題型1：平移
類(lèi)型1-利用平移的性質(zhì)求解
（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直角三角形的邊長(zhǎng)，將三角形平移得到三角形，邊分別交，于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則圖中陰影部分的面積為 ___．
類(lèi)型2-利用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題
（2023春·重慶渝北·七年級(jí)重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）動(dòng)手操作：
(1)如圖1，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，將線(xiàn)段向右平移，得到線(xiàn)段，連接，．
①線(xiàn)段平移的距離是________；
②四邊形的面積是________；
(2)如圖2，在的網(wǎng)格中，將向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
③畫(huà)出平移后的；
④連接，，多邊形的面積是________
(3)拓展延伸：如圖3，在一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形草坪上，修建一條寬為米的小路（小路寬度處處相同），直接寫(xiě)出剩下的草坪面積是________．
類(lèi)型3-平移中的圖形坐標(biāo)
（2022春·廣東河源·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中，三角形 的頂點(diǎn)分別是 ，，．
(1)如果將三角形 向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到三角形 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____；點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______；
(2)在平移過(guò)程中，線(xiàn)段掃過(guò)的面積是_____．
類(lèi)型4-與平移有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，現(xiàn)將線(xiàn)段先向上平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線(xiàn)段，連接，．
(1)如圖1，求點(diǎn)，的坐標(biāo)及四邊形的面積；
(2)如圖1，在軸上是否存在點(diǎn)，連接，，使？若存在這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)為與軸交點(diǎn)，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，連接，使？若存在這樣的點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以每秒的速度沿著射線(xiàn)向右平移，平移2秒后所得圖形是，如果，那么的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．6C．8D．9
2．（2022秋·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）要用一根鐵絲彎成如圖所示的鐵框，其中，且．若，則這根鐵絲至少長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
3．（2023春·河北衡水·七年級(jí)校考階段練習(xí)）在下列說(shuō)法中：
①在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定相等；
②在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定平行；
③在平移過(guò)程中，周長(zhǎng)保持不變；
④在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的所連線(xiàn)段的長(zhǎng)等于平移的距離；
⑤在平移過(guò)程中，面積不變；其中正確的有（ ）
A．①②③④B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
4．（2023春·廣東惠州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，則圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和為（ ）
A．7B．9C．14D．18
5．（2023秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將沿所在直線(xiàn)向右平移得到，連接．若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．5D．6
6．（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)為xm，寬為ym的長(zhǎng)方形草地ABCD中有兩條小路，和、為W狀，為平行四邊形狀，每條小路的右邊線(xiàn)都是由小路左邊線(xiàn)右移1m得到的，則三塊草地面積之和為( )
A．xy-2yB．xy-2xC．(x-1)(y-1)D．xy
7．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某校為了美化校園，在長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑兩條互相垂直的道路，即GH⊥EF（如圖所示），余下部分作草坪，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，則草坪面積為（ ）
A．小于8B．大于8C．8D．以上均不正確
8．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，平移y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對(duì)稱(chēng)，則平移的方法可以是（ ）
A．將B向左平移5個(gè)單位B．將C向左平移5個(gè)單位
C．將D向左平移7個(gè)單位D．將C向左平移9個(gè)單位
9．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，?，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
10．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，，，若將線(xiàn)段平移至線(xiàn)段，則的值為（ ）
A．2B．3C．D．
11．（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┰谥苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
12．（2023春·重慶渝北·七年級(jí)重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，已知中，，，把沿射線(xiàn)方向平移至后，平移距離，，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．
13．（2023·廣東佛山·校考一模）如圖，將沿邊上的中線(xiàn)平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為，若，則的值為_(kāi)__________．
14．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，在中，，將平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，的取值范圍__．
15．（2023春·河北唐山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形，已知，，，則陰影部分的面積為_(kāi)_____．
16．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)內(nèi)有一長(zhǎng)方形地塊，想在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下部分綠化，道路的寬為1米，則綠化的面積為_(kāi)_____．
17．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，要為一段高為5米，水平長(zhǎng)為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要______米．
18．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）為迎接即將到來(lái)的國(guó)慶節(jié)，市區(qū)廣場(chǎng)上設(shè)置了一個(gè)呈軸對(duì)稱(chēng)圖形的平面造型（如圖所示），其正中間為一個(gè)半徑為b的半圓，擺放花草，其余部分為展板區(qū)．已知米．米．則展板的面積為 _____，擺放花草造價(jià)為450元/平方米，展板造價(jià)為80元/平方米，那么制作整個(gè)造型的造價(jià)是（π取3）_____元．
20．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，計(jì)劃在長(zhǎng)為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設(shè)道路①、②的寬為米，剩余部分為綠化．
(1)道路①的面積為_(kāi)__________平方米；道路②的面積為_(kāi)__________平方米（都用含的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，根據(jù)實(shí)際情況，將計(jì)劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．
21．（2022秋·四川涼山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)地上修建寬均為的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形場(chǎng)地建成草坪．
(1)已知，，且四塊草坪的面積和為，則每條道路的寬x為多少米？
(2)已知，，且四塊草坪的面積和為，則原來(lái)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各為多少米？
(3)已知，，要在場(chǎng)地上修建寬均為的縱橫小路，場(chǎng)地中有m條水平方向的小路，n條豎直方向的小路（其中，m，n為常數(shù)），使草坪地的總面積為，則______（直接寫(xiě)出答案）．
22．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）某學(xué)校準(zhǔn)備在升旗臺(tái)的臺(tái)階上鋪設(shè)一種紅色的地毯(含臺(tái)階的最上層)，已知這種地毯的批發(fā)價(jià)為每平方米20元，升旗臺(tái)的臺(tái)階寬為3米，其側(cè)面如圖所示，請(qǐng)你幫助測(cè)算一下，買(mǎi)地毯至少需要多少元？
23．（2022春·山東日照·七年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，．
(1)把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來(lái)，畫(huà)出三角形；
(2)把三角形向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到三角形；寫(xiě)出平移后三點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出三角形；
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使的面積與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
24．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．將先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移個(gè)單位，得到．
(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)平行四邊形與的重疊部分的形狀是_____，重疊部分的面積是_____；
(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使得以O(shè)，，，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
25．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
(1)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出；
(2)將沿某一方向平移得到，使平移后的點(diǎn)均落在坐標(biāo)軸的正半軸上，畫(huà)出平移后的；
(3)在（2）的條件下，為邊上一點(diǎn)，在平移后的上，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________．
26．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為厘米，起始狀態(tài)如圖所示，大正方形固定不動(dòng)，把小正方形以厘米/秒的速度向右沿直線(xiàn)平移，設(shè)平移的時(shí)間為秒，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為平方厘米．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求小正方形平移的時(shí)間；
(3)當(dāng)時(shí)，求小正方形一條對(duì)角線(xiàn)掃過(guò)的面積．
27．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，，矩形的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，．
(1)如圖，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)D，O，C，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與重疊部分的面積為．如圖，當(dāng)矩形與重疊部分為五邊形時(shí)，、分別與AB相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含有t的式子表示s，并直接寫(xiě)出t的范圍．
28．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，，，，．
(1)求的面積；
(2)如圖，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)至，與此同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿軸向右運(yùn)動(dòng)至，秒后，、、在同一直線(xiàn)上，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，若的面積等于，求點(diǎn)坐標(biāo)．
29．（2022秋·吉林延邊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將兩個(gè)能完全重合的等腰直角三角板按圖①所示的位置放置，其中，邊在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B在點(diǎn)的兩側(cè)．現(xiàn)將三角板沿射線(xiàn)方向平移，如圖②所示，在平移的過(guò)程中始終保持邊在同一條直線(xiàn)上，平移至點(diǎn)F和點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移的距離為．
(1)________；
(2)當(dāng)________時(shí)，點(diǎn)C落在邊上；當(dāng)________時(shí)，點(diǎn)C落在邊上；
(3)設(shè)在平移的過(guò)程中，兩個(gè)三角板重合部分的圖形的面積為，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
30（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：，直線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿(mǎn)足．
(1)如圖1，三角形經(jīng)平移變換后得到三角形，三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，在三角形內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)、、的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在（1）的條件下，若三角形的兩條直角邊、分別與交于點(diǎn)、，求此時(shí)圖中陰影部分的面積；
(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向以每秒兩個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，連接，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，是否存在某一時(shí)刻，使三角形的面積等于陰影部分的面積的，若存在，求出t值和此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
題型2：軸對(duì)稱(chēng)
類(lèi)型-1 利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求解
（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
類(lèi)型-2 坐標(biāo)平面中的軸對(duì)稱(chēng)變換
（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的；
(2)以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫(huà)出，使與位似，且位似比為；
(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
類(lèi)型-3與軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知的面積，，M為邊上一動(dòng)點(diǎn)（M與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N，設(shè)．
(1)的邊的高_(dá)_____；的面積______（用含x的代數(shù)式表示）
(2)把沿折疊，設(shè)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為y．
①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的范圍；
②當(dāng)x為何值時(shí)重疊部分的面積y最大，最大值是多少？
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·上海·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形沿線(xiàn)段折疊到的位置，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，中，，是中線(xiàn)，，將沿折疊至，則點(diǎn)C到的距離是（ ）
A．4B．C．3D．
3．（2023春·天津河北·九年級(jí)天津二中校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，連接，將菱形翻折，使點(diǎn)落在線(xiàn)段上的點(diǎn)處，折痕交于，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．4C．5D．
4．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則a，b的值分別為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊，上則的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
6．（2023春·重慶豐都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為_(kāi)______．
7．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖所示，平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，以為折痕，將向上翻折，點(diǎn)A正好落在上的點(diǎn)F，若的周長(zhǎng)為8，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．
8．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，M是邊的中點(diǎn)，N是邊上一點(diǎn)，將沿所在直線(xiàn)翻折得到，連接．當(dāng)N為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度為_(kāi)__________；點(diǎn)N在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________．
9．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，將沿射線(xiàn)的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為_(kāi)_________．
11．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接交于M，交于N．若，則______．
12．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)C落在邊上的F處，折痕為.已知.
(1)求證：.
(2)求.
13．（2023秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小網(wǎng)格是長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形，已知點(diǎn)，點(diǎn)．
完成下列問(wèn)題：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出；
(2)在圖中畫(huà)出關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形；
(3)在x軸上存在一點(diǎn)P，使得的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)P（不必寫(xiě)過(guò)程，但要保留作圖痕跡）．
14．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市海軍中學(xué)校考階段練習(xí)）圖①為長(zhǎng)方形紙帶，將長(zhǎng)方形紙帶的端沿折疊成圖②，點(diǎn)折至、點(diǎn)折至，
(1)若，則圖． 中的度數(shù)是多少？
(2)將紙帶的 端沿折疊成圖③，點(diǎn)折至，點(diǎn)折至，若，用表示．
15．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)已知和關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)，，分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)在圖中畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的．
16．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出，，三點(diǎn)，連接，，；
(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)．
17．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．請(qǐng)按要求解答下列問(wèn)題：
平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是
(1)①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系；
②點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______
(2)設(shè)l是過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線(xiàn)，
①點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______
②在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使最小，在圖中標(biāo)出此時(shí)點(diǎn)P的位置；
③若為網(wǎng)格中任一格點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m，n，的式子表示）．
18．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)村莊A、B在河的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為千米，千米，千米.現(xiàn)要在河邊上建造一水廠，向A、B兩村送自來(lái)水（水管需直接到A、B村）.
