1.分式：形如，A、B是整式，且B中含字母叫做分式。
2.（1）分式有意義的條件：；（2）當(dāng)時，的值是0
3、分式的基本性質(zhì):分式的分子和分母同時乘以（或除以）同一個不為0的整式，分式的值不變。用式子表示為：（A,B,C為整式，且C≠0）
4.約分：把一個分式的分子和分母的公因式(不為1的數(shù)）約去，這種變形稱為約分。
5.通分：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過程叫做通分。
6.最簡分式:一個分式的分子和分母沒有公因式時,這個分式稱為最簡分式.約分時,一般將一個分式化為最簡分式或整式 。
7.分式的四則運算：（1）同分母分式加減法則:同分母的分式相加減,分母不變，把分子相加減.用字母表示為：
（2）異分母分式加減法則:異分母的分式相加減,先通分,化為同分母的分式,然后再按同分母分式的加減法法則進行計算.用字母表示為：
（3）分式的乘法法則:兩個分式相乘,把分子相乘的積作為積的分子,把分母相乘的積作為積的分母.用字母表示為：
（4）分式的除法法則:(1).兩個分式相除,把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘：.
【題型探究】
題型一：分式的概念和有意義的條件
1．（2022·湖南懷化·統(tǒng)考中考真題）代數(shù)式x，，，x2﹣，，中，屬于分式的有（ ）
A．2個B．3個C．4個D．5個
2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考一模）若分式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山東菏澤·統(tǒng)考三模）函數(shù)中自變量x的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
題型二：分式的基本性質(zhì)
4．（2022·河北·一模）如果要使分式的值保持不變，那么分式應(yīng)（ ）
A．a(chǎn)擴大2倍，b擴大3倍B．a(chǎn)，b同時擴大3倍
C．a(chǎn)擴大2倍，b縮小3倍D．a(chǎn)縮小2倍，b縮小3倍
5．（2022·河北保定·統(tǒng)考一模）不改變分式的值，將分式中的分子、分母的系數(shù)化為整數(shù)，其結(jié)果為（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·河北承德·統(tǒng)考模擬預(yù)測）以下是甲、乙、丙、丁四位同學(xué)做的題，
甲：計算時，去分母，同乘于，得．
乙：對于分式，利用分式基本性質(zhì)，可得，．
丙：由，解得．
丁：中a、b的值都擴大到原來的2倍，所得分式的值擴大到原來的4倍．
則針對以上解法，下列說法正確的是（ ）
A．只有丙正確B．只有丁正確C．甲、乙都正確D．丙、丁都正確
題型三：分式的值
7．（2023·安徽·九年級專題練習(xí)）若，且，則的值等于（ ）
A．B．1C．D．
8．（2021·安徽安慶·統(tǒng)考一模）已知，則的值為（ ）
A．﹣3B．3C．D．
9．（2018·北京懷柔·統(tǒng)考中考模擬）已知代數(shù)式，當(dāng)x=1時，值為1，那么該代數(shù)式當(dāng)x=﹣1時的值是（ ）
A．1B．﹣1C．0D．2
題型四：分式的加減乘除運算
10．（2022·四川南充·中考真題）已知，且，則的值是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·山東濟寧·統(tǒng)考三模）計算的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
12．（2022·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）化簡： ＝____________．
題型五：分式的化簡求值問題
13．（2022·山東棗莊·?？寄M預(yù)測）先化簡：，再從一元一次不等式的解集中選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值．
14．（2022·山東淄博·山東省淄博第六中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，求代數(shù)式的值．
15．（2022·寧夏銀川·?？家荒＃┗喦笾担?，然后從選一個合適的整數(shù)作為的值代入求值
【必刷基礎(chǔ)】
一、單選題
16．（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）是指大氣中直徑小于或等于的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，它們含有大量的有毒、有害物質(zhì)，對人體健康和大氣環(huán)境質(zhì)量有很大危害．用科學(xué)記數(shù)法可表示為（ ）
A．B．C．D．
17．（2022·山東濟南·統(tǒng)考一模）化簡的結(jié)果是（ ）
A．B．C．D．
18．（2022·山東濟南·模擬預(yù)測）已知 ，則的值為（ ）
A．B．C．D．
19．（2022·北京西城·?？寄M預(yù)測）如果，且，那么代數(shù)式的值為（ ）
A．B．C．D．
20．（2022·山東濟南·山東師范大學(xué)第二附屬中學(xué)?？寄M預(yù)測）下列運算正確的是（ ）
