1．過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若直線PA的斜率為2，則直線PB的斜率為（ ）
A．4B．1C．D．
二、多選題
2．已知橢圓的離心率為，的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．
B．直線與直線的斜率之積為
C．直線與直線的斜率之積為
D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為
3．設(shè)是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為（ ）
A．為定值B．直線過拋物線的焦點(diǎn)
C．最小值為16D．到直線的距離最大值為4
三、解答題
4．已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)，求的最大值；
（3）若過的直線與第二問中的軌跡交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使恒為定值?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
5．已知，為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）對(duì)于橢圓，問否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
6．已知橢圓的離心率為，的面積為
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點(diǎn)，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．
（1）證明：k1·k2為定值；
（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|．
8．已知雙曲線的方程.
（1）求點(diǎn)到雙曲線C上點(diǎn)的距離的最小值；
（2）已知圓的切線(直線的斜率存在)與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，那么∠AOB是否為定值?如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.
9．已知拋物線的焦點(diǎn)F恰為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點(diǎn)F且與其對(duì)稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離.
（1）求拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F作兩條直線，，且，的斜率之積為.
①設(shè)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求的值；
②設(shè)直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N.求面積的最大值.
10．設(shè)拋物線，為的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn).
（1）設(shè)的斜率為，求的值；
（2）求證：為定值.
11．已知圓，動(dòng)圓與圓相外切，且與直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），直線的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
12．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.
13．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A?B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)，，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由.
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，分別是橢圓E： 的左、右焦點(diǎn)，A，B分別橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連接并延長交橢圓E于點(diǎn)N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連接PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為、，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
15．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)、），求的值；
（3）過點(diǎn)作一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由.
16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-2，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過A作斜率為1的直線與軌跡C相交于點(diǎn)B，點(diǎn)T(0，t)(t>0)，直線AT與BT分別交軌跡C于點(diǎn)設(shè)直線的斜率為k，是否存在常數(shù)λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
17．已知P為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q.
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）已知，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn).試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，并說明理由.
18．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn) 在第一象限且為圓外一點(diǎn)，直線，分別交圓于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，．
（Ⅰ）若直線的傾斜角為60°，，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過作圓的兩條切線分別交軸于點(diǎn)，，試問是否為定值？若是，求出這個(gè)定值：若不是，說明理由．
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請(qǐng)從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿足：點(diǎn)F(1，0)為曲線C的焦點(diǎn)，直線y=x-1被曲線C截得的弦長為8.
（1）請(qǐng)求出曲線C的方程；
（2）設(shè)A，B為曲線C上兩個(gè)異于原點(diǎn)的不同動(dòng)點(diǎn)，且OA與OB的斜率之和為1，過點(diǎn)F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點(diǎn)M，使得線段MH的長度為定值?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線段MH的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
20．如圖，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，交橢圓于，兩點(diǎn)，
（i）證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值：
（ii）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．
21．已知橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn).直線過右焦點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.
（1）點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍；
（2）證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；
22．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)分別是的左?右?上?下頂點(diǎn)，且四邊形的面積為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知是的右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出直線的方程.
23．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，（與，均不重合）.當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，.
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
24．已知橢圓C：的離心率為，過焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)，，過點(diǎn)A的任意一條直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求證：．
25．已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；
（2）過點(diǎn) F 的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸 于P點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由．
26．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).橢圓以橢圓的長軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn).
（i）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（ii）若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，求證：為定值.
四、填空題
26．已知A、B分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，M是雙曲線上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，若直線MA、MB的斜率分別為，始終滿足，其中，則C的離心率為______ ．
27．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若的面積為，則直線的斜率為______.
專題06 圓錐曲線中的定值問題
一、單選題
1．過原點(diǎn)的直線與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若直線PA的斜率為2，則直線PB的斜率為（ ）
A．4B．1C．D．
答案:C
分析：
設(shè)，，，代入雙曲線的方程，作差，可得，再由直線的斜率公式，結(jié)合平方差公式，計(jì)算可得所求值.
【詳解】
由題意可設(shè)，，，
則，，
即有，
即，
由，，
可得，
因?yàn)?，所?
故選：.
