TOC \ "1-3" \t "正文,1" \h
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7550" 【題型1 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc7550 \h 1
\l "_Tc2836" 【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】 PAGEREF _Tc2836 \h 2
\l "_Tc26832" 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】 PAGEREF _Tc26832 \h 3
\l "_Tc12177" 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】 PAGEREF _Tc12177 \h 4
\l "_Tc286" 【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 PAGEREF _Tc286 \h 5
\l "_Tc2555" 【題型6 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 PAGEREF _Tc2555 \h 6
\l "_Tc27146" 【題型7 判斷直角三角形】 PAGEREF _Tc27146 \h 8
\l "_Tc16473" 【題型8 運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】 PAGEREF _Tc16473 \h 9
【知識點(diǎn)1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】
三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且
小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
【題型1 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】
【例1】（2021秋?渦陽縣期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度數(shù)．
【變式1-1】（2022春?武侯區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)E、D分別在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，則∠1+∠2＝ °．
【變式1-2】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 度．
【變式1-3】（2022?南京模擬）已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為45°，則∠BAC等于 ．
【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】
【例2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【變式2-1】（2021秋?靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于點(diǎn)D，則∠EFD的度數(shù)為（ ）
A．5B．10C．12D．20
【變式2-2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度數(shù)．
【變式2-3】（2022春?錫山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是∠ABC的平分線，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度數(shù)；
（2）求∠AOB的度數(shù)．
【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】
【例3】（2022?高唐縣二模）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，點(diǎn)C在邊DF上，AC，BC分別交DE于點(diǎn)G，H．若BC∥EF，則∠AGD的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【變式3-1】（2022春?興寧區(qū)校級期末）如圖，在△ABG中，D為AG上一點(diǎn)，AB∥DC，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，連接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，則∠BDF的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．45°D．36°
【變式3-2】（2022春?泌陽縣期末）如圖，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O為垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，試求∠BOD的大小．（提示：延長AO交BC于點(diǎn)E）
【變式3-3】（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點(diǎn)B作BC⊥AB交AD的延長線于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AB上，連接EF交AD于點(diǎn)G．
（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC；
（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)．
【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】
【例4】（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為 °．
【變式4-2】（2021春?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)O，將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若∠AOB＝135°，則∠1+∠2 = °．
【變式4-3】（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點(diǎn)D在邊AB上，請?jiān)谶匓C上找一點(diǎn)E，將紙片沿直線DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為 ．
【變式4-4】（2022?巴彥縣二模）在△ABC中，∠A＝110°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，將射線BA沿直線BD翻折，將射線CA沿直線CD翻折，兩射線交于點(diǎn)E，若∠BEC＝150°，則∠BDC的度數(shù)為 ．
【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】
【例5】（2021秋?山亭區(qū)期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是 ．
【變式5-1】（2022春?大豐區(qū)校級月考）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另外一個內(nèi)角á的12時，我們稱此三角形為“友好三角形”，á為友好角．如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，那么這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為 ．
【變式5-2】（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“ 倍角三角形”．
（2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù)．
【變式5-3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）我們定義：
