注意事項(xiàng)：
1．答題前，請(qǐng)考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚，并認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考室和座位號(hào)；
2．必須在答題卡上答題，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效；
3．答題時(shí)，請(qǐng)考生注意各大題題號(hào)后面的答題提示；
4．請(qǐng)勿折疊答題卡，保持字體工整、筆跡清晰、卡面清潔；
5．答題卡上不得使用涂改液、涂改膠和貼紙；
6．本學(xué)科試卷共25個(gè)小題，考試時(shí)量120分鐘，滿分120分。
一、選擇題（在下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題的．請(qǐng)?jiān)诖痤}卡中填涂符合題意的選項(xiàng)．本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
1．下列圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的是（ ）
A．B．C．D．
2．我國(guó)近年來(lái)大力推進(jìn)國(guó)家教育數(shù)字化戰(zhàn)略行動(dòng)，截至2024年6月上旬，上線慕課數(shù)量超過(guò)7.8萬(wàn)門，學(xué)習(xí)人次達(dá)1290000000建設(shè)和應(yīng)用規(guī)模居世界第一．用科學(xué)記數(shù)法將數(shù)據(jù)1290000000表示為（ ）
A．B．C．D．
3．“玉兔號(hào)”是我國(guó)首輛月球車，它和著陸器共同組成“嫦娥三號(hào)”探測(cè)器．“玉兔號(hào)”月球車能夠耐受月球表面的最低溫度是℃、最高溫度是150℃，則它能夠耐受的溫差是（ ）
A．℃B．150℃C．30℃D．330℃
4．下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
5．為慶祝五四青年節(jié)，某學(xué)校舉辦班級(jí)合唱比賽，甲班演唱后七位評(píng)委給出的分?jǐn)?shù)為：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）
A．9.2B．9.4C．9.5D．9.6
6．在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
7．對(duì)于一次函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．它的圖象與y軸交于點(diǎn)B．y隨x的增大而減小
C．當(dāng)時(shí)，D．它的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限
8．如圖，在△ABC中，，，．則∠1的度數(shù)為（ ）
A．50°B．60°C．70°D．80°
9．如圖，在中，弦AB的長(zhǎng)為8，心O到AB的距離，則的半徑長(zhǎng)為（ ）
A．4B．C．5D．
10．如圖，在菱形ABCD中，，，點(diǎn)E是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，DE，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)P．設(shè)，，則y與x之間的函數(shù)解析式為（不考慮自變量x的取值范圍）（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．為了比較甲、乙、丙三種水稻秋苗的長(zhǎng)勢(shì)，每種秧苗各隨機(jī)抽取40株，分別量出每株高度，計(jì)算發(fā)現(xiàn)三組秧苗的平均高度一樣，并且得到甲、乙、丙三組秧苗高度的方差分別是3.6，10.8，15.8，由此可知____種秧苗長(zhǎng)勢(shì)更整齊（填“甲”、“乙”或“丙”）．
12．某鄉(xiāng)鎮(zhèn)組織“新農(nóng)村，新氣象”春節(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，進(jìn)入抽獎(jiǎng)環(huán)節(jié)．抽獎(jiǎng)方案如下：不透明的箱子里裝有紅、黃、藍(lán)三種顏色的球（除顏色外其余都相同），其中紅球有2個(gè)，黃球有3個(gè)，藍(lán)球有5個(gè)，每次搖勻后從中隨機(jī)摸一個(gè)球，摸到紅球獲一等獎(jiǎng)，摸到黃球獲二等獎(jiǎng)，摸到藍(lán)球獲三等獎(jiǎng)，每個(gè)家庭有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，小明家參與抽獎(jiǎng)，獲得一等獎(jiǎng)的概率為______．
13．要使分式有意義，則x需滿足的條件是______．
14．半徑為4，圓心角為90°的扇形的面積為______（結(jié)果保留）．
15．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，BC的中點(diǎn)，連接DE．若，則AB的長(zhǎng)為______．
