一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線：的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由化簡(jiǎn)得：，
所以直線的斜率為，為傾斜角，
所以直線的傾斜角為.
故選：A
2. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線：的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】由題可得.如圖，設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，因與都關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，則，
后由雙曲線的定義知.
故選：D

3. 若{，，}構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】對(duì)于A，，所以三個(gè)向量共面，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，，所以三個(gè)向量共面，故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，假設(shè)三個(gè)向量共面，則存在非零實(shí)數(shù)，，滿足，整理可得，因?yàn)?，，不共面，所以，無(wú)解，所以假設(shè)不成立，則三個(gè)向量不共面，故C正確，
對(duì)于D，，所以三個(gè)向量共面，故D錯(cuò)誤.
故選：C
4. 已知等比數(shù)列，若，，則（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】因是等比數(shù)列，設(shè)公比為，則由，因，則，
又由，代入解得，故.故選：A.
5. 在平面直角坐標(biāo)系中，直線：被圓：截得的最短弦的長(zhǎng)度為（ ）
A. B. 2C. D. 4
【答案】C
【解析】直線：過(guò)定點(diǎn)，圓：，圓心，半徑,因?yàn)辄c(diǎn)在圓內(nèi)，由圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)直線時(shí)，
弦長(zhǎng)最短為，故選：C

6. 已知平面，其中，法向量，則下列各點(diǎn)不在平面內(nèi)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】對(duì)A，，，
則該點(diǎn)不在平面內(nèi)，A正確；
對(duì)B，，，
則該點(diǎn)在平面內(nèi)，B錯(cuò)誤；
對(duì)C，，,
則該點(diǎn)在平面內(nèi)，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，,,
則該點(diǎn)在平面內(nèi)，D錯(cuò)誤；
故選：A
7. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)，且與圓：相切，則圓心的軌跡是（ ）
A. 直線B. 橢圓C. 雙曲線D. 拋物線
【答案】B
【解析】因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，
所以圓內(nèi)切與圓，
由兩圓內(nèi)切的關(guān)系可知，，
從而，
所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓.
故選：B.
8. 2020年7月23日，“天問(wèn)一號(hào)”在中國(guó)文昌航天發(fā)射場(chǎng)發(fā)射升空，經(jīng)過(guò)多次變軌后于2021年5月15日頭現(xiàn)軟著陸火星表面．如圖，在同一平面內(nèi)，火星輪廓近似看成以為圓心、為半徑的圓，軌道Ⅰ是以為圓心、為半徑的圓，著陸器從軌道Ⅰ的點(diǎn)變軌，進(jìn)入橢圓形軌道Ⅱ后在點(diǎn)著陸．已知直線經(jīng)過(guò)，，與圓交于另一點(diǎn)，與圓交于另一點(diǎn)，若恰為橢圓形軌道Ⅱ的上焦點(diǎn)，且，，則橢圓形軌道Ⅱ的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】法1：不妨設(shè)，，，
則，，，
所以，
所以①，
②，
聯(lián)立①②解得，，所以橢圓離心率；
法2：，，設(shè)軌道Ⅱ的長(zhǎng)軸和焦距分別為和，
，，
則，
，
，得：，
則，，
，得：，故.
故選：A.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線：，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，則是橢圓B. 若，則是橢圓
C. 若，則是雙曲線D. 若，則是雙曲線
【答案】BC
【解析】當(dāng)時(shí)，若，方程為，此時(shí)為圓，故A錯(cuò)誤；
當(dāng)時(shí)，方程化為，
因?yàn)?，則，且，
符合橢圓方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，故B正確；
若時(shí)，，
因?yàn)?，則，符合雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程形式，故C正確；
若，令，方程化為，即，故D錯(cuò)誤，
故選：BC.
10. 已知數(shù)列滿足，（，，），設(shè)的前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的有（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】AD
【解析】若，，則，，兩式相減可得，
所以為周期2的周期數(shù)列，，，則，A正確；，B錯(cuò)誤；
若，，則，因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，則，所以，C錯(cuò)誤；
，D正確.