【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）
（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；
【應(yīng)用拓展】
如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．
【題型6 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】
【例6】（2021秋?青田縣期末）如圖，直線l∥線段BC，點(diǎn)A是直線l上一動點(diǎn)．在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線．
（1）如圖1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動時，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行說明．
【變式6-1】（2022春?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線且BO，CO相交于點(diǎn)O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度數(shù)；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；
（3）請你直接寫出∠A與∠BOC滿足的數(shù)量關(guān)系式，不需要說明理由．
【變式6-2】（2022春?海門市期末）已知：△ABC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．
（1）如圖1，當(dāng)BD，CE都是△ABC的角平分線時，求∠BOC的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)BD，CE都是△ABC的高時，求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)∠ABD＝2∠ACE時，探究∠BEO與∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【變式6-3】（2022春?輝縣市期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系．
（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對應(yīng)值：
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，如圖2，過EA的延長線是一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長線于D，當(dāng)∠ABC＝80°，∠C＝24°時，∠F度數(shù)為 °．
【知識點(diǎn)2 直角三角形的判定】
直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．
【題型7 判斷直角三角形】
【例7】（2021春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式7-1】（2022秋?旌陽區(qū)校級月考）在下列條件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【變式7-2】（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ADF＝74°，證明：△ADF是直角三角形．
【變式7-3】（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．
（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求證：△ABD為“奇妙三角形”
（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；
（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．
【知識點(diǎn)3 直角三角形的性質(zhì)】
直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余．
【題型8 運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】
【例8】（2022秋?寧晉縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【變式8-1】（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（ ）個．
A．5B．4C．3D．2
【變式8-2】（2022春?鄧州市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說明：∠AEF＝∠AFE．
【變式8-3】（2022春?米東區(qū)期末）如圖1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求證：∠ACE＝∠ABC；
（2）求證：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求證：∠CEF＝∠CFE．
∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30
專題9.2 三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用【八大題型】
【華東師大版】
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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc7550" 【題型1 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc7550 \h 1
\l "_Tc2836" 【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】 PAGEREF _Tc2836 \h 3
\l "_Tc26832" 【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】 PAGEREF _Tc26832 \h 7
\l "_Tc12177" 【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】 PAGEREF _Tc12177 \h 10
\l "_Tc286" 【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 PAGEREF _Tc286 \h 14
\l "_Tc2555" 【題型6 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 PAGEREF _Tc2555 \h 18
\l "_Tc27146" 【題型7 判斷直角三角形】 PAGEREF _Tc27146 \h 24
\l "_Tc16473" 【題型8 運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】 PAGEREF _Tc16473 \h 28
【知識點(diǎn)1 三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】
三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個三角形都有三個內(nèi)角，且每個內(nèi)角均大于0°且
小于180°．三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．
【題型1 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理直接求角的度數(shù)】
【例1】（2021秋?渦陽縣期末）在△ABC中，已知∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，求∠A的度數(shù)．
【分析】將第一個等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可．
【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+25°，
