2024年中考真題—四川省遂寧市數(shù)學(xué)試題（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

試卷滿(mǎn)分150分考試時(shí)間120分鐘
注意事項(xiàng)：
1．答題前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米的黑色墨跡簽字筆填寫(xiě)在答題卡上，并檢查條形碼粘貼是否正確．
2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．
一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題4分，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 下列各數(shù)中，無(wú)理數(shù)是（）
A. B. C. D. 0
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了無(wú)理數(shù)的概念，根據(jù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)為無(wú)理數(shù)即可求解，解答本題的關(guān)鍵是掌握無(wú)理數(shù)的三種形式：1、開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)， 2、無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，3、含有的數(shù)．
【詳解】解：，，0都是有理數(shù)，是無(wú)理數(shù)，
故選：C．
2. 古代中國(guó)諸多技藝均領(lǐng)先世界．榫卯結(jié)構(gòu)就是其中之一，榫卯是在兩個(gè)木構(gòu)件上所采用的一種凹凸結(jié)合的連接方式．凸出部分叫榫（或榫頭），凹進(jìn)部分叫卯（或榫眼、榫槽），榫和卯咬合，起到連接作用，右圖是某個(gè)部件“榫”的實(shí)物圖，它的主視圖是（）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三視圖，根據(jù)從正面看到的圖形即可求解，掌握三視圖的畫(huà)法是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由實(shí)物圖可知，從從正面看到的圖形是，
故選：．
3. 中國(guó)某汽車(chē)公司堅(jiān)持“技術(shù)為王，創(chuàng)新為本”的發(fā)展理念，憑借研發(fā)實(shí)力和創(chuàng)新的發(fā)展模式在電池、電子、乘用車(chē)、商用車(chē)和軌道交通等多個(gè)領(lǐng)域發(fā)揮著舉足輕重的作用．2024年第一季度，該公司以萬(wàn)輛的銷(xiāo)售成績(jī)穩(wěn)居新能源汽車(chē)銷(xiāo)量榜榜首，市場(chǎng)占有率高達(dá)．將銷(xiāo)售數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，為整數(shù)即可求解，解題的關(guān)鍵要正確確定的值以及的值．
【詳解】解：萬(wàn)，
故選：．
4. 下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了整式的運(yùn)算，根據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)法則、同底數(shù)冪的乘法、積的乘方運(yùn)算、平方差公式分別運(yùn)算即可判斷求解，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
、，該選項(xiàng)錯(cuò)誤，不合題意；
、，該選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：．
5. 不等式組的解集在數(shù)軸上表示為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式組的解集，先求出不等式組的解集，再根據(jù)解集在數(shù)軸上表示出來(lái)即可判斷求解，正確求出一元一次不等式組的解集是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
由得，，
由得，，
∴不等式組的解集為，
∴不等式組的解集在數(shù)軸上表示為，
故選：．
6. 佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學(xué)時(shí)學(xué)習(xí)扎染技術(shù)，得到了一個(gè)內(nèi)角和為正多邊形圖案，這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了正多邊形的外角，設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，先根據(jù)內(nèi)角和求出正多邊形的邊數(shù)，再用外角和除以邊數(shù)即可求解，掌握正多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為，
則，
∴，
∴這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，
故選：．
7. 分式方程的解為正數(shù)，則的取值范圍（）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根據(jù)分式方程解的情況解答即可求解，正確求出分式方程的解是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得，，
解得，
∵分式方程的解為正數(shù)，
∴，
∴，
又∵，
即，
∴，
∴的取值范圍為且，
故選：．
8. 工人師傅在檢查排污管道時(shí)發(fā)現(xiàn)淤泥堆積．如圖所示，排污管道的橫截面是直徑為米的圓，為預(yù)估淤泥量，測(cè)得淤泥橫截面（圖中陰影部分）寬為米，請(qǐng)計(jì)算出淤泥橫截面的面積（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，求不規(guī)則圖形的面積，過(guò)點(diǎn)作于，由垂徑定理得，由勾股定理得，又根據(jù)圓的直徑為米可得，得到為等邊三角形，即得，再根據(jù)淤泥橫截面的面積即可求解，掌握垂徑定理及扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作于，則，，
∵圓直徑為米，
∴，
∴在中，，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∴淤泥橫截面的面積，
故選：．
9. 如圖1，與滿(mǎn)足，，，，我們稱(chēng)這樣的兩個(gè)三角形為“偽全等三角形”如圖2，在中，，點(diǎn)在線段上，且，則圖中共有“偽全等三角形”（）
A. 1對(duì)B. 2對(duì)C. 3對(duì)D. 4對(duì)
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查了新定義，等邊對(duì)等角，根據(jù)“偽全等三角形”的定義可得兩個(gè)三角形的兩邊相等，一個(gè)角相等，且這個(gè)角不是夾角，據(jù)此分析判斷，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴，
在和中，，
在中，，
中，，
在中，
綜上所述，共有4對(duì)“偽全等三角形”，
故選：D．
