵點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)
∴
∴r=2
∵
∵
∴
∴
∵ ，，
∴
∴
∴
∴
∵ ，
∴
∴
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∴AZ>AM
∵
∴，
∴
∴
∴
∴QB2
∴
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形、相似三角形的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)，從而完成求解．
9．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC， AB的中點(diǎn)，連接AE，DF交于點(diǎn)O，將△ABE沿AE翻折，得到△AGE，延長EG交AD的延長線于點(diǎn)H，連接CG．有以下結(jié)論：①AE⊥DF；②AH＝EH；③；④S四邊形BEOF :S△AOF＝4，其中正確的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】D
【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，從而可證△DAF≌△ABE，進(jìn)而可得∠BAE=∠ADF，然后可得∠BAE+∠AFD=90°，即可解答；②根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，從而可得∠DAE=∠AEB，再利用折疊可得∠AEB=∠AEG，進(jìn)而可得∠DAE=∠AEG，即可解答；③由折疊得：∠AEB=∠AEG=(180°?∠GEC)，GE=EC，從而可得∠EGC=∠ECG=(180°?∠GEC)，進(jìn)而可得∠AEB=∠GCE，即可解答；④在Rt△ABE中，利用勾股定理求出AE，然后證明△AOF∽△ABE，利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)行計算即可解答．
【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=AB=BC，∠DAB=∠B=90°，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，AB的中點(diǎn)，
∴AF=AB，BE=EC=BC，
∴AF=BE，
∴△DAF≌△ABE(SAS)，
∴∠BAE=∠ADF，
∴∠BAE+∠AFD=90°，
∴∠AOF=180°?(∠BAE+∠AFD)=90°，
∴AE⊥DF，
故①正確；
∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
∴∠DAE=∠AEB，
由折疊得：∠AEB=∠AEG，
∴∠DAE=∠AEG，
∴AH=EH，
故②正確；
由折疊得：∠AEB=∠AEG=(180°?∠GEC)，GE=EC，
∴∠EGC=∠ECG=(180°?∠GEC)，
∴∠AEB=∠GCE，
∴，
故③正確；
∵∠B=90°，AB=4，AF=2，BE=2，
∴，
∵∠B=∠AOF=90°，∠FAO=∠BAE，
∴△AOF∽△ABE，
∴，
∴，
故④正確；
所以，以上結(jié)論，正確的有4個，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換(折疊問題)，三角形的中位線定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
10．如圖，正方形中，為上一點(diǎn)，是延長線上一點(diǎn)，且，連結(jié)，，，是中點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)與相交于點(diǎn)N．則個結(jié)論：；∽∽；；若，則；正確的結(jié)論有（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，然后利用“邊角邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得，然后求出，判斷出①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后判斷出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的三角形相似得到∽∽，判斷出②正確；根據(jù)勾股定理可得，再利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式整理可得，然后求出，判斷出③正確；連接、，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，然后判斷出直線垂直平分，過點(diǎn)作于，得到，然后求出，再根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，判斷出④正確．
【解析】解：正方形中，，
在和中，
，
≌，
，
，故①正確；
，
是等腰直角三角形，
，
，，
∽，
，，
∽，
∽∽，故②正確；
在中，由勾股定理得，，
由∽得，，
，
，
，故③正確；
連接、，
是的中點(diǎn)，、是直角三角形，
，
又，
直線是的垂直平分線，
過點(diǎn)作于，則，
，
，
是的中點(diǎn)，，，
，
，
，故④正確；
綜上所述，正確的結(jié)論有①②③④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線，平行線分線段成比例定理，熟記各性質(zhì)與定理并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．如圖，已知D是的邊AC上一點(diǎn)，且AD＝2DC．如果，，那么向量關(guān)于、的分解式是_____
【答案】
【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則計算即可.
【解析】解：∵AD＝2DC，
∴，
根據(jù)題意，可得：
∴，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的運(yùn)算法則，熟悉向量的計算遵循三角形法則是解題的關(guān)鍵.
12．如圖，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△EBD，點(diǎn)E、點(diǎn)D分別與點(diǎn)A、點(diǎn)C對應(yīng)，且點(diǎn)D在邊AC上，邊DE交邊AB于點(diǎn)F，△BDC∽△ABC．已知，AC＝5，那么△DBF的面積等于_____．
【答案】．
【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，∠CBD＝∠A，得到CD＝2，AD＝3，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠ABC＝∠EBD，∠E＝∠A，AB＝BE，DE＝AC，得到∠EBF＝∠A，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)得到∠ADF＝∠E，等量代換得到∠E＝∠EBF＝∠A＝∠ADF，根據(jù)等腰三角形的判定得到EF＝BF，AF＝DF，得到AB＝DE＝AC＝5，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，過A 作AH⊥BC于H，于是得到結(jié)論．
【解析】∵△BDC∽△ABC，
∴，∠CBD＝∠A，
∴，
∵，AC＝5，
∴CD＝2，
∴AD＝3，
∵將△ABC繞點(diǎn)B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△EBD，
∴∠ABC＝∠EBD，∠E＝∠A，AB＝BE，DE＝AC，
∴∠EBF＝∠CBD，
∴∠EBF＝∠A，
∴BE∥AC，
∴∠ADF＝∠E，
∴∠E＝∠EBF＝∠A＝∠ADF，
∴EF＝BF，AF＝DF，
∴AF+BF＝EF+DF，
即AB＝DE＝AC＝5，
∵AD∥BE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
過A 作AH⊥BC于H，
∴，
∵，
∴△DBF的面積＝．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的計算，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．如圖，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，將矩形ABCD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A、B、D的對應(yīng)點(diǎn)分別為A’ 、B’、 D’，當(dāng)A’ 落在邊CD的延長線上時，邊A’ D’ 與邊 AD的延長線交于點(diǎn)F，聯(lián)結(jié)CF，那么線段CF的長度為____．
【答案】
【分析】由勾股定理可求A'C=5，可得A'D= A'C-CD=2，由△ECD∽△A'CB'，對應(yīng)邊成比例即可求出DE的長，再由△A'DF∽△CDE求出DF的長，最后在Rt△DFC中由勾股定理即可求出DF.
