1．下列命題正確的有（ ）
A．已知且，則
B．，則
C．的極大值和極小值的和為
D．過的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是
2．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
C．D．若在上恒成立，則
3．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（ ）
A．的單調(diào)減區(qū)間是
B．的極小值是﹣6
C．過點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切
D．有且只有一個(gè)零點(diǎn)
4．材料：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．無(wú)極小值B．有極小值C．無(wú)極大值D．有極大值
5．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增
C．在上有極大值D．在上有極小值
6．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（ ）
A．的單調(diào)減區(qū)間是
B．的極小值是
C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的且，恒有（a）（a）
D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
二、單選題
7．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．有極大值B．有極小值
C．有極大值D．有極小值
8．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①的解集是；
②是極大值，是極小值；
③沒有最大值，也沒有最小值；
④有最大值，沒有最小值；
⑤有最小值，沒有最大值.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
9．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：
①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；
②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；
③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；
④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.
以上正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
10．已知函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
11．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．有極大值且為最大值B．有極小值，但無(wú)最小值
C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若方程恰有一個(gè)實(shí)根，則
三、解答題
12．已知函數(shù).
（1）若，求在區(qū)間上的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
13．設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14．（1）已知，，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.
（2）求函數(shù)在上的極值.
15．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；
(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
16．已知函數(shù)，（其中）.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（說明：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）
17．已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；
（2）若，試研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
18．已知函數(shù)，在時(shí)取得極值.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
19．已知函數(shù)，是奇函數(shù).
（1）求的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的極值.
20．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（3）當(dāng)時(shí)，若當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
21．已知函數(shù)(aR).
（1）討論的極值；
（2）若a＝2，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
22．已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
23．函數(shù).
（1）求的極大值和極小值；
（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個(gè)區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請(qǐng)說明理由.①；②；③
24．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極小值；
（2）關(guān)于的不等式在上存在解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
25．已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍
26．已知函數(shù)的極大值為2.
（1）求a的值和的極小值；
（2）求在處的切線方程.
27．已知函數(shù).
（1）討論的極值；
（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.
28．設(shè)函數(shù)，其中，，，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求，，的值；
（2）求函數(shù)的極值.
29．已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若，試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
30．如圖，等腰梯形中，，，BC中點(diǎn)為O，連接DO，已知，，設(shè)，，梯形的面積為；
（1）求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（3）若對(duì)定義域內(nèi)的一切都成立，求的取值范圍.
專題17 利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
一、多選題
1．下列命題正確的有（ ）
A．已知且，則
B．，則
C．的極大值和極小值的和為
D．過的直線與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，則該直線斜率的取值范圍是
答案:ACD
分析：
由等式關(guān)系、指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求的范圍；利用指對(duì)數(shù)互化，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法求；利用導(dǎo)數(shù)確定零點(diǎn)關(guān)系，結(jié)合原函數(shù)式計(jì)算極值之和即可；由直線與有三個(gè)交點(diǎn)，即可知有兩個(gè)零點(diǎn)且不是其零點(diǎn)即可求斜率范圍.
【詳解】
A選項(xiàng)，由條件知且，所以，即；
B選項(xiàng)，有，，而；
C選項(xiàng)，中且開口向上，所以存在兩個(gè)零點(diǎn)且、，即為兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以；
D選項(xiàng)，令直線為與有三個(gè)交點(diǎn)，即有三個(gè)零點(diǎn)，所以有兩個(gè)零點(diǎn)即可
∴，解得
故選：ACD
【點(diǎn)睛】
本題考查了指對(duì)數(shù)的運(yùn)算及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)研究極值，由函數(shù)交點(diǎn)情況求參數(shù)范圍，屬于難題.
2．對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)
C．D．若在上恒成立，則
答案:ACD
分析：
求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，可判定A正確；根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和，且時(shí)， ，可判定B不正確；由函數(shù)的單調(diào)性，得到，再結(jié)合作差比較，得到，可判定C正確；分離參數(shù)得到在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，可判定D正確.