(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短（請(qǐng)你在圖中設(shè)計(jì)出水廠的位置）：
(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？
19．（2022秋·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上異于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，交直線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)若，，是邊上的高線(xiàn)．
①求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
②當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)在的情況下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．
19．（2022秋·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，以為直角邊在的上方作直角三角形，使，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）．
(1)求證：；
(2)用含的式子表示的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)將四邊形的周長(zhǎng)分成兩部分時(shí)，求的值；
(4)如圖，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，當(dāng)所在直線(xiàn)與四邊形的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．
20．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在中，．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖1．用等式表示，與的數(shù)量關(guān)系是： ，與的數(shù)量關(guān)系是： ；
(2)當(dāng)是銳角()時(shí)，如圖2；當(dāng)是鈍角時(shí)，如圖3．在圖2，圖3中任選一種情況，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
21．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)D為邊中點(diǎn)，．作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交直線(xiàn)于點(diǎn)F．
(1)依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出和的度數(shù)（用含的式子表示）；
(2)用等式表示線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
22．（2022秋·北京·八年級(jí)北京市文匯中學(xué)?？计谥校┰诘冗叺耐鈧?cè)作直線(xiàn)，，點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接、、．
(1)如圖1，若，直接寫(xiě)出的度數(shù)；
(2)如圖2，若，過(guò)點(diǎn)D作交直線(xiàn)于點(diǎn)E．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
③在變化的過(guò)程中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
題型3：旋轉(zhuǎn)
類(lèi)型1-利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解
（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
類(lèi)型-2 坐標(biāo)平面中的旋轉(zhuǎn)變換
（2023秋·重慶永川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，且點(diǎn)，．
(1)畫(huà)出繞點(diǎn)О順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到的并寫(xiě)出、的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所走過(guò)的路徑長(zhǎng)．
類(lèi)型-3與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D1，矩形的一邊落在矩形的一邊上，并且矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，．
(1)矩形的面積是 ；
(2)將圖1中的矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與夾角（圖2中的）的正切的值為，兩個(gè)矩形重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)將圖1中的矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接、，的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
類(lèi)型-4 中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形
（2023春·山東泰安·九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）剪紙文化是中國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·天津南開(kāi)·南開(kāi)翔宇學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在上，且，則的大小是（ ）
A．28°B．30°C．33°D．42°
2．（陜西省西安市2022—2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一階段學(xué)評(píng)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
3．（2023春·江蘇徐州·八年級(jí)徐州三十五中?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α，得到，若點(diǎn)恰好在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022秋·貴州黔東南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接，若，則旋轉(zhuǎn)角是（ ）
A．B．C．D．
5．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱(chēng)中心按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第二次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，…，則第次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①～④中相同的是（ ）
A．圖①B．圖②C．圖③D．圖④
6．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（ ）
A．B．C．D．
7．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABO是等邊三角形，其中點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)等邊△ABO進(jìn)行變換操作，得到如下結(jié)論：
①將等邊△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
②將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
④將等邊△ABO以直線(xiàn)或直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻折，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
其中正確的是（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④
8．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，頂點(diǎn)，，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，AF與BE交于點(diǎn)G，將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
10．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，小正方形箭頭的方向是（ ）
A．B．C．D．
11．（2020秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，已知，矩形在直線(xiàn)上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)續(xù)向右旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，以此類(lèi)推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是（ ）
A．B．C．D．
12（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點(diǎn)到軸的距離為4．若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
13．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第60秒時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
14．（2023秋·山東淄博·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，把線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線(xiàn)段，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
15．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是，現(xiàn)將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
16．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，邊在x軸上，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
17．（2023·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，等腰中，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連結(jié)，則的度數(shù)（ ）
A．B．C．D．隨若的變化而變化
18．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
19．（2023秋·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，將沿射線(xiàn)的方向平移，得到，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（ ）
A．4，B．2，C．2，D．3，
20．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
79．（2023·湖南婁底·?？家荒＃┫铝袌D形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．0個(gè)
21．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）位于四川省的三星堆遺址被稱(chēng)為20世紀(jì)人類(lèi)最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，其中出土的文物是寶貴的人類(lèi)文化遺產(chǎn)，在中國(guó)的文物群體中，屬最具歷史、科學(xué)、文化、藝術(shù)價(jià)值和最富觀賞性的文物群體之一．下列四個(gè)圖案是三星堆遺址出土文物圖，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
22．（2023秋·重慶永川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面四個(gè)汽車(chē)標(biāo)志圖案中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
23．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面用數(shù)學(xué)家名字命名的圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．斐波那契螺旋線(xiàn)B．笛卡爾心形線(xiàn)
C．趙爽弦圖D．科克曲線(xiàn)
24．（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
25．（2023秋·四川廣元·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角梯形中，，，，，以A為旋轉(zhuǎn)中心將腰順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，若．則的面積等于______．
26．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一段拋物線(xiàn)，記為拋物線(xiàn)，它與x軸交于點(diǎn)，；將拋物線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線(xiàn)，交x軸于另一點(diǎn)；將拋物線(xiàn)繞點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)得拋物線(xiàn)，交軸于另一點(diǎn)…如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線(xiàn)”．若點(diǎn)在此“波浪線(xiàn)”上，則的值為_(kāi)_______．
27．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．
28．（2023·湖北咸寧·校聯(lián)考一模）以原點(diǎn)為中心，把拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
29．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，，若菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第秒時(shí)，菱形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
30．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）有背面完全相同，正面分別畫(huà)有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機(jī)抽取兩張，則抽中卡片上正面的圖形都是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為_(kāi)_____．
31．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊在射線(xiàn)上，且，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．
(1)求證：是等邊三角形．
(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值．
32．（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖1，在中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，四邊形是正方形，連接，將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中
(1)求證：
(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(3)當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)H，求的長(zhǎng)．
34．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)校考一模）在等邊中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與、重合），連接、．
(1)將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在圖1中補(bǔ)全圖形：
①求的度數(shù)；
②探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(2)將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與邊交于點(diǎn)，連接，若，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．
35．（2022秋·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．
(1)當(dāng)時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線(xiàn)段、、之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？（只填出探究結(jié)果即可）= ．
36．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┤鐖D1，在中，，，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______．
(2)拓展探究
試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
(3)問(wèn)題解決
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)______．
7.2圖形的平移、軸對(duì)稱(chēng)和旋轉(zhuǎn)重難點(diǎn)題型講練
題型1：平移
類(lèi)型1-利用平移的性質(zhì)求解
（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，直角三角形的邊長(zhǎng)，將三角形平移得到三角形，邊分別交，于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)，則圖中陰影部分的面積為 ___．
【答案】9
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，結(jié)合三角形的中位線(xiàn)可求解，的長(zhǎng)，再利用圖形的面積公式計(jì)算可求解．
【詳解】解：由平移可知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴是的中位線(xiàn)，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)，梯形，三角形的中位線(xiàn)，由平移的性質(zhì)得是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型2-利用平移的性質(zhì)解決實(shí)際問(wèn)題
（2023春·重慶渝北·七年級(jí)重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）動(dòng)手操作：
(1)如圖1，在的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，將線(xiàn)段向右平移，得到線(xiàn)段，連接，．
①線(xiàn)段平移的距離是________；
②四邊形的面積是________；
(2)如圖2，在的網(wǎng)格中，將向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
③畫(huà)出平移后的；
④連接，，多邊形的面積是________
(3)拓展延伸：如圖3，在一塊長(zhǎng)為米，寬為米的長(zhǎng)方形草坪上，修建一條寬為米的小路（小路寬度處處相同），直接寫(xiě)出剩下的草坪面積是________．
【答案】(1)①；②；
(2)③見(jiàn)解析，④；
(3)平方米．
【分析】（1）①根據(jù)平移性質(zhì)和網(wǎng)格特點(diǎn)求解即可；②根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)和平行四邊形的面積公式求解即可；
（2）③根據(jù)平移性質(zhì)和網(wǎng)格特點(diǎn)可畫(huà)出圖形；④根據(jù)網(wǎng)格特點(diǎn)，三角形的面積公式和長(zhǎng)方形的面積公式求解即可；
（3）根據(jù)平移性質(zhì)，可將小路兩邊的草坪平移，拼湊成一個(gè)長(zhǎng)米，寬為b米的長(zhǎng)方形，再利用長(zhǎng)方形的面積公式求解即可．
【詳解】（1）解：①根據(jù)平移性質(zhì)，線(xiàn)段平移的距離是；
②根據(jù)圖形，四邊形的面積為:；
故答案為：①；②；
（2）解：③如圖所示，即為所求作；
④由圖形知，，
∴多邊形的面積為:
，
故答案為：；
（3）解：由題意得，將小徑右側(cè)平移與左側(cè)拼接成一個(gè)長(zhǎng)方形，
長(zhǎng)方形的長(zhǎng)米，寬為b米，
則剩下的草坪面積是：，
故答案為：平方米．
【點(diǎn)睛】本題考查平移性質(zhì)的應(yīng)用、列代數(shù)式，熟知網(wǎng)格特點(diǎn)，掌握平移性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．
類(lèi)型3-平移中的圖形坐標(biāo)
（2022春·廣東河源·七年級(jí)?？计谀┤鐖D所示的平面直角坐標(biāo)系中，三角形 的頂點(diǎn)分別是 ，，．
(1)如果將三角形 向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到三角形 ，則點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____；點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______；
(2)在平移過(guò)程中，線(xiàn)段掃過(guò)的面積是_____．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）根據(jù)平移規(guī)律“左減右加，上加下減”進(jìn)行計(jì)算即可得；
（2）將掃過(guò)的圖形進(jìn)行分割，分割成兩個(gè)平行四邊形，進(jìn)行計(jì)算即可得．
【詳解】（1）解：三角形 的頂點(diǎn)分別是 ，，將三角形 向上平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為；點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：，；
（2）解：線(xiàn)段掃過(guò)的面積是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)平移的規(guī)律，圖形平移產(chǎn)生的面積計(jì)算，解題的關(guān)鍵是掌握點(diǎn)平移的規(guī)律，平移后的圖形分割不規(guī)則圖形．
類(lèi)型4-與平移有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，現(xiàn)將線(xiàn)段先向上平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線(xiàn)段，連接，．
(1)如圖1，求點(diǎn)，的坐標(biāo)及四邊形的面積；
(2)如圖1，在軸上是否存在點(diǎn)，連接，，使？若存在這樣的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)為與軸交點(diǎn)，在直線(xiàn)上是否存在點(diǎn)，連接，使？若存在這樣的點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，試說(shuō)明理由；
【答案】(1)12；
(2)或；
(3)或．
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)求出點(diǎn)，的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的面積公式求出四邊形的面積；
（2）根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；
（3）根據(jù)直線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：（1）∵點(diǎn)，的坐標(biāo)分別為，，線(xiàn)段先向上平移3個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位，得到線(xiàn)段，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
∴四邊形的面積；
（2）存在，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由題意得：，
解得：，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或；
（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則，
由題意得：，
解得：或，
則點(diǎn)的坐標(biāo)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平移的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算、點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)平移變換的性質(zhì)求出點(diǎn)，的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，以每秒的速度沿著射線(xiàn)向右平移，平移2秒后所得圖形是，如果，那么的長(zhǎng)是（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】B
【分析】連接，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，再由，可得，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，
∵以每秒的速度沿著射線(xiàn)向右平移，平移2秒后所得圖形是，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形的平移，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·山東淄博·八年級(jí)統(tǒng)考期末）要用一根鐵絲彎成如圖所示的鐵框，其中，且．若，則這根鐵絲至少長(zhǎng)（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)平行線(xiàn)的判定和性質(zhì)，平移不改變圖形的形狀和大小，求出彎曲部分的長(zhǎng)即可．
【詳解】解：∵，且．
∴，，
由平移的性質(zhì)，則
，，
∴這根鐵絲至少的長(zhǎng)度為：；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大?。?br>3．（2023春·河北衡水·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在下列說(shuō)法中：
①在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定相等；
②在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定平行；
③在平移過(guò)程中，周長(zhǎng)保持不變；
④在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的所連線(xiàn)段的長(zhǎng)等于平移的距離；
⑤在平移過(guò)程中，面積不變；其中正確的有（ ）
A．①②③④B．①②③④⑤C．①②③⑤D．①③④⑤
【答案】D
【分析】根據(jù)平移性質(zhì)逐個(gè)小題進(jìn)行分析判斷即可得解．
【詳解】解:：①在平移的過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定相等，正確；
②在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段一定平行或在同一直線(xiàn)上，故本小題錯(cuò)誤；
③在平移過(guò)程中，周長(zhǎng)保持不變，正確；
④在平移過(guò)程中，對(duì)應(yīng)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)的長(zhǎng)度等于平移的距離，正確；
⑤在平移過(guò)程中，面積不變，正確．
綜上所述，正確的有①③④⑤，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2023春·廣東惠州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，則圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和為（ ）
A．7B．9C．14D．18
【答案】C
【分析】把圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)進(jìn)行平移，可得到圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和等于長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
【詳解】解：根據(jù)平移性質(zhì)，圖中五個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)之和為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)：把一個(gè)圖形整體沿某一直線(xiàn)方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．新圖形中的每一點(diǎn)，都是由原圖形中的某一點(diǎn)移動(dòng)后得到的，這兩個(gè)點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)．連接各組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線(xiàn)段平行且相等
5．（2023秋·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，，，將沿所在直線(xiàn)向右平移得到，連接．若，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A．2B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得，，再根據(jù)可得是等邊三角形，即可求出的長(zhǎng).