∴∠C＝∠A+10°+25°＝∠A+35°，
由三角形內(nèi)角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
所以，∠A+∠A+10°+∠A+35°＝180°，
解得∠A＝45°．
【變式1-1】（2022春?武侯區(qū)校級期中）如圖，點(diǎn)E、D分別在AB、AC上．若∠B＝30°，∠C＝50°，則∠1+∠2＝ °．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式整理可得∠1+∠2＝∠B+∠C，從而可求解．
【解答】解：∵∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C，
∵∠B＝30°，∠C＝50°，
∴∠1+∠2＝∠B+∠C＝30°+50°＝80°．
故答案為：80°．
【變式1-2】（2022?哈爾濱）在△ABC中，AD為邊BC上的高，∠ABC＝30°，∠CAD＝20°，則∠BAC是 度．
【分析】分兩種情況：△ABC為銳角三角形或鈍角三角形，然后利用三角形內(nèi)角和定理即可作答．
【解答】解：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°+20°＝80°；
當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，如圖，
∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∠BAC＝∠BAD﹣∠CAD＝60°﹣20°＝40°．
綜上所述，∠BAC＝80°或40°．
故答案為：80或40．
【變式1-3】（2022?南京模擬）已知BD、CE是△ABC的高，直線BD、CE相交所成的角中有一個角為45°，則∠BAC等于 ．
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理．分∠BAC與這個45°的角在一個四邊形內(nèi)，及∠BAC與這個45°的角不在一個四邊形內(nèi)兩種情況討論．
【解答】解：若∠BAC與這個45°的角在一個四邊形BCDE內(nèi)，
因?yàn)锽D、CE是△ABC的高，設(shè)BD的延長線交CE的延長線于O．
∴∠AEC＝∠ADB＝90°，
∵∠O＝45°，
∴∠DAE＝180°﹣45°＝135°
∴∠BAC＝∠DAE＝135°；
若∠BAC與這個45°的角不在一個四邊形BCDE內(nèi)，
因?yàn)锽D、CE是△ABC的高，
如圖：∠BAC＝180°﹣（180°﹣45°）＝45°，
所以∠BAC等于45度．
若∠ACB是鈍角，∠A是銳角，
易知∠ABD＝40°，∠A＝45°
綜上所述，∠A的值為45°或135°．
故答案為：45°或135°．
【題型2 三角形內(nèi)角和定理與角平分線、高線綜合】
【例2】（2022春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于點(diǎn)E，則∠ADB的度數(shù)為（ ）
A．100°B．90°C．80°D．50°
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及角平分線的定義求出∠B與∠BAD的度數(shù)即可求解．
【解答】解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD=12∠BAC＝30°，
∴∠ADB＝180°﹣∠B﹣∠BAD
＝180°﹣50°﹣30°
＝100°．
故選：A．
【變式2-1】（2021秋?靖西市期末）△ABC中，∠C＝50°，∠B＝30°，AE平分∠BAC，點(diǎn)F為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)D⊥BC于點(diǎn)D，則∠EFD的度數(shù)為（ ）
A．5B．10C．12D．20
【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠C＝50°，∠B＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠C﹣∠A＝180°﹣50°﹣30°＝100°，
∵AE是∠BAC的平分線，
∴∠BAE＝50°，
∴∠FED＝50°+30°＝80°，
又∵DF⊥BC，
∴∠FED+∠EFD＝90°，
∴∠EFD＝90°﹣80°＝10°，
故選：B．
【變式2-2】（2022春?鼓樓區(qū)校級期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線．
（1）若∠B＝32°，∠C＝60°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）若∠C﹣∠B＝18°，求∠DAE的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，根據(jù)垂直求出∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC，再求出答案即可；
（2）求出∠C＝18°+∠B，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠BAC，根據(jù)角平分線的定義求出∠EAC，根據(jù)垂直求出∠ADC＝90°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠DAC，再求出答案即可．
【解答】解：（1）∵∠B＝32°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝88°，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=12∠BAC＝44°，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝60°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝30°，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝44°﹣30°＝14°；
（2）∵∠C﹣∠B＝18°，
∴∠C＝18°+∠B，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣∠B﹣（18°+∠B）＝162°﹣2∠B，
∵AE是角平分線，
∴∠EAC=12∠BAC＝81°﹣∠B，
∵AD是高，
∴∠AC＝90°，
∵∠C＝18°+∠B，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝90°﹣（18°+∠B）＝72°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠EAC﹣∠DAC＝（81°﹣∠B）﹣（72°﹣∠B）＝9°．
【變式2-3】（2022春?錫山區(qū)期中）已知：如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE是∠ABC的平分線，若∠DAC＝30°，∠BAC＝80°．
（1）求∠EBC的度數(shù)；
（2）求∠AOB的度數(shù)．
【分析】（1）由直角三角形的性質(zhì)可求解∠C＝60°，利用三角形的內(nèi)角和定理可求解∠ABC＝40°，再根據(jù)角平分線的定義可求解；
（2）由∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC可求解∠BAD＝50°，由角平分線的定義可求解∠ABO＝∠EBC＝20°，由三角形的內(nèi)角和定理可求解．
【解答】解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴△ADC是直角三角形，
∵∠DAC＝30°，
∴∠C＝90°﹣∠DAC＝60°，
∵∠BAC＝80°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝40°，
∵BE是△ABC的平分線，
∴∠EBC=12∠ABC＝20°；
（2）∵∠BAC＝80°，∠DAC＝30°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝50°，
由（1）可知∠EBC＝20°，
∵BE是∠ABC的平分線，
∴∠ABO＝∠EBC＝20°，
在△AOB中，∠AOB＝180°﹣∠BAO﹣∠ABO＝110°．
【題型3 三角形內(nèi)角和定理與平行線的性質(zhì)綜合】