【詳解】
由題意，函數(shù)，可得，
令，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，極大值為，所以A正確；
由當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，可得，所以函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，
綜上可得函數(shù)在只有一個(gè)零點(diǎn)，所以B不正確；
由函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，
由于，
則，
因?yàn)椋?，即?br>所以，所以C正確；
由在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，則，
令，即，解得，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，
所以，所以D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及恒成立問題的求解，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
3．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中為真命題的是（ ）
A．的單調(diào)減區(qū)間是
B．的極小值是﹣6
C．過點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切
D．有且只有一個(gè)零點(diǎn)
答案:BCD
分析：
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即可得出其單調(diào)性和極值，從而判斷ABD的真假，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可判斷C的真假．
【詳解】
因?yàn)椋?，得或?br>則在，上單調(diào)遞增；
令，得，則在上單調(diào)遞減．
所以極小值為，極大值為，而，
故存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，A錯(cuò)誤，B、D正確；
設(shè)過點(diǎn)的直線與的圖象相切，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，?br>所以切線方程為．
將代入，得．
令，則，
所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
因?yàn)椋?，?br>所以方程只有一解，即過點(diǎn)只能作一條直線與的圖象相切，故C正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，以及零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．
4．材料：函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，在現(xiàn)行的高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)分析教材中，對(duì)“初等函數(shù)”給出了確切的定義，即由常數(shù)和基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算及有限次的復(fù)合步驟所構(gòu)成的，且能用一個(gè)式子表示的，如函數(shù)，我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復(fù)合而成的，即為初等函數(shù).根據(jù)以上材料，對(duì)于初等函數(shù)的說法正確的是（ ）
A．無(wú)極小值B．有極小值C．無(wú)極大值D．有極大值
答案:AD
分析：
將函數(shù)的解析式變形為，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可求得，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的極值，由此可得出結(jié)論.
【詳解】
根據(jù)材料知：，
所以，
令得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減.
所以有極大值且為，無(wú)極小值.
故選：AD.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.
5．設(shè)為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，已知，，則下列結(jié)論不正確的是（ ）
A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增
C．在上有極大值D．在上有極小值
答案:AC
分析：
首先根據(jù)題意設(shè)，得到，再求出的單調(diào)性和極值即可得到答案.
【詳解】
由得，則
即，設(shè)
，
即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減
即當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值.
故選：AC
【點(diǎn)睛】
本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，同時(shí)考查了構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題.
6．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，下列命題中真命題的為（ ）
A．的單調(diào)減區(qū)間是
B．的極小值是
C．當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的且，恒有（a）（a）
D．函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)
答案:BCD
分析：
由，知，令，得，，分別求出函數(shù)的極大值和極小值，知錯(cuò)誤，正確；由，且，令利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，再根據(jù)切割線的定義即可判斷，故正確；
【詳解】
解：，其導(dǎo)函數(shù)為．
令，解得，，
當(dāng)時(shí)，即，或時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，極小值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，極大值為，
故函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，
錯(cuò)誤，正確；
令，則故在上，即在上單調(diào)遞增，根據(jù)切割線的定義可知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，恒有，即
對(duì)任意的，恒有，即，
故正確；
故選：．
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值的求法，以及不等式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用．
二、單選題
7．設(shè)函數(shù)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為，且函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是（ ）
A．有極大值B．有極小值
C．有極大值D．有極小值
答案:A
分析：
由函數(shù)的圖象，可得時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.由此可得函數(shù)的單調(diào)性，則答案可求.
【詳解】
解：函數(shù)的圖象如圖所示，
∴時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，.
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.
∴有極大值.
故選：A.
【點(diǎn)睛】
本題考查根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的相關(guān)圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.
8．下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
①的解集是；
②是極大值，是極小值；
③沒有最大值，也沒有最小值；
④有最大值，沒有最小值；
⑤有最小值，沒有最大值.
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
答案:B
分析：
直接不等式可判斷①；對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求函數(shù)的極值，可判斷②；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值可判斷③④⑤
【詳解】
解：由，得，即，解得，所以的解集是，所以①正確；
由，得，令，則，解得或，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以是極小值，是極大值，所以②錯(cuò)誤；
因?yàn)槭菢O小值，且當(dāng)時(shí)，恒成立，而是極大值，所以有最大值，沒有最小值，所以④正確，③⑤錯(cuò)誤，
故選：B
【點(diǎn)睛】
此題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)極值和最值的求法，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題
9．函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如圖所示，給出下列命題：
①-3是函數(shù)y=f(x)的極值點(diǎn)；
②y=f(x)在區(qū)間(-3，1)上單調(diào)遞增；
③-1是函數(shù)y=f(x)的最小值點(diǎn)；
④y=f(x)在x=0處切線的斜率小于零.
