四川省綿陽(yáng)南山中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末熱身數(shù)學(xué)試卷(含答案)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題
1．已知等差數(shù)列前n項(xiàng)和為，，，則的值為( )
A.70B.80C.90D.100
二、選擇題
2．的展開式中的系數(shù)為( )
A.50B.100C.D.
三、選擇題
3．某校高中三年級(jí)1600名學(xué)生參加了區(qū)第二次高考模擬統(tǒng)一考試，已知數(shù)學(xué)考試成績(jī)X服從正態(tài)分布（試卷滿分為150分），統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到120分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為( )
A.200B.150C.250D.100
四、選擇題
4．已知等比數(shù)列的公比為，前n項(xiàng)和為.若，，則( )
A.3B.4C.5D.7
五、選擇題
5．若曲線有兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
六、選擇題
6．某校在高一開展了選課走班的活動(dòng)，已知該校提供了3門選修課供學(xué)生選擇，現(xiàn)有5名同學(xué)參加選課走班的活動(dòng)，要求這5名同學(xué)每人選修一門課程且每門課程都有人選，則5名同學(xué)選課的種數(shù)為( )
A.150B.180C.240D.540
七、選擇題
7．如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)出發(fā)，每隔等可能地向上或向右移動(dòng)一個(gè)單位，則質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次后位于的概率為( )
A.B.C.D.
八、選擇題
8．若實(shí)數(shù)x，y，z滿足，，則下列不等式錯(cuò)誤是( )
A.B.C.D.
九、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項(xiàng)的和.且，，則下面結(jié)論正確的是( )
A.B.
C.與均為的最大值D.滿足的n的最小值為14
一十、多項(xiàng)選擇題
10．在一個(gè)有窮數(shù)列的每相鄰兩項(xiàng)之間插入這兩項(xiàng)的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴(kuò)充”.如數(shù)列1，3，第1次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，4，3；第2次“和擴(kuò)充”后得到數(shù)列1，5，4，7，3；依次擴(kuò)充，記第次“和擴(kuò)充”后所得數(shù)列的項(xiàng)數(shù)記為，所有項(xiàng)的和記為，數(shù)列的前n項(xiàng)為，則( )
A.B.滿足n的最小值為11
C.D.
一十一、多項(xiàng)選擇題
11．設(shè)函數(shù)，則( )
A.當(dāng)時(shí)，直線不是曲線的切線
B.當(dāng)時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)
C.若有三個(gè)不同的零點(diǎn)，，，則
D.若曲線上有且僅有四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)正方形，則
一十二、填空題
12．已知函數(shù)，則的極小值點(diǎn)為__________.
一十三、填空題
13．在的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為________.
一十四、填空題
14．我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著《詳解九章算法》給出了著名的楊輝三角，由此可見(jiàn)我國(guó)古代數(shù)學(xué)的成就是非常值得中華民族自豪的，下圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角數(shù)陣，記第一條斜線之和為，第二條斜線之和為，第三條斜線之和為，以此類推，組成數(shù)列.例如，，，，若，則_______.
一十五、解答題
15．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）若，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，恒成立，求實(shí)數(shù)m的最小值.
一十六、解答題
16．為迎接2024新春佳節(jié)，某地4S店特推出盲盒抽獎(jiǎng)營(yíng)銷活動(dòng)中，店家將從一批汽車模型中隨機(jī)抽取50個(gè)裝入盲盒用于抽獎(jiǎng)，已知抽出的50個(gè)汽車模型的外觀和內(nèi)飾的顏色分布如下表所示.
（1）從這50個(gè)模型中隨機(jī)取1個(gè)，用A表示事件“取出的模型外觀為紅色”，用B表示事件“取出的模型內(nèi)飾為米色”，求和，并判斷事件A與B是否相互獨(dú)立；
（2）活動(dòng)規(guī)定：在一次抽獎(jiǎng)中，每人可以一次性拿2個(gè)盲盒.對(duì)其中的模型給出以下假設(shè)：
假設(shè)1：拿到的2個(gè)模型會(huì)出現(xiàn)3種結(jié)果，即外觀和內(nèi)飾均為同色、外觀和內(nèi)飾都異色以及僅外觀或僅內(nèi)飾同色.