【詳解】解：由平移的性質(zhì)可得，，
∵，，
∴，
，
∴是等邊三角形，
.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平移的性質(zhì)和等邊三角形的判定，平移前后對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等,“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.
6．（2023春·浙江·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)為xm，寬為ym的長(zhǎng)方形草地ABCD中有兩條小路，和、為W狀，為平行四邊形狀，每條小路的右邊線(xiàn)都是由小路左邊線(xiàn)右移1m得到的，則三塊草地面積之和為( )
A．xy-2yB．xy-2xC．(x-1)(y-1)D．xy
【答案】A
【分析】利用平移道路的方法計(jì)算小路的面積，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：小路的面積為：xy-（x-1）y=xy-xy+y=y；
小路的面積為：xy-（x-1）y=xy-xy+y=y，
故三塊草地面積之和為：xy-2y．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，正確理解平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）某校為了美化校園，在長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑兩條互相垂直的道路，即GH⊥EF（如圖所示），余下部分作草坪，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，則草坪面積為（ ）
A．小于8B．大于8C．8D．以上均不正確
【答案】A
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可得草坪面積等于矩形面積減去空白部分面積，求出判斷即可．
【詳解】解：


∵GH⊥EF，
∴小路重疊的長(zhǎng)方形長(zhǎng)與寬均小于1，
∴，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了平移的性質(zhì)，垂線(xiàn)段最短，熟練掌握平移的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023春·河南南陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）四盞燈籠的位置如圖．已知A，B，C，D的坐標(biāo)分別是，，，，平移y軸右側(cè)的一盞燈籠，使得y軸兩側(cè)的燈籠對(duì)稱(chēng)，則平移的方法可以是（ ）
A．將B向左平移5個(gè)單位B．將C向左平移5個(gè)單位
C．將D向左平移7個(gè)單位D．將C向左平移9個(gè)單位
【答案】D
【分析】直接利用利用關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)坐標(biāo)為，
需要將點(diǎn)向左平移個(gè)單位，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的性質(zhì)，正確記憶橫縱坐標(biāo)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
9．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，水平向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)；接著水平向右平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移4個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，?，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】觀察圖象可知，偶數(shù)點(diǎn)在第一象限，由題意得…，可得，即可求解．
【詳解】解：由題意得，偶數(shù)點(diǎn)在第一象限，
∵水平向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再豎直向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，
∴，
同理可得，…
∴，
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變化一平移，規(guī)律型等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．
10．（2023秋·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)A，B分別在x軸和y軸上，，，若將線(xiàn)段平移至線(xiàn)段，則的值為（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】A
【分析】先求出線(xiàn)段平移的方向和距離，再求出a，b的值即可求解．
【詳解】解：由題意得，，
∴是點(diǎn)A向右平移個(gè)單位得到；
∵，，
∴點(diǎn)是點(diǎn)B向下平移個(gè)單位得到；
∴線(xiàn)段是線(xiàn)段先向右平移3個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，
故，，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)段的平移、點(diǎn)的平移，點(diǎn)的平移規(guī)律是橫坐標(biāo)左減，右加；縱坐標(biāo)上加，下減，根據(jù)點(diǎn)的平移規(guī)律得出線(xiàn)段的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．（2023秋·河南安陽(yáng)·八年級(jí)?？计谀┰谥苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，則的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)求出的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)平移規(guī)律求出的坐標(biāo)即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
∴的坐標(biāo)為，
∵將點(diǎn)向左平移3個(gè)單位得到點(diǎn)，
∴的坐標(biāo)為，即，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——平移和軸對(duì)稱(chēng)，正確求出的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
12．（2023春·重慶渝北·七年級(jí)重慶市松樹(shù)橋中學(xué)校校考階段練習(xí)）如圖，已知中，，，把沿射線(xiàn)方向平移至后，平移距離，，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)_______．
【答案】9
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)和梯形的面積公式即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵沿射線(xiàn)方向平移至后，，平移距離為2，，，
∴，，
∵，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案為：9．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意找到平移對(duì)應(yīng)的線(xiàn)段長(zhǎng)，找到是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
13．（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，將沿邊上的中線(xiàn)平移到的位置，已知的面積為，陰影部分三角形的面積為，若，則的值為_(kāi)__________．
【答案】
【分析】設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，由，及中線(xiàn)的性質(zhì)得，，可證，則由可得．
【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，
，，且為邊上的中線(xiàn)，
，，
將沿邊上的中線(xiàn)平移到，
，
，
，
解得（負(fù)值舍去），
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平移變換的性質(zhì)與三角形中線(xiàn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)．
14．（2023·江蘇徐州·?？家荒＃┤鐖D，在中，，將平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，的取值范圍__．
【答案】
【分析】取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，根據(jù)平移的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，，，，
∵將平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，，
∴，，
∵點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，
∴，
∴，即，
∴的取值范圍為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023春·河北唐山·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將直角三角形沿方向平移后，得到直角三角形，已知，，，則陰影部分的面積為_(kāi)_____．
【答案】16
【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)可知：，，為和的公共部分，所以，所以求梯形的面積即可．
【詳解】解：由平移的性質(zhì)知，，，
為和的公共部分，
，
，
是梯形的高；
，
．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)．把一個(gè)圖形整體沿某一直線(xiàn)方向移動(dòng)，會(huì)得到一個(gè)新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同．
16．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)如皋市實(shí)驗(yàn)初中?？茧A段練習(xí)）如圖所示，某住宅小區(qū)內(nèi)有一長(zhǎng)方形地塊，想在長(zhǎng)方形地塊內(nèi)修筑同樣寬的兩條“之”字路，余下部分綠化，道路的寬為1米，則綠化的面積為_(kāi)_____．
【答案】375
【分析】把兩條”之”字路平移到長(zhǎng)方形地塊的最上邊和最左邊，則余下部分是矩形，根據(jù)矩形的面積公式即可求出結(jié)果．
【詳解】解：如圖，把兩條”之”字路平移到長(zhǎng)方形地塊的最上邊和最左邊，則余下部分是矩形．
（米），（米），
矩形的面積（平方米）．
答：綠化的面積為．
故答案為：375．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了生活中平移現(xiàn)象，將長(zhǎng)方形地塊內(nèi)部修筑的兩條”之”字路平移到長(zhǎng)方形的最上邊和最左邊，使余下部分是一個(gè)矩形，是解決本題的關(guān)鍵．
17．（2023春·河北石家莊·七年級(jí)石家莊市第四十二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，要為一段高為5米，水平長(zhǎng)為13米的樓梯鋪上紅地毯，則紅地毯至少要______米．
【答案】18
【分析】據(jù)平移的性質(zhì)，地毯的長(zhǎng)度實(shí)際是所有臺(tái)階的長(zhǎng)加上臺(tái)階的高，因此結(jié)合題目的條件可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)平移不改變線(xiàn)段的長(zhǎng)度，可得地毯的長(zhǎng)=臺(tái)階的水平長(zhǎng)度＋臺(tái)階的高， 則紅地毯至少要(米)．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了生活中平移知識(shí)的應(yīng)用，比較簡(jiǎn)單，解決本題的關(guān)鍵是利用平移的性質(zhì)，把地毯長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為臺(tái)階的水平長(zhǎng)度＋臺(tái)階的高．
18．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）為迎接即將到來(lái)的國(guó)慶節(jié)，市區(qū)廣場(chǎng)上設(shè)置了一個(gè)呈軸對(duì)稱(chēng)圖形的平面造型（如圖所示），其正中間為一個(gè)半徑為b的半圓，擺放花草，其余部分為展板區(qū)．已知米．米．則展板的面積為 _____，擺放花草造價(jià)為450元/平方米，展板造價(jià)為80元/平方米，那么制作整個(gè)造型的造價(jià)是（π取3）_____元．
【答案】 12平方米 3660
【分析】?jī)深^的扇形正好把中間的半圓補(bǔ)上，整個(gè)圖形是一個(gè)長(zhǎng)方形，據(jù)此列出代數(shù)式，把a(bǔ)，b的值代入求值即可；分別求出擺放花草部分造價(jià)，展板部分造價(jià)即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：由題意：展板的面積＝（平方米），
當(dāng)米，米時(shí)，展板的面積＝12（平方米）．
制作整個(gè)造型的造價(jià)＝（元）．
故答案為：12平方米；3660．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)圖形，圓的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
19．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形沿其對(duì)角線(xiàn)剪開(kāi)，再把沿著方向平移，得到．設(shè)平移的距離為，兩個(gè)三角形重疊部分(陰影四邊形)的面積為
(1)當(dāng)時(shí)，求的值．
(2)試寫(xiě)出與間的函數(shù)關(guān)系式，并求的最大值．
(3)是否存在的值，使重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為：？如果存在，請(qǐng)求出此時(shí)的平移距離；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)，最大值為
(3)或
【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得到和都為直角邊為的等腰直角三角形，從而判定出也為等腰直角三角形，得到，從而得到的長(zhǎng)，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可求出；
（2）同理得到從而得到的長(zhǎng)為，由四邊形的面積公式底乘以高的一半即可表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）由正方形的性質(zhì)得到和都為等腰直角三角形，根據(jù)直角邊方程為和，分別表示出鄰邊和，進(jìn)而表示出兩者之比等于已知的比值，列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值．
【詳解】（1）解：如圖所示，
由題意可知和都為等腰直角三角形，且，
，又由平移可知，
也為等腰直角三角形， ，
，
又∵，
；
（2）由題意可知和都為等腰直角三角形，
，又由平移可知，
也為等腰直角三角形，

，
當(dāng)時(shí)，有最大值，其最大值為；
（3）存在．理由如下：
由題意得到和都為等腰直角三角形，
，
，
或，
解得：或，
或時(shí)，
重疊部分的四邊形的相鄰兩邊之比為．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·貴州遵義·統(tǒng)考一模）如圖1，計(jì)劃在長(zhǎng)為30米、寬為20米的矩形地面上修筑兩條同樣寬的道路①、②（圖中陰影部分），設(shè)道路①、②的寬為米，剩余部分為綠化．
(1)道路①的面積為_(kāi)__________平方米；道路②的面積為_(kāi)__________平方米（都用含的代數(shù)式表示）．
(2)如圖2，根據(jù)實(shí)際情況，將計(jì)劃修筑的道路①、②改為同樣寬的道路③（圖中陰影部分），若道路的寬依然為米，剩余部分為綠化，且綠化面積為551平方米，求道路的寬度．
【答案】(1)，
(2)1米
【分析】（1）道路①根據(jù)長(zhǎng)方形的面積公式求解即可，道路②利用平移，可轉(zhuǎn)化為道路①求解；
（2）設(shè)道路的寬x米，則余下部分可合成長(zhǎng)為m，寬為m的長(zhǎng)方形，根據(jù)草坪的面積為551平方米，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．
【詳解】（1）解∶道路①的面積為平方米，道路②的面積為平方米
（2）解：根據(jù)題意，得，
解得，（不符合題意，舍去）
答：道路的寬度為1米．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
21．（2022秋·四川涼山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有一塊長(zhǎng)為，寬為的矩形場(chǎng)地，計(jì)劃在該場(chǎng)地上修建寬均為的兩條互相垂直的道路，余下的四塊矩形場(chǎng)地建成草坪．
(1)已知，，且四塊草坪的面積和為，則每條道路的寬x為多少米？
(2)已知，，且四塊草坪的面積和為，則原來(lái)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各為多少米？
(3)已知，，要在場(chǎng)地上修建寬均為的縱橫小路，場(chǎng)地中有m條水平方向的小路，n條豎直方向的小路（其中，m，n為常數(shù)），使草坪地的總面積為，則______（直接寫(xiě)出答案）．
【答案】(1)
(2)原來(lái)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為，寬為
(3)32
【分析】（1）將四塊矩形場(chǎng)地拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，表示出長(zhǎng)和寬，根據(jù)面積為列一元二次方程，解方程即可；
（2）由題意，四塊矩形場(chǎng)地可拼合成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，根據(jù)面積為列一元二次方程，解方程即可；
（3）草坪可拼合成相鄰兩邊分別為，的矩形，則，即，將30分解為，令分別等于2，3，4，5，6，求出m和n的值，再根據(jù)題意進(jìn)行取舍即可．
【詳解】（1）解：四塊矩形場(chǎng)地可拼合成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形．
依題意，得，
整理，得，
解得，（不合題意，舍去）．
答：每條道路的寬x為．
（2）解：四塊矩形場(chǎng)地可拼合成一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形．
依題意，得，
整理，得，
解得，（不合題意，舍去），
∴．
答：原來(lái)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為，寬為．
（3）解：草坪可拼合成相鄰兩邊分別為，的矩形．
依題意，得，即．
，
當(dāng)時(shí)，，，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，不滿(mǎn)足，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，不滿(mǎn)足，舍去．
．
故答案為：32．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及因數(shù)倍數(shù)，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（3）將30分解質(zhì)因數(shù)．
22．（2023春·湖北省直轄縣級(jí)單位·七年級(jí)校考階段練習(xí)）某學(xué)校準(zhǔn)備在升旗臺(tái)的臺(tái)階上鋪設(shè)一種紅色的地毯(含臺(tái)階的最上層)，已知這種地毯的批發(fā)價(jià)為每平方米20元，升旗臺(tái)的臺(tái)階寬為3米，其側(cè)面如圖所示，請(qǐng)你幫助測(cè)算一下，買(mǎi)地毯至少需要多少元？
【答案】840元
【分析】利用線(xiàn)段平移的性質(zhì)結(jié)合地毯面積的計(jì)算公式求解．
【詳解】解： (元)
【點(diǎn)睛】此題考查了學(xué)生對(duì)線(xiàn)段平移的應(yīng)用，掌握平移線(xiàn)段的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
23．（2022春·山東日照·七年級(jí)日照市新?tīng)I(yíng)中學(xué)校考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)，，．
(1)把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)，在坐標(biāo)系中描出來(lái)，畫(huà)出三角形；
(2)把三角形向左平移2個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位得到三角形；寫(xiě)出平移后三點(diǎn)的坐標(biāo)，畫(huà)出三角形；
(3)在x軸上是否存在點(diǎn)Q，使的面積與的面積相等？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)作圖見(jiàn)解析；
(2)，，，作圖見(jiàn)解析；
(3)存在，或．
【分析】（1）依題意在坐標(biāo)系中找到點(diǎn)，順次連接即可；
（2）按照平移規(guī)律進(jìn)行平移，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)并順次連接即可；
（3）先求出的面積，再由面積相等求出即可求解．
【詳解】（1）解：如圖：
（2）如圖：
，，；
（3）存在，如圖，
，，
或．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，坐標(biāo)系內(nèi)圖形的平移及等積法求邊長(zhǎng)即坐標(biāo)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握坐標(biāo)與圖形的關(guān)系．