A．B．C．D．
21．（2022·山東濟南·統(tǒng)考中考真題）若m－n＝2，則代數(shù)式的值是（ ）
A．－2B．2C．－4D．4
22．（2022·浙江杭州·杭州育才中學(xué)?？寄M預(yù)測）當(dāng)a，b滿足關(guān)系式______時，分式的值為．
23．（2022·江蘇淮安·模擬預(yù)測）要使分式有意義，則的取值范圍是___________．
24．（2022·遼寧鞍山·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，且為滿足的整數(shù)．
25．（2022·海南海口·?？谑械诰胖袑W(xué)校考模擬預(yù)測）先化簡，再求代數(shù)式的值，其中．
【必刷培優(yōu)】
一、單選題
26．（2022·山東威?！そy(tǒng)考中考真題）試卷上一個正確的式子（）÷★＝被小穎同學(xué)不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代數(shù)式為( )
A．B．C．D．
27．（2022·廣西玉林·統(tǒng)考中考真題）若x是非負(fù)整數(shù)，則表示的值的對應(yīng)點落在下圖數(shù)軸上的范圍是( )
A．①B．②C．③D．①或②
28．（2022秋·安徽合肥·九年級?？茧A段練習(xí)）已知實數(shù)a，b，c滿足，．則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則B．若，則
C．a(chǎn)，b，c不可能同時相等D．若，則
29．（2022·天津·統(tǒng)考中考真題）計算的結(jié)果是（ ）
A．1B．C．D．
30．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）照相機成像應(yīng)用了一個重要原理，用公式表示，其中f表示照相機鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片（像）到鏡頭的距離．已知f，v，則u＝（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·山東聊城·校聯(lián)考一模）若，則的值為（ ）
A．－6B．9C．D．
二、填空題
32．（2022·江蘇無錫·?？寄M預(yù)測）米，用科學(xué)記數(shù)法表示這個數(shù)為______．
33．（2022·浙江寧波·?？寄M預(yù)測）已知，則的值為_____．
34．（2022·四川成都·統(tǒng)考二模）化簡： ______．
三、解答題
35．（2022·浙江舟山·校聯(lián)考三模）先化簡，再求值：，其中，且x為整數(shù)．小海同學(xué)的解法如下：
解：原式．．．．．．①
．．．．．．②
．．．．．．③
．．．．．．④
當(dāng)時．．．．．．⑤
原式．．．．．．⑥
．．．．．．⑦
請指出他解答過程中第______步開始錯誤（寫出相應(yīng)的序號），并寫出正確的解答過程．
36．（2022·甘肅嘉峪關(guān)·?？家荒＃┫然?，再求值：，其中是關(guān)于x的方程的根．
37．（2022·山東濟寧·濟寧市第十三中學(xué)?？家荒＃┮阎海?br>(1)化簡已知分式；
(2)從的范圍內(nèi)選取一個合適的x的整數(shù)值代入求值．
38．（2022·江蘇揚州·?？既＃┫然?，再求值：，其中，．
參考答案：
1．B
【分析】看分母中是否含有字母，如果含有字母則是分式，如果不含字母則不是，根據(jù)此依據(jù)逐個判斷即可．
【詳解】分母中含有字母的是，，，
∴分式有3個，
故選：B．
【點睛】本題考查分式的定義，能夠準(zhǔn)確判斷代數(shù)式是否為分式是解題的關(guān)鍵．
2．B
【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不為0即可得到．
【詳解】要分式有意義，則，
解得：．
故選：B
【點睛】本題考查分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
3．D
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范圍．
【詳解】由函數(shù)有意義，得：
，
解得且．
故選：D．
【點睛】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負(fù)．
4．B
【分析】先根據(jù)題意列出算式，再根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡，最后得出答案即可．
【詳解】A. a擴大2倍，b擴大3倍, ，故該選項不正確，不符合題意；
B. a，b同時擴大3倍，，故該選項正確，符合題意；
C. a擴大2倍，b縮小3倍，，故該選項不正確，不符合題意；
D. a縮小2倍，b縮小3倍，故該選項不正確，不符合題意；
故選B
【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，能正確根據(jù)分式的基本性質(zhì)進行化簡是解此題的關(guān)鍵．
5．A
【分析】利用分式的基本性質(zhì)，分子分母同時擴大相同的倍數(shù)即可求解．
【詳解】解：
，
故選：A.