以上正確命題的序號(hào)是（ ）
A．①②B．③④C．①③D．②④
答案:A
分析：
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可判定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，得到極值點(diǎn)，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為在該點(diǎn)處的切線斜率．
【詳解】
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象可知：當(dāng)時(shí)，，在時(shí)，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故②正確；
則是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故①正確；
∵在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故③不正確；
∵函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)大于，切線的斜率大于零，故④不正確.
故選：A
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)函數(shù)圖象在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，其中利用導(dǎo)函數(shù)判斷單調(diào)性的步驟為：
1. 先求出原函數(shù)的定義域；
2. 對(duì)原函數(shù)求導(dǎo)；
3. 令導(dǎo)數(shù)大于零；解出自變量的范圍；該范圍即為該函數(shù)的增區(qū)間；同理令導(dǎo)數(shù)小于零，得到減區(qū)間；
4. 若定義域在增區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)單增；若定義域在減區(qū)間內(nèi)則函數(shù)單減，若以上都不滿足，則函數(shù)不單調(diào)．
10．已知函數(shù)，函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案:B
分析：
令，討論的取值范圍：當(dāng)時(shí)或當(dāng)時(shí)，可得或，討論的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值即可求解.
【詳解】
令，則，
（1）當(dāng)時(shí)，，即，即.
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.
當(dāng)時(shí)，，，；
，，且.
當(dāng)時(shí)，，而，所以方程無(wú)解.
（2）當(dāng)時(shí)，，由（1）知，即.
當(dāng)時(shí)，有一個(gè)解.
當(dāng)時(shí)，，所以無(wú)解.
綜上，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
故選：B.
【點(diǎn)睛】
本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)，考查了計(jì)算求解能力，屬于中檔題.
11．設(shè)函數(shù)，則（ ）
A．有極大值且為最大值B．有極小值，但無(wú)最小值
C．若方程恰有3個(gè)實(shí)根，則D．若方程恰有一個(gè)實(shí)根，則
答案:C
分析：
求導(dǎo)后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，；、，畫出函數(shù)圖象草圖后數(shù)形結(jié)合逐項(xiàng)判斷即可得解.
【詳解】
，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，，
再由，，可畫出函數(shù)圖象草圖，
如圖，
由圖象可知，為函數(shù)的極大值但不是最大值，故A錯(cuò)誤；
為函數(shù)的極小值，且為最小值，故B錯(cuò)誤；
若要使有3個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則，故C正確；
若要使恰有一個(gè)實(shí)根，則要使函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象僅有1個(gè)交點(diǎn)，則或，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
【點(diǎn)睛】
本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理能力，屬于中檔題.
三、解答題
12．已知函數(shù).
（1）若，求在區(qū)間上的極值；
（2）討論函數(shù)的單調(diào)性.
答案:（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）答案見解析.
分析：
（1）當(dāng)時(shí)，求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)在區(qū)間上的極值；
（2）求得，分和兩種情況討論，分析導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化，由此可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，所以，，列表；
所以，在區(qū)間上的有極小值，無(wú)極大值；
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，若，則，從而；
若，則，從而.
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通常以下幾個(gè)方面：
（1）求導(dǎo)后看函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)是否為，需分類討論；
（2）若最高次項(xiàng)系數(shù)不為，且最高次項(xiàng)為一次，一般為一次函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)方程的根；
（3）對(duì)導(dǎo)數(shù)方程的根是否在定義域內(nèi)進(jìn)行分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化可得出函數(shù)的單調(diào)性.
13．設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案:（1）極小值為；（2）.
分析：
（1）當(dāng)時(shí)，，對(duì)求導(dǎo)判斷單調(diào)性、即可求得極值；
（2）對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)得符號(hào)判斷出的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，然后對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，考慮函數(shù)得最小值，從而判斷函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，找到函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）的定義域是，
當(dāng)時(shí)，，.
