1．（4分）下列成語所描述的事件中，是必然事件的為（ ）
A．守株待兔B．水漲船高C．畫餅充饑D．拔苗助長
2．（4分）如圖，AB與CD相交于點O，若∠A＝∠D＝90°（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1+∠C＝90°C．∠1+∠2＝90°D．∠B＝∠C
3．（4分）下列計算，正確的是（ ）
A．m4+m3＝m7B．m4?m3＝m12C．m3÷m4＝m﹣1D．（m3）4＝m7
4．（4分）如圖，測量運動員跳遠成績選取的是AB的長度，其依據(jù)是（ ）
A．兩點確定一條直線B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短D．垂直的定義
5．（4分）如圖，三個村莊A、B、C構(gòu)成△ABC，供奶站須到三個村莊的距離都相等（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點
B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點
D．三角形三條中線的交點
6．（4分）駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發(fā)生較大的變化．在這一問題中，自變量是（ ）
A．時間B．駱駝C．沙漠D．體溫
7．（4分）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，則正方形D的面積為（ ）
A．15B．12C．27D．45
8．（4分）小明在草坪上放風(fēng)箏．如圖，記錄了在某一段60秒時間內(nèi)風(fēng)箏的高度h（米）與時間t（秒）（ ）
A．風(fēng)箏距水平地面的最高高度為98米
B．當t＝41秒時，h＝15米
C．當30＜t≤41時，h隨t的增大而減小
D．當h＝80米時，t＝30秒
二、填空題（本大題共五個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．（4分）計算：＝ ．
10．（4分）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°），在A、B間建好橋后，就可直接從A村到B村．若AC＝5km，那么建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為 km．
11．（4分）如圖，直線AB∥CD，∠G＝90°，則∠GHA的度數(shù)為 ．
12．（4分）如果△ABC的兩邊長a、b滿足條件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么這個三角形的第三邊長c的取值范圍為 ．
13．（4分）如圖，四邊形ABDC中，∠ACD＝90°，AB＝3cm．若點E是尺規(guī)作圖的痕跡的交點，D在射線AE上△ABD＝ ．
三、解答題（本大題共五個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（12分）（1）利用乘法公式計算：（2x﹣y﹣3）（2x﹣y+3）；
（2）先化簡，再求值：（a﹣3）2+（a+4）（a﹣4）+2a（2﹣a），其中．
15．（8分）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在請用不同方法從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形．
16．（8分）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅球m個，白球n個．從中任意摸出一個白球的概率是．
（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系式；
（2）若盒子中已有白球5個，再向盒子中放入x個白球，使得從中任意摸出一個白球的概率為
17．（10分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，過點C作直線DE，使DE∥AB
解答下列各題，并要求寫出每步推導(dǎo)的理由．
（1）求證：AF∥CP；
（2）若∠ACB＝86°，求∠P的度數(shù)．
18．（10分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，并且DE＝DC，連接BE、CE
（1）求證：BE＝AC；
（2）若BA＝BC＝13，求△CDE的周長；
（3）在Rt△BDE中，設(shè)DE＝a，BD＝b，請借助本題提供的圖形及相關(guān)信息，設(shè)EF＝x2+b2＝c2．
一、填空題（本大題共五個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
19．（4分）某商城開設(shè)一種摸獎游戲，中一等獎的機會為10萬分之一．將數(shù)據(jù)“10萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 ．
20．（4分）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若α＝55° ．
