第1講 機(jī)械振動
目標(biāo)要求 1.知道簡諧運(yùn)動的概念，理解簡諧運(yùn)動的表達(dá)式和圖像.2.知道什么是單擺，熟記單擺的周期公式.3.理解受迫振動和共振的概念，了解產(chǎn)生共振的條件．
考點(diǎn)一 簡諧運(yùn)動的基本特征
1．簡諧運(yùn)動：如果物體在運(yùn)動方向上所受的力與它偏離平衡位置位移的大小成正比，并且總是指向平衡位置，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動就是簡諧運(yùn)動．
2．平衡位置：物體在振動過程中回復(fù)力為零的位置．
3．回復(fù)力
(1)定義：使物體在平衡位置附近做往復(fù)運(yùn)動的力．
(2)方向：總是指向平衡位置．
(3)來源：屬于效果力，可以是某一個力，也可以是幾個力的合力或某個力的分力．
1．簡諧運(yùn)動的平衡位置就是質(zhì)點(diǎn)所受合力為零的位置．( × )
2．做簡諧運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)先后通過同一點(diǎn)，回復(fù)力、速度、加速度、位移都是相同的．( × )
3．做簡諧運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，速度增大時，其加速度一定減小．( √ )
4．振動物體經(jīng)過半個周期，路程等于2倍振幅；經(jīng)過eq \f(1,4)個周期，路程等于振幅．( × )
對簡諧運(yùn)動的理解
考向1 簡諧運(yùn)動基本物理量的分析
例1 如圖所示，小球在BC之間做簡諧運(yùn)動，當(dāng)小球位于O點(diǎn)時，彈簧處于原長，在小球從C運(yùn)動到O的過程中( )
A．動能不斷增大，加速度不斷減小
B．回復(fù)力不斷增大，系統(tǒng)機(jī)械能守恒
C．彈性勢能不斷減小，加速度不斷增大
D．彈性勢能不斷增大，加速度不斷減小
答案 A
解析 做簡諧運(yùn)動的小球，從C到O的過程中逐漸靠近平衡位置，速度方向指向平衡位置，彈簧彈力充當(dāng)回復(fù)力，也指向平衡位置，故速度方向與受力方向相同，所以合外力做正功，動能增大；同時由于偏離平衡位置的位移減小，由回復(fù)力公式F＝－kx可知，回復(fù)力逐漸減小，根據(jù)牛頓第二定律可知 F＝－kx＝ma，故加速度不斷減小，故A正確；由上述分析可知回復(fù)力不斷減小，整個系統(tǒng)只有系統(tǒng)內(nèi)的彈簧彈力做功，故系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故B錯誤；在小球從C到O的過程中，彈簧形變量逐漸減小，故彈性勢能逐漸減小，同時由上述分析可知，加速度也逐漸減小，故C、D錯誤．
例2 (多選)如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在天花板上，下端連接一物塊，物塊沿豎直方向以O(shè)點(diǎn)為中心點(diǎn)，在C、D兩點(diǎn)之間做周期為T的簡諧運(yùn)動．已知在t1時刻物塊的速度大小為v、方向向下，動能為Ek，下列說法正確的是( )
A．如果在t2時刻物塊的速度大小也為v，方向向下，則t2－t1的最小值可能小于eq \f(T,2)
B．如果在t2時刻物塊的動能也為Ek，則t2－t1的最小值為T
C．物塊通過O點(diǎn)時動能最大
D．當(dāng)物塊通過O點(diǎn)時，其加速度最小
答案 ACD
解析 如果在t2時刻物塊的速度大小也為v、方向也向下，則t2－t1的最小值可能小于eq \f(T,2)，故A正確；如果在t2時刻物塊的動能也為Ek，則t2－t1的最小值小于eq \f(T,2)，故B錯誤；當(dāng)物塊通過O點(diǎn)時，其加速度最小，速度最大，動能最大，故C、D正確．
考向2 簡諧運(yùn)動的周期性與對稱性
例3 (多選)小球做簡諧運(yùn)動，若從平衡位置O開始計(jì)時，經(jīng)過0.5 s，小球第一次經(jīng)過P點(diǎn)，又經(jīng)過0.2 s，小球第二次經(jīng)過P點(diǎn)，則再過多長時間該小球第三次經(jīng)過P點(diǎn)( )
A．0.6 s B．2.4 s C．0.8 s D．2.2 s
答案 AD
解析 若小球從O點(diǎn)開始向指向P點(diǎn)的方向振動，作出示意圖如圖甲所示
則小球的振動周期為T1＝(0.5＋0.1)×4 s＝2.4 s，則該小球再經(jīng)過時間Δt＝T1－0.2 s＝2.2 s，第三次經(jīng)過P點(diǎn)；若小球從O點(diǎn)開始向背離P點(diǎn)的方向振動，作出示意圖如圖乙所示
則有0.5 s＋0.1 s＝eq \f(3,4)T2，小球的振動周期為T2＝0.8 s，則該小球再經(jīng)過時間Δt′＝T2－0.2 s＝0.6 s，第三次經(jīng)過P點(diǎn)，B、C錯誤，A、D正確．
考點(diǎn)二 簡諧運(yùn)動的表達(dá)式和圖像
1．簡諧運(yùn)動的表達(dá)式
x＝Asin(ωt＋φ0)，ωt＋φ0為相位，φ0為初相位，ω為圓頻率，ω＝eq \f(2π,T).
2．簡諧運(yùn)動的振動圖像
表示做簡諧運(yùn)動的物體的位移隨時間變化的規(guī)律，是一條正弦曲線．
1．簡諧運(yùn)動的圖像描述的是振動質(zhì)點(diǎn)的軌跡．( × )
2．簡諧運(yùn)動的振動圖像一定是正弦曲線．( √ )
從振動圖像可獲取的信息
(1)振幅A、周期T(或頻率f)和初相位φ0(如圖所示)．
(2)某時刻振動質(zhì)點(diǎn)離開平衡位置的位移．
(3)某時刻質(zhì)點(diǎn)速度的大小和方向：曲線上各點(diǎn)切線的斜率的大小(即此切點(diǎn)的導(dǎo)數(shù))和正負(fù)分別表示各時刻質(zhì)點(diǎn)的速度大小和方向，速度的方向也可根據(jù)下一相鄰時刻質(zhì)點(diǎn)的位移的變化來確定．
(4)某時刻質(zhì)點(diǎn)的回復(fù)力和加速度的方向：回復(fù)力總是指向平衡位置，回復(fù)力和加速度的方向相同．
(5)某段時間內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移、回復(fù)力、加速度、速度、動能和勢能的變化情況．
例4 (多選)(2023·福建福州市模擬)一只小鳥從上往下落在細(xì)樹枝上，隨樹枝做小幅度上下振動(可視為豎直方向的簡諧運(yùn)動)，某時刻開始計(jì)時，其振動位移x隨時間t變化規(guī)律(振動圖像x－t)如圖所示．取豎直向上為正方向，已知小鳥只在重力和樹枝對小鳥的作用力作用下運(yùn)動，則下列說法正確的是( )
A．在t2時刻，小鳥速度最大，方向豎直向下
B．在t1和t3時刻，樹枝對小鳥的作用力大小一樣
C．在0～t1過程，樹枝對小鳥的作用力一定是越來越小
D．在t2～t3過程，樹枝對小鳥的作用力一定是越來越大
答案 AD
解析 由振動圖像可知，在t2時刻，小鳥處于平衡位置向下振動，則此時小鳥的速度達(dá)到最大，方向豎直向下，A正確；在t1和t3時刻，小鳥的加速度a大小相等，t1時刻的加速度方向向下，根據(jù)牛頓第二定律有mg－F1＝ma，解得F1＝mg－ma, t3時刻的加速度方向向上，根據(jù)牛頓第二定律有F3－mg＝ma，解得F3＝mg＋ma，可知在t1和t3時刻，樹枝對小鳥的作用力大小不一樣，B錯誤；在0～t1過程，小鳥的加速度越來越大，加速度方向向下，根據(jù)牛頓第二定律有mg－F＝ma，解得F＝mg－ma，若小鳥在t1時刻的最大加速度小于重力加速度，可知隨著小鳥加速度的增大，樹枝對小鳥的作用力越來越小，若小鳥在t1時刻的最大加速度大于重力加速度，可知隨著小鳥加速度的增大，樹枝對小鳥的作用力先逐漸減小到零，再反向逐漸增大，C錯誤；在t2～t3過程，小鳥的加速度越來越大，加速度方向向上，根據(jù)牛頓第二定律有F－mg＝ma，解得F＝mg＋ma，可知隨著小鳥加速度的增大，樹枝對小鳥的作用力一定是越來越大，D正確．
例5 (多選)如圖所示，水平彈簧振子沿x軸在M、N間做簡諧運(yùn)動，坐標(biāo)原點(diǎn)O為小球的平衡位置，其振動方程為x＝5sin(10πt＋eq \f(π,2)) cm.下列說法正確的是( )
A．MN間距離為5 cm
B．小球的運(yùn)動周期是0.2 s
C．t＝0時，小球位于N點(diǎn)
D．t＝0.05 s時，小球具有最大加速度
答案 BC
解析 MN間距離為2A＝10 cm，故A錯誤；因ω＝10π rad/s，可知小球的運(yùn)動周期是T＝eq \f(2π,ω)＝eq \f(2π,10π) s＝0.2 s，故B正確；由x＝5sin(10πt＋eq \f(π,2)) cm可知，t＝0時，x1＝5 cm，即小球位于N點(diǎn)，故C正確；由x＝5sin(10πt＋eq \f(π,2)) cm可知，t＝0.05 s時，x2＝0，此時小球位于O點(diǎn)，小球加速度為零，故D錯誤．
考點(diǎn)三 單擺及其周期公式
1．定義：
如果細(xì)線的長度不可改變，細(xì)線的質(zhì)量與小球相比可以忽略，球的直徑與線的長度相比也可以忽略，這樣的裝置叫作單擺．(如圖)
2．簡諧運(yùn)動的條件：θg月)，且擺長相等，則圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線
B．若兩個單擺的受迫振動是在地球上同一地點(diǎn)進(jìn)行的，則兩個單擺的擺長之比LⅠ∶LⅡ＝25∶4
C．若擺長均約為1 m，則圖線Ⅰ是在地面上完成的
D．若兩個單擺在同一地點(diǎn)均發(fā)生共振，圖線Ⅱ表示的單擺的能量一定大于圖線Ⅰ表示的單擺的能量
答案 AB
解析 題圖所示的圖線中振幅最大處對應(yīng)的頻率應(yīng)與做受迫振動的單擺的固有頻率相等，從圖線上可以看出，兩單擺的固有頻率fⅠ＝0.2 Hz，fⅡ＝0.5 Hz.當(dāng)兩擺在月球和地球上分別做受迫振動且擺長相等時，根據(jù)f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,L))可知，g越大，f越大，所以gⅡ>gⅠ，又因?yàn)間地>g月，因此可推知圖線Ⅰ表示月球上單擺的共振曲線，A正確；若兩個單擺在地球上同一地點(diǎn)進(jìn)行受迫振動，g相同，擺長長的f小，因?yàn)閑q \f(fⅠ,fⅡ)＝eq \f(0.2,0.5)，所以eq \f(LⅠ,LⅡ)＝eq \f(25,4)，B正確；因?yàn)閒Ⅱ＝0.5 Hz，若圖線Ⅱ是在地面上完成的，根據(jù)f＝eq \f(1,2π)eq \r(\f(g,L))，可計(jì)算出LⅡ約為1 m，C錯誤；單擺的能量除了與振幅有關(guān)，還與擺球質(zhì)量有關(guān)，由于兩擺球質(zhì)量關(guān)系未知，故不能比較兩擺的能量，D錯誤．
課時精練
1.如圖所示，彈簧振子在A、B之間做簡諧運(yùn)動，O為平衡位置，測得A、B間距為6 cm，小球完成30次全振動所用時間為60 s，則( )
A．該振子振動周期是2 s，振幅是6 cm
B．該振子振動頻率是2 Hz
C．小球完成一次全振動通過的路程是12 cm
D．小球過O點(diǎn)時開始計(jì)時，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm
答案 C
解析 由題意可知T＝eq \f(60,30) s＝2 s，A＝eq \f(6,2) cm＝3 cm，A錯誤；頻率T＝eq \f(1,f)，解得f＝0.5 Hz，B錯誤；小球完成一次全振動通過的路程為振幅的4倍，即s0＝4×3 cm＝12 cm，C正確；小球在3 s內(nèi)通過的路程為s＝eq \f(t,T)×4A＝eq \f(3,2)×4×3 cm＝18 cm，D錯誤．
2.(2023·福建泉州市模擬)如圖，一彈簧上端固定，下端拴接一質(zhì)量為m的物體，物體受到向上推力作用保持靜止，彈簧處于壓縮狀態(tài)．現(xiàn)撤去推力，在物體向下運(yùn)動至最低點(diǎn)的過程中，彈簧始終處于彈性限度內(nèi)，彈簧的彈力大小F和物體的加速度大小a隨物體位移x變化的關(guān)系圖像可能正確的是( )
答案 D
解析 撤去推力后物體做簡諧運(yùn)動，當(dāng)物體運(yùn)動到最低點(diǎn)時，F(xiàn)和a豎直向上且達(dá)到最大值，根據(jù)簡諧運(yùn)動的對稱性可知此時a的大小與釋放物體時a的大小相等，A、C錯誤；F與x為一次函數(shù)關(guān)系，圖線不可能為曲線，B錯誤；物體從平衡位置向下運(yùn)動到最低點(diǎn)過程中有F－mg＝ma，即a與F成線性關(guān)系，則a與x成線性關(guān)系且a在增大，根據(jù)對稱性可知，D正確．
3．(2023·廣東省執(zhí)信中學(xué)高三檢測)揚(yáng)聲器是語音和音樂的播放裝置，在生活中無處不在．如圖所示是揚(yáng)聲器紙盆中心做簡諧運(yùn)動的振動圖像，下列判斷正確的是( )
A．t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大
B．t＝2×10－3 s時刻紙盆中心的加速度最大
C．在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向不變
D．紙盆中心做簡諧運(yùn)動的方程為x＝1.0×10－4cs 50πt (m)
答案 A
解析 t＝1×10－3 s時刻紙盆中心的位移最大，故A正確；t＝2×10－3 s時刻紙盆中心位于平衡位置，加速度為零，故B錯誤；在0～2×10－3 s之間紙盆中心的速度方向先沿正方向再沿負(fù)方向，故C錯誤；紙盆中心做簡諧運(yùn)動的方程為x＝Asineq \f(2πt,T)＝1.0×10－4sin 500πt (m)，故D錯誤．
4.(多選)如圖所示，單擺在豎直平面內(nèi)的A、C之間做簡諧運(yùn)動，O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，B點(diǎn)為運(yùn)動中的最低位置，則下列說法正確的是( )
A．?dāng)[球在A點(diǎn)和C點(diǎn)時，速度為零，故細(xì)線拉力為零，但回復(fù)力不為零
B．?dāng)[球由A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動過程中，細(xì)線拉力增大，但回復(fù)力減小
C．?dāng)[球在B點(diǎn)時，重力勢能最小，機(jī)械能最小
D．?dāng)[球在B點(diǎn)時，動能最大，細(xì)線拉力也最大
答案 BD