二、多選題
2．已知橢圓的離心率為，的三個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，設(shè)它的三條邊，，的中點(diǎn)分別為，，，且三條邊所在直線的斜率分別，，，且，，均不為0．為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（ ）
A．
B．直線與直線的斜率之積為
C．直線與直線的斜率之積為
D．若直線，，的斜率之和為1，則的值為
答案:CD
分析：
由題意可得：．設(shè)，，，．，．利用點(diǎn)差法即可得出，，，即可判斷．
【詳解】
解：橢圓的離心率為，，
，故錯(cuò)；
設(shè)，，，．，．
，，
兩式相減可得：．
，
同理，，
故錯(cuò)，正確．
又，
故選：CD．
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)差法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題，處理中點(diǎn)弦問題常用的求解方法：
（1）點(diǎn)差法：即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)后，代入圓錐曲線方程，并將兩式相減，式中含有三個(gè)未知量，這樣就直接聯(lián)系了中點(diǎn)和直線的斜率，借用中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求得斜率；
（2）根與系數(shù)的關(guān)系：即聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程得到方程組，化為一元二次方程后由根與系數(shù)的關(guān)系求解
3．設(shè)是拋物線上兩點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若，下列結(jié)論正確的為（ ）
A．為定值B．直線過拋物線的焦點(diǎn)
C．最小值為16D．到直線的距離最大值為4
答案:ACD
分析：
由拋物線方程及斜率公式即可判斷A；設(shè)直線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷B；利用韋達(dá)定理求得的最小值，即可判斷C；由直線過定點(diǎn)可判斷D.
【詳解】
對(duì)于A，因?yàn)椋裕?br>所以，故A正確；
對(duì)于B，設(shè)直線，代入可得，
所以，即，所以直線過點(diǎn)，
而拋物線的焦點(diǎn)為，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又直線過點(diǎn)，所以，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以到直線的距離最大值為4，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】
解決本題的關(guān)鍵是利用拋物線的方程合理化簡(jiǎn)及韋達(dá)定理的應(yīng)用，細(xì)心計(jì)算即可得解.
三、解答題
4．已知點(diǎn)到的距離是點(diǎn)到的距離的2倍.
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)，求的最大值；
（3）若過的直線與第二問中的軌跡交于，兩點(diǎn)，試問在軸上是否存在點(diǎn)，使恒為定值?若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）138；（3）存在，，.
分析：
（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，利用兩點(diǎn)之間的距離公式化簡(jiǎn)整理可得.
（2）先由的軌跡方程求出點(diǎn)的軌跡方程，利用兩點(diǎn)間距離公式整理從而轉(zhuǎn)化為：線性規(guī)劃問題處理.
（3）代入消元，韋達(dá)定理，整體思想代入，整理可得解.
【詳解】
（1）設(shè)點(diǎn)，由題意可得，即，
化簡(jiǎn)可得.
（2）設(shè)，由(1)得點(diǎn)滿足的方程，
又點(diǎn)是點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)，則，代入上式消去可得，即的軌跡為.
令，則，可視為直線在y軸上的截距，
的最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距，由直線與圓相切時(shí)圓心到直線的距離等于半徑，
所以，，所以.
因此的最大值為138.
（3）存在點(diǎn)，使得為定值.
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，則直線的方程為，
由，消去，得，顯然，
設(shè)，則，，
又，，
則
要使上式恒為定值，需滿足，解得，此時(shí)，為定值.
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，由可得.
所以存在點(diǎn)，使得為定值.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：本題為直線與圓的綜合題，與圓有關(guān)的最值問題的常見類型及解題策略
（1）與圓有關(guān)的長度或距離的最值問題的解法．一般根據(jù)長度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．
（2）與圓上點(diǎn)有關(guān)代數(shù)式的最值的常見類型及解法：
①形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(diǎn)和點(diǎn)的直線的斜率的最值問題；
②形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線的截距的最值問題；
③形如型的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離平方的最值問題．
5．已知，為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，的周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）對(duì)于橢圓，問否存在實(shí)數(shù)，使得成立，若存在求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）存在，實(shí)數(shù).
分析：
（1）利用橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長，求出，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可得到橢圓的方程；
（2）求出，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達(dá)定理，不妨設(shè)，，求出，化簡(jiǎn)整理即可求得結(jié)果
【詳解】
解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得，，
∴的周長為，
∴，，
∴橢圓的方程為，將代入得，
所以橢圓的方程為.