【例3】（2022?高唐縣二模）將一副直角三角尺按如圖所示的方式擺放在一起，其中∠B＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，點(diǎn)C在邊DF上，AC，BC分別交DE于點(diǎn)G，H．若BC∥EF，則∠AGD的度數(shù)為（ ）
A．30°B．45°C．60°D．75°
【分析】在△ABC中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠ACB（即∠HCG）的度數(shù)，由BC∥EF，利用“兩直線平行，同位角相等”可得出∠GHC的度數(shù)，在△HCG中，利用三角形內(nèi)角和定理可求出∠HGC的度數(shù)，再結(jié)合對頂角相等可得出∠AGD的度數(shù)．
【解答】解：∵∠B＝90°，∠A＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠A＝180°﹣90°﹣45°＝45°，即∠HCG＝45°．
∵BC∥EF，
∴∠GHC＝∠E＝60°，
∴∠HGC＝180°﹣∠GHC﹣∠HCG＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠AGD＝∠HGC＝75°．
故選：D．
【變式3-1】（2022春?興寧區(qū)校級期末）如圖，在△ABG中，D為AG上一點(diǎn)，AB∥DC，點(diǎn)E是邊AB上一點(diǎn)，連接ED，∠EBD＝∠EDB，DF平分∠EDG，若∠GDC＝72°，則∠BDF的度數(shù)為（ ）
A．50°B．40°C．45°D．36°
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EBD＝∠BDC，根據(jù)角平分線的定義可得∠EDB＝∠BDC，設(shè)∠EDB＝∠BDC＝x°，表示出∠GDE，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得∠EDF，再根據(jù)∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE，求解即可．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴∠EBD＝∠BDC，
∵∠EBD＝∠EDB，
∴∠EDB＝∠BDC，
設(shè)∠EDB＝∠BDC＝x°，
∵∠GDC＝72°，
∴∠GDE＝2x°+72°，
∵DF平分∠EDG，
∴∠EDF=12∠EDG＝x°+36°，
∴∠BDF＝∠EDF﹣∠BDE＝x°+36°﹣x°＝36°，
故選：D．
【變式3-2】（2022春?泌陽縣期末）如圖，在△ABC中，AO平分∠BAC，BO⊥AO，O為垂足，OD∥AC，若∠ABO＝40°，試求∠BOD的大?。ㄌ崾荆貉娱LAO交BC于點(diǎn)E）
【分析】延長AO交BC于點(diǎn)E，根據(jù)垂直的定義得到∠AOB＝∠BOE＝90°，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠BAO＝50°，根據(jù)角平分線的定義得到∠EAC＝50°，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EOD＝50°，根據(jù)角的和差即可得解．
【解答】解：延長AO交BC于點(diǎn)E，
∵BO⊥AO，
∴∠AOB＝∠BOE＝90°，
∵∠ABO＝40°，
∴∠BAO＝180°﹣∠ABO﹣∠AOB＝50°，
∵AO平分∠BAC，
∴∠EAC＝∠BAO＝50°，
∵OD∥AC，
∴∠EOD＝∠EAC＝50°，
∴∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝140°．
【變式3-3】（2022春?銅梁區(qū)校級期中）如圖，AD是△ABE的角平分線，過點(diǎn)B作BC⊥AB交AD的延長線于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AB上，連接EF交AD于點(diǎn)G．
（1）若2∠1+∠EAB＝180°，求證：EF∥BC；
（2）若∠C＝72°，∠AEB＝78°，求∠CBE的度數(shù)．
【分析】（1）先根據(jù)垂直等于得到∠ABC＝90°，則∠C+∠BAC＝90°，再證明2∠C+∠EAB＝180°，加上2∠1+∠EAB＝180°，則∠1＝∠C，然后根據(jù)平行線的判定方法得到結(jié)論；
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出計(jì)算出∠BAC＝18°，則∠EAD＝18°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，即18°+78°＝72°+∠CBE，從而可求出∠CBE的度數(shù)．
【解答】（1）證明：∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠C+∠BAC＝90°，
∵AD是△ABE的角平分線，
∴∠BAC=12∠EAB，
∴∠C+12∠EAB＝90°，
即2∠C+∠EAB＝180°，
∵2∠1+∠EAB＝180°，
∴∠1＝∠C，
∴EF∥BC；
（2）解：∵∠ABC＝90°，∠C＝72°，
∴∠BAC＝18°，
∴∠EAD＝∠BAC＝18°，
∵∠ADE＝∠BDC，
∴∠EAD+∠AED＝∠C+∠CBE，
即18°+78°＝72°+∠CBE，
∴∠CBE＝24°．
【題型4 三角形內(nèi)角和定理與折疊性質(zhì)綜合】
【例4】（2022春?錦江區(qū)校級期中）如圖甲所示三角形紙片ABC中，∠B＝∠C，將紙片沿過點(diǎn)B的直線折疊，使點(diǎn)C落到AB邊上的E點(diǎn)處，折痕為BD（如圖乙）．再將紙片沿過點(diǎn)E的直線折疊，點(diǎn)A恰好與點(diǎn)D重合，折痕為EF（如圖丙），則∠ABC的大小為 °．
【分析】設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠BED＝∠A+∠EDA＝2x，利用三角形內(nèi)角和定理構(gòu)建方程即可解決問題．
【解答】解：設(shè)∠A＝x，根據(jù)翻折不變性可知∠A＝∠EDA＝x，∠C＝∠DEB＝∠A+∠EDA＝2x，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝2x，
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴5x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠ABC＝72°．
故答案為：72．
【變式4-2】（2021春?丹陽市期中）如圖，△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE⊥AC于點(diǎn)E，AD與BE交于點(diǎn)O，將△ABC沿MN折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)O重合，若∠AOB＝135°，則∠1+∠2 = °．
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到對應(yīng)角相等，推出∠1+∠2＝2∠MON，根據(jù)垂直的定義得到∠ODN＝∠OEM＝90°，利用平角的定義得到∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，即可求出結(jié)果．
【解答】解：由折疊性質(zhì)可知，∠OMN＝∠CMN，∠ONM＝∠CNM，∠MON＝∠MCN，
∴∠1＝180°﹣2∠CMN，∠2＝180°﹣2∠CNM，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠CMN﹣∠CNM）＝2∠MCN＝2∠MON，
∵∠AOB＝135°，
∴∠BOD＝45°，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ODN＝∠OEM＝90°，
∴∠DON＝90°﹣∠2，∠EOM＝90°﹣∠1，
∵∠BOD+∠DON+∠MON+∠EOM＝180°，
即45°+90°﹣∠2+90°﹣∠1+12（∠1+∠2）＝180°，
∴12（∠1+∠2）＝45°，
∴∠1+∠2＝90°，
故答案為：90．
【變式4-3】（2022春?鐵西區(qū)期末）有一張三角形紙片ABC，已知∠B＝30°，∠C＝50°，點(diǎn)D在邊AB上，請?jiān)谶匓C上找一點(diǎn)E，將紙片沿直線DE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，若EF與三角形紙片ABC的邊AC平行，則∠BED的度數(shù)為 ．