21．（4分）如圖，點A、點B在由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格的格點上，在網(wǎng)格格點上除點A、B外任取一點C ．
22．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，DE＝1，則BC＝ ．
23．（4分）已知點A、點B在直線l上，AB＝8．若動點P在直線l外，且到直線l的距離為3 ．
二、解答題（本大題共三個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）
24．（8分）如圖，一摞相同規(guī)格的碗整齊地疊放在桌面上．根據(jù)表格已提供的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：
（1）求出表格中a、b的值；
（2）寫出整齊疊放在桌面上碗的高度y（cm）與碗的數(shù)量x（個）之間的關(guān)系式；
（3）若這摞碗的高度為14.6cm，求x的值．
25．（10分）閱讀下列材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則ab＝4（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
請仿照上面“巧妙換元，化繁為簡”的思路與方法，解答下列問題：
（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若x滿足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值；
（3）如圖，正方形ABCD的邊長為x，點E、F分別在AD、DC上，CF＝5，分別以MF、DF為邊作正方形．若長方形EMFD的面積是18
26．（12分）如圖，AB＝AE，AC＝AD，∠1＝∠2．
（1）求證：AD∥CB；
（2）連接CE、DB，求證：CE＝DB；
（3）設(shè)DE與AC交于點F，連接BF．若BC＝x，S△AFB＝y(tǒng)，求y與x的數(shù)量關(guān)系式．
2023-2024學(xué)年四川省成都市郫都區(qū)七年級（下）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共八個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求，答案涂在答題卡上）
1．（4分）下列成語所描述的事件中，是必然事件的為（ ）
A．守株待兔B．水漲船高C．畫餅充饑D．拔苗助長
【分析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機事件的概念可區(qū)別各類事件．
【解答】解：A、守株待兔是隨機事件；
B、水漲船高是必然事件；
C、畫餅充饑是不可能事件；
D、拔苗助長是不可能事件；
故選：B．
【點評】本題考查了隨機事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機事件的概念．必然事件指在一定條件下一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件．不確定事件即隨機事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
2．（4分）如圖，AB與CD相交于點O，若∠A＝∠D＝90°（ ）
A．∠1＝∠2B．∠1+∠C＝90°C．∠1+∠2＝90°D．∠B＝∠C
【分析】根據(jù)對頂角相等可得∠1＝∠2，然后根據(jù)余角定義和三角形內(nèi)角和定理進行分析即可．
【解答】解：A、對頂角相等可得∠1＝∠2，不符合題意；
B、∵∠8＝∠2，
∴∠1+∠C＝90°，說法正確；
C、∠AOC與∠BOD是對頂角，
∴∠5＝∠2，
不能得出∠1+∠6＝90°，說法錯誤；
D、∵∠A＝∠D＝90°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠1，∠B＝180°﹣∠D﹣∠2，
∴∠C＝∠B，說法正確；
故選：C．
【點評】此題主要考查了三角形內(nèi)角和、對頂角及余角和補角，關(guān)鍵是掌握余角：如果兩個角的和等于90°（直角），就說這兩個角互為余角．即其中一個角是另一個角的余角；補角：如果兩個角的和等于180°（平角），就說這兩個角互為補角．即其中一個角是另一個角的補角．
3．（4分）下列計算，正確的是（ ）
A．m4+m3＝m7B．m4?m3＝m12C．m3÷m4＝m﹣1D．（m3）4＝m7
【分析】根據(jù)合并同類項法則；同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；冪的乘方，底數(shù)不變指數(shù)相乘；同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變指數(shù)相減，對各選項分析判斷后利用排除法求解．
【解答】解：A、m4與m3不能合并，故此選項不符合題意；
B、m4?m3＝m7，故此選項不符合題意；