令，得或（舍）.
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
即在處取得極小值，極小值為.無(wú)極大值
（2）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>令，則，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
①令，得，
當(dāng)，的最小值為，
即有唯一的零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，的最小值為，
且，即不存在零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，的最小值，
又，，所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，，，
令，則，解得，
可知在上遞減，在上遞增，
所以，所以，
所以函數(shù)在上有唯一的零點(diǎn)，
所以當(dāng)時(shí)，有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
14．（1）已知，，若，且圖象在點(diǎn)處的切線方程為，求的值.
（2）求函數(shù)在上的極值.
答案:（1），，；（2）極大值為，極小值為.
分析：
（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義結(jié)合切點(diǎn)在切線上，列方程即可得解；
（2）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間后，結(jié)合極值的概念即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)椋约矗?br>由可得，
因?yàn)閳D象在點(diǎn)處的切線方程為，
所以，，即，，
所以，，；
（2）由可得，
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，
所以函數(shù)在上的極大值為，
極小值為.
15．已知函數(shù).
(1)若函數(shù)，求函數(shù)的極值；
(2)若在時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值.
答案:（1）的極大值是，無(wú)極大值；（2）.
分析：
（1）先寫函數(shù)并求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)判斷單調(diào)性和極值即可；
（2）先分離參數(shù)，再研究函數(shù)最大值得到的取值范圍，即得結(jié)果.
【詳解】
解：（1），定義域?yàn)椋?br>.
；；
當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表:
由上表可得的極大值是，無(wú)極大值；
（2）由在時(shí)恒成立，
即，
整理為在時(shí)恒成立.
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，，且，.
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
，使得
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
.
，，
∴當(dāng)時(shí)，，
的最小值是.
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：
①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③寫出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點(diǎn).
解決恒成立問題的常用方法：
①數(shù)形結(jié)合法；②分離參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.
16．已知函數(shù)，（其中）.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）求證：當(dāng)時(shí)，.（說明：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）
答案:（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）；（3）證明見解析.
分析：
（1），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可得極值；
（2），利用導(dǎo)數(shù)求出其單調(diào)性，然后可建立不等式組求解；
（3）問題等價(jià)于求證；設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最大值，然后證明即可.
【詳解】
（1）∵，
∴，
由，得，由，得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無(wú)極大值.
（2）函數(shù)，
則，
令，∵，解得，或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增.
函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，
只需，即，∴，
故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（3）問題等價(jià)于，由（1）知的最小值為.
設(shè)，，易知在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減.
∴，
∵，
∴，∴，故當(dāng)時(shí)，
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍時(shí)，需要結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值分析，然后建立不等式組求解.
17．已知函數(shù)，．
（1）設(shè)，求函數(shù)的極值；
（2）若，試研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
答案:（1）極小值為，無(wú)極大值；（2）1個(gè)．
分析：
（1）先求得，然后求，對(duì)分成和兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合單調(diào)性求得的極值.
（2）首先判斷在上遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理判斷出的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】
（1），，
，．，
①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上是增函數(shù)，無(wú)極值．
②當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
的極小值，無(wú)極大值．
（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，的極小值，
結(jié)合的單調(diào)性可知，即恒成立．
在上是增函數(shù)，
，
，
在中有一個(gè)零點(diǎn)，
函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：
利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問題的方法：
1.先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖像，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像與軸交點(diǎn)問題，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合的思想和分類討論的思想；
2.構(gòu)造新函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為研究?jī)珊瘮?shù)的圖像的交點(diǎn)問題；
3.分離參變量，即由分離參變量，得，研究直線與的圖像的交點(diǎn)問題.
18．已知函數(shù)，在時(shí)取得極值.
（1）求的值；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
答案:（1）；（2）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.
分析：
（1）利用極值定義，列式，求出值并驗(yàn)證即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)正負(fù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.
【詳解】
解：（1）函數(shù)，則，
函數(shù)在時(shí)取得極值，故，解得，此時(shí)，，函數(shù)確實(shí)在時(shí)取得極小值.
故的值是；
（2）因?yàn)椋?dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是.
19．已知函數(shù)，是奇函數(shù).