【分析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)F在AB的上方時，②當(dāng)點(diǎn)F在BC的下方時，根據(jù)折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)即可解決問題．
【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)F在AB的上方時，如圖：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠BEF＝∠C＝50°，
∴∠BED＝∠FED=12∠BEF=12×50°＝25°；
②當(dāng)點(diǎn)F在BC的下方時，如圖：
∵AC∥EF，∠C＝50°，
∴∠CEF＝∠C＝50°，
∵∠F＝∠B＝30°，
∴∠BGD＝50°+30°＝80°，
∴∠BDG＝180°﹣80°﹣30°＝70°，
∴∠BDE=12∠BDG=12×70°＝35°，∴∠BED=115°；
綜上所述，∠BED的度數(shù)為25°或115°．
故答案為：25°或115°．
【變式4-4】（2022?巴彥縣二模）在△ABC中，∠A＝110°，點(diǎn)D在△ABC內(nèi)，將射線BA沿直線BD翻折，將射線CA沿直線CD翻折，兩射線交于點(diǎn)E，若∠BEC＝150°，則∠BDC的度數(shù)為 ．
【分析】當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出∠ABE+∠ACE，再由折疊性質(zhì)求得∠ABD+∠ACD，由三角形內(nèi)角和求得∠ABC+∠ACB，便可求得∠CBD+∠BCD，最后由三角形內(nèi)角和求得∠BDC；當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)時，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出結(jié)果便可．
【解答】解：當(dāng)點(diǎn)E在△ABC外時，如圖，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABE+∠ACE＝360°﹣110°﹣150°＝100°，
由折疊性質(zhì)知，∠ABD＝∠EBD=12∠ABE，∠ACD＝∠ECD=12∠ACE，
∴∠ABD+∠ACD=12×100°=50°，
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝70°，
∴∠CBD+∠BCD＝70°﹣50°＝20°，
∴∠BDC＝180°﹣20°＝160°，
當(dāng)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)時，如圖，
∵∠A＝110°，∠BEC＝150°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣110°＝70°，
∠EBC+∠ECB＝180°﹣150°＝30°，
∴∠ABE+∠ACE＝＝70°﹣30°＝40°，
由折疊性質(zhì)知，∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠ACE，
∴∠DBE+∠DCE=12（∠ABE+∠ACE）＝20°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBE+∠DCE+∠EBC+∠ECB＝50°，
∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）130°，
故答案為：160°或130°．
【題型5 三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】
【例5】（2021秋?山亭區(qū)期末）定義：當(dāng)三角形中一個內(nèi)角α是另一個內(nèi)角的兩倍時，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個“倍角三角形”的一個內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是 ．
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及分類討論的思想解決本題．
【解答】解：設(shè)這個“倍角”三角形的三個內(nèi)角分別為α、β、γ，其中α＝2β，則可能出現(xiàn)以下幾種情況：
①當(dāng)α＝99°時，則β＝49.5°；
②當(dāng)β＝99°時，則α＝198°，該種情況不存在；
③當(dāng)γ＝99°時，則α+β+γ＝2β+β+99°＝180°，故β＝27°，α＝54°．
綜上：α＝99°或54°．
故答案為：99°或54°．
【變式5-1】（2022春?大豐區(qū)校級月考）當(dāng)三角形中一個內(nèi)角a是另外一個內(nèi)角á的12時，我們稱此三角形為“友好三角形”，á為友好角．如果一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，那么這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為 ．
【分析】利用“友好三角形”的定義討論：當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，可確定“友好角á”的度數(shù)為72°；當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，可確定“友好角á”的度數(shù)為36°；當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，利用三角形內(nèi)角和求出x＝48°，所以2x＝96°，從而得到“友好角á”的度數(shù)．
【解答】解：∵一個“友好三角形”中有一個內(nèi)角為36°，
∴當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為72°時，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為72°；
當(dāng)三角形的另一個內(nèi)角為18°時，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為36°；
當(dāng)三角形的另兩個內(nèi)角為x，2x時，則x+2x+36°＝180°，解得x＝48°，2x＝96°，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為96°；
綜上所述，這個“友好三角形”的“友好角á”的度數(shù)為36°或72°或96°．
故答案為：36°或72°或96°．
【變式5-2】（2022春?安溪縣期末）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍（n為大于1的正整數(shù)），則稱△ABC為“n倍角三角形”．例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”．
（1）在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“ 倍角三角形”．
（2）如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請求出∠ABD的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D，根據(jù)n倍角三角形的定義判斷；
（2）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定義分情況討論計(jì)算，得到答案．
【解答】解：（1）在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，
則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，
∴∠D＝2∠E，
∴△DEF為“2倍角三角形”，
故答案為：2；
（2）∵∠C＝36°，
∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，
∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，
∴∠DAB=12∠BAC，∠DBA=12∠ABC，
∴∠DAB+∠DBA=12×144°＝72°，
∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，
∵△ABD為“6倍角三角形”，
∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，
當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時，∠ABD＝18°，
當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，
綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°．
【變式5-3】（2021秋?福田區(qū)校級期末）我們定義：
【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）
（1）∠ABO＝ °，△AOB （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；
【應(yīng)用拓展】
如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．
【概念理解】在一個三角形中，如果一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個內(nèi)角分別為130°、40°、10°的三角形是“完美三角形”．
【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON＝72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與C、B重合點(diǎn)）
（1）∠ABO＝ 18 °，△AOB 是 （填“是”或“不是”）“完美三角形”；
（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”；
【應(yīng)用拓展】
如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取一點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC＝180°，∠DEF＝∠B，若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)垂直的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ABO的度數(shù)，根據(jù)“完美三角形”的概念判斷；
（2）根據(jù)“完美三角形”的概念證明即可；
應(yīng)用拓展：根據(jù)比較的性質(zhì)得到∠EFC＝∠ADC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DEF＝∠ADE，推出DE∥BC，得到∠CDE＝∠BCD，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE＝∠CDE，求得∠B＝∠BCD，根據(jù)“完美三角形”的定義求解即可．
【解答】解：（1）∵AB⊥OM，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝90°﹣∠MON＝90°﹣72°＝18°，
∵∠MON＝4∠ABO，
∴△AOB為“完美三角形”，
故答案為：18；是；
（2）證明：∵∠MON＝72°，∠ACB＝90°，
∠ACB＝∠OAC+∠MON，
∴∠OAC＝90°﹣72°＝18°，
∵∠AOB＝72°＝4×18°＝4∠OAC，
∴△AOC是“完美三角形”；
應(yīng)用拓展：
∵∠EFC+∠BDC＝180°，∠ADC+∠BDC＝180°，
∴∠EFC＝∠ADC，
∴AD∥EF，
∴∠DEF＝∠ADE，
∵∠DEF＝∠B，
∴∠B＝∠ADE，
∴DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠B＝∠BCD，
∵△BCD是“完美三角形”，
∴∠BDC＝4∠B，或∠B＝4∠BDC，
∵∠BDC+∠BCD+∠B＝180°，
∴∠B＝30°或∠B＝80°．
【題型6 運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】
【例6】（2021秋?青田縣期末）如圖，直線l∥線段BC，點(diǎn)A是直線l上一動點(diǎn)．在△ABC中，AD是△ABC的高線，AE是∠BAC的角平分線．
（1）如圖1，若∠ABC＝65°，∠BAC＝80°，求∠DAE的度數(shù)；
（2）當(dāng)點(diǎn)A在直線l上運(yùn)動時，探究∠BAD，∠DAE，∠BAE之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出對應(yīng)圖形進(jìn)行說明．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得∠BAE=12∠BAC＝40°．而∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，利用角的和差關(guān)系可得答案；
（2）根據(jù)高在形內(nèi)和形外進(jìn)行分類，再根據(jù)AB，AC，AD為位置進(jìn)行討論．
【解答】解：（1）∵AE是∠BAC的角平分線，
∴∠BAE=12∠BAC＝40°．
∵AD是△ABC的高線，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABD＝25°，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣25°＝15°；
（2）如圖1，∠BAD+∠BAE＝∠DAE；
如圖2，∠BAD+∠DAE＝∠BAE；
如圖3，∠BAE+∠DAE＝∠BAD；
如圖4，∠BAE+∠DAE＝∠BAD．
【變式6-1】（2022春?順德區(qū)期中）如圖，在△ABC中，BO，CO是△ABC的內(nèi)角平分線且BO，CO相交于點(diǎn)O．
（1）若∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，求∠BOC的度數(shù)；
（2）若∠A＝60°，求∠BOC的度數(shù)；
（3）請你直接寫出∠A與∠BOC滿足的數(shù)量關(guān)系式，不需要說明理由．
【分析】（1）由角平分線的定義可得∠CBO＝40°，∠BCO＝20°，由三角形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）由三角形的內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB＝120°，再由角平分線的定義得∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，從而可求得∠CBO+∠BCO＝60°，即可求∠BOC的度數(shù)；
（3）仿照（2）的過程進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∠ACB＝80°，∠ABC＝40°，
∴∠CBO=12∠ABC＝20°，∠BCO=12∠ACB＝40°，
∴∠BOC＝180°﹣∠CBO﹣∠BCO＝120°；
（2）∵∠A＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝120°；
（3）由題意得：∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠CBO=12∠ABC，∠BCO=12∠ACB，
∴∠CBO+∠BCO=12（∠ABC+∠ACB）＝90°?12∠A，
∴∠BOC＝180°﹣（∠CBO+∠BCO）＝90°+12∠A，
即∠BOC＝90°+12∠A．
【變式6-2】（2022春?海門市期末）已知：△ABC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，AB上，連接BD，CE，BD與CE交于點(diǎn)O，∠BOC﹣∠BAC＝54°．
（1）如圖1，當(dāng)BD，CE都是△ABC的角平分線時，求∠BOC的度數(shù)；
（2）如圖2，當(dāng)BD，CE都是△ABC的高時，求∠BOC的度數(shù)；
（3）如圖3，當(dāng)∠ABD＝2∠ACE時，探究∠BEO與∠CDO的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行計(jì)算即可；
（2）根據(jù)高的定義，三角形內(nèi)角和定理以及圖形中角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可；