C、m4÷m4＝m﹣1，故此選項符合題意；
D、（m8）4＝m12，故此選項不符合題意；
故選：C．
【點評】本題考查合并同類項、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、同底數(shù)冪的除法，熟練掌握運算性質(zhì)和法則是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）如圖，測量運動員跳遠成績選取的是AB的長度，其依據(jù)是（ ）
A．兩點確定一條直線B．垂線段最短
C．兩點之間線段最短D．垂直的定義
【分析】利用垂線段最短求解．
【解答】解：測量運動員跳遠成績選取的是AB的長度，其依據(jù)是：垂線段最短．
故選：B．
【點評】本題考查了垂線段：從直線外一點引一條直線的垂線，這點和垂足之間的線段叫做垂線段．垂線段的性質(zhì)：垂線段最短．
5．（4分）如圖，三個村莊A、B、C構(gòu)成△ABC，供奶站須到三個村莊的距離都相等（ ）
A．三條邊的垂直平分線的交點
B．三個角的角平分線的交點
C．三角形三條高的交點
D．三角形三條中線的交點
【分析】到三個村的距離相等，即到三角形三個頂點的距離相等，在三角形中，只有三邊垂直平分線的交點到各頂點距離相等．
【解答】解：∵在三角形中，只有三邊垂直平分線的交點到各頂點距離相等，
∴廣場應(yīng)建在三條邊的垂直平分線的交點處．
故選：A．
【點評】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．
6．（4分）駱駝被稱為“沙漠之舟”，它的體溫隨時間的變化而發(fā)生較大的變化．在這一問題中，自變量是（ ）
A．時間B．駱駝C．沙漠D．體溫
【分析】因為駱駝的體溫隨時間的變化而變化，符合“對于一個變化過程中的兩個量x和y，對于每一個x的值，y都有唯一的值和它相對應(yīng)”的函數(shù)定義，自變量是時間．
【解答】解：∵駱駝的體溫隨時間的變化而變化，
∴自變量是時間；
故選：A．
【點評】此題考查常量和變量問題，函數(shù)的定義：設(shè)x和y是兩個變量，D是實數(shù)集的某個子集，若對于D中的每個值x，變量y按照一定的法則有一個確定的值y與之對應(yīng)，稱變量y為變量x的函數(shù)．
7．（4分）如圖，所有陰影部分四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，則正方形D的面積為（ ）
A．15B．12C．27D．45
【分析】設(shè)正方形D的面積為x，根據(jù)圖形得出方程3+5＝x﹣4，求出即可．
【解答】解：設(shè)正方形D的面積為x，
∵正方形A、B、C的面積依次為3、5、8，
∴根據(jù)圖形得：3+5＝x﹣6，
解得：x＝12，
故選：B．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意得出方程，題目比較典型，難度適中．
8．（4分）小明在草坪上放風(fēng)箏．如圖，記錄了在某一段60秒時間內(nèi)風(fēng)箏的高度h（米）與時間t（秒）（ ）
A．風(fēng)箏距水平地面的最高高度為98米
B．當t＝41秒時，h＝15米
C．當30＜t≤41時，h隨t的增大而減小
D．當h＝80米時，t＝30秒
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象逐項判斷即可．
【解答】解：由函數(shù)圖象可得：
A．風(fēng)箏距水平地面的最高高度為98米，不符合題意；
B．當t＝41秒時，故結(jié)論正確；
C．當30＜t≤41時，故結(jié)論正確；
D．在0≤t≤60范圍內(nèi)，t的值有3個，故結(jié)論錯誤．
故選：D．
【點評】本題考查函數(shù)的圖象，讀懂函數(shù)圖象，能從圖象在獲取有效信息作答是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共五個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
9．（4分）計算：＝ 9 ．
【分析】先化簡各式，然后再進行計算即可解答．
【解答】解：
＝4×9
＝9，
故答案為：5．
【點評】本題考查了負整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．
10．（4分）如圖，原來從A村到B村，需要沿路A→C→B（∠C＝90°），在A、B間建好橋后，就可直接從A村到B村．若AC＝5km，那么建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為 4 km．
【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再和以前的距離作比較即可得出答案．
【解答】解：由勾股定理得：
，
∴建好橋后從A村到B村比原來減少的路程為（5+12）﹣13＝8（km），
故答案為4．
【點評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理是解題的關(guān)鍵．