24．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是平行四邊形，A，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，．將先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移個(gè)單位，得到．
(1)請(qǐng)你直接寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)；
(2)平行四邊形與的重疊部分的形狀是_____，重疊部分的面積是_____；
(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)D，使得以O(shè)，，，D為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)平行四邊形；
(3)存在，點(diǎn)D的坐標(biāo)是或或
【分析】（1）由平移的性質(zhì)即可得出答案．
（2）過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，由平行四邊形的性質(zhì)和平移的性質(zhì)可得，，即可求解．
（3）分三種情況討論，由平行四邊形的性質(zhì)可求解．
【詳解】（1）解： ∵先向右平移4個(gè)單位后，再向下平移個(gè)單位，得到，
∴點(diǎn)，點(diǎn)向右平移4個(gè)單位后，再向下平移個(gè)單位分別得到，，
∵，，
∴，．
故答案為：，．
（2）解：過(guò)點(diǎn)B作軸于點(diǎn)E，
∵四邊形和四邊形是平行四邊形，
∴，，
∵經(jīng)平移得到，
∴，
∴，
同理，
∴與的重疊部分的形狀是平行四邊形，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為，
∵，
∴點(diǎn)在線(xiàn)段上，，．
∴點(diǎn)是線(xiàn)段的中點(diǎn)，
∵軸，
∴點(diǎn)G平分線(xiàn)段
∴是的中位線(xiàn)，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：存在點(diǎn)D，使以O(shè)，，，D為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，
如圖，當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，，，，
①四邊形為平行四邊形，
∵點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，再向平移3個(gè)單位后得到，
∴點(diǎn)O向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到D，
∴
②四邊形為平行四邊形，
∵點(diǎn)向左平移2個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位后得到，
∴點(diǎn)O向左平移2個(gè)單位，再向上平移3個(gè)單位后得到D，
∴；
當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，即為平行四邊形的邊時(shí)，
∵點(diǎn)O向右平移2個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后得到，
∴點(diǎn)向右平移2個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位后得到D，
∴，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)是或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何變換綜合題，考查了平行四邊形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論思想是解題的關(guān)鍵．
25．（2023秋·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）的三個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．
(1)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出；
(2)將沿某一方向平移得到，使平移后的點(diǎn)均落在坐標(biāo)軸的正半軸上，畫(huà)出平移后的；
(3)在（2）的條件下，為邊上一點(diǎn)，在平移后的上，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)____________．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，描出點(diǎn)，再依次連接即可；
（2）根據(jù)均落在坐標(biāo)軸的正半軸上，找到點(diǎn)A，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，從而確定點(diǎn)C對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，畫(huà)出圖形即可；
（3）根據(jù)（2）中的位置將平移方式分解，從而得到點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖即為所求；
（2）如圖，即為所求；
（3）（2）中平移方式可分解為：將向右平移3個(gè)單位，向上平移3個(gè)單位，
∴將按此方式平移可得．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)系中的點(diǎn)，坐標(biāo)與圖形變化—平移，平移—作圖，解題的關(guān)鍵是正確得到平移的位置，由此判斷平移方式．
26．（2023春·江蘇·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知小正方形的邊長(zhǎng)為厘米，大正方形的邊長(zhǎng)為厘米，起始狀態(tài)如圖所示，大正方形固定不動(dòng)，把小正方形以厘米/秒的速度向右沿直線(xiàn)平移，設(shè)平移的時(shí)間為秒，兩個(gè)正方形重疊部分的面積為平方厘米．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)當(dāng)時(shí)，求小正方形平移的時(shí)間；
(3)當(dāng)時(shí)，求小正方形一條對(duì)角線(xiàn)掃過(guò)的面積．
【答案】(1)平方厘米
(2)小正方形平移的時(shí)間為秒或秒
(3)面積為平方厘米
【分析】（1）根據(jù)小正方形的運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間即可求得重疊部分的面積；
（2）根據(jù)重疊部分的面積可知運(yùn)動(dòng)的總路程，再根據(jù)本時(shí)間、速度、路程之間的關(guān)系分情況即可求得小正方形平移的時(shí)間；
（3）根據(jù)時(shí)，重疊部分正方形的對(duì)角線(xiàn)平移的的路線(xiàn)即可得到其面積．
【詳解】（1）解：∵小正方形以厘米/秒的速度向右沿直線(xiàn)平移，設(shè)平移的時(shí)間為秒，
∴小正方形平移的距離：厘米，
∴大正方形與小正方形重疊部分的面積為：平方厘米，
∵秒，
∴平方厘米．
（2）解：等于時(shí)，重疊部分寬為厘米，
①如圖，小正方形平移距離為厘米；
②如圖，小正方形平移距離為厘米，
∴小正方形平移的距離為厘米或厘米，
∴秒或秒，
綜上所述，小正方形平移的時(shí)間為秒或秒；
（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，小正方形的一條對(duì)角線(xiàn)掃過(guò)的面積為紅色平行四邊形，
面積為平方厘米．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形及平移的性質(zhì)，明確平移前后圖形的形狀和面積不變是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，，矩形的頂點(diǎn)D，E，C分別在OA，AB，OB上，．
(1)如圖，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；
(2)將矩形沿x軸向右平移，得到矩形，點(diǎn)D，O，C，E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，，，．設(shè)，矩形與重疊部分的面積為．如圖，當(dāng)矩形與重疊部分為五邊形時(shí)，、分別與AB相交于點(diǎn)M，F(xiàn)，試用含有t的式子表示s，并直接寫(xiě)出t的范圍．
【答案】(1)點(diǎn)E的坐標(biāo)為
(2)
【分析】（1）由點(diǎn)和，得，在中，由勾股定理得，則可求出點(diǎn)E坐標(biāo)；
（2）由平移可知，，，由平行可知，在 中由勾股定理得，，則，從而可用含有t的式子表示s.
【詳解】（1）解：由點(diǎn)，得，又，
∴
在矩形中，，
∴
∴在中，，
∴，即
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為；
（2）由平移可知，，，．
∵，
∴
在中，．
∴由勾股定理得
∴，
則
∴，其中t的取值范圍是：.
【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系與幾何圖形綜合，勾股定理，平移的性質(zhì)，充分利用數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．
28．（2023春·全國(guó)·七年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，，，，，．
(1)求的面積；
(2)如圖，點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度向下運(yùn)動(dòng)至，與此同時(shí)，點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿軸向右運(yùn)動(dòng)至，秒后，、、在同一直線(xiàn)上，求的值；
(3)如圖，點(diǎn)在線(xiàn)段上，將點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度至點(diǎn)，若的面積等于，求點(diǎn)坐標(biāo)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出，求出，由三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出答案；
（2）根據(jù)三角形的面積關(guān)系可得出答案；
（3）連接，設(shè)，由三角形面積關(guān)系得出，由平移的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形的面積關(guān)系可求出答案．
【詳解】（1），，，
，，
，，
，
，，，
，，
；
（2）由題意知：，，
，
，
．
（3）連接，，
設(shè)，
，
，
，
點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)，
，
，
，
，
，
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，三角形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．
29．（2022秋·吉林延邊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）將兩個(gè)能完全重合的等腰直角三角板按圖①所示的位置放置，其中，邊在同一條直線(xiàn)上，點(diǎn)A與點(diǎn)F重合，點(diǎn)E與點(diǎn)B在點(diǎn)的兩側(cè)．現(xiàn)將三角板沿射線(xiàn)方向平移，如圖②所示，在平移的過(guò)程中始終保持邊在同一條直線(xiàn)上，平移至點(diǎn)F和點(diǎn)B重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)平移的距離為．
(1)________；
(2)當(dāng)________時(shí)，點(diǎn)C落在邊上；當(dāng)________時(shí)，點(diǎn)C落在邊上；
(3)設(shè)在平移的過(guò)程中，兩個(gè)三角板重合部分的圖形的面積為，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【答案】(1)
(2)；
(3)
【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)點(diǎn)的位置，分4種情況討論，分別求得重疊面積，即可求解．
【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，
∴，
故答案為：．
（2）∵，
∴當(dāng)點(diǎn)在的中點(diǎn)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C落在上，
當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，；
即當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C落在邊上；
故答案為：，．
（3）解：如圖所示，
設(shè)交于點(diǎn)，
由（2）可得，當(dāng)時(shí)，重合面積為的面積，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖所示，
；
當(dāng)重合時(shí)，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，
如圖所示，設(shè)交分別為，依題意，是等腰直角三角形，
當(dāng)時(shí)，
如圖所示，
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的 二次函數(shù)關(guān)系式，勾股定理，平移的性質(zhì)，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．
30（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是：，直線(xiàn)上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)滿(mǎn)足．
(1)如圖1，三角形經(jīng)平移變換后得到三角形，三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，在三角形內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是．請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)、、的坐標(biāo)；
(2)如圖2，在（1）的條件下，若三角形的兩條直角邊、分別與交于點(diǎn)、，求此時(shí)圖中陰影部分的面積；
(3)在（2）的條件下，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，在x軸上有一動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)D出發(fā)，沿著x軸負(fù)方向以每秒兩個(gè)單位長(zhǎng)度運(yùn)動(dòng)，連接，若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，是否存在某一時(shí)刻，使三角形的面積等于陰影部分的面積的，若存在，求出t值和此時(shí)的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)的坐標(biāo)分別為
(2)陰影部分的面積
(3)存在，，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)即可求解；
（2）陰影部分的面積＝的面積﹣的面積＝的面積﹣的面積，即可求解；
（3）利用，用含有的代數(shù)式表示的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出和的面積，列方程即可求解．
【詳解】（1）點(diǎn)平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，則三角形向右平移了2個(gè)單位向上平移了1個(gè)單位，
故點(diǎn)、、均向右平移了2個(gè)單位向上平移了1個(gè)單位，
故、、的坐標(biāo)分別為；
（2）∵點(diǎn)和點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，將代入，
解得：，故點(diǎn)，
點(diǎn)和點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，將代入，
解得：，故點(diǎn)，
則，
圖中陰影部分的面積＝的面積﹣的面積＝的面積﹣的面積；
（3）存在，理由：
設(shè)直線(xiàn)交直線(xiàn)于點(diǎn)，
∵點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t，則點(diǎn)，
而點(diǎn)，
設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，則，解得，
故的表達(dá)式為，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：，即點(diǎn)，
則，
，
解得：（舍去）或，
故，此時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)綜合運(yùn)用，熟練掌握一次函數(shù)的性質(zhì)、圖形的平移、面積的計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵．
題型2：軸對(duì)稱(chēng)
類(lèi)型-1 利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求解
（2023秋·遼寧葫蘆島·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】連接，則，根據(jù)折疊可知，，從而得到是等邊三角形，進(jìn)而得到，，再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，則，
∵將扇形沿著過(guò)點(diǎn)B的直線(xiàn)折疊，
∴，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查求弧長(zhǎng)．熟練掌握折疊的性質(zhì)，證明三角形是等邊三角形，是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型-2 坐標(biāo)平面中的軸對(duì)稱(chēng)變換
（2023·廣西桂林·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)三頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的；
(2)以點(diǎn)B為位似中心，在點(diǎn)B的下方畫(huà)出，使與位似，且位似比為；
(3)直接寫(xiě)出點(diǎn)，的坐標(biāo)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)，
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)變換：關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)是原來(lái)相反數(shù)的性質(zhì)找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再一次連接即可；
（2）根據(jù)位似變換的性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比為相似比，找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可，再一次連接即可；
（3）根據(jù)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特征，即可寫(xiě)出的坐標(biāo)，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)，即可寫(xiě)出的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；
（2）如圖所示，即為所求；
（3）由圖可知：
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵與位似，且位似比為
∴，
∴．
綜上：，．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用軸對(duì)稱(chēng)變換作圖，利用位似變換作圖，根據(jù)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型-3與軸對(duì)稱(chēng)有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，已知的面積，，M為邊上一動(dòng)點(diǎn)（M與點(diǎn)A、B不重合），過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N，設(shè)．
(1)的邊的高_(dá)_____；的面積______（用含x的代數(shù)式表示）
(2)把沿折疊，設(shè)折疊后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，與四邊形重疊部分的面積為y．
①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量x的范圍；
②當(dāng)x為何值時(shí)重疊部分的面積y最大，最大值是多少？
【答案】(1)5，
(2)①；；②當(dāng)時(shí)y有最大值，最大值是
【分析】（1）第一空代入三角形面積公式即可；第二問(wèn)用相似三角形的性質(zhì)即可；
（2）①利用全等即可求出時(shí)的函數(shù)解析式；②利用相似時(shí)的函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)最大值求法求解即可
【詳解】（1）∵，
∴
∵
∴
∴
∴
（2）解：①∵，
∴點(diǎn)在四邊形BCNM內(nèi)（如圖2），
即時(shí)，有；
②當(dāng)點(diǎn)在四邊形MBCN外部或BC邊上（如圖3），即時(shí)，
設(shè)、與BC分別相交于E、F兩點(diǎn)，的BC邊上的高為h，的MN邊上的高為，的EF邊上的高為，則有，．
∴，∴．
∴．
∵，∴，
∴，即．
∴．
∴．即．
當(dāng)時(shí)，；