（2）由（1）可知，得，依題意可知直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，由消去，整理得，
設(shè)，，則，，
不妨設(shè)，，，
同理，
所以
即，所以存在實(shí)數(shù)，使得成立
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理將表示出來，然后代入中可求出的值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題
6．已知橢圓的離心率為，的面積為
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值.
答案:（1）；（2）證明見解析.
分析：
（1）根據(jù)離心率和面積建立等式求解；
（2）分別求出PB直線方程，PA直線方程，得出，即可求出.
【詳解】
（1）由題： ，解得：，
所以橢圓方程為；
（2）設(shè)，
PB直線方程，，
PA直線方程，，
=
【點(diǎn)睛】
此題考查求橢圓的方程，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系證明定值問題，關(guān)鍵在于準(zhǔn)確寫出方程和點(diǎn)的坐標(biāo)，建立等式求解.
7．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點(diǎn)，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．
（1）證明：k1·k2為定值；
（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|．
答案:（1）證明見解析；（2）.
分析：
（1）設(shè)P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則可表示出，進(jìn)而可得的表達(dá)式，又根據(jù)點(diǎn)P，M在橢圓上，利用點(diǎn)差法，即可得證；
（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓可得關(guān)于y的一元二次方程，利用韋達(dá)定理，可得的表達(dá)式，根據(jù)，可得的關(guān)系，即可求出，代入弦長公式，即可求得結(jié)果.
【詳解】
（1）證明：設(shè)P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），
則，，
則，
又，，
故，
所以為定值．
（2）設(shè)直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，
則有，．
又，所以-y1＝2y2，
故，解得，
所以．
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵設(shè)直線x＝ty＋1可簡(jiǎn)化計(jì)算，聯(lián)立直線與曲線，利用韋達(dá)定理，弦長公式等進(jìn)行求解，考查分析理解，計(jì)算求值的能力，屬中檔題.
8．已知雙曲線的方程.
（1）求點(diǎn)到雙曲線C上點(diǎn)的距離的最小值；
（2）已知圓的切線(直線的斜率存在)與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，那么∠AOB是否為定值?如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）是定值，.
分析：
（1）設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)為，則，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出，利用二次函數(shù)求最值即可；（2）設(shè)直線的方程為：，利用直線與圓相切可得到，設(shè)，直線與雙曲線的方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理得到
，再求出，最后利用得出結(jié)論即可.
【詳解】
（1）設(shè)雙曲線上任意一點(diǎn)為，
則，
，
當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
即點(diǎn)到雙曲線C上點(diǎn)的距離的最小值為；
（2）設(shè)直線的方程為：，
因?yàn)橹本€與圓相切，
所以圓的圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，①
設(shè)，
由消得，
，
由題意知：，
，
由韋達(dá)定理得，
由①得：，
則，
因?yàn)椋?br>所以為定值.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：求解圓錐曲線中的定值問題，直線與曲線方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理求解是解題的關(guān)鍵.
9．已知拋物線的焦點(diǎn)F恰為橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且拋物線的通徑（過拋物線的焦點(diǎn)F且與其對(duì)稱軸垂直的弦）的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離.
（1）求拋物線及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F作兩條直線，，且，的斜率之積為.
①設(shè)直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線于C，D兩點(diǎn)，求的值；
②設(shè)直線，與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N.求面積的最大值.
答案:（1）；(2) ① ②
分析：
(1)由拋物線的焦點(diǎn)為橢圓的右焦點(diǎn)可得p，求出拋物線方程，根據(jù)通徑與準(zhǔn)線間的距離可求a，c，即可求出橢圓方程；
（2）①設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，由根與系數(shù)關(guān)系及弦長公式可求出弦長，代入即可計(jì)算求解②設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，由根與系數(shù)關(guān)系，得出弦長，同理可得另外一條弦長，根據(jù)三角形面積公式表示出面積，換元后求最值即可.
【詳解】
(1) ,
右頂點(diǎn)為，
即拋物線的焦點(diǎn) ,
，
故拋物線方程為，
因?yàn)閽佄锞€的通徑的長等于橢圓的兩準(zhǔn)線間的距離，
所以，
，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
(2) ①設(shè)，代入 消元得：
，
設(shè)，
，
，
又，
同理可得
②仍設(shè)，
代入橢圓方程消元得：
，
即，
，
，
同理得，
，
（當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，等號(hào)成立），
令，則 ，
,
對(duì)于，在 上是增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，
，
面積的最大值為.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解過程中，需要熟練運(yùn)用弦長公式，以及類比的思想的運(yùn)用，在得到三角形面積后，利用換元法，化簡(jiǎn)式子，求最值是難點(diǎn)，也是關(guān)鍵點(diǎn)，題目較難.