11．（4分）如圖，直線AB∥CD，∠G＝90°，則∠GHA的度數(shù)為 30° ．
【分析】先利用平行線的性質(zhì)可得∠GED＝∠GFH＝60°，然后利用直角三角形的兩個銳角互余進行計算，即可解答．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠GED＝∠GFH＝60°，
∵∠G＝90°，
∴∠GHA＝90°﹣∠GFH＝30°，
故答案為：30°．
【點評】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．
12．（4分）如果△ABC的兩邊長a、b滿足條件|a﹣7|+（b﹣2）2＝0，那么這個三角形的第三邊長c的取值范圍為 5＜c＜9 ．
【分析】先根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求出a、b的值，再由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵a、b滿足條件|a﹣7|+（b﹣2）8＝0，
∴a﹣7＝3，b﹣2＝0，
∴a＝5，b＝2．
∵a、b、c為三角形的三邊長，
∴7﹣7＜c＜7+2，即5＜c＜9．
故答案為：5＜c＜2．
【點評】本題主要考查的是三角形的三邊關(guān)系，非負數(shù)的性質(zhì)，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．
13．（4分）如圖，四邊形ABDC中，∠ACD＝90°，AB＝3cm．若點E是尺規(guī)作圖的痕跡的交點，D在射線AE上△ABD＝ 3cm2 ．
【分析】過D點作DH⊥AB與H點，如圖，利用基本作圖可判斷AD平分∠BAC，則利用角平分線的性質(zhì)得到DH＝DC＝2cm，然后根據(jù)三角形面積公式求解．
【解答】解：過D點作DH⊥AB與H點，如圖，
由作圖痕跡得AD平分∠BAC，
∵AD為∠BAC的平分線，DC⊥AC，
∴DH＝DC＝2cm，
∴S△ABD＝?AB?DH＝6）．
故答案為：3cm2．
【點評】本題考查了作圖﹣尺規(guī)作圖的定義：尺規(guī)作圖是指用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖．只使用圓規(guī)和直尺，并且只準許使用有限次，來解決不同的平面幾何作圖題．也考查了三角形面積公式和角平分線的性質(zhì)．
三、解答題（本大題共五個小題，共48分，解答過程寫在答題卡上）
14．（12分）（1）利用乘法公式計算：（2x﹣y﹣3）（2x﹣y+3）；
（2）先化簡，再求值：（a﹣3）2+（a+4）（a﹣4）+2a（2﹣a），其中．
【分析】（1）根據(jù)平方差公式、完全平方公式計算；
（2）根據(jù)完全平方公式、平方差公式、合并同類項把原式化簡，把a的值代入計算得到答案．
【解答】解：（1）原式＝[（2x﹣y）﹣3][（8x﹣y）+3]
＝（2x﹣y）2﹣32，
＝5y2﹣4xy+y7﹣9；
（2）原式＝a2﹣5a+9+a2﹣16+8a﹣2a2
＝﹣8a﹣7，
當a＝﹣時，原式＝﹣2×（﹣．
【點評】本題考查的是整式的化簡求值，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
15．（8分）如圖是4×4正方形網(wǎng)格，其中已有3個小方格涂成了黑色．現(xiàn)在請用不同方法從其余13個白色小方格中選出一個也涂成黑色，使整個涂成黑色的圖形成為軸對稱圖形．
【分析】利用軸對稱的性質(zhì)設(shè)計出圖案即可．
【解答】解：如圖．
【點評】本題考查的是利用軸對稱設(shè)計圖案，熟知軸對稱的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
16．（8分）在一個不透明的盒子里裝有除顏色外完全相同的紅球m個，白球n個．從中任意摸出一個白球的概率是．
（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系式；
（2）若盒子中已有白球5個，再向盒子中放入x個白球，使得從中任意摸出一個白球的概率為
【分析】（1）根據(jù)概率公式列式整理即可解答；
（2）首先確定紅球的個數(shù)，然后根據(jù)概率公式列式計算即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，
∴2n＝m+n，
∴m＝4n；
（2）當n＝5時，m＝4×5＝20，
放入x個白球后，盒子中總球數(shù)有 （25+x）個，
∵從中任意摸出一個白球的概率為 ，
∴，
∴x＝5，
經(jīng)檢驗，x＝5是方程的解，
則x的值為2．
【點評】此題主要考查了概率公式，正確掌握概率求法是解題關(guān)鍵．
17．（10分）如圖，在△ABC中，AF平分∠BAC，過點C作直線DE，使DE∥AB
解答下列各題，并要求寫出每步推導(dǎo)的理由．
（1）求證：AF∥CP；
（2）若∠ACB＝86°，求∠P的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠ACD＝∠BAC．結(jié)合角平分線定義進而求出∠1＝∠4，即可判定AF∥CP；