∴當(dāng)時(shí)y有最大值，最大值是．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形折疊問(wèn)題與二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2023春·上?！て吣昙?jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，將長(zhǎng)方形沿線(xiàn)段折疊到的位置，若，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由翻折可知，再利用即可得出答案．
【詳解】解：由翻折知，，
∴，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、長(zhǎng)方形的性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握折疊的性質(zhì)和平行線(xiàn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·浙江·八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，中，，是中線(xiàn)，，將沿折疊至，則點(diǎn)C到的距離是（ ）
A．4B．C．3D．
【答案】A
【分析】先由中線(xiàn)的定義得到，再由折疊的性質(zhì)得到，進(jìn)而證明是等邊三角形，得到，由此即可得到答案．
【詳解】解：∵是中線(xiàn)，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∴點(diǎn)C到的距離是4，
故選A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定，證明是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
3．（2023春·天津河北·九年級(jí)天津二中校考階段練習(xí)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，連接，將菱形翻折，使點(diǎn)落在線(xiàn)段上的點(diǎn)處，折痕交于，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為（ ）
A．B．4C．5D．
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，根據(jù)在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，得到，從而得到，，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出的長(zhǎng)，利用勾股定理求得的長(zhǎng)，即可得出的長(zhǎng)．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，
∵在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，是邊的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
由折疊的性質(zhì)可得，，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是從題目中抽象出直角三角形，利用勾股定理計(jì)算求解．
4．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，則a，b的值分別為（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，
∴，，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查坐標(biāo)與圖形變換-軸對(duì)稱(chēng)，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解答的關(guān)鍵．
5．（2023·安徽池州·校聯(lián)考一模）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)M，N分別在邊，上則的最小值是（ ）
A．B．C．6D．
【答案】D
【分析】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，此時(shí)最小，再通過(guò)解直角三角形求出的長(zhǎng)即可
【詳解】如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，連接，此時(shí)最小.
在中，∵，，，
∴，
∴.
又∵，
∴，解得.
由對(duì)稱(chēng)得，.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，即的最小值為
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了線(xiàn)路最短的問(wèn)題，確定動(dòng)點(diǎn)P的位置時(shí)，使的值最小是關(guān)鍵．
6．（2023春·重慶豐都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB與BC上兩點(diǎn)，連接EF，將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，AD=2，則EO的值為_(kāi)______．
【答案】
【分析】過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，根據(jù)題意，可得為等腰直角三角形，再根據(jù)翻折可得，，，求出，再設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)．
【詳解】
解：如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)段，交于點(diǎn)，
，，
為等腰直角三角形，,
，
，
設(shè)，則根據(jù)翻折，
，
在中，，
可得方程，
解得：，
將△BEF沿著EF翻折，使得B點(diǎn)落在AC邊上的D處，
，，
，
，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列方程求解問(wèn)題，翻折問(wèn)題，正確的作出輔助線(xiàn)，一步一步推論是解題的關(guān)鍵．
7．（2023春·江蘇·八年級(jí)?？贾軠y(cè)）如圖所示，平行四邊形中，點(diǎn)E在邊上，以為折痕，將向上翻折，點(diǎn)A正好落在上的點(diǎn)F，若的周長(zhǎng)為8，的周長(zhǎng)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)_．
【答案】
【分析】由平行四邊形可得對(duì)邊相等，可得，，結(jié)合兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)，通過(guò)列方程可求得的長(zhǎng)．
【詳解】解：由折疊可得，，．
∵的周長(zhǎng)為8，的周長(zhǎng)為，
∴，．
∴平行四邊形的周長(zhǎng)，
∴
∵的周長(zhǎng)為
∴．
故填：．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱(chēng)和平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形沿某直線(xiàn)翻折后能夠相互重合、及平行四邊形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
8．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，M是邊的中點(diǎn)，N是邊上一點(diǎn)，將沿所在直線(xiàn)翻折得到，連接．當(dāng)N為邊的中點(diǎn)時(shí)，的長(zhǎng)度為_(kāi)__________；點(diǎn)N在邊上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，長(zhǎng)度的最小值為_(kāi)__________．
【答案】 7?1##-1+7
【分析】①連接、，先證明點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)，再說(shuō)明是等邊三角形，再利用三角函數(shù)即可解答；②先說(shuō)明長(zhǎng)度的最小值時(shí)，點(diǎn)應(yīng)在上，過(guò)點(diǎn)M作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，再利用勾股定理即可求出．
【詳解】①連接、
∵將沿所在直線(xiàn)翻折得到
∴
∵M(jìn)是邊的中點(diǎn)，N為邊的中點(diǎn)
∴是中位線(xiàn)
∴
∴
∴點(diǎn)三點(diǎn)共線(xiàn)
∵四邊形為菱形
∴
∵
∴是等邊三角形，
∴
∴
故答案為
∵是定值
∴長(zhǎng)度的最小值時(shí)，點(diǎn)應(yīng)在上，過(guò)點(diǎn)M作，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．
則有，
∴，
∴
∴
∴
∵
∴
故答案為；．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、翻折的性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．
9．（2023·天津河?xùn)|·天津市第七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，將沿射線(xiàn)的方向平移得到，分別連接，，則的最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，，得出，根據(jù)平移的性質(zhì)得到，，推出四邊形是平行四邊形，得到，于是得到的最小值為的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點(diǎn)D′在過(guò)點(diǎn)D且平行于AC的定直線(xiàn)上，作點(diǎn)C關(guān)于定直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接交定直線(xiàn)于D′，則的長(zhǎng)度即為的最小值，求得，得到，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：在邊長(zhǎng)為4的菱形中，，
∴，，
將沿射線(xiàn)的方向平移得到，
∴，，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∴，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴的最小值的最小值，
∵點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且平行于的定直線(xiàn)上，
∴作點(diǎn)關(guān)于定直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交定直線(xiàn)于，
則的長(zhǎng)度即為的最小值，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)－最短路線(xiàn)問(wèn)題，菱形的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，正確地理解題意是解題的關(guān)鍵．
11．（2022秋·江蘇徐州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P為內(nèi)一點(diǎn)，分別作出點(diǎn)P關(guān)于、的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，連接交于M，交于N．若，則______．
【答案】##60度
【分析】連接，，，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)證明，，即可作答．
【詳解】解：連接，，，如圖，
∵點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴，，
∴平分，
∴，
同理可證明：，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，掌握對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，折疊等腰三角形紙片，使點(diǎn)C落在邊上的F處，折痕為.已知.
(1)求證：.
(2)求.
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)折疊性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)得出，再根據(jù)直角三角形的兩銳角互余解答即可；
（2）根據(jù)折疊性質(zhì)和勾股定理解答即可．
【詳解】（1）由折疊性質(zhì)，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）∵
∴
∴
在中，，
∴，
解得：．
【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的兩銳角互余、勾股定理，熟練掌握折疊性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，利用勾股定理建立方程思想是解答的關(guān)鍵．
13．（2023秋·云南紅河·八年級(jí)統(tǒng)考期末）平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小網(wǎng)格是長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形，已知點(diǎn)，點(diǎn)．
完成下列問(wèn)題：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出；
(2)在圖中畫(huà)出關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)圖形；
(3)在x軸上存在一點(diǎn)P，使得的值最小，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出點(diǎn)P（不必寫(xiě)過(guò)程，但要保留作圖痕跡）．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中分別描出點(diǎn)A、B，再連接、、即可；
（2）分別畫(huà)出點(diǎn)A、B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)、，再連接，，即可；
（3）畫(huà)出點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)p，則點(diǎn)P即為所要求畫(huà)的．
【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求，
（2）解：如圖所示，即為所求，
（3）解：如圖所示，點(diǎn)P即為所求，
∵點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，
∴，
∴，
根據(jù)兩點(diǎn)間線(xiàn)段最短，此時(shí)，值最小，最小值等于線(xiàn)段長(zhǎng)度．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)坐標(biāo)畫(huà)點(diǎn)，作軸對(duì)稱(chēng)圖形，最短距離問(wèn)題，熟練掌握利用軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)求最小值的作圖是解題的關(guān)鍵．
14．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)泰州市海軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）圖①為長(zhǎng)方形紙帶，將長(zhǎng)方形紙帶的端沿折疊成圖②，點(diǎn)折至、點(diǎn)折至，
(1)若，則圖． 中的度數(shù)是多少？
(2)將紙帶的 端沿折疊成圖③，點(diǎn)折至，點(diǎn)折至，若，用表示．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方形的對(duì)邊是平行的，所以；在四邊形中，，即可得出；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分類(lèi)討論，即可求解．
【詳解】（1）解：∵，，
∴
由對(duì)折可知：，
在四邊形中，，
；
（2）解：時(shí)，與（1）同理，，，
則，
∴．
當(dāng)
∵，，
∴
由對(duì)折可知：，
在四邊形中，，
∵，，
∴．
綜上所述或
【點(diǎn)睛】本題考查了平行線(xiàn)的性質(zhì)，多邊形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)已知和關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)，，分別是點(diǎn)A，B，C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)，，的坐標(biāo)；
(2)在圖中畫(huà)出關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的．
【答案】(1)，，
(2)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)系確定三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)即可；
（2）先確定關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，然后順次連接即可．
【詳解】（1）解：由圖得：
∴，，；
（2）解：如圖所示：即為所求．
【點(diǎn)睛】題目主要考查坐標(biāo)與圖形，軸對(duì)稱(chēng)圖形的作法，熟練掌握關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
16．（2023秋·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，，三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，．
(1)在平面直角坐標(biāo)系中描出，，三點(diǎn)，連接，，；
(2)求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(3)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，請(qǐng)?jiān)谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中畫(huà)出直線(xiàn)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
(3)見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)三點(diǎn)的坐標(biāo)描點(diǎn)，然后再連線(xiàn)即可；
（2）根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式計(jì)算即可；
（3）利用網(wǎng)格的特點(diǎn)，作直線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)即可．
【詳解】（1）解：如圖，即為所求；
（2）解：∵，，
∴；
（3）解：如圖，直線(xiàn)即為所求．
【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的坐標(biāo)、作圖—軸對(duì)稱(chēng)變換、兩點(diǎn)之間的距離公式、網(wǎng)格的特點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵在正確作圖，并熟練掌握網(wǎng)格的特點(diǎn)．
17．（2022秋·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的長(zhǎng)方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格線(xiàn)的交點(diǎn)叫做格點(diǎn)，點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．請(qǐng)按要求解答下列問(wèn)題：
平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是
(1)①請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出平面直角坐標(biāo)系；
②點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______
(2)設(shè)l是過(guò)點(diǎn)C且平行于y軸的直線(xiàn)，
①點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是______
②在直線(xiàn)l上找一點(diǎn)P，使最小，在圖中標(biāo)出此時(shí)點(diǎn)P的位置；
③若為網(wǎng)格中任一格點(diǎn)，直接寫(xiě)出點(diǎn)Q關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)（用含m，n，的式子表示）．
【答案】(1)①見(jiàn)解析；②
(2)①；②見(jiàn)解析；③．
【分析】（1）①根據(jù)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)作出平面直角坐標(biāo)系即可；
②根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題即可；
（2）①利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)解決問(wèn)題；
②作點(diǎn)A關(guān)于直線(xiàn)l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交直線(xiàn)l于點(diǎn)P，連接，點(diǎn)P即為所求；
③利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式解決問(wèn)題即可．
【詳解】（1）解：①建立的直角坐標(biāo)系如圖所示；
；
②，．
故答案為：；
（2）解：①；
故答案為：；
②如圖，點(diǎn)P即為所求；
③設(shè)，則有，，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖－復(fù)雜作圖，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
18．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，兩個(gè)村莊A、B在河的同側(cè)，A、B兩村到河的距離分別為千米，千米，千米.現(xiàn)要在河邊上建造一水廠，向A、B兩村送自來(lái)水（水管需直接到A、B村）.
