浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(含答案)

這是一份浙江省湖州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試卷(含答案)，共16頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

一、選擇題
1．設(shè)向量,,如果與共線且方向相同,則x的值為( )
A.B.C.0D.
2．若復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位）,則( )
A.0B.1C.D.
3．在中,“”是“”的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
4．的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)的值為,記展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為m,系數(shù)和為n,則( )
A.63B.65C.D.793
5．若函數(shù)為偶函數(shù),則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.B.0C.D.1
6．已知隨機(jī)變量,滿足,且,則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.
C.D.
7．商家為了解某品牌電風(fēng)扇的月銷售量y（臺(tái)）與月平均氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月該品牌電風(fēng)扇的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫,其數(shù)據(jù)如下表;
由表中數(shù)據(jù)算出線性回歸方程中的,據(jù)此估計(jì)平均氣溫為的那個(gè)月,該品牌電風(fēng)扇的銷售量約為_(kāi)____臺(tái)( )
A.63B.61C.59D.57
8．若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,則的最大值為( )
A.B.C. D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．下列說(shuō)法正確的是( )
A.已知兩個(gè)變量線性相關(guān),若它們的相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)越接近于1
B.正態(tài)曲線當(dāng)一定時(shí),越小,正態(tài)曲線越“瘦高”;越大,正態(tài)曲線越“矮胖”
C.在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí),決定系數(shù)的值越大,說(shuō)明擬合的效果越好
D.對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn),隨機(jī)變量的值越大,判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越大
10．如圖所示,已知角,的始邊為x軸的非負(fù)半軸,終邊與單位圓的交點(diǎn)分別為A,B,M為線段的中點(diǎn),射線與單位圓交于點(diǎn)C,則( )
A.
B.
C.當(dāng)面積為時(shí),點(diǎn)M在圓上運(yùn)動(dòng)
D.點(diǎn)M的坐標(biāo)為
11．有個(gè)編號(hào)分別為的盒子,1號(hào)盒子中有1個(gè)白球和2個(gè)黑球,其余盒子中均有2個(gè)白球和2個(gè)黑球.現(xiàn)從1號(hào)盒子任取一球放入2號(hào)盒子;再?gòu)?號(hào)盒子任取一球放入3號(hào)盒子;;以此類推,記“從i號(hào)盒子取出的球是白球”為事件,則( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．邊長(zhǎng)為2的正方形中,M,N分別為,的中點(diǎn),則_________.
13．2024年3月14日是第十九屆世界腎臟日.某社區(qū)服務(wù)站將從5位志愿者中選3人到兩個(gè)不同的社區(qū)宣傳這屆腎臟日的主題：“全民腎臟健康”,其中1人去A社區(qū),2人去B社區(qū),則不同的分配方案有___________種（用數(shù)字作答）.
14．已知對(duì)任意恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____________.
四、解答題
15．已知a,b,c分別為三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且.
(1)求A;
(2)若邊的中線,且面積為,求的值.
16．2024年3月28日,小米集團(tuán)在北京舉行主題為“向前”的小米汽車上市發(fā)布會(huì),正式發(fā)布小米SU7.在發(fā)布會(huì)上,小米集團(tuán)創(chuàng)始人?董事長(zhǎng)兼CEO雷軍表示：“這是小米SU7第一次正式亮相,這個(gè)時(shí)代的夢(mèng)想之車必須要有最先進(jìn)的智能科技和最出色的駕駛質(zhì)感”.小米汽車首款產(chǎn)品的推出引起了購(gòu)車者的熱議,為了了解購(gòu)車者對(duì)該款汽車的購(gòu)買意愿與年齡是否具有相關(guān)性,在某購(gòu)車市場(chǎng)隨機(jī)抽取了100名中青年購(gòu)車意向者進(jìn)行調(diào)查,現(xiàn)定義小于45周歲的為青年,大于等于45周歲小于60周歲的為中年,所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：
(1)請(qǐng)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),分析購(gòu)車意向者對(duì)小米SU7的購(gòu)買意愿與年齡段是否有關(guān);
(2)在以上隨機(jī)抽取不愿購(gòu)買的調(diào)查者中,按年齡比例分層抽樣抽取8名,然后在被抽取的8名中再隨機(jī)抽取5名進(jìn)行面對(duì)面訪談.設(shè)面對(duì)面訪談中的青年人數(shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（參考公式：,其中.）
17．如圖,在四棱錐中,平面平面,底面為正方形,且為線段的中點(diǎn),F為線段上的動(dòng)點(diǎn),.
