一、選擇題
1．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足，則z的虛部為( )
A.B.C.D.
2．已知全集，集合，，則( )
A.B.C.D.
3．圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡稱）的會(huì)徽圖案，會(huì)徽的主題圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則第n個(gè)三角形的面積為( )
A.B.C.D.
4．若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值為( )
A.B.2C.D.1
5．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則的解析式可能是( )
A.B.C.D.
6．已知m,n為兩條直線，,為兩個(gè)平面，，，，則是的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
7．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，，曲線C上的點(diǎn)M滿足，，則雙曲線的離心率為( )
A.B.C.D.
8．一組樣本數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)為，方差為，標(biāo)準(zhǔn)差為s，下列說法正確的是( )
A.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為
B.，，，，的平均數(shù)為
C.，，，，的方差為
D.，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為
9．函數(shù)的圖象如圖所示，P，Q為圖象上兩點(diǎn)，對于向量，，為了得到的圖象，需要將圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)( )
A.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
B.橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
C.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
D.橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位
10．已知，直線為l上的一動(dòng)點(diǎn)，A，B為上任意不重合的兩點(diǎn)，則的最小值為( )
A.B.C.D.
11．已知函數(shù)，有4個(gè)零點(diǎn)，則m的取值范圍為( )
A.B.C.D.
12．已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前n項(xiàng)積為且，下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.B.為遞減數(shù)列
C.D.
二、填空題
13．已知向量,滿足，且是單位向量，若，則________.
14．繼淄博燒烤、哈爾濱凍梨后，最近天水麻辣燙又火了.據(jù)了解天水麻辣燙店內(nèi)菜品一般由竹簽串起成捆擺放，人們按照自己的喜好選好后遞給老板，進(jìn)行調(diào)制.某麻辣燙店內(nèi)有西蘭花、香菇、豆皮、海帶、白菜等菜品，一游客打算從以上5種蔬菜中隨機(jī)選擇不同的3種，則西蘭花和海帶被選中的概率為________.
15．已知三棱錐，，，則三棱錐的外接球表面積為________.
16．已知A，B是拋物線上異于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，且以為直徑的圓過原點(diǎn)，過向直線作垂線，垂足為H，求的最大值為________.
三、解答題
17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，請從下列條件中選擇一個(gè)條件作答：（注：如果選擇條件①和條件②分別作答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
①記的面積為S，且；②已知.
(1)求角A的大?。?br>(2)若為銳角三角形，且，求周長的取值范圍.
18．2024年03月04日《人民日報(bào)》發(fā)表文章《開展全民健身實(shí)現(xiàn)全民健康》，文中提到：體育鍛煉要從小抓起.“讓孩子們跑起來”“要長得壯壯的、練得棒棒的”“體育鍛煉是增強(qiáng)少年兒童體質(zhì)最有效的手段”……習(xí)近平總書記的殷殷囑托，牢牢印刻在廣大教育工作者和孩子們的心中.某學(xué)校為了了解學(xué)生體育鍛煉的情況，隨機(jī)抽取了n名同學(xué)，統(tǒng)計(jì)了他們每周體育鍛煉的時(shí)間，作出了頻率分布直方圖如圖所示.其中體育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為50人.
(1)求n及a的值（a的取值保留三位小數(shù)）；
(2)估計(jì)該校學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；
(3)我們把每周體育鍛煉時(shí)間超過8小時(shí)的學(xué)生稱為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”，為了了解“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別是否有關(guān)系，我們對隨機(jī)抽取的n名學(xué)生的性別進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下列聯(lián)表：
補(bǔ)全列聯(lián)表，并判斷能否有90%的把握認(rèn)為成為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別有關(guān)？
附：
19．已知：如圖，三角形為正三角形，和都垂直于平面，且，F(xiàn)為的中點(diǎn).
(1)證明：平面；
(2)求點(diǎn)B到平面的距離.
20．已知橢圓的離心率為，短軸長為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)M且斜率不為0的直線l交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求m的值.
21．已知函數(shù).
(1)證明：時(shí)，恒成立；
(2)證明：（且）.
22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.已知曲線與交于相異的A，B兩點(diǎn).