（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線定義求出∠2+∠3＝47°，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)及平行線的性質(zhì)求解即可．
【解答】（1）證明：∵DE∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC．
∵AF平分∠BAC，CP平分∠ACD，
∴，，
∴∠1＝∠4，
∴AF∥CP；
（2）解：∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∠ACB＝86°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣86°＝94°，
∵AF平分∠BAC，BF平分∠ABC，
∴，，
∴，
∵∠AFP＝∠2+∠3，
∴∠AFP＝47°，
∵AF∥CP，
∴∠P＝∠AFC，
∴∠P＝47°．
【點評】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識，熟練運用平行線的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
18．（10分）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，并且DE＝DC，連接BE、CE
（1）求證：BE＝AC；
（2）若BA＝BC＝13，求△CDE的周長；
（3）在Rt△BDE中，設(shè)DE＝a，BD＝b，請借助本題提供的圖形及相關(guān)信息，設(shè)EF＝x2+b2＝c2．
【分析】（1）利用SAS證明△BDE≌△ADC，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可得證；
（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出∠EBD＝∠CAD，結(jié)合直角三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠BFC＝90°，則BF⊥AC，根據(jù)線段垂直平分線的判定與性質(zhì)求出EA＝EC，再根據(jù)三角形周長定義求解即可；
（3）根據(jù)三角形面積公式求證即可．
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
在△BDE 和△ADC中，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴BE＝AC；
（2）解：∵△BDE≌△ADC，
∴∠EBD＝∠CAD（全等三角形的對應(yīng)角相等），
∵∠ADC＝90°，
∴∠ACD+∠CAD＝90°，
∴∠ACD+∠EBD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BF⊥AC，
∵BA＝BC，
∴BF是AC的中垂線，
∴EA＝EC，
∵DA＝DB，
∴△CDE的周長＝DE+DC+CE＝BD+DC＝BC＝13；
（3）證明：∵△CDE和△ADB 均為等腰直角三角形，
∴，，
∵BF⊥AC，
∴，
，
∵S△ABC＝S△ADB+S△CDE+S△AEC，
∴，
即，
∴a7+b2＝c2．
【點評】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的證明，熟練運用全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
一、填空題（本大題共五個小題，每小題4分，共20分，答案寫在答題卡上）
19．（4分）某商城開設(shè)一種摸獎游戲，中一等獎的機會為10萬分之一．將數(shù)據(jù)“10萬分之一”用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為 1×10﹣5 ．
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表現(xiàn)形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同，當原數(shù)絕對值大于等于10時，n是正整數(shù)，當原數(shù)絕對值小于1時，n是負整數(shù)；由此進行求解即可得到答案．
【解答】解：10萬分之一＝0.00001＝1×10﹣3．
故答案為：1×10﹣5．
【點評】本題主要考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，熟練掌握科學(xué)記數(shù)法的表示方法是解題的關(guān)鍵．
20．（4分）如圖，將一條兩邊沿互相平行的紙帶折疊，若α＝55° 70° ．
【分析】延長AB到點D，先利用平行線的性質(zhì)可得∠1＝∠α＝55°，然后利用折疊的性質(zhì)可得：∠EBD＝2∠1＝110°，從而利用平角定義可得∠ABE＝70°，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠β＝∠ABE＝70°，即可解答．