10. 如圖，已知拋物線（a、b、c為常數(shù)，且）的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)在，之間（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的有多少個(gè)（）
①；
②；
③；
④若方程兩根為，則．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題干可得，，，即可判斷①錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸和一個(gè)交點(diǎn)求得另一個(gè)交點(diǎn)為，即可判斷②錯(cuò)誤；將c和b用a表示，即可得到，即可判斷③正確；結(jié)合拋物線和直線與軸得交點(diǎn)，即可判斷④正確．
【詳解】解：由圖可知，
∵拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，，
則，
∵拋物線與軸的交點(diǎn)在，之間，
∴，
則，故①錯(cuò)誤；
設(shè)拋物線與軸另一個(gè)交點(diǎn)，
∵對(duì)稱(chēng)軸為直線，且該拋物線與軸交于點(diǎn)，
∴，解得，
則，故②錯(cuò)誤；
∵，，，
∴，解得，故③正確；
根據(jù)拋物線與軸交于點(diǎn)和，直線過(guò)點(diǎn)和，如圖，
方程兩根為滿(mǎn)足，故④正確；
故選：B．
二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）
11. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查了提公因式分解因式，提公因式a即可解答．
【詳解】解：
故答案為：
12. 反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，則點(diǎn)在第______象限．
【答案】四##
【解析】
【分析】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，點(diǎn)所在的象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得出，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：∵反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，
∴
∴
∴點(diǎn)在第四象限，
故答案為：四．
13. 體育老師要在甲和乙兩人中選擇人參加籃球投籃大賽，下表是兩人次訓(xùn)練成績(jī)，從穩(wěn)定的角度考慮，老師應(yīng)該選______參加比賽．
【答案】甲
【解析】
【分析】本題考查了方差，分別求出甲乙的方差即可判斷求解，掌握方差計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：甲的平均數(shù)為，
∴，
乙的平均數(shù)為，
∴，
∵，
∴甲成績(jī)更穩(wěn)定，
∴應(yīng)選甲參加比賽，
故答案為：甲．
14. 在等邊三邊上分別取點(diǎn)，使得，連結(jié)三點(diǎn)得到，易得，設(shè)，則
如圖①當(dāng)時(shí)，
如圖②當(dāng)時(shí)，
如圖③當(dāng)時(shí)，
……
直接寫(xiě)出，當(dāng)時(shí)，______．
【答案】##0.73
【解析】
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律性問(wèn)題，首先根據(jù)已知求得比例為n時(shí)，，代入即可．
【詳解】解：根據(jù)題意可得，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，，
故答案為：．
15. 如圖，在正方形紙片中，是邊的中點(diǎn)，將正方形紙片沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)交于點(diǎn)．給出以下結(jié)論：①為等腰三角形；②為的中點(diǎn)；③；④．其中正確結(jié)論是______．（填序號(hào)）
【答案】①②③
【解析】
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)得出，即可判斷①，證明四邊形是平行四邊形，即可判斷②，求得，設(shè)，則，勾股定理得出，進(jìn)而判斷③，進(jìn)而求得，，勾股定理求得，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義，即可判斷④，即可求解．
【詳解】解：如圖所示，
∵為的中點(diǎn)，
∴
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，
則
∵折疊，
∴，
∴
∴是等腰三角形，故①正確；
設(shè)，
∴
∴
∴
∴
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，即是的中點(diǎn)，故②正確；
∵，
∴
在中，，
∵
∴
設(shè)，則，
∴
∴
∴，，
∴，故③正確；
連接，如圖所示，
∵，，
又
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵
∴
∵
∴
∴
∴
在中，
∴，故④不正確
故答案為：①②③．
【點(diǎn)睛】本題考查了正方形與折疊問(wèn)題，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共10個(gè)小題，共90分．解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
16. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算及二次根式的運(yùn)算，直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、絕對(duì)值的性質(zhì)、算術(shù)平方根分別化簡(jiǎn)得出答案，正確化簡(jiǎn)各數(shù)是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：
．
17. 先化簡(jiǎn)：，再?gòu)?，2，3中選擇一個(gè)合適的數(shù)作為的值代入求值．
【答案】；
【解析】
【分析】本題考查了分式化簡(jiǎn)求值；先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號(hào)內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，最后根據(jù)分式有意義的條件，將字母的值代入求解．
【詳解】解：
∵
∴當(dāng)時(shí)，原式
18. 康康在學(xué)習(xí)了矩形定義及判定定理1后，繼續(xù)探究其它判定定理．
（1）實(shí)踐與操作

①任意作兩條相交的直線，交點(diǎn)記為O；
②以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在兩條直線上分別截取相等的四條線段；
③順次連結(jié)所得的四點(diǎn)得到四邊形．
于是可以直接判定四邊形是平行四邊形，則該判定定理是：______．
（2）猜想與證明
通過(guò)和同伴交流，他們一致認(rèn)為四邊形是矩形，于是猜想得到了矩形的另外一種判定方法：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形．并寫(xiě)出了以下已知、求證，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．