(1)求的極坐標(biāo)方程及的直角坐標(biāo)方程；
(2)設(shè)點(diǎn)，求的值.
23．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
(2)若恒成立，求a的取值范圍.
參考答案
1．答案：B
解析：依題意，設(shè)，
因?yàn)?，所以?br>即，
所以，解得，
則，z的虛部為.
故選：B.
2．答案：A
解析：因?yàn)?，又?br>所以，
故選：A.
3．答案：B
解析：記，，，的長度構(gòu)成的數(shù)列為，
由題意知，，且，，，，都是直角三角形，
所以，且，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
由，所以.
所以第n個(gè)三角形的面積為.
故選：B.
4．答案：C
解析：由約束條件作出可行域如圖，
聯(lián)立，解得，則.
化目標(biāo)函數(shù)為.
由圖可知，當(dāng)直線過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，
則z有最小值為.
故選：C.
5．答案：C
解析：由圖可知的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，則為奇函數(shù)，
對于A：定義域?yàn)镽，
當(dāng)時(shí)，，所以，不符合題意，故A錯(cuò)誤；
對于B：定義域?yàn)镽，
且，
所以為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故B錯(cuò)誤；
對于D：定義域?yàn)镽，
且，
所以為非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故D錯(cuò)誤；
對于C：定義域?yàn)镽，，
所以為奇函數(shù)，
且當(dāng)時(shí)，，所以，符合題意，故C正確；
故選：C
6．答案：A
解析：若，因?yàn)?，所以，即由可以得到?br>若，如圖，在正方體中，取平面為平面，平面為平面，
取為直線m，為直線n，顯然有，，，，但m與不垂直，即由得不到，
故選：A.
7．答案：A
解析：因?yàn)?，，所以?br>又，所以，，
所以，
則，即雙曲線的離心率為.
故選：A.
8．答案：D
解析：依題意，，，
對于A，數(shù)據(jù)，，，，不一定是按大小順序排列而成的，A錯(cuò)誤；
對于B，，B錯(cuò)誤；
對于C，，
，C錯(cuò)誤；
對于D，，，
所以，，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，D正確.
故選：D
9．答案：D
解析：設(shè)的最小正周期為T，如圖，易知，，所以，
又,，所以，得到，所以，即，
又由圖象知，過點(diǎn)，所以,，即,，
又，所以，得到，
為了得到的圖象，需要將圖象上所有點(diǎn)的坐標(biāo)橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位，
故選：D.
10．答案：D
解析：由題意得的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心，半徑為2，
所以圓心M到直線l的距離為，所以直線l與相離，
所以當(dāng)，分別為圓的切線，且最小時(shí)，
最大，又，則最大，
所以最大，此時(shí)最小，
此時(shí).
故選：D.
11．答案：C
解析：由，得，而當(dāng)時(shí)，，即0是的一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，令，
依題意，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，恒成立，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，
觀察圖象知，當(dāng)或時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)，
則當(dāng)或時(shí)，方程有3個(gè)解，即有4個(gè)零點(diǎn)，
所以m的取值范圍為或.
故選：C
12．答案：B
解析：當(dāng)時(shí)，，解得（負(fù)舍），
當(dāng)時(shí)，，即，且，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
又，所以，故A正確；
當(dāng)時(shí)，有，
取時(shí)，此式也滿足，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為,故D正確；
因?yàn)閿?shù)列的前n項(xiàng)積為且，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
顯然不適用，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為，
顯然，所以數(shù)列不是遞減數(shù)列，故B錯(cuò)誤，
由當(dāng)時(shí)，，得，故C正確，
故選：B.
13．答案：3
解析：因?yàn)槭菃挝幌蛄浚?br>所以，，
又因?yàn)椋?br>所以，即，解得，
所以.
故答案為：3.
14．答案：/0.3
解析：由題意，設(shè)五種食材分別為a，b，c，d，e，則基本事件空間為
，
共10個(gè)基本事件，其中含有西蘭花和海帶的有，，，3個(gè)基本事件，所以.