（3）利用三角形內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和以及角之間的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：（1）∵BD，CE都是△ABC的角平分線，
∴∠DBC＝∠ABD=12∠ABC，∠ECB＝∠ACE=12∠ACB，
∴∠DBC+∠ECB=12（∠ABC+∠ACB）
=12（180°﹣∠BAC）
＝90°?12∠BAC，
∴∠BOC＝180°﹣（∠DBC+∠ECB）
＝180°﹣（90°?12∠BAC）
＝90°+12∠BAC，
又∵∠BOC﹣∠BAC＝54°，即90°+12∠BAC﹣∠BAC＝54°，
∴∠BAC＝72°，
∴∠BOC＝90°+12∠BAC
＝90°+36°
＝126°；
（2）∵BD，CE都是△ABC的高，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
∵∠A+∠ADB+∠DOE+∠AEC＝360°，
∴∠A+90°+∠DOE+90°＝360°，
∴∠A＝180°﹣∠DOE，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴∠A＝180°﹣∠BOC，
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠BOC﹣（180°﹣∠BOC）＝54°，
∴∠BOC＝117°．
（3）∠ODC﹣∠BEO＝18°，理由如下：
∵∠BEO＝∠A+∠ACE，
∴∠BOC＝∠BEO+∠ABD＝∠A+∠ACE+∠ABD，
∴∠BOC﹣∠A＝∠ACE+∠ABD．
∵∠BOC﹣∠A＝54°，
∴∠ABD＝2∠ACE，
∴54°＝∠ACE+2∠ACE，
∴∠ACE＝18°，
∴∠ABD＝2×18°＝36°，
∵∠BOC＝∠ODC+∠DCO＝∠BEO+∠ABD，
∴∠BEO+36°＝∠ODC+18°，
∴∠ODC﹣∠BEO＝18°．
【變式6-3】（2022春?輝縣市期末）小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個問題：
如圖1，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，AD⊥BC于D．
猜想∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系．
（1）小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解題思路，于是嘗試代入∠B、∠C的值求∠EAD值，得到下面幾組對應(yīng)值：
上表中a＝ ，于是得到∠B、∠C、∠EAD的數(shù)量關(guān)系為 ．
（2）小明繼續(xù)探究，在線段AE上任取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，請嘗試寫出∠B、∠C、∠EPD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．
（3）小明突發(fā)奇想，交換B、C兩個字母位置，如圖2，過EA的延長線是一點(diǎn)F作FD⊥BC交CB的延長線于D，當(dāng)∠ABC＝80°，∠C＝24°時，∠F度數(shù)為 °．
【分析】（1）求出∠BAE和∠BAD的大小即可得到∠EAD的值，再通過找規(guī)律的形式得出三者的關(guān)系，
（2）分別用∠B和∠C表示出∠BAE和∠BAD，再由∠EAD＝∠BAE和﹣BAD即可得出答案，
（3）分析同（2）．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠BDA＝180°﹣30°﹣90°＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12（180°﹣∠B﹣∠C）=12（180°﹣30°﹣70°）＝40°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣40°＝20°，
∴a＝20，
故答案為：20；2∠EAD＝∠C﹣∠B．
（2）如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于F，
∵PD⊥BC，AF⊥BC，
∴PD∥AF，
∴∠EPD＝∠EAF，
∵△ABC內(nèi)角和為180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝90°?∠B+∠C2，
同時∠BAF＝90°﹣∠B，
∴可得出∠EAF＝∠BAF﹣∠BAE=∠C?∠B2=∠EPD，
綜上所述，∠EPD=∠C?∠B2；
（3）同理（2），依舊可得∠EFD=∠C?∠B2=28°，
故答案為：28．
【知識點(diǎn)2 直角三角形的判定】
直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形．
【題型7 判斷直角三角形】
【例7】（2021春?歷下區(qū)期中）在下列條件：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝5：3：2，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝2∠B＝3∠C中，能確定△ABC是直角三角形的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】根據(jù)直角三角形的判定對各個條件進(jìn)行分析，即可得到答案．
【解答】解：①∵∠A+∠B＝∠C，
∴2∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C＝5：3：2，
設(shè)∠A＝5x，則∠B＝3x，∠C＝2x，
∴5x+2x+3x＝180°，
解得：x＝18°，
∴∠A＝18°×5＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
③∵∠A＝90°﹣∠B，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠C＝180°﹣90°＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
④∵3∠C＝2∠B＝∠A，
∴∠A+∠B+∠C=12∠A+13∠A+∠A＝180°，
∴∠A＝（108011）°，
∴△ABC為鈍角三角形．
∴能確定△ABC是直角三角形的有①②③共3個，
故選：C．
【變式7-1】（2022秋?旌陽區(qū)校級月考）在下列條件中（1）∠A+∠B＝∠C；（2）∠A：∠B：∠C＝1：2：3；（3）∠A＝∠B=12∠C；（4）∠A=12∠B=13∠C中，能確定△ABC為直角三角形的條件有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算，根據(jù)直角三角形的概念判定即可．
【解答】解：（1）∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（2）設(shè)∠A＝x，則∠B＝2x，∠C＝3x，
由三角形內(nèi)角和定理得：x+2x+3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠C＝30°×3＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（3）∵∠A＝∠B=12∠C，∠A+∠B+∠C＝180°
∴12∠C+12∠C+∠C＝180°，
解得：∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形；
（4）∵∠A=12∠B=13∠C，
∴∠C＝3∠A，∠B＝2∠A，
∴∠A+∠B+∠C＝3∠A+2∠A+∠A＝180°，
解得：∠A＝30°，
∴∠C＝3∠A＝90°，
∴△ABC為直角三角形．
所以能確定△ABC是直角三角形的有共4個，
故選：D．
【變式7-2】（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，AE平分∠BAC．
（1）求∠BAE；
（2）若AD⊥BC于點(diǎn)D，∠ADF＝74°，證明：△ADF是直角三角形．
【分析】（1）在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝62°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求得∠BAC的度數(shù)，由AE平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義，可求得∠BAE的度數(shù)；
