一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．設(shè)i為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則
A． B． C． D．2
2．
A． B． C． D．
3．某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是
A．極差為10 B．中位數(shù)為7.5 C．平均數(shù)為8.5 D．標(biāo)準(zhǔn)差為
4．某科研單位對ChatGPT的使用情況進(jìn)行滿意度調(diào)查，在一批用戶的有效問卷（用戶打分在50分到100分之間的問卷）中隨機(jī)抽取了100份，按分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這批用戶問卷的得分的第75百分位數(shù)為
A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5
5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，，則
A． B． C． D．
6．已知l，m是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是
A．若，，，則 B．若，，，則
C．若，，，則 D．若，，，則
7．在中，已知，則的形狀一定為
A．等腰三角形 B．銳角三角形 C．直角三角形 D．鈍角三角形
8．長篇評彈《玉蜻蜓》在江南可謂家喻戶曉，是蘇州評彈的一顆明珠．為了讓更多年輕人走近評彈、愛上經(jīng)典，蘇州市評彈團(tuán)在保留原本精髓的基礎(chǔ)上，打造了《玉蜻蜓》精簡版，將長篇壓縮至三場，分別是《子歸》篇、《認(rèn)母》篇、《歸宗》篇．某班級開展對《玉蜻蜓》的研究，現(xiàn)有三位學(xué)生隨機(jī)從三篇中任意選一篇研究，記“三人都沒選擇《子歸》篇”為事件M，“至少有兩人選擇的篇目一樣”為事件N，則下列說法正確的是
A．M與N互斥 B． C．M與N相互獨(dú)立 D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。
9．已知函數(shù)，則
A．的最小正周期為 B．
C．的圖象關(guān)于直線對稱 D．在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增
10．已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確的有
A． B．若，則
C．若，則 D．若且，則
11．如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，，，的中點(diǎn)，則
A．平面EFG B．平面EFG
C．點(diǎn)，D到平面EFG的距離相等 D．平面EFG截該正方體所得截面的面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為________．
13．在直角三角形ABC中，已知CH為斜邊AB上的高，，，現(xiàn)將沿著CH折起，使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)，且平面平面ACH，則三棱錐的外接球的表面積為________．
14．在中，已知，則的最大值為________．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。
15．（13分）如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，BC，PB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PBC；
（2）求證：平面AFG．
16．（15分）一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地均相同的四個(gè)球，其中有兩個(gè)紅球（標(biāo)號為1和2），一個(gè)黑球（標(biāo)號為3），一個(gè)白球（標(biāo)號為4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球．設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的兩個(gè)球恰為一個(gè)紅球和一個(gè)白球”．
（1）用數(shù)組（，）表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號，是第二次摸到的球的標(biāo)號，試用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間Ω；
（2）分別求事件A，B，C發(fā)生的概率；
（3）求事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率．
17．（15分）如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且E是線段BD的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形．
（1）若，求線段AE的長；
（2）若且，求．
18．（17分）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知，，，E為線段AB的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．記．
（1）若，求線段EF的長；
（2）若，設(shè)，求實(shí)數(shù)x和y的值；
（3）若CE與DF交于點(diǎn)G，，求向量與的夾角的余弦值．
19．（17分）如圖，在四棱柱中，已知側(cè)面為矩形，，，，，，，．
（1）求證：平面平面；
（2）求證：平面平面ABCD；
（3）若三棱錐的體積為，求平面與平面ABCD的夾角的余弦值．注意事項(xiàng)
學(xué)生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求：
1．本卷共4頁，包含單項(xiàng)選擇題（第1題～第8題）、多項(xiàng)選擇題（第9題～第11題）、填空題（第12題～第14題）、解答題（第15題～第19題）．本卷滿分150分，答題時(shí)間為120分鐘．答題結(jié)束后，請將答題卡交回．
2．答題前，請您務(wù)必將自己的姓名、調(diào)研序列號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在答題卡的規(guī)定位置．
3．請?jiān)诖痤}卡上按照順序在對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，在其他位置作答一律無效．作答必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆．請注意字體工整，筆跡清楚．

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