(1)水廠應(yīng)修建在什么地方，可使所用的水管最短（請(qǐng)你在圖中設(shè)計(jì)出水廠的位置）：
(2)如果鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元，為使鋪設(shè)水管費(fèi)用最節(jié)省，請(qǐng)求出最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為多少元？
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)元
【分析】（1）屬于“將軍飲馬”類(lèi)型的題目，作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，與的交點(diǎn)的位置就是修建水廠的位置
（2）先作出直角三角形，再利用勾股定理即可
【詳解】（1）如圖，作點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)P，點(diǎn)P的位置就是修建水廠的位置
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E，作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F
元
答：最節(jié)省的鋪設(shè)水管的費(fèi)用為元
【點(diǎn)睛】本題考查“將軍飲馬”類(lèi)型題的作圖，以及勾股定理，準(zhǔn)確作圖是解題的關(guān)鍵
19．（2022秋·浙江嘉興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，，點(diǎn)為邊上異于，的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，，交直線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)若，，是邊上的高線(xiàn)．
①求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
②當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；
(2)在的情況下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】(1)①；②
(2)或
【分析】（1）①根據(jù)題意，作出高線(xiàn)，利用等面積法列等式求解即可得到答案；
②根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，結(jié)合①中即可得到；
（2）根據(jù)是等腰三角形，分三種情況：①；②；③；結(jié)合條件求解即可得到答案．
【詳解】（1）解：①如圖所示：
在中，，，，
，
是邊上的高線(xiàn)，
，即，解得；
②根據(jù)題意，如圖所示：
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
由①知，則，
；
（2）解：如圖所示：
由是等腰三角形，分三種情況：①；②；③；
①，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
在中，，
是的一個(gè)外角，
，即；
②，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
在中，，
是的一個(gè)外角，
，即；
③，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
是的一個(gè)外角，
，即（舍棄）；
綜上所述，在的情況下，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，或．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合，涉及勾股定理、等面積法求高、對(duì)稱(chēng)性質(zhì)、等腰三角形性質(zhì)、三角形內(nèi)角和、三角形外角性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握三角形相關(guān)性質(zhì)，作出輔助線(xiàn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
19．（2022秋·吉林松原·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，，以為直角邊在的上方作直角三角形，使，且，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿折線(xiàn)以的速度向終點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，連接，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（s）．
(1)求證：；
(2)用含的式子表示的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)將四邊形的周長(zhǎng)分成兩部分時(shí)，求的值；
(4)如圖，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，作點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，當(dāng)所在直線(xiàn)與四邊形的邊垂直時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
(3)或
(4)的度數(shù)為或或或
【分析】（1）易證，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到，然后由ASA得到即可；
（2）先由含角直角三角形的性質(zhì)得cm，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，；
（3）先求出四邊形的周長(zhǎng)為12cm，cm，再由將四邊形的周長(zhǎng)分成兩部分可列方程或，即可求解；
（4）先證，再分四種情況討論：當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)；當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)；當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)；當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)；分別求出相應(yīng)的的度數(shù)即可．
【詳解】（1）證明：，
，
，
，
在和中，
，
（ASA）；
（2）解：，
，
，
（cm），
，
，
（cm），
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
（3）解：，
，
（cm），
為的中點(diǎn)，
（cm），
將四邊形的周長(zhǎng)分成兩部分，
或，
解得：或；
（4）解：點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，
點(diǎn)、點(diǎn)都在對(duì)稱(chēng)軸上，
與關(guān)于直線(xiàn)成軸對(duì)稱(chēng)，
，
當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示：
，
，
；
當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示：
，
；
當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示：
延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則，
，
，
，
，
當(dāng)，且點(diǎn)在上時(shí)，如圖所示：
，
，
綜上所述，的度數(shù)為或或或．
【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理及其推論、平行線(xiàn)的性質(zhì)以及分類(lèi)討論等知識(shí)，此題綜合性較強(qiáng)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)和軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，屬于中考常考題型．
20．（2023秋·北京東城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知：在中，．點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接交直線(xiàn)于點(diǎn)．
(1)當(dāng)時(shí)，如圖1．用等式表示，與的數(shù)量關(guān)系是： ，與的數(shù)量關(guān)系是： ；
(2)當(dāng)是銳角()時(shí)，如圖2；當(dāng)是鈍角時(shí)，如圖3．在圖2，圖3中任選一種情況，
①依題意補(bǔ)全圖形；
②用等式表示線(xiàn)段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)
(2)①；見(jiàn)解析；②，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，得出，，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，得出，，進(jìn)而得出；
（2）在圖2，圖3中任選一種情況，補(bǔ)全圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，分類(lèi)討論即可求解．
【詳解】（1）解：，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
，，，
則
，，
，，
∴．
故答案為：；．
（2）選擇圖2時(shí)．
①補(bǔ)全圖形如圖2，
圖2
②數(shù)量關(guān)系：．
證明：在上取點(diǎn)，使，連接．
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
，．
，．．
， ．
，
．
，
．
．
．
，
．
選擇圖3時(shí)．
①補(bǔ)全圖形如圖3，
圖3-
②數(shù)量關(guān)系：．
證明：在的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)，使，連接．
點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
，．
，．
， ．
，
．
，
．
，
．
．
．
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了含30度角的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
21．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，中，，點(diǎn)D為邊中點(diǎn)，．作點(diǎn)B關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作交直線(xiàn)于點(diǎn)F．
(1)依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫(xiě)出和的度數(shù)（用含的式子表示）；
(2)用等式表示線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)圖見(jiàn)解析，，；
(2)，證明見(jiàn)解析．
【分析】（1）根據(jù)題意，補(bǔ)全圖形，再利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)以及平行線(xiàn)的性質(zhì)，求解即可；
（2）連接，通過(guò)平行線(xiàn)的性質(zhì)證明，得到，即可求證．
【詳解】（1）解：如下圖所示：
由題意可得：，，
∴為等腰三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2），證明如下：
連接，如下圖：
由題意可得：，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
【點(diǎn)睛】此題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基本性質(zhì)．
22．（2022秋·北京·八年級(jí)北京市文匯中學(xué)?？计谥校┰诘冗叺耐鈧?cè)作直線(xiàn)，，點(diǎn)C關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，連接、、．
(1)如圖1，若，直接寫(xiě)出的度數(shù)；
(2)如圖2，若，過(guò)點(diǎn)D作交直線(xiàn)于點(diǎn)E．
①依題意補(bǔ)全圖形；
②求的度數(shù)（用含的代數(shù)式表示）；
③在變化的過(guò)程中，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并證明．
【答案】(1)
(2)①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；②；③，證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和等邊三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）①根據(jù)已知條件進(jìn)行作圖即可；②根據(jù)對(duì)稱(chēng)性和等邊三角形的性質(zhì)即可求解；③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)證明兩個(gè)三角形全等即可證明．
【詳解】（1）解：點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，，
，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
，
．
答：的度數(shù)為．
（2）解：①如圖即為補(bǔ)全的圖形．
②如圖，同（1），，
，
=AC，
．
答：的度數(shù)為．
③，，
，
，
，
點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，
，
，
，
，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、對(duì)稱(chēng)性，解決本題的關(guān)鍵是綜合以上知識(shí)．
題型3：旋轉(zhuǎn)
類(lèi)型1-利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)求解
（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，得到，連接，交于點(diǎn)F．
(1)求證：；
(2)求的度數(shù)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件證出，即可得證．
（2）根據(jù)條件求出的度數(shù)，然后根據(jù)四邊形內(nèi)角和求出的度數(shù)，最后用的度數(shù)即可．
【詳解】（1）解：證明：∵繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
在與中，
，
∴．
（2）解：由旋轉(zhuǎn)可得：，
∴．
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，充分利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
類(lèi)型-2 坐標(biāo)平面中的旋轉(zhuǎn)變換
（2023秋·重慶永川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在平面直角坐標(biāo)系中，的位置如圖所示，且點(diǎn)，．
(1)畫(huà)出繞點(diǎn)О順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到的并寫(xiě)出、的坐標(biāo)；
(2)求點(diǎn)A在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所走過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【答案】(1)畫(huà)圖見(jiàn)解析，，
(2)
【分析】（1）補(bǔ)成網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，找出點(diǎn)、的位置，然后順次連接，根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫(xiě)出點(diǎn)、的坐標(biāo)即可；
（2）利用勾股定理列式求出的長(zhǎng)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可得解．
【詳解】（1）解：如圖所示；
其中，；
（2）由勾股定理得，，
所以，點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所走過(guò)的路徑長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，弧長(zhǎng)的計(jì)算，在平面直角坐標(biāo)系中準(zhǔn)確確定出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型-3與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的綜合問(wèn)題
（2023·陜西西安·?？家荒＃┤鐖D1，矩形的一邊落在矩形的一邊上，并且矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，．
(1)矩形的面積是 ；
(2)將圖1中的矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，若旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與夾角（圖2中的）的正切的值為，兩個(gè)矩形重疊部分的面積為，求與的函數(shù)關(guān)系式；
(3)將圖1中的矩形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，連接、，的面積是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，最大值為，最小值為
【分析】（1）根據(jù)相似多邊形面積的比等于相似比的平方求解即可得出答案；
（2）先求出矩形的邊長(zhǎng)為、，再分①當(dāng)時(shí)，重疊部分是直角三角形和②當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形，矩形剩余部分是直角三角形兩種情況求解；
（3）旋轉(zhuǎn)一周，點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以2為半徑的圓，所以的邊上的高就是點(diǎn)到的距離，也就是到圓上的點(diǎn)的距離，最大值為點(diǎn)O到的距離與圓的半徑的和，最小值為點(diǎn)O到的距離與圓的半徑的差，再利用三角形的面積公式求解即可得出答案．
【詳解】（1）矩形矩形，其相似比為，
（2）矩形矩形，其相似比為，矩形的邊，
，
①當(dāng)時(shí)，重疊部分是直角三角形，如圖
；
②當(dāng)時(shí)，重疊部分是四邊形，如圖
，
（3）存在
，
點(diǎn)E的軌跡是以點(diǎn)O為圓心以2為半徑的圓，
設(shè)點(diǎn)O到AC的距離為h，
解得
當(dāng)點(diǎn)E到的距離為時(shí)，的面積有最大值，
當(dāng)點(diǎn)E到的距離為時(shí)，的面積有最小值，
【點(diǎn)睛】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，分情況討論的思想，勾股定理，圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的取值范圍，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
類(lèi)型-4 中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形
（2023春·山東泰安·九年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）剪紙文化是中國(guó)傳統(tǒng)的民間藝術(shù)之一，下列剪紙圖案中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心．
【詳解】解：A、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
D、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，熟知二者的定義是解題的關(guān)鍵．
綜合訓(xùn)練
1．（2023·天津南開(kāi)·南開(kāi)翔宇學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，是由繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°后得到的圖形，若點(diǎn)D恰好落在上，且，則的大小是（ ）
A．28°B．30°C．33°D．42°
【答案】C
【分析】先由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理求出，接著求出，即可利用三角形內(nèi)角和定理求出答案．
【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
2．（陜西省西安市2022—2023學(xué)年八年級(jí)下學(xué)期第一階段學(xué)評(píng)檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷）如圖，一個(gè)小孩坐在秋千上，若秋千繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了，小孩的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，則的度數(shù)為（ ）
A．70°B．60°C．50°D．40°
【答案】C
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角的定義、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行解答．
【詳解】解：∵秋千旋轉(zhuǎn)了，小林的位置也從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到了B點(diǎn)，
∴，
∴．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．
3．（2023春·江蘇徐州·八年級(jí)徐州三十五中?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α，得到，若點(diǎn)恰好在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且，則旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可求解．
【詳解】解：繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α，得到，
，
，，
，
，
，
故選：D ．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及三角形的內(nèi)角和，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2022秋·貴州黔東南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接，若，則旋轉(zhuǎn)角是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出，，由等腰三角形三線(xiàn)合一性質(zhì)得出，再求出的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴旋轉(zhuǎn)角度數(shù)是．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．求出是解題的關(guān)鍵．
5．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是兩個(gè)完全重合的矩形，將其中一個(gè)始終保持不動(dòng)，另一個(gè)矩形繞其對(duì)稱(chēng)中心按逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行旋轉(zhuǎn)，第一次旋轉(zhuǎn)后得到圖①，第二次旋轉(zhuǎn)后得到圖②，…，則第次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與圖①～④中相同的是（ ）
A．圖①B．圖②C．圖③D．圖④
【答案】B
【分析】探究規(guī)律后利用規(guī)律解決問(wèn)題即可．
【詳解】觀察圖形可知每4次循環(huán)一次，，
∴第2022次旋轉(zhuǎn)后得到的圖形應(yīng)與圖②相同，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)變換，規(guī)律型問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)探究規(guī)律利用規(guī)律解決問(wèn)題．
