高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.5平面向量中的最值、范圍問題(精講)(原卷版+解析)

這是一份高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)精講精練(新高考地區(qū))5.5平面向量中的最值、范圍問題(精講)(原卷版+解析)，共16頁。

【知識(shí)必備】
一、平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．
二、平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）坐標(biāo)法
第一步 : 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步: 將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（2）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（3）幾何意義法
第一步: 先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步: 根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
【題型精講】
【題型一 平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】
必備技巧 數(shù)量積的最值范圍處理方法
（1）運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后,再運(yùn)算，
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，
（3）利用極化恒等式來處理.
例1(2023·河南高三月考）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為
A．18B．24C．36D．48
例2 (2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是_________.
【跟蹤精練】
1. (2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是
2. (2023·云南玉溪·高三月考）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長(zhǎng)為6 的可移動(dòng)的線段，，， ，則的取值范圍為 ________________ .
【題型二 平面向量模的最值范圍問題】
方法技巧 模的最值范圍處理方法
設(shè),則,向量的?？梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長(zhǎng)度,過可結(jié)合平面幾何知識(shí)求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求．
例3(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC為等邊三角形，AB=2，△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，的最小值為（ ）
例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
【跟蹤精練】
1. (2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
2. (2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．
【題型三 平面向量夾角的最值范圍問題】
例5(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是 ．
例6 (2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是 ．
【題型精練】
1．(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 設(shè)向量、滿足：，，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【題型四 平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】
必備技巧 系數(shù)的最值范圍處理方法
（1）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，
（2）利用極等和線定理來處理.
例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．48B．49C．50D．51
例8 (2023·海南?？凇ざ＃┰O(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于 ．
【題型精練】
1. (2023?南通期末）在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
2. (2023?濟(jì)南期末）設(shè)，為單位向量，非零向量，，，若，的夾角為，則的最小值為
A．B．C．1D．4
5.5 平面向量中的最值、范圍問題
【題型解讀】
【知識(shí)必備】
一、平面向量中的范圍、最值問題是熱點(diǎn)問題,也是難點(diǎn)問題,此類問題綜合性強(qiáng),體現(xiàn)了知識(shí)的交匯組合．其基本題型是根據(jù)已知條件求某個(gè)變量的范圍、最值,比如向量的模、數(shù)量積、向量夾角、系數(shù)的范圍等,解決思路是建立目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)解析式,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,同時(shí)向量兼顧“數(shù)”與“形”的雙重身份,所以解決平面向量的范圍、最值問題的另外一種思路是數(shù)形結(jié)合．
二、平面向量范圍與最值問題常用方法：
（1）坐標(biāo)法
第一步 : 根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)
第二步: 將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化
第三步:運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解
（2）基底法
第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量
第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)
第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論
（3）幾何意義法
第一步: 先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡
第二步: 根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式
第三步：解得結(jié)果
【題型精講】
【題型一 平面向量數(shù)量積的最值范圍問題】
必備技巧 數(shù)量積的最值范圍處理方法
（1）運(yùn)用平面向量基本定理,將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后,再運(yùn)算，
（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，
（3）利用極化恒等式來處理.
例1(2023·河南高三月考）騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運(yùn)動(dòng)，深受大眾喜愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，已知圖中的圓（前輪），圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．設(shè)點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，則在騎動(dòng)該自行車的過程中，的最大值為
A．18B．24C．36D．48
答案：C
【解答】
據(jù)題意：圓（后輪）的半徑均為，，，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形．點(diǎn)為后輪上的一點(diǎn)，故，
，故
【法二】：如圖建立平面直角坐標(biāo)系：
則，，．可設(shè)，
所以，．
故
．
故選：．
例2 (2023·陜西·交大附中模擬預(yù)測(cè)）邊長(zhǎng)為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，的取值范圍是_________.
答案：
【解析】如下圖所示：
設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長(zhǎng)度最大時(shí)，為圓的一條直徑，
，
當(dāng)為正方形的某邊的中點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)與正方形的頂點(diǎn)重合時(shí)，，即，
因此，.
故答案為：.
【跟蹤精練】
1. (2023·山東·山師附中模擬預(yù)測(cè)）已知圓半徑為2，弦，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值是
答案：6
【解答】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，則：
；
；
當(dāng)，即同向時(shí)取“”；
的最大值為6．
故答案為：6．
2. (2023·云南玉溪·高三月考）如圖直角梯形ABCD中，EF是CD邊上長(zhǎng)為6 的可移動(dòng)的線段，，， ，則的取值范圍為 ________________ .
答案：
【解析】在上取一點(diǎn)，使得，取的中點(diǎn)，連接，，
如圖所示：
則，，，
，即.