(1)證明：;
(2)求實(shí)數(shù)的值,使得平面與平面所成銳二面角的平面角的正弦值最小.
18．在信道內(nèi)傳輸0,1信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.由于技術(shù)原因,每次傳輸信號(hào)的準(zhǔn)確率為,即發(fā)送1時(shí),收到1的概率為0.9,收到0的概率為0.1;發(fā)送0時(shí),收到0的概率為0.9,收到1的概率為0.1,現(xiàn)進(jìn)行多節(jié)點(diǎn)信號(hào)傳輸,由信號(hào)源發(fā)送信號(hào)至節(jié)點(diǎn)1,節(jié)點(diǎn)1把收到的信號(hào)重新發(fā)送至節(jié)點(diǎn)2,節(jié)點(diǎn)2再把收到的信號(hào)重新發(fā)送至節(jié)點(diǎn)3,以此類推,最終發(fā)送至節(jié)點(diǎn)n.
(1)若信號(hào)源發(fā)出信號(hào)1,求節(jié)點(diǎn)2收到信號(hào)1的概率;
(2)為確保信號(hào)傳輸?shù)挠行?要求節(jié)點(diǎn)n收到信號(hào)的準(zhǔn)確率不低于,求n的最大值.參考數(shù)據(jù)：.
19．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)若且恒成立,求的最大值;
(3)在（2）的條件下,且取得最大值時(shí),設(shè),且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,求實(shí)數(shù)t的取值范圍,并證明：.
參考答案
1．答案：B
解析：因?yàn)?,且與共線,
所以,得,
因?yàn)榕c方向相同,所以.
故選：B.
2．答案：D
解析：,
所以,
所以.
故選：D.
3．答案：C
解析：因?yàn)锳,B是三角形的內(nèi)角,且,
所以,
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以,故充分性成立;
反之,在上單調(diào)遞減,,
若,則,故必要性成立,
所以在中,“”是“”的充要條件,
故選：C.
4．答案：A
解析：由的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是第四項(xiàng)即：,解得,
所以的展開(kāi)式系數(shù)和為,即,
而的展開(kāi)式二項(xiàng)式系數(shù)和為,即,
所以,
故選：A.
5．答案：A
解析：的定義域?yàn)镽,,
由于為偶函數(shù),故,
故,故
故選:A
6．答案：D
解析：因?yàn)殡S機(jī)變量,滿足,且,所以
對(duì)于A,,所以A不正確;
對(duì)于B,,,
,所以B不正確;
對(duì)于C,,,
,所以C不正確;
根據(jù),
由,,
則,,
故選：D.
7．答案：A
解析：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),可得,
又由點(diǎn)在回歸方程上,其中,
所以,解得,即,
當(dāng)時(shí),,即估計(jì)平均氣溫為的那個(gè)月,該品牌電風(fēng)扇的銷售量約為63件.
故選：A.
8．答案：C
解析：由題意得,所以,
,
將代入中得,
所以,
,
令,則,
令得,令得,
所以在上單調(diào)遞增,上單調(diào)遞減,
所以,即的最大值為.
故選：C.
9．答案：BC
解析：對(duì)于A選項(xiàng),兩個(gè)變量線性相關(guān),若它們的相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近1,故A錯(cuò)誤;
對(duì)于B選項(xiàng),正態(tài)曲線中,當(dāng)一定時(shí),越小,總體分布越集中,則正態(tài)曲線越“瘦高”; 越大,總體分布越分散,則正態(tài)曲線越“矮胖”,故B正確;
對(duì)于C選項(xiàng),在刻畫回歸模型的擬合效果時(shí),殘差平方和越小,相關(guān)指數(shù)的值越大,說(shuō)明擬合的效果越好,故C正確;
對(duì)于D選項(xiàng),對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn),隨機(jī)變量的值越大,判定“兩變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率越小,故D錯(cuò)誤.
故選：BC
10．答案：ABD
解析：由已知,得,,則,依題意M為的中點(diǎn),則,故A正確;
由題意,得,,
則,,
所以,故B正確;
由題意可得,,因?yàn)榈闹悬c(diǎn),則,其中,
因
故,故D正確;
由,則,,
設(shè),則,將兩式平方相加得,即,即點(diǎn)M在園上運(yùn)動(dòng),故C錯(cuò)誤.