6．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）依次觀察三個(gè)圖形：，并判斷照此規(guī)律從左向右第四個(gè)圖形是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)圖形規(guī)律可知，從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：由圖形規(guī)律可得從左到右是依次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)圖形，
∴第四個(gè)圖形是D．
故答案為：D
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)三個(gè)圖形找出旋轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題關(guān)鍵．
7．（2022春·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABO是等邊三角形，其中點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），點(diǎn)A在反比例函數(shù)的圖象上，數(shù)學(xué)興趣小組對(duì)等邊△ABO進(jìn)行變換操作，得到如下結(jié)論：
①將等邊△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
②將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，得到的位似圖形恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上；
④將等邊△ABO以直線(xiàn)或直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻折，恰好存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上．
其中正確的是（ ）
A．①④B．①②④C．①③④D．①②③④
【答案】D
【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，通過(guò)畫(huà)出相應(yīng)圖形，可得出結(jié)論．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AH⊥OB于點(diǎn)H，
∵△ABC是等邊三角形
∴AB=OA=OB=6，∠OAB=∠OBA=∠AOB=60°
∴OH=3，
∴A的坐標(biāo)為（ ， ）
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為
①如圖所示，△ABO沿AO方向平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)A恰好與O重合，點(diǎn)O平移到E點(diǎn)，此時(shí)OE=OA=6，
∴A、E關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)E在反比例函數(shù)圖象上，①正確．
②若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，點(diǎn)A恰好落在y軸上（0，6），此時(shí)，點(diǎn)B恰好落在（ ， ），
∵
∴B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；
若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B恰好落在（ ， ）處，在反比例函數(shù)圖象上；
若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)A恰好落在（- ，- ），
∵
∴A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；
若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)210°，點(diǎn)A恰好落在y軸上（0，-6），此時(shí)，點(diǎn)B恰好落在（- ，- ）處，
∵
∴B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在反比例函數(shù)圖象上；
若將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°，點(diǎn)B恰好落在（- ，- ）處，在反比例函數(shù)圖象上；
∴將△ABO繞著點(diǎn)O分別逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，60°，180°，210°，240°，恰好都存在一個(gè)頂點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，②正確．
③將等邊△ABO以點(diǎn)O為位似中心，位似比為1，相當(dāng)于將A繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在為（- ，- ），在反比例函數(shù)圖象上，③正確．
④根據(jù)反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性，將等邊△ABO以直線(xiàn)或直線(xiàn)為對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行翻折，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在反比例函數(shù)的圖象上，④正確．
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)、位似、翻折等，靈活運(yùn)用反比例函數(shù)對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵．
8．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考二模）如圖，在正方形ABCD中，頂點(diǎn)，，點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，AF與BE交于點(diǎn)G，將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠BAF=∠CBE，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠BGF=90°，過(guò)G作GH⊥AB于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BH=2，根據(jù)勾股定理得到HG=3，求得G（3，4），找出規(guī)律即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=10，∠C=∠ABF=90°，
∵點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，
∴CE=BF=5，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
∴∠BAF=∠CBE，
∵∠BAF+∠BFA=90°，
∴∠FBG+∠BFG=90°，
∴∠BGF=90°，
∴BE⊥AF，
∵ ，
∴ ，
過(guò)G作GH⊥AB于H，
∴∠BHG=∠AGB=90°，
∵∠HBG=∠ABG，
∴△ABG∽△GBH，
∴ ，
∴BG2=BH?AB，
∴
，
∴G（3，4），
∵將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針每次旋轉(zhuǎn)90°，
∴第一次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，-3），
第二次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，-4），
第三次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，3），
第四次旋轉(zhuǎn)90°后對(duì)應(yīng)的G點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），
…，
∵2022=4×505+2，
∴每4次一個(gè)循環(huán)，第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，相當(dāng)于正方形ABCD繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)2次，
∴第2022次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時(shí)，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（-3，-4）．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形變換-旋轉(zhuǎn)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
10．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，矩形ABCD中AB是3cm，BC是2cm，一個(gè)邊長(zhǎng)為1cm的小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，那么這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)，小正方形箭頭的方向是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可知，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)依次，小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置，即可得到它的方向．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：小正方形沿著矩形ABCD的邊AB→BC→CD→DA→AB連續(xù)地翻轉(zhuǎn)，矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB和BC分別是3cm和2cm，小正方形的邊長(zhǎng)為1cm，則這個(gè)小正方形第一次回到起始位置時(shí)需10次翻轉(zhuǎn)，而每翻轉(zhuǎn)4次，它的方向重復(fù)1次，故回到起始位置時(shí)它的方向是向下．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形類(lèi)規(guī)律題，關(guān)鍵是得出小正方形共翻轉(zhuǎn)10次回到起始位置．
11．（2020秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖，在矩形中，已知，矩形在直線(xiàn)上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)至圖①位置，再繞右下角的頂點(diǎn)續(xù)向右旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…，以此類(lèi)推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2020次后，頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中所經(jīng)過(guò)的路程之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先求得每一次轉(zhuǎn)動(dòng)的路線(xiàn)的長(zhǎng)，發(fā)現(xiàn)每4次循環(huán)，找到規(guī)律然后計(jì)算即可．
【詳解】解：，，
，
轉(zhuǎn)動(dòng)一次的路線(xiàn)長(zhǎng)是：，
轉(zhuǎn)動(dòng)第二次的路線(xiàn)長(zhǎng)是：，
轉(zhuǎn)動(dòng)第三次的路線(xiàn)長(zhǎng)是：，
轉(zhuǎn)動(dòng)第四次的路線(xiàn)長(zhǎng)是：0，
以此類(lèi)推，每四次循環(huán)，
故頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為：，
，
頂點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)四次經(jīng)過(guò)的路線(xiàn)長(zhǎng)為：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了探索規(guī)律問(wèn)題和弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用，掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)的計(jì)算公式、發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
12（2023·河南周口·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為等腰三角形，，點(diǎn)到軸的距離為4．若將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△，當(dāng)點(diǎn)恰好落在軸正半軸上時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作軸，先求出，再證明得出，，，再證明，推出，，從而求出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作軸，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作軸，
，
，點(diǎn)到軸的距離為4，
，
，
，
，，
，
，即，
，，
將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，
，，
，
，
，，
，，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化旋轉(zhuǎn)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握這幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，其中作出輔助線(xiàn)證明三角形全等是解題關(guān)鍵．
13．（2023·河南南陽(yáng)·校聯(lián)考一模）如圖，菱形的邊在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，若菱形繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第60秒時(shí)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)菱形性質(zhì)得出，，得出，根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)，則第60秒時(shí)旋轉(zhuǎn)了，得出點(diǎn)在第三象限，且與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即可得出答案．
【詳解】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，
∴，
∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
∵每秒旋轉(zhuǎn)，則第60秒時(shí)，得：
，
周，
∴旋轉(zhuǎn)了7周半，
∴點(diǎn)在第三象限，且與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)，故B正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的特點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度得出在第三象限，且與點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．
14．（2023秋·山東淄博·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，把線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線(xiàn)段，則點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)互余的性質(zhì)可得，利用可證明，可得，，根據(jù)、坐標(biāo)可得、的長(zhǎng)，即可求出、的長(zhǎng)，可得答案．
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于，
，，
把線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到線(xiàn)段，
，，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
點(diǎn)坐標(biāo)為
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)是圖形上的每一點(diǎn)在平面上繞著某個(gè)固定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)固定角度的位置移動(dòng)，其中對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段的長(zhǎng)度、對(duì)應(yīng)角的大小相等，旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小和形狀沒(méi)有改變．
15．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在方格紙的格點(diǎn)上，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是，現(xiàn)將繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由題意直接利用網(wǎng)格特點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)畫(huà)出繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后的圖形，然后寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖所示，繞點(diǎn)B按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°得到，則旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的坐標(biāo)是，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形變化——旋轉(zhuǎn)，正確畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形是解題的關(guān)鍵．
16．（2022秋·河南商丘·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在等腰中，邊在x軸上，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若，則點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過(guò)B作于，直線(xiàn)交y軸于D，由，可得，再由旋轉(zhuǎn)可得軸，由直角三角形求出、的長(zhǎng)即可．
【詳解】過(guò)B作于，直線(xiàn)交y軸于D，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，
∴，，，
∴，
∴，
∴,
∴，
∴，
∴點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．
17．（2023·廣東廣州·執(zhí)信中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，等腰中，，，將繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，連結(jié)，則的度數(shù)（ ）
A．B．C．D．隨若的變化而變化
【答案】B
【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求，由外角的性質(zhì)可求，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)有：，
∴，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
18．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，則的長(zhǎng)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，然后由即可獲得答案．
【詳解】解：在中，，
∵，，
∴，
由旋轉(zhuǎn)可知，，
∴．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
19．（2023秋·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，中，，將沿射線(xiàn)的方向平移，得到，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合，則平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為（ ）
A．4，B．2，C．2，D．3，
【答案】B
【分析】利用旋轉(zhuǎn)和平移的性質(zhì)得出，，，進(jìn)而得出是等邊三角形，即可得出以及的度數(shù)．
【詳解】解：∵，將沿射線(xiàn)的方向平移，得到，再將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后，點(diǎn)恰好與點(diǎn)C重合，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴平移的距離和旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)分別為：2，．
故選：B．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等邊三角形的判定等知識(shí)，得出是等邊三角形是解題關(guān)鍵．
20．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、既是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)符合題意；
B、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
D、不中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故此選項(xiàng)不合題意；
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱(chēng)圖形與軸對(duì)稱(chēng)圖形的概念．軸對(duì)稱(chēng)圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱(chēng)軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后與自身重合；熟練掌握概念是解題的關(guān)鍵．
79．（2023·湖南婁底·校考一模）下列圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有（ ）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．0個(gè)
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義判斷即可．
【詳解】解：第1個(gè)圖形既不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，也不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
故不合題意；
第2個(gè)圖形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，
故不合題意；
第3個(gè)圖形不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
故不合題意；
第4個(gè)圖形既不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，
故不合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形即沿著某條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分完全重合的兩個(gè)圖形；中心對(duì)稱(chēng)圖形即繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°與原圖形完全重合的兩個(gè)圖形；熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．