10．設(shè)拋物線，為的焦點(diǎn)，過的直線與交于兩點(diǎn).
（1）設(shè)的斜率為，求的值；
（2）求證：為定值.
答案:（1）5；（2）證明見解析.
分析：
（1）求出直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，由即可求解；
（2）設(shè)直線方程為，由韋達(dá)定理表示出，即可得出定值.
【詳解】
（1）依題意得，
所以直線的方程為.
設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為，，
由得，，
所以，.
所以.
（2）證明：設(shè)直線的方程為，
直線與拋物線的交點(diǎn)為，，
由得，，
所以，.
因?yàn)?br>.
所以為定值.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線相交問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
11．已知圓，動(dòng)圓與圓相外切，且與直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.
(2)已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），直線的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
答案:（1）；（2）是，.
分析：
(1)根據(jù)題意分析可得到直線的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其方程為；
(2) 設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，直線的斜率分別為和，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達(dá)定理得和，根據(jù)斜率公式得和，利用和化簡(jiǎn)即可得到定值.
【詳解】
(1)設(shè)直線的距離為，因?yàn)閯?dòng)圓與圓相外切，所以，
所以到直線的距離等于到的距離，
由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為：，
所以拋物線的方程為.
(2)設(shè)直線的方程為，即
因?yàn)榕c點(diǎn)不重合，所以
設(shè)直線的斜率分別為和，點(diǎn)
聯(lián)立消去并整理得，
則，，
由，解得或，且.
可得，
同理可得，
所以
，
故直線的斜率之和為定值.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用斜率公式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之和與縱坐標(biāo)之積，再根據(jù)韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵，本題考查了運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題.
12．已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且右焦點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.
答案:（1）；（2）.
分析：
（1）根據(jù)焦點(diǎn)坐標(biāo)得出的值，由，將點(diǎn)代入橢圓的方程，解出，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線的方程為，將其代入橢圓方程，由韋達(dá)定理以及向量的數(shù)量積公式得出，利用判別式法得出，最后由韋達(dá)定理得出的值．
【詳解】
（1）由橢圓的右焦點(diǎn)為，知，即，則，．
又橢圓過點(diǎn)，∴，又，∴．
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)直線的方程為，，
由得，即
∵點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，∴
∴由韋達(dá)定理可得：（*）
則

將（*）代入上式得：，
即，，則
∴，即
由題意知，是的兩根
∴．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓相交題型，本題中直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理求出，，然后表示出，得到等量關(guān)系，由其，得到關(guān)于t的不等式，即可求出，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于較難題．
13．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點(diǎn)F的直線l交橢圓于A?B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)，，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）存在，定值為.
分析：
（1）由題意可得，，，可求得橢的圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設(shè)，， 由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出， ，代入計(jì)算可求得定值.
【詳解】
（1）由題可得，
又，所以
因此橢圓方程為
（2）由題可得直線斜率存在，設(shè)直線l的方程為，
由消去y，整理得：，
設(shè)，，則，
又，，則，，
由可得，所以
同理可得，
所以
所以，為定值.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：該題考查直線與橢圓的定值問題，關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組，得出交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到交點(diǎn)的坐標(biāo)上去，屬于中檔題目.
14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知，分別是橢圓E： 的左、右焦點(diǎn)，A，B分別橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）已知點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)（異于點(diǎn)A、B），連接并延長交橢圓E于點(diǎn)N，連接MD、ND并分別延長交橢圓E于點(diǎn)P、Q，連接PQ，設(shè)直線MN、PQ的斜率存在且分別為、，試問是否存在常數(shù)，使得恒成立？，若存在，求出的值；若不存在，說明理由．
答案:(1) ;(2)
分析：
(1)借助題設(shè)條件運(yùn)用向量的相等建立方程得求解；(2)借助題設(shè)條件運(yùn)用直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立坐標(biāo)方程求解.
【詳解】
（1）,化簡(jiǎn)得,
橢圓E的離心率
（2）存在滿足條件的常數(shù).設(shè),
因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn),, 從而,左焦點(diǎn),故橢圓的方程為.
則直線的方程為,代入橢圓方程整理得,.