【解析】解：由旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等可知：A'B'=AB=3，B'C=BC=4
∴由勾股定理可知：A'C=，
∴A'D= A'C-CD=2，
又∠ADC=∠B'=90°，且∠ECD=∠A'CB'，
∴△ECD∽△A'CB'，
∴，代入數(shù)據(jù)：，
∴，
又A'F∥CE，
∴∠CED=∠A'FD，且∠EDC=∠FDA'，
∴△A'DF∽△CDE，
，代入數(shù)據(jù)：，
∴，
在Rt△DFC中由勾股定理可知：
.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題借助矩形的性質(zhì)考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)和判定是解決此題的關(guān)鍵.
14．如如圖，在矩形ABCD中，AB=12，BC=16，AC與BD相交于O，E為DC上的一點(diǎn)，過點(diǎn)O作OF⊥OE交BC于F，記d=，則d的最小值為 _____．
【答案】10
【分析】延長EO交AB于G，根據(jù)ASA可證△DOE≌△BOG，可得BG=DE，則d=，即為FG的長；過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，可得△OHG∽△OIF，設(shè)BG=x，用x表示出BF，再根據(jù)函數(shù)的最值即可求解．
【解析】解：延長EO交AB于G，連接GF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB∥CD，
∴∠OBG=∠ODE，
在△DOE與△BOG中，
，
∴△DOE≌△BOG（ASA），
∴BG=DE，
∴d==FG，
過O點(diǎn)作OH⊥AB于H，OI⊥BC于I，
∴四邊形HBIO是矩形，
∴∠OHG=∠OIB=∠HOI=90°，
∴∠OIF=90°=∠OHG，
∵∠EOF=90°，
∴∠GOF=180°-90°=90°，
∴∠HOG=∠IOF，
∴△OHG∽△OIF，
∴，
∵O為AC的中點(diǎn)，HO∥BC，
∴HO=BC，
同理IO=AB，
∵AB=12，BC=16，
∴，
設(shè)BG=x，則HG=6-x，
IF=，
BF=，
d=，
∵0≤x≤6，
∴當(dāng)x=6時，d最小為10，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是設(shè)BG=x，用x表示出BF．
15．如圖，在邊長為3的正方形中，點(diǎn)是邊上的點(diǎn)，且，過點(diǎn)作的垂線交正方形外角的平分線于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)，連接交邊于點(diǎn)，則的長為______．
【答案】
【分析】過點(diǎn)F分別作FH⊥BC，F(xiàn)P⊥BG，垂足分別為H、P，由正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，可分別求得H N、HM的長，則可求得MN的長．
【解析】過點(diǎn)F分別作FH⊥BC，F(xiàn)P⊥BG，垂足分別為H、P，如圖所示．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠ABC=∠C=90°，AD=AB=CD=BC=3，
∴∠PBH=∠FHB=∠FPB=90°，
∴四邊形FPBH是矩形．
∵BF平分∠CBG，F(xiàn)H⊥BC，F(xiàn)P⊥BG，
∴FP=FH，
∴四邊形FPBH是正方形，
∴BH=BP=FP=FH．
∵DE⊥EF，
∴∠DEF=90°，
∴∠DEA+∠FEP=90°，
∵∠DEA +∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠FEP，
∴Rt△DAE∽△Rt△EPF，
∴．
∵BE=2AE，AB=3，
∴AE=1，BE=2，
即
∴PE=3FP，即BE+PB=3FP，
∵PB=FP，
∴2+PB=3PB，
∴PB=FP=1，
∴BH=FH=1，CH=BC?BH=2．
設(shè)HN=a，則CN=CH?HN=2?a，
∵∠FHN=∠C=90°，∠FNH=∠DNC，
∴△FHN∽△DCN，
∴，
即，
解得：．
設(shè)HM=b，則BM=BH?HM=1?b．
∵∠FHM=∠ABC=90°，∠FMH=∠EMB，
∴△FHM∽△EBM，
∴，
∴BM=2HM，即，
解得：；
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是相似三角形判定與性質(zhì)的運(yùn)用，綜合性較強(qiáng)．
16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)P為邊AD上一動點(diǎn)，連接OP，以O(shè)P為折痕，將△AOP折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，線段PE與OD相交于點(diǎn)F．若△PDF為直角三角形，則DP的長為_______．
【答案】或1
【分析】分兩種情況討論，當(dāng)時，過點(diǎn)O作于H，由平行線分線段成比例可得，由折疊的性質(zhì)可得，可求，可得；當(dāng)∠PFD＝90°時，由勾股定理和矩形的性質(zhì)可得，通過證明，可得，可求OF的長，通過證明，可得，可求PD的長．
【解析】解：如圖1，當(dāng)∠DPF＝90°時，過點(diǎn)O作OH⊥AD于H，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵將△AOP折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，線段PE與OD相交于點(diǎn)F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)∠PFD＝90°時，
∵AB＝6，BC＝8，
∴，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴，
∴，
∵將△AOP折疊，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E，線段PE與OD相交于點(diǎn)F，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴PD，
綜上所述：PD或1，
故答案為：或1．
【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵．