高一數(shù)學(xué)
（考試時間：120分鐘 試卷滿分：150分）
注意事項：
1. 本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2. 回答第Ⅰ卷時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。
3. 回答第Ⅱ卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4. 考試結(jié)束后，將答題卡交回。
第Ⅰ卷
一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知i是虛數(shù)單位，則
A．B．C．D．
2．已知某學(xué)校高三年級甲、乙、丙三個班級人數(shù)分別為40，30，50，學(xué)校計劃采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法在三個班級中評選優(yōu)秀學(xué)生，已知乙班分配到的優(yōu)秀學(xué)生名單為6人，則高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為
A．16B．30C．24D．18
3．如圖，在平行四邊形中，
A．B．C．D．
4．以下數(shù)據(jù)為某學(xué)校參加數(shù)學(xué)競賽10人的成績：（單位：分）72，86，80，88，83，78，81，90，91，92，則這10個成績的第75百分位數(shù)是
A．90B．89C．88D．88.5
5．在中，已知，，，則的面積為
A．4B．C．2D．1
6．某高校對中文系新生進行體測，利用隨機數(shù)表對650名學(xué)生進行抽樣，先將650名學(xué)生進行編號，001，002，…，649，650.從中抽取50個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行，若從表中第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623B．328C．072D．457
7．如圖，已知正四棱錐的所有棱長均為2，為棱的中點，則異面直線與所成角的余弦值為
A．B．C．D．
8．在三棱錐中，平面，，為邊長等于的正三角形，則三棱錐的外接球的表面積是
A．B．C．D．
二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）
9．已知是兩條不同的直線，是三個不同的平面，則下列命題正確的是
A．若，則 B．若，則
C．若，且，則 D．若，且，則
10．某校高一年級甲，乙兩名同學(xué)8次數(shù)學(xué)測試（100分制）成績?nèi)缜o葉圖所示，則下列結(jié)論正確的是
A．甲、乙的中位數(shù)都是83B．甲的方差小于乙的方差
C．甲、乙同學(xué)成績的極差分別是17和20D．甲的分位數(shù)是80、乙的分位數(shù)是83
11．對于中角所對的邊分別為則下列說法正確的有
A．若則為等腰三角形 B．若則為等腰三角形
C．若則 D．若則為銳角三角形
第II卷（非選擇題）
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12．復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù) ．
13．在中，若，則
14．在棱長為1的正方體中，點是該正方體表面及其內(nèi)部的一個動點，且平面，則線段的長的取值范圍是 ．
四、解答題（本大題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
15（13分）．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，，求與的夾角的余弦值．
16（15分）為了落實習主席提出“綠水青山就是金山銀山”的環(huán)境治理要求.某市政府積極鼓勵居民節(jié)約用水．計劃調(diào)整居民生活用水收費方案.擬確定一個合理的月用水量標準x（噸）.一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費.超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況.通過抽樣.獲得了某年200位居民每人的月均用水量（單位：噸）.將數(shù)據(jù)按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9組.制成了如圖所示的頻率分布直方圖.其中0.4a=b.
(1)求直方圖中a.b的值.并由頻率分布直方圖估計該市居民用水量的眾數(shù)；
(2)若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準x（噸）.估計x的值．
17（15分）．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.
(1)求證：平面；
(2)求證：平面；
(3)求三棱錐的體積.
18（17分）．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．
(1)求角C的大??；
(2)若，的面積為，求的周長．
19（17分）．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點是的中點，于點．
(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的正切
參考答案：
1．A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算法則求解即可.
【詳解】由題意.
故選：A
2．C
【分析】利用分層隨機抽樣及已知，求出三個班級分配到的優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)即得.
【詳解】甲、乙、丙三個班級人數(shù)比為，由分層隨機抽樣，三個班級優(yōu)秀學(xué)生名額分別為8，6，10，
所以高三年級三個班優(yōu)秀學(xué)生總?cè)藬?shù)為人.
故選：C
3．A
【分析】根據(jù)給定圖形，利用向量加法的平行四邊形法則計算即得.
【詳解】依題意，，
所以.
故選：A
4．A
【分析】根據(jù)題意，由百分位數(shù)的計算公式，代入計算，即可得到結(jié)果.
【詳解】從小到大排序這10個數(shù)據(jù)為72，78，80，81，83，86，88，90，91，92，
因為，所以這10個成績的第75百分位數(shù)是第8個數(shù)90.
故選：A.
5．B
【分析】利用正弦定理和余弦定理得到，，由三角形面積公式求出答案.
【詳解】由正弦定理得，
由余弦定理得，即，
解得，
故，
所以.
故選：B
6．A
【分析】按照隨機數(shù)表提供的數(shù)據(jù)，三位一組的讀數(shù)，并取001到650內(nèi)的數(shù)，重復(fù)的只取一次即可
【詳解】從第5行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，
第一個數(shù)為253，第二個數(shù)是313，
第三個數(shù)是457，下一個數(shù)是860，不符合要求，
下一個數(shù)是736，不符合要求，下一個是253，重復(fù)，
第四個是007，第五個是328，第六個數(shù)是623，，故A正確.
故選：A.
7．B
【分析】根據(jù)題中條件連接，取的中點，連接,，作出異面直線所成的角，利用余弦定理求解即可.
【詳解】連接，取的中點，連接,，

由題意知，，則異面直線與所成角為（或其補角），
在中，，
則，
則異面直線與所成角的余弦值為.
故選：B.
8．D
【分析】將三棱錐補形為一個直三棱柱,分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，求出球半徑后可得表面積．
【詳解】易知的外接圓的半徑為1，將三棱錐補形為一個直三棱柱，
如圖，分別是上下底的外心，則的中點是外接球的球心，
由題設(shè)，易得底面外接圓半徑，，則，即外接球的半徑為，
其外接球的表面積是，
故選：D．
9．BD
【分析】根據(jù)空間中直線，平面的位置關(guān)系分別去判斷各個選項.
【詳解】對于A，若，，則與可能平行，相交或異面，故A錯誤；
對于B，若，，則，故B正確；
對于C，根據(jù)面面平行的判定定理，只有當與是平面內(nèi)的兩條相交直線時，方可確定，故C錯誤；
對于D，，，或，又，，故D正確.
故選：BD.
10．BC
【分析】根據(jù)莖葉圖求甲乙的中位數(shù)、方差、極差，結(jié)合百分數(shù)求法求甲的分位數(shù)、乙的分位數(shù)，即可判斷各項正誤.
【詳解】由莖葉圖知：甲數(shù)據(jù)為，乙數(shù)據(jù)為，
甲乙中位數(shù)分別為，，A錯；
甲的平均值，
乙的平均值，
故甲的方差，
故乙的方差，
所以甲的方差小于乙的方差，B對；
甲乙的極差分別為，，C對；
由，甲的分位數(shù)為，
由，乙的分位數(shù)為，D錯.
故選：BC
11．ACD
【分析】對于A，利用正弦定理角化邊可得；對于B，根據(jù)為三角形內(nèi)角，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得；對于C，假設(shè)，則，根據(jù)余弦定理，利用進行放縮，分離出，結(jié)合基本不等式可推得矛盾，可判斷C；對于D，利用正切的兩角和公式整理變形，結(jié)合已知可得，根據(jù)角的范圍可得.
【詳解】對于A，利用正弦定理角化邊得，所以為等腰三角形，A正確；
對于B，若因為且，
所以或，即或，
所以為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；
對于C，假設(shè)，則，
由余弦定理得，
所以，
又，所以，
則，即，
因為，當且僅當時等號成立，
此時，即，，假設(shè)不成立，
所以，C正確；
對于D，因為，
所以，
所以，
所以中的負數(shù)有0個或2個，
因為，所以最多有一個為負數(shù)，
所以都為正數(shù)，即都是銳角，D正確.
故選：ACD
12．1
【分析】結(jié)合純虛數(shù)的定義，即可求解．
【詳解】是純虛數(shù)，
則，解得．
故答案為：1．
13．
【分析】根據(jù)給定條件，利用余弦定理求解即得.
【詳解】在中，由，得，
由余弦定理得，而，
所以.
故答案為：
14．
【分析】證明平面平面，得點的軌跡，由此可得的最大值為的長，最小值為到平面的距離，求出距離后可得．
【詳解】連接，正方體中由與平行且相等得是平行四邊形，從而，
又平面，平面，所以平面，同理平面，
又，平面，所以平面平面，
平面，則平面，
所以動點的軌跡形成的區(qū)域為的邊界及內(nèi)部，的最大值為即的長，
的最小值為到平面的距離，
連接交于點，連接交于點，，
由平面，平面，得，
又，，平面，所以平面，
而平面，所以，同理，
又因為，平面，所以平面，
同理可證，所以，從而，
故線段的長的取值范圍是．
故答案為：．
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直求得的值，代入向量坐標，利用向量模長公式計算即得；
（2）利用向量共線求得的值，代入向量坐標，利用向量夾角公式計算即得.
【詳解】（1）由題意，
因為，則，得，
則，所以；
（2）由已知，又，，
所以，得，
則，，
故．
16．(1)a=，眾數(shù)為4.5噸.
(2)5.8
【分析】（1）由頻率直方圖的面積和為建立方程組.由此即可求出的值.再根據(jù)估計眾數(shù)的定義即可求解；
（2）分別求出前組.前組的頻率和，估計出的范圍.再根據(jù)范圍建立方程，由此即可求解．
【詳解】（1）由題意可得 .
解得，.
由頻率分布直方圖估計該市居民用水量的眾數(shù)為噸.
（2）因為前6組的頻率和為，
前5組的頻率和為.
所以，由，解得，
所以估計月用水量標準為噸時，的居民每月的用水量不超過標準．
17．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）借助中位線的性質(zhì)與線面平行判定定理推導(dǎo)即可得；
（2）借助線面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理推導(dǎo)即可得；
（3）借助點為線段的中點，可得點與點到平面距離相等，即有，結(jié)合體積公式計算即可得.
【詳解】（1）連接交于點，連接，
由底面是正方形，故為中點，
又點為線段的中點，故，
又平面，平面，
故平面；
（2）由點為線段的中點，，故，
由平面，平面，故，
又底面是正方形，故，
又、平面，，
故平面，又平面，
故，又、平面，，
故平面；
（3）由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，
故.
18．(1)
(2)12
【分析】（1）借助正弦定理邊化角后結(jié)合三角形內(nèi)角和與兩角和的正弦公式計算即可得；
（2）借助余弦定理與面積公式計算即可得.
【詳解】（1）由正弦定理得：，
∵，
∴，
∴，又，∴，∴，
∵，∴．
（2）∵，∴，
由余弦定理得：，
∴，解得：，
∴的周長為．
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用線面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理即可證明出平面平面；
（2）先根據(jù)條件作出二面角的平面角，假設(shè)邊長后利用即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）證明：由條件有，
且平面，，
平面，又平面，；
又，是的中點，；
又平面，，
平面，平面，．
由已知，且平面，，
平面．又平面，
平面平面．
（2）取中點，則，作于，連結(jié)．
底面，底面．
為在平面內(nèi)的射影，
，，
為二面角的平面角．
設(shè)，
在中，，，
；
二面角的正切值為．
.

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