,從而,故點(diǎn).同理,點(diǎn).因?yàn)槿c(diǎn)、、共線，所以,從而.
從而,
故,從而存在滿足條件的常數(shù).
【點(diǎn)晴】
本題是一道考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合問題.本題第二問的求解過程中,先將的方程設(shè)為,然后代入消去變量建立了以其交點(diǎn)橫坐標(biāo)為主元的二次方程,通過研究坐標(biāo)之間的關(guān)系式,再借助題設(shè)條件,求出,.最后借助三點(diǎn)、、共線,探究出了方程,屬于難題.
15．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，短軸長為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在橢圓上（異于點(diǎn)、），求的值；
（3）過點(diǎn)作一條直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過作直線的垂線，垂足為.試問：直線與是否交于定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)，否則說明理由.
答案:（1）；（2）；（3）是，.
分析：
（1）由題意，列出所滿足的等量關(guān)系式，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，求得，從而求得橢圓的方程；
（2）寫出，設(shè)，利用斜率坐標(biāo)公式求得兩直線斜率，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，得出，從而求得結(jié)果；
（3）設(shè)直線的方程為：，，則，聯(lián)立方程可得：，結(jié)合韋達(dá)定理，得到，結(jié)合直線的方程，得到直線所過的定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】
（1）由題意可知，，又，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）,設(shè)，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
，
又，
.
（3）設(shè)直線的方程為：，，則，
聯(lián)立方程可得：，
所以，
所以 ，
又直線的方程為：，
令，
則
，
所以直線恒過，
同理，直線恒過，
即直線與交于定點(diǎn).
【點(diǎn)睛】
思路點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)橢圓的問題，解題思路如下：
（1）根據(jù)題中所給的條件，結(jié)合橢圓中的關(guān)系，建立方程組求得橢圓方程；
（2）根據(jù)斜率坐標(biāo)公式，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上，整理求得斜率之積，可以當(dāng)結(jié)論來用；
（3）將直線與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，結(jié)合直線方程，求得其過的定點(diǎn).
16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(-2，1)，P是動(dòng)點(diǎn)，且
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）過A作斜率為1的直線與軌跡C相交于點(diǎn)B，點(diǎn)T(0，t)(t>0)，直線AT與BT分別交軌跡C于點(diǎn)設(shè)直線的斜率為k，是否存在常數(shù)λ，使得t=λk，若存在，求出λ值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）存在滿足條件．
分析：
（1）設(shè)的坐標(biāo)，可得直線，，的斜率，由題意可得的軌跡的方程；
（2）由題意可得直線的方程，與軌跡的方程聯(lián)立求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線，的方程，分別與曲線聯(lián)立求出，的坐標(biāo)，求出直線的斜率的表達(dá)式可得與的關(guān)系，進(jìn)而可得常數(shù)的值滿足條件．
【詳解】
解：（1）設(shè)，由題意可得，，，
而．所以，整理可得：，
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：；
（2）由題意直線的方程為：，即，
代入曲線中可得，解得或，
所以可得，
直線的方程為：，
代入拋物線的方程：，
所以，所以，所以，
所以，，
直線的方程為：，與拋物線聯(lián)立，
所以，所以，，
所以，，
由題意可得，所以，
由題意，所以．
所以存在滿足條件．
【點(diǎn)睛】
求軌跡方程的主要方法有直接法、相關(guān)點(diǎn)代入法、消參法等，軌跡方程求完后，要記得驗(yàn)證，是否要挖去不符合條件的點(diǎn).
17．已知P為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q.
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）已知，過點(diǎn)作與軸不重合的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn).試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，并說明理由.
答案:（1）；（2）是定值，理由見解析.
分析：
（1）由中垂線可知，所以Q點(diǎn)的軌跡為橢圓；
（2）設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線方程用兩點(diǎn)坐標(biāo)表示的橫坐標(biāo)；再把直線代入橢圓方程消元，韋達(dá)定理，整理的橫坐標(biāo)的乘積可得結(jié)論.
【詳解】
由已知線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q.得，,
又P為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，
所以，
點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸為4的橢圓
橢圓方程：
設(shè)，則直線方程: ，
令，得，同理可得
由題設(shè)直線：，代入方程整理得
，且
，，

故（定值）
【點(diǎn)睛】
利用已知的幾何條件求軌跡方程是常用的求軌跡的方法；運(yùn)用韋達(dá)定理及整體思想求特定的量是直線與圓錐曲線中常見的處理策略.