故選：AD.
11. 如圖,在平行六面體中,已知,,為棱上一點(diǎn)，且，則（ ）
A.
B. 平面
C.
D. 直線與平面所成角為
【答案】ACD
【解析】法1：由，可知
，
所以，設(shè)，為中點(diǎn)，
則，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，?br>平面，平面，所以平面，
又平面，所以，A正確；
對(duì)于B，因?yàn)?，所以?br>所以
，
所以與不垂直，即與不垂直,所以與平面不垂直，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
所以
，所以，C正確
對(duì)于D，選項(xiàng)A中已經(jīng)證明平面，
所以直線與平面所成角即為直線與所成角的余角，，
而，，
所以，所以直線與所成角，
所以直線與平面所成角為，D正確.
故選：ACD
法2：由題意知：，
，
，則，
，故A正確，B錯(cuò)誤；
，
則，C正確；
顯然有，且，
又，
故，從而易得是平面的一個(gè)法向量，
，
設(shè)與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角為，D正確；
故選：ACD
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線：的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，為上異于不同兩點(diǎn)，故，的斜率分別為，，是的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)．若，則（ ）
A. 以為直徑的圓與的準(zhǔn)線相切B. 存在，，使得
C. 面積的最小值為D.
【答案】ABD
【解析】根據(jù)題意，，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線為：，,
設(shè)，，則,解得：,
聯(lián)立，則，
則，所以，
所以直線方程: ，，
則直線過(guò)焦點(diǎn)，故，則的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，故選項(xiàng)A正確；
所以，解得，
故存在,使得，故選項(xiàng)B正確；
到直線的距離為，
則，
當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
根據(jù)題意，
所以,
在和中，由正弦定理可得，
,,
即可得,故選項(xiàng)D正確.
故選:ABD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知菱形的邊長(zhǎng)為2，一個(gè)內(nèi)角為60°，頂點(diǎn)，，，均在坐標(biāo)軸上，以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，請(qǐng)寫出一個(gè)這樣的的標(biāo)準(zhǔn)方程：______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】如圖，以菱形的對(duì)角線的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)榱庑蔚倪呴L(zhǎng)為2，一個(gè)內(nèi)角為60°，
不妨取，
則為等邊三角形，
故，
則橢圓的焦距，短軸長(zhǎng)，
所以，
則長(zhǎng)軸長(zhǎng)，
所以，
所以此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故答案為：.（答案不唯一）
14. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，記拋物線：上的動(dòng)點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，則的最大值為______．
【答案】
【解析】由拋物線的定義知，，
所以
所以，當(dāng)點(diǎn)位于射線與拋物線交點(diǎn)時(shí)，取最大值.
故答案為：
15. 已知圓臺(tái)的高為2，上底面圓的半徑為2，下底面圓的半徑為4，，兩點(diǎn)分別在圓、圓上，若向量與向量的夾角為60°，則直線與直線所成角的大小為______．
【答案】
【解析】法1：在上的投影向量為，故，
，
設(shè)直線與直線所成角為，
則，所以，
即直線與直線所成角的大小為.
法2：如圖，，
則即為向量與向量的夾角，
所以，
所以為等邊三角形，
設(shè)點(diǎn)在圓上的射影為，
則為中點(diǎn)，且，
所以即為與所成角的平面角，
，，
在中，
則，
即與所成角為.
法3：因?yàn)椋?br>則即為向量與向量的夾角，
所以，
所以為等邊三角形，
以為原點(diǎn)建系，則，，
故，
即直線與直線所成角的余弦值為，
所以直線與直線所成角的大小為．
16. 函數(shù)被廣泛應(yīng)用于數(shù)論、函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其中為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，設(shè)的前項(xiàng)和為，則使得的最大正整數(shù)的值為______．
【答案】59
【解析】，
，
故時(shí)，，共項(xiàng)
其和為，
，又時(shí)，，故，
因此，所求正整數(shù)的最大值為59.