已知：如圖，四邊形平行四邊形，．求證：四邊形是矩形．

【答案】（1）對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）由作圖結(jié)合對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形可得答案；
（2）先證明，再證明，可得，從而可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：由作圖可得：，，
∴四邊形是平行四邊形，
該判定定理是：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
【小問(wèn)2詳解】
∵四邊形是平行四邊形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握平行四邊形與矩形的判定方法是關(guān)鍵．
19. 小明的書(shū)桌上有一個(gè)型臺(tái)燈，燈柱高，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)燈帶與水平線夾角為時(shí)（圖1），燈帶的直射寬為，但此時(shí)燈的直射寬度不夠，當(dāng)他把燈帶調(diào)整到與水平線夾角為時(shí)（圖2），直射寬度剛好合適，求此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離．（結(jié)果保留1位小數(shù)）（）
【答案】此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離為
【解析】
【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用；在圖1中，，在圖2中求得，進(jìn)而根據(jù)燈柱高，點(diǎn)到桌面的距離為，即可求解．
【詳解】解：由已知，，
在圖1中，
∵
∴
∴四邊形是平行四邊形，
∴
在中，
在圖2中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
∴
∵燈柱高，
點(diǎn)到桌面的距離為
答：此時(shí)臺(tái)燈最高點(diǎn)到桌面的距離為．
20. 某酒店有兩種客房、其中種間，種間．若全部入住，一天營(yíng)業(yè)額為元；若兩種客房均有間入住，一天營(yíng)業(yè)額為元．
（1）求兩種客房每間定價(jià)分別是多少元？
（2）酒店對(duì)種客房調(diào)研發(fā)現(xiàn)：如果客房不調(diào)價(jià)，房間可全部住滿(mǎn)；如果每個(gè)房間定價(jià)每增加元，就會(huì)有一個(gè)房間空閑；當(dāng)種客房每間定價(jià)為多少元時(shí)，種客房一天的營(yíng)業(yè)額最大，最大營(yíng)業(yè)額為多少元？
【答案】（1）種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元；
（2）當(dāng)種客房每間定價(jià)為元時(shí)，種客房一天的營(yíng)業(yè)額最大，最大營(yíng)業(yè)額為元．
【解析】
【分析】（）設(shè)種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元，根據(jù)題意，列出方程組即可求解；
（）設(shè)種客房每間定價(jià)為元，根據(jù)題意，列出與的二次函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意，正確列出二元一次方程組和二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：設(shè)種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元，
由題意可得，，
解得，
答：種客房每間定價(jià)為元，種客房每間定價(jià)為為元；
【小問(wèn)2詳解】
解：設(shè)種客房每間定價(jià)為元，
則，
∵，
∴當(dāng)時(shí)，取最大值，元，
答：當(dāng)種客房每間定價(jià)為元時(shí)，種客房一天的營(yíng)業(yè)額最大，最大營(yíng)業(yè)額為元．
21. 已知關(guān)于的一元二次方程．
（1）求證：無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，且，求的值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）或．
【解析】
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)根的判別式證明恒成立即可；
（2）由題意可得，，，進(jìn)行變形后代入即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
證明：，
∵無(wú)論取何值，，恒成立，
∴無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴，，
∴，
解得：或．
22. 遂寧市作為全國(guó)旅游城市，有眾多著名景點(diǎn)，為了解“五一”假期同學(xué)們的出游情況，某實(shí)踐探究小組對(duì)部分同學(xué)假期旅游地做了調(diào)查，以下是調(diào)查報(bào)告的部分內(nèi)容，請(qǐng)完善報(bào)告：
【答案】（1），，；（2）見(jiàn)解析；（3）；（4）
【解析】
【分析】本題考查了條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息關(guān)聯(lián)，樣本估計(jì)總體，列表法求概率；
（1）根據(jù)組的人數(shù)除以占比，即可得出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而求得組的人數(shù)，得出的值，根據(jù)的占比乘以，即可得出對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)；
（2）根據(jù)組的人數(shù)補(bǔ)全統(tǒng)條形計(jì)圖，
（3）用乘以組的占比，即可求解．
（4）用列表法求概率，即可求解．
【詳解】解：（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為，
組的人數(shù)為：，
∴，
∴
B：龍鳳古鎮(zhèn)”對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)是
故答案為：，，．
（2）根據(jù)（1）可得組人數(shù)為人，補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖，如圖所示，
（3）解：
答：請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)為人；
（4）列表如下，
共有種等可能結(jié)果，其中他們選擇同一景點(diǎn)的情形有種，
∴他們選擇同一景點(diǎn)的概率為
23. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于兩點(diǎn)．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）根據(jù)圖象直接寫(xiě)出時(shí)，的取值范圍；