【解答】解：如圖：延長AB到點D，
∵AD∥CE，
∴∠1＝∠α＝55°，
由折疊得：∠EBD＝2∠2＝110°，
∴∠ABE＝180°﹣∠EBD＝70°，
∵AD∥CE，
∴∠β＝∠ABE＝70°，
故答案為：70°．
【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形進行分析是解題的關(guān)鍵．
21．（4分）如圖，點A、點B在由邊長為1的小正方形組成的3×3網(wǎng)格的格點上，在網(wǎng)格格點上除點A、B外任取一點C ．
【分析】按照題意分別找出符合條件的點C的位置有幾個，根據(jù)概率公式求出概率即可．
【解答】解：如圖，符合條件的點C的位置有5個，
∴使△ABC為等腰三角形的概率為．
故答案為：．
【點評】此題主要考查了概率公式，解決此題的關(guān)鍵是正確找出恰好能使△ABC為等腰三角形的點．
22．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠BED＝60°，DE＝1，則BC＝ 4 ．
【分析】延長AD交BC于N，延長ED交BC于M，根據(jù)等邊三角形的判定求出△BEM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠EMB＝60°，BM＝EM＝BE＝3，求出DM，求出MN，求出BN，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出BC即可．
【解答】解：延長AD交BC于N，延長ED交BC于M，
∵∠EBC＝∠BED＝60°，
∴EM＝BM，
∴△BEM是等邊三角形，
∴BE＝EM＝BM，∠EMB＝60°，
∵BE＝3，
∴EM＝BM＝BE＝3，
∵DE＝3，
∴DM＝3﹣1＝3，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN＝CN，
∴∠DNM＝90°，
∴∠NDM＝90°﹣∠EMB＝30°，
∴MN＝DM＝5，
∵BM＝3，
∴BN＝BM﹣MN＝3﹣5＝2，
∴BC＝2BN＝5，
故答案為：4．
【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識點，能求出MN的長是解此題的關(guān)鍵．
23．（4分）已知點A、點B在直線l上，AB＝8．若動點P在直線l外，且到直線l的距離為3 10 ．
【分析】先推出點P在平行于直線l，且到直線l的距離為3的直線m上，作點A關(guān)于直線m的對稱點A'，連接PA'，A'B，推出PA+PB的最小值為A'B，再利用勾股定理求出A'B即可解決問題．
【解答】解：∵點P在直線l外，且到直線l的距離為3，
∴點P在平行于直線l，且到直線l的距離為3的直線m上，
作點A關(guān)于直線m的對稱點A'，連接PA'，
則AA'＝8，PA'＝PA，
∴PA+PB＝PA'+PB≥A'B，
∴PA+PB的最小值為A'B，
在Rt△A'BA中，
∵AB＝8，A'A＝6，
∴由勾股定理，得A'B＝＝，
∴PA+PB的最小值為10．
故答案為：10．
【點評】本題考查軸對稱﹣最短路線問題，兩點之間線段最短，勾股定理，能夠?qū)删€段和的最小值用一條線段的長表示是解題的關(guān)鍵．
二、解答題（本大題共三個小題，共30分，解答過程寫在答題卡上）
24．（8分）如圖，一摞相同規(guī)格的碗整齊地疊放在桌面上．根據(jù)表格已提供的數(shù)據(jù)信息，解答下列問題：
（1）求出表格中a、b的值；
（2）寫出整齊疊放在桌面上碗的高度y（cm）與碗的數(shù)量x（個）之間的關(guān)系式；
（3）若這摞碗的高度為14.6cm，求x的值．
【分析】（1）先根據(jù)第二組和第四組數(shù)據(jù)計算出每增加1個碗，碗總的高度增加的量，再由相應(yīng)碗的數(shù)量計算a和b的值即可；
（2）利用待定系數(shù)法求解即可；
（3）將y＝14.6代入（2）中求得的關(guān)系式，求出對應(yīng)x的值即可．
【解答】解：（1）每增加1個碗，碗總的高度增加（8.8﹣6.2）÷（8﹣2）＝1.7（cm），
則a＝6.2﹣3.2＝5，b＝3.2+1.7＝7.4，
∴a的值為5，b的值為7.4．
（2）碗的高度y與碗的數(shù)量x之間是一次函數(shù)關(guān)系．
設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k、b為常數(shù)．
將x＝4，y＝5和x＝2，
得，
解得，
∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝1.8x+3.8．
（3）當y＝14.6時，得1.2x+5.8＝14.6，
∴x的值是3．
【點評】本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)關(guān)系式及由函數(shù)值求對應(yīng)自變量的值是解題的關(guān)鍵．
25．（10分）閱讀下列材料：若x滿足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（9﹣x）2+（x﹣4）2的值．