假設(shè)2：按結(jié)果的可能性大小，概率越小獎(jiǎng)項(xiàng)越高.
假設(shè)3：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的獎(jiǎng)金額為一等獎(jiǎng)3000元、二等獎(jiǎng)2000元、三等獎(jiǎng)1000元.請(qǐng)你分析獎(jiǎng)項(xiàng)對(duì)應(yīng)的結(jié)果，設(shè)X為獎(jiǎng)金額，寫出X的分布列并求出X的期望（精確到元）.
一十七、解答題
17．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍.
一十八、解答題
18．在某次人工智能知識(shí)問(wèn)答中，考生甲需要依次回答n道試題.若甲答對(duì)某道試題，則下一道試題也答對(duì)的概率為，若甲答錯(cuò)某道試題，則下一道試題答對(duì)的概率為.
（1）若，考生甲第1道試題答對(duì)與答錯(cuò)的概率相等，記考生甲答對(duì)試題的道數(shù)為X，求X的分布列與期望；
（2）若，且考生甲答對(duì)第1道試題，求他第10道試題也答對(duì)的概率.
一十九、解答題
19．已知函數(shù)，
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，再以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，…，依此類推，以為切點(diǎn)，作直線交的圖像于異于的點(diǎn)，其中.求的通項(xiàng)公式.
（3）在（2）的條件下，證明：
參考答案
1．答案：D
解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，所以，
則.
故選：D.
2．答案：C
解析：，
令，得，
所以的系數(shù)為.
故選C
3．答案：A
解析：因?yàn)閿?shù)學(xué)考試成績(jī)服從正態(tài)分布，
又，所以
則此次統(tǒng)考中成績(jī)不低于120分的學(xué)生人數(shù)約為.
故選：A.
4．答案：C
解析：根據(jù)題意，因?yàn)榈缺葦?shù)列的公比為，則，
，
所以
解得.
故選：C.
5．答案：D
解析：設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，切線方程為
直線過(guò)點(diǎn)，
，
化簡(jiǎn)得切線有2條，，則a的取值范圍是.
故選：D.
6．答案：A
解析：先將5名同學(xué)分成3組，然后將這3組安排選修3門選修課即可，
則5名同學(xué)選課的種數(shù)為
故選：A.
7．答案：D
解析：質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次后位于，則質(zhì)點(diǎn)在移動(dòng)過(guò)程中向右移動(dòng)2次，向上移動(dòng)4次，因此質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)6次后位于的概率為.
故選D
8．答案：B
解析：對(duì)于A，令函數(shù)，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上遞增，在上遞減，，即，而，因此，故A正確；
對(duì)于B，由，得，則，顯然，否則，，于是，則，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，故C正確；
對(duì)于D，，即，因此，D正確.
故選：B
9．答案：BCD
解析：A：因?yàn)椋?，?br>所以，故A錯(cuò)誤；
B：由A的解析可得B正確；
C：因?yàn)?，，所以與，均為的最大值，故C正確；
D：因?yàn)?，由，，故D正確；
故選：BCD.
10．答案：BD
解析：數(shù)列1，3第n次拓展后的項(xiàng)數(shù)為，則，，根據(jù)拓展規(guī)則可知，，即，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為2，公比為2，
，即；故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，即，解得，故B項(xiàng)正確；
根據(jù)拓展規(guī)則可知，，，又，數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為6，公比為3，，所以；故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
，故D項(xiàng)正確.
11．答案：BCD
解析：當(dāng)時(shí)，，則，則，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)和時(shí)，，單調(diào)遂增，時(shí)，，單調(diào)遞減.
又因?yàn)?，，結(jié)合三次函數(shù)的圖象特征，
此時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)，故B選項(xiàng)正確；
設(shè)的三個(gè)零點(diǎn)分別為，，，則有，展開后比對(duì)含項(xiàng)的系數(shù)，可得
，故選項(xiàng)C正確；
當(dāng)時(shí)，易知在R上單調(diào)遞增，結(jié)合圖象知不符合題意，故.