（1）求的表達(dá)式；
（2）求函數(shù)的極值.
答案:（1）；（2）極大值，極小值.
分析：
（1）求導(dǎo)，由得到的表達(dá)式，然后利用是奇函數(shù)求解.
（2）由（1）知，求導(dǎo)，再利用極值的定義求解.
【詳解】
（1）函數(shù)，
所以，
所以，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，
所以，
所以，解得，
所以的表達(dá)式為.
（2）由（1）知，
則，
當(dāng)或時(shí)，，遞減；
當(dāng)時(shí)，，遞增；
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，
當(dāng)時(shí)，取得極小值.
【點(diǎn)睛】
本題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的求法，利用奇偶性求函數(shù)解析式以及函數(shù)極值的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.
20．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；
（3）當(dāng)時(shí)，若當(dāng)，恒有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案:（1）有極小值，無(wú)極大值；（2）；（3）.
分析：
（1）先代入?yún)?shù)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令，列表判斷單調(diào)性，即得極值情況；
（2）先代入?yún)?shù)，將不等式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，研究其單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式，即得結(jié)果；
（3）先代入?yún)?shù)，將恒成立式移項(xiàng)整理，構(gòu)造函數(shù)求導(dǎo)，討論其單調(diào)性，再利用單調(diào)性判斷其最值滿足題意，即得結(jié)果；
【詳解】
（1）當(dāng)，定義域
令，得
列表如下：
∴當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值；
（2）當(dāng)
令
令
列表如下：
當(dāng)時(shí)，有極小值，即
在單調(diào)遞增，，故不等式即
，故解集為；
（3）當(dāng)，當(dāng)，恒有成立，
即，恒有成立.
令
令，
在單調(diào)遞增，
①若，即，，即，即在單調(diào)遞增.
成立.
即時(shí)，當(dāng)，恒有成立.
②若，即，取
在單調(diào)遞增，，使得，
∵當(dāng)，即，
在上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時(shí)，不恒成立，即不恒成立.
綜上：.
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)極值的步驟：
①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)極值點(diǎn).
解決恒成立問題的常用方法：
①數(shù)形結(jié)合法；②分離參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.
21．已知函數(shù)(aR).
（1）討論的極值；
（2）若a＝2，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
答案:（1）答案見解析；（2）.
分析：
(1)先寫定義域求導(dǎo)，對(duì)a分類討論研究函數(shù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即確定函數(shù)的單調(diào)性和極值情況；
(2) a＝2時(shí)令化簡(jiǎn)不等式得，討論t進(jìn)行參數(shù)分離，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問題，即得結(jié)果.
【詳解】
解：（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>∴（i）當(dāng)a=0時(shí)，恒成立，則在定義域上單調(diào)遞增，此時(shí)無(wú)極值；
（ii）當(dāng)a≠0時(shí)，，可令，解得，
所以①當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增，則的極小值為=
，無(wú)極大值；
②當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，此時(shí)，即單調(diào)遞減，則的極大值為=
，無(wú)極小值；
綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，無(wú)極值；當(dāng)時(shí)，有極小值，無(wú)極大值；當(dāng)時(shí)，有極大值，無(wú)極小值.
（2）若a＝2，，不等式化為
則令，則不等式化為，
所以①當(dāng)時(shí)，參變分離得，
設(shè)，，
則在上單調(diào)遞增，∴.
②當(dāng)時(shí)，不等式化為0>-1，顯然成立.
③當(dāng)時(shí)，，則，可令，解得，
且當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，所以，所以.
綜上所述，要使不等式恒成立，需實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】
利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值的步驟：
①寫定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；②在定義域內(nèi)，解不等式和③寫出單調(diào)區(qū)間，并判斷極值點(diǎn).
解決恒成立問題的常用方法：
①數(shù)形結(jié)合法；②分離參數(shù)法；③構(gòu)造函數(shù)法.
22．已知函數(shù).
（1）求的極值；
（2）若函數(shù)在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
答案:（1）極大值為，極小值為；（2）.
分析：
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求函數(shù)的極值；
（2）“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.構(gòu)造函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)可求.
【詳解】
解：由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)镽.
（1）因?yàn)?
所以，
由，得，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；
當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為.