解：設(shè)9﹣x＝a，x﹣4＝b，則ab＝4（9﹣x）+（x﹣4）＝5．
∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17．
請仿照上面“巧妙換元，化繁為簡”的思路與方法，解答下列問題：
（1）若x滿足（7﹣x）（x﹣2）＝2，求（7﹣x）2+（x﹣2）2的值；
（2）若x滿足（9+x）（2+x）＝4，求（9+x）2+（2+x）2的值；
（3）如圖，正方形ABCD的邊長為x，點E、F分別在AD、DC上，CF＝5，分別以MF、DF為邊作正方形．若長方形EMFD的面積是18
【分析】（1）設(shè)7﹣x＝a，x﹣2＝b，根據(jù)完全平方公式計算；
（2）設(shè)9+x＝a，2+x＝b，根據(jù)完全平方公式計算；
（3）根據(jù)題意用x表示出DF、NR，根據(jù)長方形的面積公式用x表示出長方形EMFD的面積，再根據(jù)完全平方公式、平方差公式計算即可．
【解答】解：（1）設(shè)7﹣x＝a，x﹣2＝b，
則ab＝6，a+b＝（7﹣x）+（x﹣2）＝4，
∴（7﹣x）2+（x﹣7）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×5＝21；
（2）設(shè)9+x＝a，2+x＝b，
則ab＝8，a﹣b＝（9+x）﹣（2+x）＝8，
∴（9+x）2+（4+x）2＝a2+b6＝（a﹣b）2+2ab＝52+2×2＝57；
（3）由題意得：DF＝CD﹣CF＝x﹣5，NR＝DE＝AD＝AE＝x﹣2，
則長方形EMFD的面積＝NR?DF＝（x﹣4）（x﹣5）＝18，
S＝NR2﹣DF5＝（x﹣2）2﹣（x﹣6）2，
設(shè)x﹣2＝a，x﹣8＝b，
則ab＝18，a﹣b＝（x﹣2）﹣（x﹣5）＝6，
∴（a+b）2＝（a﹣b）2+7ab＝32+2×18＝81，
∴由a+b＞0得，a+b＝9，
∴S＝NR7﹣DF2＝（NR+DF）（NR﹣DF）＝（x﹣2）8﹣（x﹣5）2＝a7﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝9×7＝27．
【點評】本題考查的是整式的化簡求值、完全平方公式的幾何背景，掌握整式的混合運算法則是解題的關(guān)鍵．
26．（12分）如圖，AB＝AE，AC＝AD，∠1＝∠2．
（1）求證：AD∥CB；
（2）連接CE、DB，求證：CE＝DB；
（3）設(shè)DE與AC交于點F，連接BF．若BC＝x，S△AFB＝y(tǒng)，求y與x的數(shù)量關(guān)系式．
【分析】（1）證明∠CAD+∠ACB＝180°，根據(jù)平行線的判定即可解決問題；
（2）證明△CAE≌△DAB（SAS），即可解決問題；
（3）作EG⊥AC交AC的延長線于點G，證明△AEG≌△BAC（AAS），得EG＝AC，AG＝BC，再證明△EGF≌△DAF（AAS），得GF＝AF，得BC＝2AF，然后利用三角形的面積公式即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵∠BAE＝∠ACB＝90°，
∴∠2+∠BAC＝90°，
∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAC＝90°，即∠CAD＝90°，
∴∠CAD+∠ACB＝180°，
∴AD∥CB；
（2）證明：如圖1，連接CE，
在△CAE和△DAB中，
∴△CAE≌△DAB（SAS），
∴CE＝DB；
（3）如圖2，作EG⊥AC交AC的延長線于點G，連接BF，
∵AD∥CB，
∴∠ABC＝∠8．
∴∠ABC＝∠2，
在△AEG和△BAC中，
，
∴△AEG≌△BAC（AAS），
∴EG＝AC，AG＝BC，
∵AC＝AD，
∴EG＝DA，
在△EGF和△DAF中，
∴△EGF≌△DAF（AAS），
∴GF＝AF，
∴BC＝AG＝AF+GF＝3AF，
∵，BC＝x，S△AFB＝y(tǒng)，
∴y與x的數(shù)量關(guān)系式為 ．
【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解決本題的關(guān)鍵是得到△EGF≌△DAF．
聲明：試題解析著作權(quán)屬所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2024/7/8 16:25:46；用戶：李佳琳；郵箱：19523779563；學(xué)號：55883986數(shù)量x（個）
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3
4
…
高度y（cm）
a
6.2
b
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數(shù)量x（個）
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3
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高度y（cm）
a
6.2
b
8.6
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