【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的分子分母同時乘以或除以同一個不為零的數(shù)或整式，分式的值不變．
6．A
【分析】根據(jù)分式的化簡方法以及解分式方程、分式的性質(zhì)逐個判斷即可．
【詳解】解：甲：分式不能直接去分母，只能通分，所以甲錯誤；
乙：分式的基本性質(zhì)是：分式的分子和分母乘（或除以）同一個不等于0的整式，分式的值不變，不是加減，所以乙錯誤；
丙：
，
，

，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
所以丙正確；
?。簩⒅衋、b的值都擴大到原來的2倍，可得：
，
即所得分式的值擴大到原來的2倍，故丁錯誤；
所以只有丙正確．
故選A．
【點睛】本題考查了分式的化簡，分式的性質(zhì)以及解分式方程，熟練掌握以上性質(zhì)和方法是解題的關(guān)鍵．
7．A
【分析】由，得到，，然后把，整體代入到中求解即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故選A．
【點睛】本題主要考查了分式的求值，利用代入法求解是解題的關(guān)鍵．
8．B
【分析】直接利用已知得出x＝2y，進而代入計算得出答案．
【詳解】解：∵，
∴x＝2y，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查分式求值，熟練掌握分式的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
9．B
【分析】先把代數(shù)式化簡，然后把x=1代入化簡后的代數(shù)式，得，把x=-1代入化簡后的代數(shù)式，得－，根據(jù)前面的結(jié)果即可求出最后的值．
【詳解】∵＝ ，
當(dāng)x=l時，原式=，
當(dāng)x=﹣1時，原式=－，
故選B．
【點睛】考查了代數(shù)式求值的方法，同時還隱含了整體的數(shù)學(xué)思想和正確運算的能力．
10．B
【分析】先將分式進件化簡為，然后利用完全平方公式得出，，代入計算即可得出結(jié)果．
【詳解】解：
，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵a>b>0，
∴，
∴原式=
，
故選：B．
【點睛】題目主要考查完全公式的計算，分式化簡等，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
11．A
【分析】根據(jù)分式加減乘除混合運算法則計算即可．
【詳解】解：原式
．
故選：A．
【點睛】本題考查分式加減乘除混合運算，熟練掌握該知識點是解題關(guān)鍵．
12．
【分析】根據(jù)分式混合運算的順序，依次計算即可．
【詳解】
=
故答案為
【點睛】本題考查了分式的混合運算，熟練掌握約分，通分，因式分解的技巧是解題的關(guān)鍵．
13．，當(dāng)時，原式
【分析】先將代數(shù)式結(jié)合完全平方公式和平方差公式進行化簡，再解出不等式的解集即可并從中選擇即可得到解答．
【詳解】解：原式

．
解得，，
由原式可知，a不能取1，0，，
∴當(dāng)時，原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值、完全平方公式、平方差公式和求不等式的解集，正確的計算是解決本題的關(guān)鍵．
14．
，
【分析】根據(jù)分式運算法則化簡，在整體代入即可得到答案．
【詳解】.解：原式
，
∵，
∴，
∴原式
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是先因式分解能約分先約分，化到最簡，最后整體代入．
15．，當(dāng)取時，原式的值為1．
【分析】先按照分式運算法則化簡，再選取合適的x的值代入求值即可．
【詳解】
，且為整數(shù)，
∴若使分式有意義，只能取﹣2，﹣1，1，
取當(dāng)時，
原式．
【點睛】此題考查了分式的化簡求值，分式有意義的條件，無理數(shù)的估算，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
16．C
【分析】絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】解：
故選：C
【點睛】本題考查用科學(xué)記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為正整數(shù)，由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
17．A