（2）因?yàn)椋?br>所以為一個(gè)零點(diǎn).
所以“函數(shù)，在定義域內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)”可以轉(zhuǎn)化為“方程有兩個(gè)非零實(shí)根”.
令，則，
所以，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，有最小值，時(shí)，，時(shí)，.
若方程有兩個(gè)非零實(shí)根，則，即.
若，方程只有一個(gè)非零實(shí)根，
所以.
綜上，.
【點(diǎn)睛】
本題考查函數(shù)極值的求解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，考查化歸轉(zhuǎn)化思想和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是中檔題.
23．函數(shù).
（1）求的極大值和極小值；
（2）已知在區(qū)間D上的最大值為20，以下3個(gè)區(qū)間D的備選區(qū)間中，哪些是符合已知條件的？哪些不符合？請(qǐng)說明理由.①；②；③
答案:（1）極大值25，極小值-7；（2）區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合，理由見解析.
分析：
（1）先求解出，根據(jù)分析得到的單調(diào)性，從而的極值可求；
（2）根據(jù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性以及極值，分析得到的最大值，由此判斷所給區(qū)間是否符合條件.
【詳解】
(1) ，令，或，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
的極大值為，極小值為
(2)當(dāng)區(qū)間為①時(shí)，在上遞減，在上遞增，
，，
所以，不符合；
當(dāng)區(qū)間為②時(shí)，在上遞減，在上遞增，
，，
所以，符合；
當(dāng)區(qū)間為③時(shí)，在上遞減，在上遞增，
，，
所以，不符合，
綜上可知：區(qū)間①③不符，區(qū)間②符合.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)最值的思路：
（1）若所給的閉區(qū)間不含參數(shù)，則只需對(duì)求導(dǎo)，并求在區(qū)間內(nèi)的根，再計(jì)算使導(dǎo)數(shù)等于零的根的函數(shù)值，把該函數(shù)值與比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值；
（2）若所給的區(qū)間含有參數(shù)，則需對(duì)求導(dǎo)，通過對(duì)參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值.
24．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的極小值；
（2）關(guān)于的不等式在上存在解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
答案:（1）；（2）.
分析：
（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，由此可求得函數(shù)的極小值；
（2）由參變量分離法得出在區(qū)間上有解，令，可得出，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的最大值，進(jìn)而可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）因?yàn)椋裕?
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為；
（2）由得，
令，由在有解知，，
，
令，則.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
，，
所以，，使得，即，
且當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則；
當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，則.
所以，當(dāng)時(shí)，，則.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)不等式在區(qū)間上有解的問題，考查參變量分離法的應(yīng)用，屬于中等題.
25．已知函數(shù).
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間
（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍
答案:（Ⅰ）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（Ⅱ）.
分析：
（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得函數(shù)的增減區(qū)間.
（Ⅱ）分離常數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，再利用求導(dǎo)求函數(shù)的值域，最后得參數(shù)范圍.
【詳解】
（Ⅰ）當(dāng)時(shí),
則
定義域?yàn)?br>時(shí)，得，解得
的單調(diào)增區(qū)間為
時(shí)，得，解得
的單調(diào)減區(qū)間為
（Ⅱ）
因?yàn)楹瘮?shù)在有兩個(gè)零點(diǎn)
所以在有兩個(gè)實(shí)根
即在有兩個(gè)實(shí)根
所以函數(shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
令解得
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減
所以為極大值點(diǎn)，取得極大值，也是最大值
又，
因?yàn)楹瘮?shù)與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)
所以
所以.
【點(diǎn)睛】
本題求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值問題，都是利用導(dǎo)函數(shù)來(lái)解決.
利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間和極值一般步驟為：
求函數(shù)的定義域
求導(dǎo)
令導(dǎo)函數(shù)大于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為增區(qū)間；令導(dǎo)函數(shù)小于0.解得對(duì)應(yīng)x范圍即為減區(qū)間
最后判斷極值點(diǎn)求出極值
求出特定區(qū)間的端點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，與極值比較得最值.
26．已知函數(shù)的極大值為2.
（1）求a的值和的極小值；
（2）求在處的切線方程.
答案:（1），極小值為；（2）.