解析 假設(shè)擺動過程中，細(xì)線與豎直方向夾角為θ，重力沿細(xì)線方向分力為mgcs θ，垂直于細(xì)線方向分力為mgsin θ.擺球在A點(diǎn)和C點(diǎn)時，速度為零，沿細(xì)線方向的合力為零，有F＝mgcs θ，F(xiàn)回＝mgsin θ，即細(xì)線的拉力與重力沿細(xì)線方向分力等大且不為零，回復(fù)力與重力沿切向方向的分力等大，也不為零，故A錯誤；擺球由A點(diǎn)向B點(diǎn)擺動過程中，速度變大，根據(jù)F－mgcs θ＝meq \f(v2,L)，F(xiàn)回＝mgsin θ，可得細(xì)線拉力增大，回復(fù)力減小，故B正確；擺球在擺動過程機(jī)械能守恒，從最高點(diǎn)擺到B點(diǎn)過程中，重力做正功，其重力勢能一直在減小，動能一直在增加，所以擺球在B點(diǎn)時，重力勢能最小，動能最大，故C錯誤；擺球在B點(diǎn)時對其受力分析，可得F－mg＝meq \f(v2,L)，可知此時細(xì)線拉力最大，合力不為零，故D正確．
5.(多選)很多高層建筑都會安裝減震耗能阻尼器，用來控制強(qiáng)風(fēng)或地震導(dǎo)致的振動．臺北101大樓使用的阻尼器是重達(dá)660噸的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器，阻尼器相當(dāng)于一個巨型質(zhì)量塊．簡單說就是將阻尼器懸掛在大樓上方，它的擺動會產(chǎn)生一個反作用力，在建筑物搖晃時往反方向擺動，會使大樓擺動的幅度減小．關(guān)于調(diào)諧質(zhì)量阻尼器下列說法正確的是( )
A．阻尼器做受迫振動，振動頻率與大樓的振動頻率相同
B．阻尼器與大樓擺動幅度相同
C．阻尼器擺動后，擺動方向始終與大樓的振動方向相反
D．阻尼器擺動幅度不受風(fēng)力大小影響
答案 AC
解析 由題意可知阻尼器做受迫振動，振動頻率與大樓的振動頻率相同，故A正確；阻尼器與大樓擺動幅度不相同，故B錯誤；由題意可知，大樓對阻尼器的力與阻尼器對大樓的力為一對相互作用力，根據(jù)回復(fù)力F＝－kx，可知阻尼器擺動后，擺動方向始終與大樓的振動方向相反，故C正確；阻尼器的擺動幅度會受到風(fēng)力的影響，故D錯誤．
6.如圖所示，質(zhì)量為m的物塊放置在質(zhì)量為M的木板上，木板與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上做簡諧運(yùn)動，周期為T，振動過程中m、M之間無相對運(yùn)動，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，物塊和木板之間的動摩擦因數(shù)為μ，則下列說法正確的是( )
A．若t時刻和(t＋Δt)時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則Δt一定等于eq \f(T,2)的整數(shù)倍
B．若Δt＝eq \f(T,2)，則在t時刻和(t＋Δt)時刻彈簧的長度一定相同
C．研究木板的運(yùn)動，彈簧彈力充當(dāng)了木板做簡諧運(yùn)動的回復(fù)力
D．當(dāng)整體離開平衡位置的位移為x時，物塊與木板間的摩擦力大小等于eq \f(m,m＋M)kx
答案 D
解析 設(shè)位移為x，對整體受力分析，受重力、支持力和彈簧的彈力，根據(jù)牛頓第二定律，
有kx＝(m＋M)a①
對物塊受力分析，受重力、支持力和靜摩擦力，靜摩擦力提供回復(fù)力，根據(jù)牛頓第二定律，
有f＝ma②
所以f＝eq \f(mx,M＋m)k③