故答案為：
15．答案：
解析：如圖:
由題意知，底面為等邊三角形，設(shè)M為其中心，
則，
又，
所以該三棱錐為正三棱錐，
所以，
所以外接球半徑，
則外接球球心在AO的延長線上，
所以，則，
所以在中，，
即，解得，
所以外接球表面積為
故答案為：.
16．答案：
解析：依題意，設(shè)，，
以為直徑的圓過原點(diǎn)，則，解得，
易知直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，化簡整理可得，
所以，解得，
故直線恒過定點(diǎn)，
因?yàn)椋?，則O，P，H，M四點(diǎn)共圓，
即點(diǎn)H在以為直徑的圓（除原點(diǎn)外）上運(yùn)動(dòng)，
此時(shí)該圓直徑為，
故的最大值為該圓的直徑，即.
故答案為：.
17．答案：(1)；
(2).
解析：（1）選條件①，由，得，整理得，而，
所以.
選條件②，由及正弦定理，得，
而，則，整理得，而，
所以.
（2）由（1）知，由正弦定理得，
因此
由為銳角三角形，得，解得，因此，
則，于是，，
所以周長的取值范圍是.
18．答案：(1)，
(2)
(3)列聯(lián)表見解析，沒有
解析：（1）因?yàn)轶w育鍛煉時(shí)間在內(nèi)的人數(shù)為50人，所以，解得，
又由，得到.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，知該校學(xué)生每周體育鍛煉時(shí)間的平均值為：
.
（3）由（1）知，運(yùn)動(dòng)達(dá)人共有，所以女生運(yùn)動(dòng)達(dá)人有20人，
得到列聯(lián)表如圖：
又，
所以沒有90%的把握認(rèn)為成為“運(yùn)動(dòng)達(dá)人”與性別有關(guān).
19．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：（1）如圖：
取中點(diǎn)G，連接、，
F是的中點(diǎn)，
，
又平面，平面，
平面，
和都垂直于平面，
，
又，，，
則四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
平面，
又，平面平面，
平面平面，
平面，
平面；
（2），
，，
在直角中，，
在直角中，，
，又F為的中點(diǎn)，
，
又，，
，平面
平面，
即點(diǎn)B到平面的距離為，
因?yàn)椋?br>所以.
20．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因?yàn)闄E圓C的離心率為，短軸長為，
所以，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）因?yàn)橹本€l過點(diǎn)M且斜率不為0，
不妨設(shè)直線l的方程為，，，
聯(lián)立，消去x并整理得，
此時(shí)，則，，
所以，，
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線l上，所以，
因?yàn)?，所以?br>同理得，
所以，
又且，即，所以，異號，
此時(shí)，
因?yàn)椋?br>所以，
不妨令，則，整理得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
故.
21．答案：(1)證明見解析；
(2)證明見解析
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
則是函數(shù)的極大值點(diǎn)，也就是最大值點(diǎn)，
故，即恒成立；
（2）由（1）知，，
將不等式中x替換為，得，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
令，則，
所以，故不等式成立.
22．答案：(1)；
(2)
解析：（1）曲線的方程為為參數(shù)），
則，即，
所以的極坐標(biāo)方程；
而，則，
由，得，
所以的直角坐標(biāo)方程為；
（2）依題意，將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程（m為參數(shù)），
將其代入可得，，易得，
設(shè)A，B對應(yīng)的參數(shù)為，，則，，
故，，
故.
23．答案：(1)；
(2)
解析：（1）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，令，解得；
當(dāng)時(shí)，，不成立，此時(shí)無解；
當(dāng)時(shí)，令，解得；
綜上，當(dāng)時(shí)，求不等式的解集為；
（2）因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；
又因?yàn)楹愠闪?，所以恒成立?br>又因?yàn)?，所以?br>解得或.
所以a的取值范圍為.
非運(yùn)動(dòng)達(dá)人
運(yùn)動(dòng)達(dá)人
總計(jì)
男生
30
女生
70
總計(jì)
0.100
0.050
0.025
0.010
k
2.706
3.841
5.024
6.635
非運(yùn)動(dòng)達(dá)人
運(yùn)動(dòng)達(dá)人
總計(jì)
男生
80
30
110
女生
70
20
90
總計(jì)
150
50
200

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