分析：
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，解對(duì)應(yīng)的不等式，求出單調(diào)區(qū)間，得出極大值，根據(jù)題中條件，求出，即可得出極小值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，先得到，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，進(jìn)而可得切線方程.
【詳解】
（1）由得，
令或，令，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故在處取極大值，即.
則在處取得極小值；
（2）由（1）知，故，
由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，在處的切線斜率為.
故其切線方程為：，即.
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：
導(dǎo)數(shù)的方法求函數(shù)極值的一般有以下幾個(gè)步驟：
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)；
（2）解導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)的不等式，得出單調(diào)區(qū)間；
（3）由極值的概念，結(jié)合單調(diào)性，即可得出極值.
27．已知函數(shù).
（1）討論的極值；
（2）若方程在上有實(shí)數(shù)解，求的取值范圍.
答案:（1）答案見解析；（2）.
分析：
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分為和兩種情形討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得極值；
（2）題意等價(jià)于在上有實(shí)數(shù)解，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，通過判斷單調(diào)性及最值可得結(jié)果.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域是，
由已知可得.
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
此時(shí)無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，令，解得.
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以有極小值，無(wú)極大值.
綜上，當(dāng)時(shí)，無(wú)極值；
當(dāng)時(shí)，的極小值為，無(wú)極大值.
（2）令.
方程在上有實(shí)數(shù)解，
即在上有零點(diǎn).
當(dāng)，時(shí)，，，
所以，此時(shí)不存在零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)?，所以，?br>所以，故在上單調(diào)遞增.
所以，.
所以要使在上有零點(diǎn)，則，
即，解得.
即的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解
28．設(shè)函數(shù)，其中，，，均為常數(shù)，曲線在處的切線方程為.
（1）求，，的值；
（2）求函數(shù)的極值.
答案:（1），，；（2）極小值為0，極大值為.
分析：
（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，再由點(diǎn)在切線上即可得解；
（2）利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值的概念即可得解.
【詳解】
（1）因?yàn)?，切線的斜率為，
所以，
又，所以，
所以，由點(diǎn)在直線上，可得，
即，
所以；
（2）由（1）得，則，
當(dāng) 時(shí)，；當(dāng) 時(shí)，；
所以的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，
所以函數(shù)的極小值為，極大值為.
29．已知函數(shù)，其中.
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若，試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
答案:（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值；
（2）當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．
分析：
（1）把代入后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可求極值；
（2）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系對(duì)進(jìn)行分類討論，確定導(dǎo)數(shù)符號(hào)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)可求．
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí) ，，，，
令得或，得
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
（2），
令得或
因?yàn)?，所以?br>所以當(dāng) ，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，
若函數(shù)有零點(diǎn)，則，解得：，
若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，則，即
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由于，，
令，
令，則，
所以在上遞減，，即，
所以在上遞增， ，即，
所以在上沒有零點(diǎn)，
綜上，當(dāng)時(shí)，在上有唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上沒有零點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】
本題綜合考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想與分類討論思想的應(yīng)用，屬于難題．
30．如圖，等腰梯形中，，，BC中點(diǎn)為O，連接DO，已知，，設(shè)，，梯形的面積為；
（1）求函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（3）若對(duì)定義域內(nèi)的一切都成立，求的取值范圍.
答案:（1），；（2）；（3）
分析：
（1）分別計(jì)算，，的面積，得到函數(shù)的表達(dá)式；
（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；
（3）由，恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，需多次構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，最終證得在遞增，得到答案.
【詳解】
（1）連接，作于，于，如圖所示
則，又，
則
故，
（2）由，則，，
則，
由，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在遞增，在遞減，
故的極值為
（3）由，恒成立，則，恒成立，
則，恒成立，
令，，則 ，，
令，，則，，
令，，則，
則在遞增，則，則，則在遞增，
則在遞增，則，故
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的面積公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了學(xué)生分析推理能力，考查了分離變量，構(gòu)造函數(shù)等基本技巧，研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，需多次構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性最值，難度較大.
單調(diào)遞減
極小
單調(diào)遞增
1
-
0
+
↘
極小值
↗
-
0
+
↘
極小值
↗
1
-
0
+
↘
極小值
↗

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