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，此時(shí)，
所以.
當(dāng)與重合時(shí)，，，
則，
當(dāng)與重合時(shí)，，，
則，
所以，即的取值范圍為.
故答案為：
【題型二 平面向量模的最值范圍問題】
方法技巧 模的最值范圍處理方法
設(shè),則,向量的?？梢岳米鴺?biāo)表示,也可以借助“形”,向量的模指的是有向線段的長(zhǎng)度,過可結(jié)合平面幾何知識(shí)求解,尤其注意,如果直接求模不易,可以將向量用基底向量表示再求．
例3(2023·江蘇·南京市天印高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知△ABC為等邊三角形，AB=2，△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)P滿足，的最小值為（ ）
答案：C
【解析】建系
A，B ，C,設(shè)P
，,
，
則P到距離為1，則最小值為
例4(2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量，滿足，，則的最大值為______.
答案：
【解析】設(shè)向量的夾角為，
，
，
則，
令，
則，
據(jù)此可得：，
即的最大值是
故答案為：.
【跟蹤精練】
1. (2023·全國·高三課時(shí)練習(xí)）已知，點(diǎn)在線段上，且的最小值為，則（）的最小值為（ ）
A．B．C．2D．
答案：B
【解析】當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)椋?br>所以此時(shí)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
因?yàn)椋?，故?br>則，
因?yàn)椋?br>故．
故選：B.
2. (2023·江蘇姑蘇·蘇州中學(xué)高三月考）已知平面向量，，滿足，，與的夾角為，則的最大值為___________．
答案：
【解析】∵，,∴，
如圖所示，設(shè)平面向量，，都是以O(shè)為起點(diǎn)，終點(diǎn)分別是A,B,C，
則平面向量+的終點(diǎn)N到O的距離為2，
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,則|MN|=1,∴N在以M為圓心，半徑為1的圓周上.
由與的夾角為，∴點(diǎn)C在以AB為弦的圓周角為的優(yōu)弧上，
當(dāng)C,M,N共線，且C,N在直線AB的兩側(cè)，并且CM⊥AB時(shí)，|CN|最大，也就是取得最大值,
此時(shí),, |CN|=,
故答案為：.
【題型三 平面向量夾角的最值范圍問題】
例5(2023·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）非零向量滿足=,,則的夾角的最小值是 ．
答案：
【解析】由題意得,,整理得,即
,,夾角的最小值為
例6 (2023·河北武強(qiáng)中學(xué)高三月考）已知,,且與的夾角為銳角,則的取值范圍是 ．
【解析】由于與的夾角為銳角,,且與不共線同向,由,解得,當(dāng)向量與共線時(shí),得,得,因此的取值范圍是且．
【題型精練】
1．(2023·福建省漳州市高三一模)已知向量與的夾角為，，，，，在時(shí)取最小值，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為
A．，B．，C．，D．，
【解析】解：由題意得：
，
，
，
由二次函數(shù)知，當(dāng)上式取最小值時(shí)，，
，，
解得．
的取值范圍為．
故選：．
2. (2023·福建省漳州市高三期末) 設(shè)向量、滿足：，，的夾角是，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍是
A．B．
C．D．
【解析】解：向量、滿足：，，的夾角是，．
若與的夾角為鈍角，
則，且與不共線，
即，且，
即，且．
求得，，即，，，
故選：．
【題型四 平面向量中系數(shù)的最值范圍問題】
必備技巧 系數(shù)的最值范圍處理方法
（1）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來處理，
（2）利用極等和線定理來處理.
例7(2023·全國·高三專題練習(xí)）在矩形中，，，，分別是，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè)，則的最小值為（ ）
A．48B．49C．50D．51
答案：B
【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，
則，，，，
設(shè)，，因?yàn)椋?br>所以，，.
因?yàn)?，所以，?br>所以.
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).
故選: B.
例8 (2023·海南?？凇ざ＃┰O(shè)為單位向量，非零向量，若的夾角為，則的最大值等于 ．
【解析】解：，
只考慮，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
則的最大值等于．
故答案為：．
【題型精練】
1. (2023?南通期末）在中，M為BC邊上任意一點(diǎn)，N為線段AM上任意一點(diǎn)，若（，），則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】解：由題意，設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，從而有；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，）?br>所以，即，
因?yàn)椤?、三點(diǎn)共線，所以，即.
綜上，的取值范圍是.
故選：C.
2. (2023?濟(jì)南期末）設(shè)，為單位向量，非零向量，，，若，的夾角為，則的最小值為
A．B．C．1D．4
【解析】解：，為單位向量，非零向量，，，若，的夾角為，
，
則，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，
故選：．