1．(2023·海南·嘉積中學(xué)模擬）平面向量滿足，且，則（ ）
A．B．13C．D．21
2．(2023·廣東·一模）若向量，滿足，，，則（ ）
A．B．2C．2D．4
3．(2023·山東煙臺·一模）若非零向量，滿足，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·遼寧·東北育才學(xué)校模擬）已知單位向量滿足則=（ ）
A．B．C．D．2
5．(2023·海南?？凇ざ＃┮阎蛄?，的夾角為45°，，且，若，則______．
6．(2023·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬）已知，與的夾角為，則向量在向量方向上的投影是________．
7．(2023·湖北·孝昌縣第一高級中學(xué)三模）已知，，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為______．
1．(2023·北京·北師大二附中三模）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
2．(2023·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
3．(2023·山東濰坊·模擬）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．3
5．(2023·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）已知為單位向量，向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·上海市七寶中學(xué)模擬）設(shè)點(diǎn)O在的內(nèi)部，點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，且，則___________
7．(2023·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則_________.
8．(2023·浙江紹興·模擬）已知是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是的重心．若，則___________．
9．(2023·福建省福州第一中學(xué)三模）過點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，___________.
1．(2023·江蘇淮安·模擬）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1B．2C．3D．
2．(2023·湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計(jì)漂亮的圖案，我國國旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖，設(shè)O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·海南華僑中學(xué)模擬）已知不共線的平面向量兩兩所成的角相等，且，則（ ）
A．B．2C．3D．2或3
4．(2023·江蘇泰州·模擬）若向量，互相垂直，且滿足，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．
5．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知平面向量，且，滿足，若﹐則可能的取值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
6．(2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬）已知是半徑為2的圓O的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（ ）
A．若角，則
B．若，則
C．若，則，的夾角為
D．若，則為圓O的一條直徑
7．(2023·廣東·三模）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC?BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是（ ）
A．B．為定值
C．的取值范圍是[-2，0]D．當(dāng)時(shí)，為定值
8．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，的取值范圍是_________.
9．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬）如圖，已知點(diǎn)O，A，B，C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則的最大值為_________．
10．(2023·天津河西·一模）如圖，△是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若，，那么______；點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
專題05 平面向量及其應(yīng)用
第16練 平面向量的概念和運(yùn)算
1．(2023·海南·嘉積中學(xué)模擬）平面向量滿足，且，則（ ）
A．B．13C．D．21
答案：A
【解析】由得：，所以，其中，故.
故選：A
2．(2023·廣東·一模）若向量，滿足，，，則（ ）
A．B．2C．2D．4
答案：B
【解析】由題意可得.
故選：B.
3．(2023·山東煙臺·一模）若非零向量，滿足，，則向量與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】由，可得
則，則
又，則
故選：B
4．(2023·遼寧·東北育才學(xué)校模擬）已知單位向量滿足則=（ ）
A．B．C．D．2
答案：C
【解析】由題意，單位向量，即，
又由，解得.
故選：C.
5．(2023·海南海口·二模）已知向量，的夾角為45°，，且，若，則______．
答案：-2
【解析】因?yàn)榈茫?br>又因?yàn)椋?br>所以，所以．
故答案為：-2.
6．(2023·廣東北江實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬）已知，與的夾角為，則向量在向量方向上的投影是________．
答案：
【解析】由數(shù)量積的幾何意義可知，向量在向量方向上的投影為
.
故答案為：
7．(2023·湖北·孝昌縣第一高級中學(xué)三模）已知，，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為______．
答案：
【解析】解：由題意得：

，即
，，均為單位向量
，即
故答案為：
1．(2023·北京·北師大二附中三模）設(shè)點(diǎn)A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
答案：C
【解析】∵A?B?C三點(diǎn)不共線,∴
|+|>|||+|>|-|
|+|2>|-|2?>0與
的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C.
2．(2023·遼寧·大連市一0三中學(xué)模擬）已知單位向量，滿足，則與的夾角為（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
答案：C
【解析】解：因?yàn)?，為單位向量，所以?
又，所以，即，
所以，即，所以，
所以，因?yàn)?，所以?br>故選：C
3．(2023·山東濰坊·模擬）定義：，其中為向量與的夾角．若，，，則等于（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】，，又，，
.
故選：D.
4．(2023·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬）已知平面向量，滿足，，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．3
答案：C
【解析】解：因?yàn)?，，且與的夾角為，
所以，
，
故選：C
5．(2023·北京市大興區(qū)興華中學(xué)三模）已知為單位向量，向量，且，則（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】因?yàn)闉閱挝幌蛄?，向量，且?br>所以，
，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
故選：B
6．(2023·上海市七寶中學(xué)模擬）設(shè)點(diǎn)O在的內(nèi)部，點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，且，則___________
答案：2
【解析】∵點(diǎn)D，E分別為邊AC，BC的中點(diǎn)，∴，，
∴．
故答案為：2．
7．(2023·上海虹口·二模）已知向量，滿足，，，則_________.
答案：
【解析】由可得，，即，解得：，所以．
故答案為：．
8．(2023·浙江紹興·模擬）已知是圓心為O，半徑為R的圓的內(nèi)接三角形，M是圓O上一點(diǎn)，G是的重心．若，則___________．
答案：
【解析】∵，則
∵，則
∴
同理可得：，
∴
∵G是的重心，則即
∴
故答案為：．
9．(2023·福建省福州第一中學(xué)三模）過點(diǎn)的直線與交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，___________.