16．為慶祝中國(guó)改革開放46周年，某中學(xué)舉辦了一場(chǎng)精彩紛呈的慶祝活動(dòng)，現(xiàn)場(chǎng)參與者均為在校中學(xué)生，其中有一個(gè)活動(dòng)項(xiàng)目是“選數(shù)字猜出生年份”，該活動(dòng)項(xiàng)目主持人要求參與者從1，2，3，4，5，6，7，8，9這九個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)數(shù)字，先乘以10，再加上4，6，將此時(shí)的運(yùn)算結(jié)果再乘以10，然后加上1978，最后減去參與者的出生年份（注：出生年份是一個(gè)四位數(shù)，比如2010年對(duì)應(yīng)的四位數(shù)是2010），得到最終的運(yùn)算結(jié)果．只要參與者報(bào)出最終的運(yùn)算結(jié)果，主持人立馬就知道參與者的出生年份．若某位參與者報(bào)出的最終的運(yùn)算結(jié)果是915，則這位參與者的出生年份是______．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題9分，第24、25題每小題10分，共72分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．計(jì)算：．
18．先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．
19．如圖，在Rt△ABC中，，，，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧分別交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AB，BC于點(diǎn)D，E，連接CD，AE．
（1）求CD的長(zhǎng)；
（2）求△ACE的周長(zhǎng)．
20．中國(guó)新能源產(chǎn)業(yè)異軍突起．中國(guó)車企在政策引導(dǎo)和支持下，瞄準(zhǔn)純電、混動(dòng)和氫燃料等多元技術(shù)路線，加大研發(fā)投入形成了領(lǐng)先的技術(shù)優(yōu)勢(shì)，2023年，中國(guó)新能源汽車產(chǎn)銷量均突破900萬(wàn)輛，連續(xù)9年位居全球第一．在某次汽車展覽會(huì)上，工作人員隨機(jī)抽取了部分參展人員進(jìn)行了“我最喜歡的汽車類型”的調(diào)查活動(dòng)（每人限選其中一種類型），并將數(shù)據(jù)整理后，繪制成下面有待完成的統(tǒng)計(jì)表、條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖
請(qǐng)根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題：
（1）本次調(diào)查活動(dòng)隨機(jī)抽取了_____人；表中______，______；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中“混動(dòng)”類所在扇形的圓心角的度數(shù)；
（4）若此次汽車展覽會(huì)的參展人員共有4000人，請(qǐng)你估計(jì)喜歡新能源（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車的有多少人？
21．如圖，點(diǎn)C在線段AD上，，，．
（1）求證：；
（2）若，求∠ACE的度數(shù)．
22．刺繡是我國(guó)民間傳統(tǒng)手工藝．湘繡作為中國(guó)四大刺繡之一，聞名中外，在巴黎奧運(yùn)會(huì)倒計(jì)時(shí)50天之際，某國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買A、B兩種奧運(yùn)主題的湘繡作品作為紀(jì)念品．已知購(gòu)買1件A種湘繡作品與2件B種湘繡作品共需要700元，購(gòu)買2件A種湘繡作品與3件B種湘繡作品共需要1200元．
（1）求A種湘繡作品和B種湘繡作品的單價(jià)分別為多少元？
（2）該國(guó)際旅游公司計(jì)劃購(gòu)買A種湘繡作品和B種湘繡作品共200件，總費(fèi)用不超過(guò)50000元，那么最多能購(gòu)買A種湘繡作品多少件？
23．如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，．
（1）求證：；
（2）點(diǎn)E在BC邊上，滿足．若，，求CE的長(zhǎng)及的值．
24．對(duì)于凸四邊形，根據(jù)它有無(wú)外接圓（四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上）與內(nèi)切圓（四條邊都與同一個(gè)圓相切），
可分為四種類型，我們不妨約定：
既無(wú)外接圓，又無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“平凡型無(wú)圓”四邊形；
只有外接圓，而無(wú)內(nèi)切圓的四邊形稱為“外接型單圓”四邊形；
只有內(nèi)接圓，而無(wú)外接圓的四邊形稱為“內(nèi)切型單圓”四邊形；
既有外接圓，又有內(nèi)切圓的四邊形稱為“完美型雙圓”四邊形．
請(qǐng)你根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：