（2）由AD⊥BC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可求得∠BAD的度數(shù)，繼而求得∠DAE的度數(shù)，則可求得∠ADF的度數(shù)．
【解答】（1）解：∵∠B＝30°，∠C＝62°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣30°﹣62°＝88°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=12×88°＝44°；
（2）證明：∵AD⊥BC；
∴∠BAD＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝60°﹣44°＝16°，
∵∠ADF＝74°，
∴∠ADF+∠EAD＝74°+16°＝90°，
∴∠AFD＝90°，
∴△ADF是直角三角形．
【變式7-3】（2022春?崇川區(qū)期末）定義：如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足α+2β＝100°，那么我們稱這樣的三角形為“奇妙三角形”．
（1）如圖1，△ABC中，∠ACB＝80°，BD平分∠ABC．
求證：△ABD為“奇妙三角形”
（2）若△ABC為“奇妙三角形”，且∠C＝80°．求證：△ABC是直角三角形；
（3）如圖2，△ABC中，BD平分∠ABC，若△ABD為“奇妙三角形”，且∠A＝40°，直接寫出∠C的度數(shù)．
【分析】（1）根據(jù)“奇妙三角形”的定義，在△ABD中，∠A+2∠ABD＝100°，即證明△ABD為“奇妙三角形”．
（2）由三角形的內(nèi)角和知，A+∠B＝100°，由△ABC為“奇妙三角形”得出∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°兩種情況，計(jì)算得∠B＝90°或∠A＝90°，從而證明△ABC是直角三角形．
（3）由三角形的內(nèi)角和知，∠ADB+∠ABD＝140，由△ABC為“奇妙三角形得出∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°兩種情況，求得∠C＝80°或100°．
【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD．
在△ABC中，∵∠ACB＝80°，
∴∠A+∠ABC＝180°﹣∠ACB＝180°﹣80°＝100°，
即∠A+2∠ABD＝100°，
∴△ABD為“奇妙三角形”．
（2）證明：在△ABC中，∵∠C＝80°，∴∠A+∠B＝100°，
∵△ABC為“奇妙三角形”，∴∠C+2∠B＝100°或∠C+2∠A＝100°，
∴∠B＝10°或∠A＝10°，
當(dāng)∠B＝10°時，∠A＝90°，△ABC是直角三角形．
當(dāng)∠A＝10°時，∠B＝90°，△ABC是直角三角形．
由此證得，△ABC是直角三角形．
（3）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠ABD，
∵△ABD為“奇妙三角形”，
∴∠A+2∠ABD＝100°或2∠A+∠ABD＝100°，
①當(dāng)∠A+2∠ABD＝100°時，∠ABD＝（100°﹣40°）÷2＝30°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝60°，
∴∠C＝80°；
②當(dāng)2∠A+∠ABD＝100°時，∠ABD＝100°﹣2∠A＝20°，
∴∠ABC＝2∠ABD＝40°，
∴∠C＝100°；
綜上得出：∠C的度數(shù)為80°或100°．
【知識點(diǎn)3 直角三角形的性質(zhì)】
直角三角形的性質(zhì)：直角三角形兩個內(nèi)角互余．
【題型8 運(yùn)用直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)倒角】
【例8】（2022秋?寧晉縣期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（ ）
A．3個B．4個C．5個D．6個
【分析】由“直角三角形的兩銳角互余”，結(jié)合題目條件，得∠C＝∠BDF＝∠BAD＝∠ADE．
【解答】解：如圖，∵AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠C+∠B＝90°，∠BDF+∠B＝90°，∠BAD+∠B＝90°，
∴∠C＝∠BDF＝∠BAD，
∵∠DAC+∠C＝90°，∠DAC+∠ADE＝90°，
∴∠C＝∠ADE，
∴圖中與∠C（除之C外）相等的角的個數(shù)是3，
故選：A．
【變式8-1】（2022?碑林區(qū)校級模擬）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC＝∠EDF＝90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（ ）個．
A．5B．4C．3D．2
【分析】利用平行線的性質(zhì)與判定可得∠E＝∠BME＝∠AMF，根據(jù)同角的余角相等可得∠E＝∠C，即可求解．
【解答】解：∵∠BAC＝∠EDF＝90°，
∴∠BAC+∠EDF＝180°，
∴AB∥DE，∠E+∠F＝90°，
∴∠E＝∠BME＝∠AMF，
∵EF⊥BC，
∴∠C+∠F＝90°，
∴∠E＝∠C，
故與∠E相等的角有3個，
故選：C．
【變式8-2】（2022春?鄧州市期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點(diǎn)F．
（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；
（2）試說明：∠AEF＝∠AFE．
【分析】（1）根據(jù)同角的余角相等得到∠ABD＝∠CAD＝36°，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出∠ABE，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；
（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．
【解答】（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAD＝36°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=12∠ABC＝18°，
∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°；
（2）證明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°，
∴∠AEF＝∠BFD，
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠AEF＝∠AFE．
【變式8-3】（2022春?米東區(qū)期末）如圖1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．
（1）求證：∠ACE＝∠ABC；
（2）求證：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求證：∠CEF＝∠CFE．
【分析】（1）根據(jù)條件易求∠ACE＝∠D，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（2）通過判定AD∥BC可得∠BEC+∠EBC＝90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)結(jié)合角平分線的定義可得2∠EBC+∠ECD＝90°，進(jìn)而可證明結(jié)論；
（3）由對頂角的定義結(jié)合角平分線的定義可證明結(jié)論．
【解答】證明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，
∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，
∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．∠B/度
10
30
30
20
20
∠C/度
70
70
60
60
80
∠EAD/度
30
a
15
20
30

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