21．（2023·山西晉城·統(tǒng)考一模）位于四川省的三星堆遺址被稱(chēng)為20世紀(jì)人類(lèi)最偉大的考古發(fā)現(xiàn)之一，其中出土的文物是寶貴的人類(lèi)文化遺產(chǎn)，在中國(guó)的文物群體中，屬最具歷史、科學(xué)、文化、藝術(shù)價(jià)值和最富觀賞性的文物群體之一．下列四個(gè)圖案是三星堆遺址出土文物圖，其中是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義即可選擇．
【詳解】A．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
B．是中心對(duì)稱(chēng)圖形，符合題意；
C．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意；
D．不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，不符合題意．
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查識(shí)別中心對(duì)稱(chēng)圖形．掌握如果一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后能與它自身重合，我們就把這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形是解題關(guān)鍵．
22．（2023秋·重慶永川·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下面四個(gè)汽車(chē)標(biāo)志圖案中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后即可求解．
【詳解】解：A、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
B、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
C、不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
D、是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故本選項(xiàng)正確，符合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念．中心對(duì)稱(chēng)圖形是要尋找對(duì)稱(chēng)中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．
23．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)靖江市靖城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下面用數(shù)學(xué)家名字命名的圖形中，既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是（ ）
A．斐波那契螺旋線(xiàn)B．笛卡爾心形線(xiàn)
C．趙爽弦圖D．科克曲線(xiàn)
【答案】D
【分析】根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線(xiàn)折疊，直線(xiàn)兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱(chēng)圖形；中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解：A、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故A選項(xiàng)不合題意；
B、是軸對(duì)稱(chēng)圖形，不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故B選項(xiàng)不符合題意；
C、不是軸對(duì)稱(chēng)圖形，是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故C選項(xiàng)不合題意；
D、既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D選項(xiàng)合題意．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握軸對(duì)稱(chēng)圖形和中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義．
24．（2023·江西上饒·校聯(lián)考一模）如圖，在正方形中，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，，若，，則線(xiàn)段的長(zhǎng)度為_(kāi)_____．
【答案】1
【分析】如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，先利用證明，得到，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，則由三線(xiàn)合一定理得到，在中，由勾股定理得，即可求出．
【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作于E，
∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三線(xiàn)合一定理，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，正確作出輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
25．（2023秋·四川廣元·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在直角梯形中，，，，，以A為旋轉(zhuǎn)中心將腰順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，若．則的面積等于______．
【答案】10
【分析】連接，延長(zhǎng)，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，可證垂直平分，可得，，則可證四邊形是矩形，可得，，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接，延長(zhǎng)，
以為旋轉(zhuǎn)中心將腰順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
，，
，
，，
垂直平分，
，，
∵，，
，，
四邊形是矩形，
，，
，
，
的面積，
故答案為：10．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造矩形是本題的關(guān)鍵．
26．（2023秋·湖南湘西·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一段拋物線(xiàn)，記為拋物線(xiàn)，它與x軸交于點(diǎn)，；將拋物線(xiàn)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得拋物線(xiàn)，交x軸于另一點(diǎn)；將拋物線(xiàn)繞點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)得拋物線(xiàn)，交軸于另一點(diǎn)…如此進(jìn)行下去，得到一條“波浪線(xiàn)”．若點(diǎn)在此“波浪線(xiàn)”上，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】根據(jù)整個(gè)函數(shù)圖象的特點(diǎn)可知，每隔個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值就相等，再根據(jù)可得時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，由此即可得答案．
【詳解】解：由題意得：每隔個(gè)單位長(zhǎng)度，函數(shù)值就相等，
∵，
∴時(shí)的函數(shù)值與時(shí)的函數(shù)值相等，
即的值等于時(shí)的縱坐標(biāo)，
對(duì)于函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
則，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，正確發(fā)現(xiàn)整個(gè)函數(shù)的圖象規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
27．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，是等腰直角三角形，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，依此方式，繞點(diǎn)連續(xù)旋轉(zhuǎn)2023次得到，那么點(diǎn)的坐標(biāo)是______________．
【答案】
【分析】依次寫(xiě)出的坐標(biāo)，觀察總結(jié)規(guī)律即可．
【詳解】解：是等腰直角三角形，，
，
，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得：
，
，
周期為8，
，
，
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了規(guī)律探究，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)有：圖形的旋轉(zhuǎn)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，找到旋轉(zhuǎn)變換中得規(guī)律是解題關(guān)鍵．
28．（2023·湖北咸寧·校聯(lián)考一模）以原點(diǎn)為中心，把拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到的點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_____．
【答案】
【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)解析式可得頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由拋物線(xiàn)可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為，所以該頂點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)如圖所示：
分別過(guò)點(diǎn)A、B作軸，軸，垂足分別為點(diǎn)C、D，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴點(diǎn)；
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)是解題的關(guān)鍵．
29．（2022秋·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的頂點(diǎn)，，若菱形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)，則第秒時(shí)，菱形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______．
【答案】
【分析】轉(zhuǎn)動(dòng)前根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得轉(zhuǎn)動(dòng)后的坐標(biāo)．
【詳解】轉(zhuǎn)動(dòng)前菱形的頂點(diǎn)，，
的坐標(biāo)，
每秒旋轉(zhuǎn)，則第秒時(shí)得，
，
周，
與轉(zhuǎn)動(dòng)前位置比，移動(dòng)了半周，
此時(shí)的坐標(biāo)為．
故答案為．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
30．（2023·重慶沙坪壩·重慶八中?？寄M預(yù)測(cè)）有背面完全相同，正面分別畫(huà)有等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片4張，現(xiàn)正面朝下放置在桌面上，將其混合后，一次性從中隨機(jī)抽取兩張，則抽中卡片上正面的圖形都是中心對(duì)稱(chēng)圖形的概率為_(kāi)_____．
【答案】##
【分析】利用列舉法求概率即可．
【詳解】解：在等腰三角形，矩形，菱形，正方形四張卡片中，矩形，菱形，正方形為中心對(duì)稱(chēng)圖形，分別用表示等腰三角形、矩形、菱形、正方形的卡片，一次性隨機(jī)抽取兩張卡片共有，共種情況，其中抽中卡片上正面的圖形都是中心對(duì)稱(chēng)圖形的有，共種情況，
∴；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查中心對(duì)稱(chēng)圖形的識(shí)別，列舉法求概率．熟練掌握矩形，菱形，正方形為中心對(duì)稱(chēng)圖形，以及列舉法求概率，是解題的關(guān)鍵．
31．（2023春·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，邊在射線(xiàn)上，且，點(diǎn)D從O點(diǎn)出發(fā)，沿方向以的速度運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t．當(dāng)點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合時(shí)，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，連接．
(1)求證：是等邊三角形．
(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求t的值．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)當(dāng)或8s時(shí)，是直角三角形
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，即可得證；
（2）分和，兩種情況，討論求解即可．
【詳解】（1）證明：∵將繞點(diǎn)C逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到，
∴，
∴是等邊三角形；
（2）解：①當(dāng)時(shí)，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
②當(dāng)時(shí)，則：，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴．
綜上所述：當(dāng)或8s時(shí)，是直角三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含的直角三角形．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．
32．（2023秋·浙江·九年級(jí)期末）如圖1，在中，，，點(diǎn)E是中點(diǎn)，四邊形是正方形，連接，將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)（）如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中
(1)求證：
(2)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．
(3)當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)H，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用證明，即可證明；
（2）先證明三點(diǎn)共線(xiàn)， 在圖1中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得到，解，求出，則；
（3）證明，由全等三角形的性質(zhì)可求，由等腰三角形的性質(zhì)可得，在中，由勾股定理可求的長(zhǎng)，通過(guò)證明，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）解：∵四邊形是正方形，
∴．
∵，
∴三點(diǎn)共線(xiàn)．
∵在圖1中，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，
∴．
∵在中，，
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于．
∵，
∴．
又∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
由題干知是的中點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)后長(zhǎng)度不變，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，解直角三角形等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵．
34．（2023·北京·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)?？家荒＃┰诘冗呏?，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)（不與、重合），連接、．
(1)將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使點(diǎn)落在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，在圖1中補(bǔ)全圖形：
①求的度數(shù)；
②探究線(xiàn)段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；
(2)將線(xiàn)段繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中與邊交于點(diǎn)，連接，若，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值．
【答案】(1)圖見(jiàn)解析，①120°；②，證明見(jiàn)解析；
(2)．
【分析】（1）①如圖，以為圓心，為半徑作圓，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交點(diǎn)即為，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，在等邊中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得垂直平分，結(jié)合題意可得，由三角形外角可得，，最后由可求解；②如圖，在上截取，過(guò)E作于M，連接，可得，在中，解三角形可求得即，等量代換即可求證；
（2）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，連接，證，得到，可知，當(dāng)N、E、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，在等腰直角中求解即可．
【詳解】（1）解：①如圖，以為圓心，為半徑作圓，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交點(diǎn)即為，
延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，連接，，
在等邊中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，
垂直平分，
，，
即，
，
由旋轉(zhuǎn)可知，
，
，
，
，
；
②證明：如圖，在上截取，過(guò)E作于M，連接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
；
（2）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，連接
則，，
，
又，
，
，
，
當(dāng)N、E、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小，
在等腰直角中：
，
的最小值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，三角形的外角，全等三角形的證明和性質(zhì)，勾股定理解直角三角形等；解題的關(guān)鍵是合理做出輔助線(xiàn)，進(jìn)行轉(zhuǎn)換證明．
35．（2022秋·安徽黃山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)是等邊內(nèi)一點(diǎn)，．將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得，連接．
(1)當(dāng)時(shí)，通過(guò)上述旋轉(zhuǎn)可得到三條線(xiàn)段、、之間的等量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
(2)探究：當(dāng)為多少度時(shí)，是等腰三角形？（只填出探究結(jié)果即可）= ．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)或或
【分析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得即，進(jìn)而得到是等邊三角形即則，最后根據(jù)勾股定理即可解答；
（2）分、、三種情況，然后分別根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：，理由如下：
∵將繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得
∴，
∴
∴是等邊三角形
∴
∴
∴是直角三角形
∴
∴．
（2）解：①要使，需
∵，
∴，解得：；
②要使，需
∴
∴，
∴；
③要使，需
∴，
∴，解得
綜上，當(dāng)?shù)亩葦?shù)為或或時(shí)，是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用等腰三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．
36．（2023·山東東營(yíng)·東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）如圖1，在中，，，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，連接．將繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
當(dāng)時(shí)，______；當(dāng)時(shí)，______．
(2)拓展探究
試判斷：當(dāng)時(shí)，的大小有無(wú)變化？請(qǐng)僅就圖2的情形給出證明．
(3)問(wèn)題解決
繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段的長(zhǎng)______．
【答案】(1)；
(2)沒(méi)有，證明見(jiàn)解析
(3)滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為或
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，在Rt中，勾股定理，可求的長(zhǎng)，然后根據(jù)點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，分別求出的大小，即可求出的的值；當(dāng)時(shí)，可得，然后根據(jù)，可求的值；
（2）首先判斷出，再根據(jù)，判斷出，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求解；
（3）分兩種情形：當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，分別求解即可．
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，
Rt中，，
，
點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，
，，
，
故答案為：；
如圖，
當(dāng)時(shí)，可得，
，
，
故答案為：；
（2）解：如圖，
當(dāng)時(shí)，的大小沒(méi)有變化，
，
，
，
，
；
（3）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，
在Rt中，，，
，
，
，
；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，
在Rt中，，，
，
，
，
，
綜上所述，滿(mǎn)足條件的的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．

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