（3）過(guò)點(diǎn)作直線，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)，連結(jié)，求的面積．
【答案】（1）反比例函數(shù)表達(dá)式為，一次函數(shù)表達(dá)式為
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；
（）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解；
（）如圖，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)特征求出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)計(jì)算即可求解；
本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，反比例函數(shù)的性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【小問(wèn)1詳解】
解：把代入得，，
∴，
∴反比例函數(shù)表達(dá)式為，
把代入得，，
∴，
∴，
把、代入得，
，
解得，
∴一次函數(shù)表達(dá)式為；
小問(wèn)2詳解】
解：由圖象可得，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為或；
【小問(wèn)3詳解】
解：如圖，設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則，
∴，
∵點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
∴，
∴，，
∴
，
即的面積為．
24. 如圖，是的直徑，是一條弦，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．
①求證：是的切線；
②若，，求的半徑．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）①證明見(jiàn)解析，②的半徑為．
【解析】
【分析】（1）如圖，連接，證明，可得，證明，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；
（2）①證明，可得是的垂直平分線，可得，，，而，可得，進(jìn)一步可得結(jié)論；②證明，可得，求解，，結(jié)合，可得答案．
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖，連接，
∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵，為的直徑，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
證明：①∵為的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴是的垂直平分線，
∴，
∴，，
而，
∴，
∴，
∴，
∵為的直徑，
∴是的切線；
②∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的半徑為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，弧與圓心角之間的關(guān)系，切線的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，做出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
25. 二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，最小值為
【解析】
【分析】本題考查了二次函數(shù)的綜合題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)表示兩點(diǎn)距離，二次函數(shù)最值，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．
（1）用待定系數(shù)法求解即可；
（2）可求，設(shè)，由，得，則
，解得，（舍去），故；
（3）分當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方，得到這個(gè)面積是關(guān)于m的二次函數(shù)，進(jìn)而求最值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：把，代入得，
，解得，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為；
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖：
由得拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，
∵兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)軸對(duì)稱(chēng)，
∴，
設(shè)，
∵，
∴，
∴
，
整理得，，
解得，（舍去），
∴，
∴；
【小問(wèn)3詳解】
存在，理由：
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)Q在點(diǎn)P上方時(shí)，
設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，設(shè)直線交軸于點(diǎn)，
設(shè)直線表達(dá)式為：，
代入，
得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
，
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q在x軸下方，且點(diǎn)P在點(diǎn)Q上方時(shí)，
同上可求直線表達(dá)式為：，
令，得
則，
則，
則
即存在最小值為；
當(dāng)點(diǎn)P、Q都在x軸上方或者一個(gè)在x軸上方，一個(gè)在x軸下方同理可求，
即存在最小值為，
綜上所述，的面積是否存在最小值，且為．甲
乙
xx小組關(guān)于xx學(xué)校學(xué)生“五一”出游情況調(diào)查報(bào)告
數(shù)據(jù)收集
調(diào)查方式
抽樣調(diào)查
調(diào)查對(duì)象
xx學(xué)校學(xué)生
數(shù)據(jù)的整理與描述
景點(diǎn)
A：中國(guó)死海
B：龍鳳古鎮(zhèn)
C：靈泉風(fēng)景區(qū)
D：金華山
E：未出游
F：其他
數(shù)據(jù)分析及運(yùn)用
（1）本次被抽樣調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)為_(kāi)_____，扇形統(tǒng)計(jì)圖中，______，“：龍鳳古鎮(zhèn)”對(duì)應(yīng)圓心角的度數(shù)是______；
（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
（3）該學(xué)校總?cè)藬?shù)為人，請(qǐng)你估計(jì)該學(xué)校學(xué)生“五一”假期未出游的人數(shù)；
（4）未出游中的甲、乙兩位同學(xué)計(jì)劃下次假期從、、、四個(gè)景點(diǎn)中任選一個(gè)景點(diǎn)旅游，請(qǐng)用樹(shù)狀圖或列表的方法求出他們選擇同一景點(diǎn)的概率．

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