故答案為：59
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．
17. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知四邊形為平行四邊形，，，．
（1）設(shè)線段的中點(diǎn)為，直線過(guò)且垂直于直線，求的方程；
（2）求以點(diǎn)為圓心、與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
解：（1）因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，，所以．
因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以?br>由，，得，
所以．由知直線的斜率為，
所以直線的方程為，
即所求直線的方程為．
（2）因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，且，，?br>設(shè)，由得解得，
又由得，且，
所以點(diǎn)為圓心，與直線相切的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
18. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且（）．
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
解：（1）令，得
因?yàn)椋ǎ裕?，）?br>兩式相減得（，），
即．所以（，），
所以，即，
所以（，），
又，符合上式，所以（）．
（2）由（1），
所以．
19. 如圖，在直三棱柱中，已知，，點(diǎn)，分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且，．
（1）求該直三棱柱的高；
（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求平面與平面夾角的余弦值.
解：（1）在直三棱柱中，因?yàn)椋?br>所以，，兩兩垂直，
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖.
設(shè)（），，則，又，
所以可得，，，，，
所以，
因?yàn)?，所以，所?
解得：，即該直三棱柱的高為2．
（2）直三棱柱中，有平面，
又，由（1）知，,（），
所以
因，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積最大，此時(shí)點(diǎn)，分別為線段，的中點(diǎn)，
故有，，，所以，
設(shè)是平面的一個(gè)法向量，
則故可取，
又平面的一個(gè)法向量可取為，設(shè)平面與平面的夾角，易知為銳角，
故，
即平面與平面夾角的余弦值為．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，焦距為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為的直線（不過(guò)原點(diǎn)）交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)在上，求四邊形的面積．
解：（1）由題意，
所以，
又因?yàn)?，所以，?br>所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線：（），，，．
將代入：中，化簡(jiǎn)整理得，
于是有
所以
，
因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，所以解得
即
因?yàn)樵谏?，所以?br>解得．
又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，
所以由對(duì)稱性得
第二問(wèn)法2：設(shè)：，：，
則，
，，解得，則
代入：，得：，則
，則
故．
21. 已知數(shù)列滿足，（）．
（1）求，及的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列滿足且，（），記的前項(xiàng)和為，試求所有的正整數(shù)，使得成立．
解：（1）將代入，得，，
令，得，，
所以，又，從而，
所以，從而
（2）法一：由，又，，
所以是以2為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?br>，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，無(wú)解；
當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取最大值1，即的解為．
綜上所述，滿足題意的的值為2．
法二：，，，則，
故是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，則，
，
，即，
即，
，即，
令，則，
時(shí)，，即，
時(shí)，，即，
時(shí)，，
故滿足方程的正整數(shù)只有2，
即使得成立的正整數(shù)為2.
22. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)且斜率不為0的直線與的左、右兩支分別交于、兩點(diǎn)，與的兩條漸近線分別交于、兩點(diǎn)（從左到右依次為、、、），記以為直徑的圓為圓．
（1）當(dāng)與圓相切時(shí)，求；
（2）求證：直線與直線的交點(diǎn)在圓內(nèi)．
解：（1）法一：因?yàn)?，所以．所以?br>所以圓的半徑．由題意知的斜率存在，
設(shè)：（）．
當(dāng)與圓相切時(shí)，到的距離，
即，解得，
由得，即，
解得，，所以．
法2： ，得：，故：，
則，圓半徑為1，
設(shè)：，則：，得：
聯(lián)立，得，易得，
所以，
故，
則；
（2）法一：設(shè)，，
由得，
此時(shí)，，，解得，
且所以，
因?yàn)?，，所以：，：?br>聯(lián)立，方程，消去得．
所以，
即，所以．
將代入方程得，即．
因?yàn)?，所?br>所以，即直線，的交點(diǎn)在圓內(nèi)．
法二：設(shè)：，，，，
，易得，
則，，顯然有，
故，，
則，
即，雙曲線的漸近線斜率為，故，
所以，因此點(diǎn)在圓內(nèi).

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