故選：ABD
11．答案：BCD
解析：對(duì)于A,,所以A錯(cuò)誤;
對(duì)于B,,
所以,所以B正確;
對(duì)于C,因?yàn)?,
所以,所以C正確,
對(duì)于D,由題意可得,,
,
所以,
所以數(shù)列是以為公比,為首項(xiàng)的等比數(shù)列,
所以,所以,
所以,則,所以D正確.
故選：BCD.
12．答案：4
解析：,,
所以.
故答案為：4.
13．答案：30
解析：由題意,去A社區(qū)的有5種分法,去B社區(qū)的有種,由分步乘法計(jì)數(shù)原理得不同的分配方案為種.
故答案：30.
14．答案：
解析：令,,則,
由題意可知對(duì)任意恒成立,且,
可得,得,
若,令,
則,
所以在上遞增,
所以,
即對(duì)任意恒成立,
則在上遞增,可得
綜上,當(dāng)符合題意,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
15．答案：(1)
(2)3
解析：(1),
由正弦定理得,
即,
即,又,
所以,即,,
,.
(2)依題意,得,兩邊平方得,
而,
代入得,得到(?);
又因?yàn)?,化簡(jiǎn)得到(??);
(?)與(??)聯(lián)立得到,,
又,即,所以,
則,.
16．答案：(1)認(rèn)為意向者對(duì)該款汽車的購(gòu)買意愿與年齡段有關(guān)
(2)分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望為.
解析：(1)零假設(shè)為：意向者對(duì)該款汽車的購(gòu)買意愿與年齡段無(wú)關(guān).
根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),我們推斷不成立,
即認(rèn)為意向者對(duì)該款汽車的購(gòu)買意愿與年齡段有關(guān).
（2）按性別比例分層抽樣抽取8名調(diào)查者中,有青年3名,中年5名,
若在被抽取的8名中再隨機(jī)抽取5名,則
故隨機(jī)變量X的分布列
故隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.
17．答案：(1)證明見(jiàn)解析
(2)
解析：(1)因?yàn)榍?E為線段的中點(diǎn),
所以,
又因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面,平面,
所以平面,
因?yàn)槠矫?所以;
(2)因?yàn)槠矫?平面,則,
又,,,面,所以平面,
因?yàn)槠矫?則平面平面,,
平面平面,平面,
所以平面,
如圖分別以,,所在的直線為x,y,z軸,
不妨設(shè),則,,,,,
,設(shè),,,
則,解得,
設(shè)平面的法向量為,,
則,
所以,取,則,即,
設(shè)平面的法向量為,,,
則,取,
設(shè)平面與平面所成銳二面角的平面角為,
則,
所以,
令,則,
所以
,
因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),
所以當(dāng)時(shí),即時(shí),,則.
18．答案：(1)0.82
(2)7
解析：(1)記“節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1”,“節(jié)點(diǎn)i收到信號(hào)”,
則,
且.
,
所以節(jié)點(diǎn)2收到信號(hào)1的概率為0.82.
(2)不妨計(jì)算信號(hào)源發(fā)出信號(hào)1,求節(jié)點(diǎn)n收到信號(hào)1的概率：
記,則,
則,
即,
構(gòu)造得,又,
所以,
即節(jié)點(diǎn)收到信號(hào)1的概率為.
由,得,
兩邊取以10為底的對(duì)數(shù),,
所以,即n的最大值為7.
19．答案：(1)答案見(jiàn)解析
(2).
(3),證明見(jiàn)解析
解析：(1)
當(dāng)時(shí),恒成立,在遞增,無(wú)極值;
當(dāng)時(shí),得;得,
所以在遞增,在遞增,
故,無(wú)極大值;
(2)當(dāng)時(shí),由（1）知.
由得,即,
故,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立,
即.
(3)由（2）知,當(dāng)時(shí),
令,則有兩個(gè)零點(diǎn),,,當(dāng)且僅當(dāng).
有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于的兩個(gè)零點(diǎn),,
即
由（*）式得
要證,即證,即證
即證
即證（令）,即證
令,,在遞增,故
,即成立,故原不等式成立,證畢.
平均氣溫
27
29
31
33
月銷售量（臺(tái)）
24
33
40
55
年齡段
購(gòu)車意愿
愿意購(gòu)買SU7
不愿購(gòu)買SU7
青年
45
15
60
中年
15
25
40
合計(jì)
60
40
100
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
2
3
P