【分析】根據(jù)分式的加減運算法則即可求出答案．
【詳解】解：
=
=
=
=
故選：A
【點睛】本題考查分式的加減運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式的加減運算法則．
18．D
【分析】把a，b中的一個當(dāng)作未知數(shù)，就可得到一個方程，解方程即可求解．
【詳解】解： 兩邊同乘以a，得到：，
解這個關(guān)于a的方程得到：或，
∵，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的解法，把其中的一個字母當(dāng)作未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程問題是解決關(guān)鍵．
19．B
【分析】將原式進行通分計算，然后利用整體思想代入求值．
【詳解】解：原式

，
，
，
原式，
故選：B．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，掌握分式混合運算的運算順序和計算法則是解題關(guān)鍵．
20．D
【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分式的減法法則計算即可求解．
【詳解】解：A．，故選項錯誤，不符合題意；
B．，故選項錯誤，不符合題意；
C．，故選項錯誤，不符合題意；
D．，故選項正確，符合題意．
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的基本性質(zhì)，分式的減法，關(guān)鍵是熟練掌握計算法則正確進行計算．
21．D
【分析】先因式分解，再約分得到原式＝2（m-n），然后利用整體代入的方法計算代數(shù)式的值．
【詳解】解：原式?
＝2（m-n），
當(dāng)m-n＝2時，原式＝2×2＝4．
故選：D．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值：先把分式化簡后，再把分式中未知數(shù)對應(yīng)的值代入求出分式的值．在化簡的過程中要注意運算順序和分式的化簡．化簡的最后結(jié)果分子、分母要進行約分，注意運算的結(jié)果要化成最簡分式或整式．
22．
【分析】直接根據(jù)分式有意義的條件作答即可．
【詳解】∵，
∴，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，當(dāng)分母不等于零時，分式有意義；當(dāng)分母等于零時，分式無意義．分式是否有意義與分子的取值無關(guān)．
23．
【分析】根據(jù)分式有意義的條件：分母不等于，列出不等式求解即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：，解得，
故答案是：．
【點睛】本題考查了分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件：分母不等于是解題的關(guān)鍵．
24．，當(dāng)時，原式(答案不唯一)
【分析】先運用分式加減法法則計算括號內(nèi)的，然后再計算分式除法，將分式化簡，最后分式的意義的條件和取值范圍，取
【詳解】解：
，
∵且，，
∴當(dāng)時，原式(答案不唯一)．
【點睛】本題考查分式化簡求值，熟練掌握分式的運算法則是解題的關(guān)鍵．
25．；
【分析】先根據(jù)分式的混合運算化簡，然后計算的值，代入即可求解．
【詳解】解：
；
∵
∴原式．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，分母有理化，正確的計算是解題的關(guān)鍵．
26．A
【分析】根據(jù)分式的混合運算法則先計算括號內(nèi)的，然后計算除法即可．
【詳解】解：★=
★=
★=
=，
故選A．
【點睛】題目主要考查分式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．
27．B
【分析】先對分式進行化簡，然后問題可求解．
【詳解】解：
=
=
=
=1；
故選B．
【點睛】本題主要考查分式的運算，熟練掌握分式的減法運算是解題的關(guān)鍵．
28．B
【分析】A.根據(jù)，則，根據(jù)，得出；
B.根據(jù)，得出，把代入得：，即可得出答案；
C.當(dāng)時，可以使，，即可判斷出答案；
D.根據(jù)解析B可知，，即可判斷．
【詳解】A.∵，
∴，
∵，
∴，
∴，故A錯誤；
B.∵，即，
∴，
把代入得：，
，
解得：，故B正確；
C.當(dāng)時，可以使，，
∴a，b，c可能同時相等，故C錯誤；