因?yàn)椋?，因此函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形.則此正方形必以為中心，不妨設(shè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B，C，D，其中一條對(duì)角線的方程為，則，即，解得，則，同理可得，
由得，根據(jù)題意，方程
只有一個(gè)正解，當(dāng)時(shí)，是然不成立，故，
則
因?yàn)椋瑒t，設(shè)，則，
設(shè)，根據(jù)題意，只需要直線與函數(shù)的圖象只有唯一的公共點(diǎn)即可.
結(jié)合雙勾函數(shù)的圖象可得，解得，所以選項(xiàng)D正確.
故選：BCD.
12．答案：
解析：由已知可得的定義域?yàn)镽，且
令，解得，令，解得或，故在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，
故的極小值點(diǎn)為1.
故答案為：1.
13．答案：729或
解析：由題意的二項(xiàng)式中，所有的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，
即，，
設(shè)的各項(xiàng)的系數(shù)為，，，，，
則各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為
，
即為中各項(xiàng)的系數(shù)的和，
令，
即各項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值之和為，故答案為：729.
14．答案：4049
解析：依題意可知：
，，…，①，
②，
①-②：
，
，…，，，
（累加）
15．答案：（1）；
（2）1
解析：（1）因?yàn)棰伲援?dāng)時(shí)，②，
由①②得到，整理得到，
又，所以，得到，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，滿足，所以.
（2）由（1）知，
所以，
因?yàn)?，且，所以是關(guān)于的遞增數(shù)列，由，恒成立，得到，
所以實(shí)數(shù)m的最小值為1.
16．答案：（1）A，B不獨(dú)立；
（2）列聯(lián)表見(jiàn)解析；
解析：（1）模型內(nèi)飾為米色的共有20個(gè)，所以，
紅色外觀的模型有35個(gè)，其中內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，所，
紅色外觀模型且內(nèi)飾為米色的共有15個(gè)，
所以，，
因?yàn)椋訟，B不獨(dú)立；
（2）設(shè)事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾均為同色”，事件“取出的模型外觀和內(nèi)飾都異色”，事件“僅外觀或僅內(nèi)飾同色”，
，
，
，
因?yàn)椋?br>所以獲得一等獎(jiǎng)的概率為，二等獎(jiǎng)的概率為，三等獎(jiǎng)的概率為，
其分布列為
期望為.
17．答案：（1）；
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí)，則，，
可得，，
即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，
所以切線方程為，即.
（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，
若，則對(duì)任意恒成立，
可知在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，則，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為；
解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)镽，且，
若有極小值，則有零點(diǎn)，
令，可得，
可知與有交點(diǎn)，則，
若，令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，
則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，
由題意可得：，即，
構(gòu)建，，
因?yàn)閯t，在內(nèi)單調(diào)遞增，
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，
不等式等價(jià)于，解得，
所以a的取值范圍為.
18．答案：（1）分布列見(jiàn)解析；；
（2）
解析：由題可知，X的所有可能取值為0，1，2，3，且
，
X的分布列為
則.
（2）設(shè)“考生甲答對(duì)第i道試題”，
則，，
，
則.
因?yàn)?，所以是以為首?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
則，即，
則，
即他第10道試題也答對(duì)的概率為.
19．答案：（1）單調(diào)性見(jiàn)解析；
（2）；
（3）證明見(jiàn)解析
解析：（1）
①若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
②若，則，則在R上單調(diào)遞增
③若，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
綜上所述：
①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，則在R上單調(diào)遞增；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)
切線斜率：，故切線方程為：
聯(lián)立得：
化簡(jiǎn)得：
因式分解得：.
故
上式亦滿足由作切線而得到的的橫坐標(biāo)，故
，則是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列
故，故
（3）構(gòu)造，
，故在上單調(diào)遞減，故
故當(dāng)時(shí)，
故
則，，……，… 15分
將上式累加，得
故
故
紅色外觀
藍(lán)色外觀
棕色內(nèi)飾
20
10
米色內(nèi)飾
15
5
X
3000
2000
1000
P
X
0
1
2
3
P

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