第I卷（選擇題，共58分）
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1.已知全集，，則（ ）
A.B.C.D.
2.已知），若為純虛數(shù)，則（ ）
A.1B.2C.或D.1或2
3.已知函數(shù)與是互為反函數(shù)，則（ ）
A.B.C.D.
4.已知一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的8個球，其中有3個白球（標號為1~3），5個紅球（標號為），現(xiàn)從袋中不放回地依次隨機摸出2個球，則兩次摸到同種顏色球的概率為（ ）
A.B.C.D.
5.已知平面，，，若，則“”是“”的（ ）
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充要條件D.既不充分也不必要條件
6.已知向量，的夾角為，，且向量在向量上的投影向量為，則實數(shù)（ ）
A.B.C.D.
7.若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A.B.C.D.
8.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，的面積為，若，則（ ）
A.B.C.D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9.若，為兩個隨機事件，且，，則（ ）
A.當(dāng)和互斥時，
B.當(dāng)和互斥時，
C.當(dāng)和相互獨立時，
D.當(dāng)和相互獨立時，
10.若關(guān)于的一元二次不等式的解集為，則（ ）
A.B.
C.D.
11.已知復(fù)變函數(shù)是以復(fù)數(shù)作為自變量和因變量的函數(shù)，對任意一個復(fù)數(shù)，由可以得到，，，…，，….如果存在一個正實數(shù)，使得對任意都成立，那么稱為函數(shù)的收斂點.若是復(fù)變函數(shù)的收斂點，則復(fù)變函數(shù)可以是（ ）
A.B.C.D.
第II卷（非選擇題，共92分）
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.已知冪函數(shù)的圖象過點，則______.
13.已知正實數(shù)滿足，則______.
14.已知四棱錐的底面是矩形，平面平面，，，.若四棱錐內(nèi)存在內(nèi)切球（球與四棱錐的各個面均相切），則______，該內(nèi)切球的表面積為______.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15.（13分）已知向量，是不共線的單位向量，且向量，.
（1）若，求的值；
（2）若，，求.
16.（15分）已知函數(shù)的最大值為2，其圖象相鄰的兩條對稱軸距離為，且圖象關(guān)于點對稱.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，求函數(shù)的值域.
17.（15分）為貫徹“陽光體育”計劃，促進學(xué)生身心素養(yǎng)的提高，某校倡導(dǎo)全校學(xué)生積極參與體育運動，并統(tǒng)計學(xué)生一周內(nèi)運動時長，發(fā)現(xiàn)時長均在區(qū)間之間（單位：小時）.
（1）將全校男生一周內(nèi)運動時長分為，，，，五組，并繪制如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）.求該校男生一周運動時長的平均數(shù)和中位數(shù)；
（2）已知高二（1）班男生30人，女生20人，根據(jù)數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析，發(fā)現(xiàn)該班男生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)為9，方差為2；女生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)為6.5，方差為4.求該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的方差.
18.（17分）如圖，平行四邊形中，，，為中點，現(xiàn)將沿折起至，連接，，且.
（1）求證：平面平面；
（2）已知.
（i）若，求證：平面；
（ii）若直線與平面所成角的正弦值為，求的值.
19.（17分）已知函數(shù).
（1）若函數(shù)是奇函數(shù)，求的值；
（2）若，記函數(shù)在上的最小值為.
（i）求；
（ii）設(shè)函數(shù)滿足：對任意，均存在，使得，求的取值范圍.
2023學(xué)年第二學(xué)期期末考試
高二數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案及評分標準
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。
二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分；全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分。
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.；13.34；14.7；（第一空3分；第二空2分）
四、解答題：本大題共5小題，共77分。
15.（1）因為，所以存在實數(shù)，使得，
即，
，
所以；
（2）因為，所以，
即，
所以
即
因為，
所以.
所以
16.（1）由題意得，，.
所以，
所以，
又因為，
所以.
所以
（2）由得，，
所以
所以函數(shù)的值域為
17.（1），
即男生一周運動時長的平均數(shù)為7.3；
中位數(shù)為第50百分位數(shù)，運動時長為的概率為，
運動時長為的概率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，
由，得到，即中位數(shù)為.
（2）該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的平均數(shù)，
所以該班級全體學(xué)生一周內(nèi)運動時長的方差
18.（1）由題可知為正三角形，取中點，連接，
則，且，
在中，，，，，所以，
所以在中，，所以，
因為，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（也可以連接，證明平面）
（2）①取中點，連接，，
在中，因為，分別為，的中點，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
而，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因為平面，平面，
所以平面，
又因為，所以平面平面，
因為平面，所以平面.
（也可取中點，證明）
②過作交于點，過作交于，
設(shè)與交于點，連接，，，
同①，易證平面平面，
又因為平面平面，平面平面，
所以，
由（1）可知平面，所以平面，
所以就是直線與平面所成的角，
所以，
因為，所以，
在中，，
所以，
在中，，所以，
所以，
所以，
解得或，
因為，故.
（注：本題若用坐標系也給相應(yīng)的分數(shù)）
19.（1）因為，
所以
所以.
（2）（i）①若，則，
當(dāng)時，對稱軸，所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，若，即，則在上單調(diào)遞減，
所以，
若，即，則，
若，即，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
②若，則，，對稱軸，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上，.
（ii）若，則，
所以，所以，
若，則，所以，
所以，
綜上，的取值范圍為
考試范圍：必修第一冊&第二冊。（2024.6考試）
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
D
A
B
C
C
D
題號
9
10
11
答案
ABD
BCD
BC

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