D.根據(jù)解析B可知，，把代入得：，故D錯誤．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了分式的化簡，等式基本性質(zhì)和不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)和等式的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
29．A
【分析】利用同分母分式的加法法則計算，約分得到結(jié)果即可．
【詳解】解：．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了分式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握分式加減運算順序和運算法則．
30．C
【分析】利用分式的基本性質(zhì)，把等式恒等變形，用含f、v的代數(shù)式表示u．
【詳解】解：∵，
∴
∴，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查分式的加、減法運算，關(guān)鍵是異分母通分，掌握通分法則．
31．D
【分析】先利用多項式乘多項式法則計算，再通過比較系數(shù)建立方程組，解方程組可得的值，然后代入計算即可得．
【詳解】解：，
，
，
，
解得，
則，
故選：D．
【點睛】本題考查了多項式乘多項式、二元一次方程組的應(yīng)用、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握多項式乘多項式的運算法則是解題關(guān)鍵．
32．米
【分析】絕對值小于1的數(shù)也可以利用科學(xué)記數(shù)法表示，一般形式為，與絕對值較大數(shù)的科學(xué)記數(shù)法不同的是其所使用的是負(fù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．
【詳解】米，
故答案為：米．
【點睛】用科學(xué)記數(shù)法表示一個數(shù)的方法是：（1）確定a：a是只有一位整數(shù)的數(shù)；（2）確定n：當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n為正整數(shù)，n等于原數(shù)的整數(shù)位數(shù)減1；當(dāng)原數(shù)的絕對值時，n為負(fù)整數(shù)，n的絕對值等于原數(shù)中左起第一個非零數(shù)前零的個數(shù)（含整數(shù)位數(shù)上的零）．
33．##
【分析】根據(jù)題意得出，再代入求值即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
原式，
故答案為：．
【點睛】本題考查了分式的加減法以及分式有意義的條件，把條件變形得出是解本題的關(guān)鍵．
34．##
【分析】先將括號內(nèi)式子通分，再將分式除法轉(zhuǎn)化為分式乘法，最后約分化簡即可．
【詳解】解：原式

．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查分式的加減乘除混合運算，解題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算法則．
35．第②步錯誤，正確過程見解析
【分析】根據(jù)分式的混合運算法則進行計算即可．
【詳解】解：第②步錯誤，
正確解答過程為：原式
，
由，得到，即整數(shù)，0，1，
∵或時，原式分母為，
∴當(dāng)時，原式，
故答案為：②．
【點睛】本題考查了分式的化簡求值，熟練掌握分式的混合運算法則是解本題的關(guān)鍵．
36．，
【分析】先根據(jù)分式運算法則進行化簡，再根據(jù)根與方程的關(guān)系得到關(guān)于的等式，然后代入化簡結(jié)果即可得解．
【詳解】解：
是關(guān)于x的方程的根，
，
，
將代入．
【點睛】本題考查了分式化簡求值及一元二次方程的根，熟練掌握分式運算法則是解題關(guān)鍵．
37．(1)
(2)時，原式
【分析】（1）根據(jù)分式的減法和除法可以化簡題目中的式子；
（2）在中選取一個使得原分式有意義的x的值代入化簡后的式子即可解答本題．
【詳解】（1）解∶ 原式
；
（2）解：要使上式有意義，則且．
∵且x為整數(shù)，
∴，
將代入中，原式．
【點睛】本題考查分式的化簡求值，解答本題的關(guān)鍵是掌握分式的混合運算法則．
38．，
【分析】根據(jù)分式的四則運算進行化簡，然后代入求值即可．
【詳解】解：
，
將，代入得，原式．

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