18．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn) 在第一象限且為圓外一點(diǎn)，直線，分別交圓于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)，．
（Ⅰ）若直線的傾斜角為60°，，求點(diǎn)坐標(biāo)；
（Ⅱ）過作圓的兩條切線分別交軸于點(diǎn)，，試問是否為定值？若是，求出這個(gè)定值：若不是，說明理由．
答案:（Ⅰ）；（Ⅱ）定值為1.
分析：
（Ⅰ）由題可得直線的方程為，由為正三角形，可得直線方程為，聯(lián)立直線方程即可求出P的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)，切線與軸交點(diǎn)為，可得切線方程為，利用相切得出，可得，利用共線得，，則可求出，進(jìn)而得出定值.
【詳解】
（Ⅰ）由題可知，直線的傾斜角為60°，
則直線的方程為，
，故為正三角形，
則直線的傾斜角為，故直線方程為，
為直線BD和直線AC交點(diǎn)，聯(lián)立方程，解得，
；
（Ⅱ）設(shè)，切線與軸交點(diǎn)為，
則切線方程為，即，
又O到切線的距離為1，則，
整理得，
則是方程的兩根，，
由P，C，Q共線得，解得，同理可得，
，
，
，即.
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)睛：第一問的關(guān)鍵是將點(diǎn)P的坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為直線BD和AC的交點(diǎn)坐標(biāo)，通過求兩直線方程可求出；第二問的關(guān)鍵是將的坐標(biāo)全部轉(zhuǎn)化為與P的坐標(biāo)有關(guān)，通過求來得出結(jié)果.
19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有三條曲線：①；②；③.請(qǐng)從中選擇合適的一條作為曲線C，使得曲線C滿足：點(diǎn)F(1，0)為曲線C的焦點(diǎn)，直線y=x-1被曲線C截得的弦長為8.
（1）請(qǐng)求出曲線C的方程；
（2）設(shè)A，B為曲線C上兩個(gè)異于原點(diǎn)的不同動(dòng)點(diǎn)，且OA與OB的斜率之和為1，過點(diǎn)F作直線AB的垂線，垂足為H，問是否存在定點(diǎn)M，使得線段MH的長度為定值?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)和線段MH的長度；若不存在，請(qǐng)說明理由.
答案:（1）；（2）；
分析：
（1）利用焦點(diǎn)以及弦長排除①②，從而可得，進(jìn)而求出拋物線.
（2）、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，設(shè)方程：，與拋物線聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達(dá)定理求出，再將、方程聯(lián)立，求出交點(diǎn)，過點(diǎn)，觀察兩個(gè)定點(diǎn)，，由，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可證出.
【詳解】
（1）對(duì)于②，，故排除②；
假設(shè)①為曲線C，則有，解得，
將直線代入，整理可得，
解得，此時(shí)弦長為，故排除①；
所以曲線C為③，
則，解得，
所以曲線C的方程為.
（2）易知、的斜率存在且不為，不可能是斜率為的直線，
設(shè)方程：，代入，
可得，，
設(shè)，，
則，，
且，解得，
聯(lián)立、方程，即，解得，
，
已知過點(diǎn)，不妨猜測(cè)可能為，
則，此時(shí)不滿足為定值，
觀察兩個(gè)定點(diǎn)，，
由于，故在以為直徑的圓上，
的中心為圓心，圓心到的距離恒為.
中點(diǎn)為，，
所以定點(diǎn)M，線段MH的長度為定值，且 .
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)焦點(diǎn)以及弦長確定曲線C，解題的關(guān)鍵是求出直線過點(diǎn)，圍繞以及焦點(diǎn)，進(jìn)行求解，考查了考生的計(jì)算求解能力.