（1）請(qǐng)你判斷下列說(shuō)法是否正確（在題后相應(yīng)的括號(hào)中，正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”，
①平行四邊形一定不是“平凡型無(wú)圓”四邊形；（ ）
②內(nèi)角不等于90°的菱形一定是“內(nèi)切型單圓”四邊形；（ ）
③若“完美型雙圓”四邊形的外接圓圓心與內(nèi)切圓圓心重合，外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，則有．
（ ）
（2）如圖1，已知四邊形ABCD內(nèi)接于，四條邊長(zhǎng)滿足：．
①該四邊形ABCD是“______”四邊形（從約定的四種類型中選一種填入）；
②若∠BAD的平分線AE交于點(diǎn)E，∠BCD的平分線CF交于點(diǎn)F，連接EF．求證：EF是的直徑．
（3）已知四邊形ABCD是“完美型雙圓”四邊形，它的內(nèi)切圓與AB，BC，CD，AD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．
①如圖2．連接EG，F(xiàn)H交于點(diǎn)P．求證：EG⊥FH：
②如圖3，連接OA，OB，OC，OD，若，，，求內(nèi)切圓的半徑r及OD的長(zhǎng)．
25．已知四個(gè)不同的點(diǎn)，，，都在關(guān)于x的函數(shù)（a，b，c是常數(shù)，）的圖象上。
（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，時(shí)，求代數(shù)式的值；
（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)滿足時(shí)，請(qǐng)你判斷此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，該函數(shù)圖象與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且A，B，C，D四點(diǎn)的坐標(biāo)滿足：，．請(qǐng)問(wèn)是否存在實(shí)數(shù)，使得AB，CD，這三條線段組成一個(gè)三角形，且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3？若存在，求出m的值和此時(shí)函數(shù)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（注：表示一條長(zhǎng)度等于EP的m倍的線段）．
2024年長(zhǎng)沙市初中學(xué)業(yè)水平考試
數(shù)學(xué)參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)
一、選擇題（本大題共．10個(gè)小題，每小題3分，共30分）
二、填空題．（本大題共6個(gè)小題，每小題3分，共18分）
11．甲；12．；13．；
14．4π；15．24；16．2009．
三、解答題（本大題共9個(gè)小題，第17、18、19題每小題6分，第20、21題每小題8分，第22、23題每小題°9分，第24、25題每小題10分，共72分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17．解：原式．
18．解：原式．
當(dāng)時(shí)，原式．
19．解：（1）由作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，
所以在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)．
所以．
（2）在Rt△ABC中，．
因?yàn)镸N是線段AB的垂直平分線，點(diǎn)E在MN上，所以．
所以△ACE的周長(zhǎng)．
20．解：（1）50；30，6；
（2）如圖所示：
（3）．
（4）（人）．
答：估計(jì)喜歡新能源（純電、混動(dòng)、氫燃料）汽車的有3600人．
21．解：（1）證明：在△ABC與△ADE中，
，所以．
（2）因?yàn)椋?，?br>所以△ACE是等邊三角形．所以．
22．解：（1）設(shè)A種湘繡作品的單價(jià)為x元，B種湘繡作品的單價(jià)為y元．根據(jù)題意，得
，解得
答：A種湘繡作品的單價(jià)為300元，B種湘繡作品的單價(jià)為200元．
（2）設(shè)購(gòu)買A種湘繡作品a件，則購(gòu)買B種湘繡作品件．根據(jù)題意，得
，解得．
答：最多能購(gòu)買100件A種湘繡作品．
23．解：（1）證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，且，
所以四邊形ABCD是矩形．
所以．
（2）在Rt△ABC中，．
所以．
因?yàn)?，所以?br>過(guò)點(diǎn)O作OF⊥BC于點(diǎn)F．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以．
所以．
所以．
在Rt△COF中，．
所以．
24．解：（1）①（×）：②（√）；③（√）．
（2）①該四邊形ABCD是“外接型單圓”四邊形；
②證法1：如圖1，因?yàn)锳E平分∠BAD，CF平分∠BCD，
所以，．
所以，即．
所以與均為半圓．
所以EF是的直徑．
證法2：如圖1，連接AF．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于，所以．