答案：-8
【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)在內(nèi)，
所以當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，，
又因?yàn)榈陌霃綖?,＝,
所以，
所以，
所以，＝.
故答案為：-8.
1．(2023·江蘇淮安·模擬）已知，在上的投影為1，則在上的投影為（ ）
A．-1B．2C．3D．
答案：C
【解析】在上的投影為，即，
在上的投影為，
故選：C
2．(2023·湖南師大附中三模）藝術(shù)家們常用正多邊形來設(shè)計(jì)漂亮的圖案，我國國旗上五顆耀眼的正五角星就是源于正五邊形，正五角星是將正五邊形的任意兩個(gè)不相鄰的頂點(diǎn)用線段連接，并去掉正五邊形的邊后得到的圖形，它的中心就是這個(gè)正五邊形的中心.如圖，設(shè)O是正五邊形ABCDE的中心，則下列關(guān)系錯(cuò)誤的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】對于A，，故A正確，
對于B：因?yàn)椋?，所以，故B正確，
對于C：由題意是的外心，不是的重心
設(shè)中點(diǎn)為，則，
，故C錯(cuò)誤，
對于D：，故D正確．
故選：C
3．(2023·海南華僑中學(xué)模擬）已知不共線的平面向量兩兩所成的角相等，且，則（ ）
A．B．2C．3D．2或3
答案：D
【解析】由不共線的平面向量，，兩兩所成的角相等，可設(shè)為θ，則.設(shè)||=m.
因?yàn)?，所以?br>即，
所以
即，解得：或3.
所以||=2或3
故選：D
4．(2023·江蘇泰州·模擬）若向量，互相垂直，且滿足，則的最小值為（ ）
A．B．1C．2D．
答案：B
【解析】由題設(shè)，且，
∴，而，當(dāng)時(shí)等號成立，
∴.
故選：B．
5．(2023·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬）已知平面向量，且，滿足，若﹐則可能的取值為（ ）
A．4B．8C．12D．16
答案：CD
【解析】因?yàn)?，且，所以不妨設(shè)，，如圖，設(shè)．
因?yàn)椋?則點(diǎn)在軸負(fù)半軸或射線上（不含原點(diǎn)），，，
顯然當(dāng)在在軸負(fù)半軸的點(diǎn)時(shí)，，不滿足，
因此滿足的點(diǎn)在射線上（不含原點(diǎn)），
由得，
即，所以，，
只有CD滿足．
故選：CD．
6．(2023·湖北·黃岡中學(xué)模擬）已知是半徑為2的圓O的內(nèi)接三角形，則下列說法正確的是（ ）
A．若角，則
B．若，則
C．若，則，的夾角為
D．若，則為圓O的一條直徑
答案：BC
【解析】對于A，作OD垂直于AB.垂足為D，則 ,
由正弦定理得 ，
故,故A錯(cuò)誤；
對于B,由得，，
即,則點(diǎn)O為BC的中點(diǎn)，即BC為圓的直徑，故，B正確；
對于C，設(shè)，的夾角為 ，
由得，，即 ，
解得 或，
由于，故，故，
則，的夾角為，C正確；
對于D,由 得，
即，則為圓O的一條直徑，D錯(cuò)誤，
故選:BC
7．(2023·廣東·三模）“圓冪定理”是平面幾何中關(guān)于圓的一個(gè)重要定理，它包含三個(gè)結(jié)論，其中一個(gè)是相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等.如圖，已知圓O的半徑為2，點(diǎn)P是圓O內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦AC?BD均過點(diǎn)P，則下列說法正確的是（ ）
A．B．為定值
C．的取值范圍是[-2，0]D．當(dāng)時(shí)，為定值
答案：ABD
【解析】如圖，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則.
故，故A正確；
如圖，設(shè)直線PO與圓O交于E，F(xiàn)，
則
，故B正確；
取AC的中點(diǎn)M，連接OM，
則
，
而，故的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，
，
故D正確.
故選：ABD.
8．(2023·山東師范大學(xué)附中模擬）邊長為的正方形內(nèi)有一內(nèi)切圓，是內(nèi)切圓的一條弦，點(diǎn)為正方形四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，的取值范圍是_________.
答案：
【解析】如下圖所示：
設(shè)正方形的內(nèi)切圓為圓，當(dāng)弦的長度最大時(shí)，為圓的一條直徑，
，
當(dāng)為正方形的某邊的中點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)與正方形的頂點(diǎn)重合時(shí)，，即，
因此，.
故答案為：.
9．(2023·浙江·鎮(zhèn)海中學(xué)模擬）如圖，已知點(diǎn)O，A，B，C（順時(shí)針排列）在半徑為2的圓E上，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，則的最大值為_________．
答案：16
【解析】如圖，作于G，于H，
由題可得，
∴
．當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)等號成立，
故答案為：16．
10．(2023·天津河西·一模）如圖，△是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若，，那么______；點(diǎn)M為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
答案：
【解析】由題設(shè)，且，，
所以
；
由題設(shè)，則，
若，則且，
所以，
當(dāng)時(shí)，的最小值為.
故答案為：，

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