若t時刻和(t＋Δt)時刻物塊受到的摩擦力大小相等，方向相反，則兩個時刻物塊的位移大小相等，方向相反，位于相對平衡位置對稱的位置上，但Δt不 一定等于eq \f(T,2)的整數(shù)倍，故A錯誤；若Δt＝eq \f(T,2)，則在 t 時刻和(t＋Δt)時刻物塊的位移大小相等，方向相反，位于相對平衡位置對稱的位置上，彈簧的長度不一定相同，故B錯誤；由開始時的分析可知，研究木板的運(yùn)動，彈簧彈力與物塊對木板的摩擦力的合力提供回復(fù)力，故C錯誤；由③可知，當(dāng)整體離開平衡位置的位移為 x 時，物塊與木板間摩擦力的大小等于eq \f(m,m＋M)kx，故D正確．
7．(多選)甲、乙兩彈簧振子的振動圖像如圖所示，則可知( )
A．兩彈簧振子完全相同
B．兩彈簧振子所受回復(fù)力最大值之比F甲∶F乙＝2∶1
C．振子甲速度為零時，振子乙速度最大
D．兩振子的振動頻率之比f甲∶f乙＝1∶2
答案 CD
解析 從圖像中可以看出，兩彈簧振子周期之比T甲∶T乙＝2∶1，則頻率之比f甲∶f乙＝1∶2，選項(xiàng)D正確；彈簧振子周期與振子質(zhì)量、彈簧的勁度系數(shù)k有關(guān)，周期不同，說明兩彈簧振子不同，選項(xiàng)A錯誤；由于彈簧的勁度系數(shù)k不一定相同，所以兩振子所受回復(fù)力(F＝－kx)的最大值之比F甲∶F乙不一定為2∶1，選項(xiàng)B錯誤；從圖像中可以看出，在振子甲到達(dá)最大位移處時，速度為零，此時振子乙恰好到達(dá)平衡位置，速度最大，選項(xiàng)C正確．
8.如圖所示，表面光滑、半徑為R的圓弧形軌道AP與水平地面平滑連接，AP弧長為s，s?R.半徑為r的小球從A點(diǎn)由靜止釋放，運(yùn)動到最低點(diǎn)P時速度大小為v，重力加速度為g，則小球從A運(yùn)動到P的時間是( )
A．t＝eq \f(2s,v)B．t＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R－r,g))
C．t＝eq \f(π,4)eq \r(\f(R,g))D．t＝eq \f(π,4)eq \r(\f(R－r,g))
答案 B
解析 因?yàn)锳P弧長為s，且s?R，所以小球的運(yùn)動等效為單擺運(yùn)動，根據(jù)單擺的周期公式可得T＝2πeq \r(\f(l,g))，由題意可知，擺長l＝R－r，小球從A運(yùn)動到P所用的時間為四分之一個周期，即有t＝eq \f(π,2)eq \r(\f(R－r,g))，故B正確．
9．(多選)(2023·福建省福州第一中學(xué)模擬)如圖所示，在水平地面上的物塊B用輕質(zhì)彈簧與物塊A相連，均處于靜止?fàn)顟B(tài)，它們的質(zhì)量均為m，彈簧的勁度系數(shù)為k.現(xiàn)將另一個質(zhì)量也為m的物體C從A的正上方一定高度處由靜止釋放，C和A相碰后立即粘在一起，之后在豎直方向做簡諧運(yùn)動．在運(yùn)動過程中，物體B對地面的最小壓力為eq \f(mg,3)，g為重力加速度，則以下說法正確的是( )
A．C和A相碰后立即向下做減速運(yùn)動
B．B對地面的最大壓力為eq \f(17mg,3)
C．簡諧運(yùn)動的振幅為eq \f(7mg,3k)
D．若C物體從更高的位置釋放，碰后一起向下運(yùn)動過程中速度最大的位置不變
答案 BD
解析 C和A相碰前，對A有F彈＝mg，C和A相碰后，由于F彈m2，則A與B第二次碰撞不在最低點(diǎn)
D．若m1m2，則碰后A球向右運(yùn)動，擺長變?yōu)?.81L，B球擺回最低點(diǎn)后向左運(yùn)動時，擺長為0.81L，所以兩擺的周期均為T″＝eq \f(1,2)T＋eq \f(1,2)T′＝1.9πeq \r(\f(L,g))，即第一次在最低點(diǎn)碰撞后，經(jīng)過一個周期發(fā)生第二次碰撞，位置仍然在最低點(diǎn)，C錯誤；若m1

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