因?yàn)锳E平分∠BAD，CF平分∠BCD，
所以，．所以．
由同弧所對(duì)的圓周角相等可得，
所以，即．
所以EF是的直徑．
證法3：如圖2，連接FD，ED．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD內(nèi)接于，所以．
由題意，得，，
由同弧所對(duì)的圓周角相等可得：，，
所以，所以．
所以EF是的直徑．
（3）①證明：如圖3，連接OE，OF，OG，OH，HG．
因?yàn)槭撬倪呅蜛BCD的內(nèi)切圓，
所以O(shè)E⊥AB，OF⊥BC，OG⊥CD，OH⊥AD．
所以．
所以在四邊形EAHO中，．
同理可證．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是“完美型雙圓”四邊形，
所以四邊形ABCD有外接圓．
所以．所以．所以
又因?yàn)?，?br>所以．所以，即．
②方法1：如圖4，連接OE，OF，OG，OH．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是“完美型雙圓”四邊形，
所以．
又因?yàn)榕cAB，BC，CD，AD分別相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，
所以，．所以．
又因?yàn)椋裕?br>又因?yàn)?，所以?br>所以，即，解得．
在Rt△OGC中，有，即，
解得．
在Rt△OBE中，．
同理可證，
所以，即，解得．
方法2：如圖4，由，得，
即，解得．
由，得，
即，解得．
25．解：（1）將，代入得
，
②-①得，即．
所以．
（2）此函數(shù)圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為兩個(gè)．
方法1：由，得．
可得或．
當(dāng)時(shí)，，此拋物線開口向上，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的下方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，此拋物線開口下，而A，B兩點(diǎn)之中至少有一個(gè)點(diǎn)在x軸的上方，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，此函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
方法2：由，得．
可得或．
所以拋物線上存在縱坐標(biāo)為的點(diǎn)，即一元二次方程有解．
所以該方程根的判別式，即．
因?yàn)椋裕?br>所以原函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
方法3：由，可得或．
當(dāng)時(shí)，有q，即，
所以．
此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．
當(dāng)時(shí)，同理可得，此時(shí)該函數(shù)圖象與x軸也有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上所述，該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)．
（3）因?yàn)?，所以該函?shù)圖象開口向上．
由，得，可得．
由，得，可得．
所以直線AB，CD均與x軸平行．
由（2）可知該函數(shù)圖象與x軸必有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)，．
由圖象可知，即．
所以的兩根為，，可得．
同理的兩根為，，可得．
同理的兩根為，，可得．
由于，結(jié)合圖象與計(jì)算可得，．
若存在實(shí)數(shù)，使得AB，CD，這三條線段組成一個(gè)三角形，
且該三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小之比為1：2：3，則此三角形必定為兩銳角分別為30°，60°的直角三角形，所以線段AB不可能是該直角三角形的斜邊．
①當(dāng)以線段CD為斜邊，且兩銳角分別為30°，60°時(shí)，因?yàn)椋?br>所以必須同時(shí)滿足：，．
將上述各式代入化簡(jiǎn)可得，且，
聯(lián)立解之得，，解得符合要求．
所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
②當(dāng)以線段為斜邊時(shí)，必有，同理代入化簡(jiǎn)可得
，解得．
因?yàn)橐跃€段為斜邊，且有一個(gè)內(nèi)角為60°，而，
所以，即，
化簡(jiǎn)得符合要求．
所以，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
綜上所述，存在兩個(gè)m的值符合題意；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)該函數(shù)的最小值為．
類型
人數(shù)
百分比
純電
m
54%
混動(dòng)
n
a%
氫燃料
3
b%
油車
5
c%
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
C
D
A
B
D
A
C
B
C

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