20．如圖，點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，過的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)．
（Ⅰ）若點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（Ⅱ）若直線過點(diǎn)，且傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，交橢圓于，兩點(diǎn)，
（i）證明：點(diǎn)的橫坐標(biāo)是定值，并求出該定值：
（ii）當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的值．
答案:（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，證明見詳解；（ii）
分析：
（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，可得，進(jìn)而可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（Ⅱ）（i）設(shè)的方程為，設(shè)，，與橢圓聯(lián)立，利用點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)得到，計(jì)算可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值；
（ii）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)可得，根據(jù)三角形的面積公式以及基本不等式可求的面積最大值，由取等號(hào)的條件解得的值
【詳解】
解：（Ⅰ）由題意得，點(diǎn)A在拋物線的準(zhǔn)線上，
則，即
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）（i）證明：因?yàn)檫^A的直線和拋物線交于兩點(diǎn)，
所以的斜率存在且不為0，
設(shè)的方程為，其中m是斜率的倒數(shù)，
設(shè)，，
聯(lián)立方程組，
整理得，且，
因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，所以，
所以，，
，
所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值；
（ii）因?yàn)橹本€的傾斜角和直線的傾斜角互補(bǔ)，
所以的斜率和的斜率互為相反數(shù).
設(shè)直線的方程為，，
即，
聯(lián)立方程組整理得，
，
所以，，.
因?yàn)辄c(diǎn)C是AB中點(diǎn)，所以，
因?yàn)榈降木嚯x，
，
所以.
令，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
所以，
.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與橢圓的綜合問題，考查橢圓中的定值問題及面積最值問題，考查學(xué)生計(jì)算能力與分析能力，是一道中檔題.
21．已知橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，且經(jīng)過點(diǎn).直線過右焦點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.
（1）點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍；
（2）證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；
答案:（1）；（2）證明見解析.
分析：
（1）由橢圓定義求得，然后可得，從而得橢圓方程，然后設(shè)點(diǎn)，計(jì)算可得范圍；
（2）設(shè)直線的方程為()代入橢圓方程得，設(shè)，，可得段線的中點(diǎn)的坐標(biāo)，然后計(jì)算可得定值．
【詳解】
解：（1）因?yàn)榻咕?，則，所以左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)
則
所以，所以，所以橢圓方程為.
設(shè)點(diǎn)，則
因?yàn)?，所以的取值范圍為?br>（2）設(shè)直線的方程為()
聯(lián)立消去得
其中：，，不妨設(shè)，，為線段的中點(diǎn)
則，
所以，
所以所以為定值.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：直線與橢圓相交中的定值問題，解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，即設(shè)交點(diǎn)，，設(shè)直線方程，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組并消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入中可化簡(jiǎn)得定值．
22．已知橢圓的離心率為，點(diǎn)分別是的左?右?上?下頂點(diǎn)，且四邊形的面積為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知是的右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的交點(diǎn)為，求證：點(diǎn)在定直線上，并求出直線的方程.
答案:（1）；（2）證明見解析，.
分析：
（1）利用橢圓的離心率、四邊形的面積求得，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）設(shè)，求得，設(shè)直線的方程為，代入，化簡(jiǎn)后寫出根與系數(shù)關(guān)系，進(jìn)而求得，由此判斷出點(diǎn)在定直線上.
【詳解】
（1）設(shè)橢圓的半焦距長為，根據(jù)題意
，解得.
故.
（2）由（1）知，
設(shè)，
由①，
②，
兩式相除得，
又故，
故，
于是③，
由于直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，代入整理，
得，
把代入③，
，
得，
得到，故點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】
要求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，也即要求得，可根據(jù)已知條件列方程組來求解.解決直線與橢圓的位置關(guān)系的問題，求解出根與系數(shù)關(guān)系是重要的步驟.
23．已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，離心率為，過點(diǎn)作直線交橢圓于點(diǎn)，（與，均不重合）.當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，.
（1）求橢圓的方程
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
答案:（1）；（2）證明見解析.
分析：
（1）解方程.①，②即得解；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組得，得到韋達(dá)定理，再利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)即得證.
【詳解】
（1）當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí)，有，
所以.①
又因?yàn)殡x心率，②
由①②解得，，
所以的方程為.
（2）由題意，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程組得，
設(shè)，，則，.
由（1）得，，所以，，
.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：定值問題：在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關(guān)，這就構(gòu)成了定值問題，定值問題的處理常見的方法有：（1）特殊探究，一般證明.（2）直接求題目給定的對(duì)象的值，證明其結(jié)果是一個(gè)常數(shù).
24．已知橢圓C：的離心率為，過焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)，，過點(diǎn)A的任意一條直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求證：．
答案:（1）；（2）證明見解析
分析：
（1）由題意得，可求出，即可得到橢圓的方程；
（2）過，分別作軸的垂線段，，易得，要證明，只需證明，即證，只需證明，設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出直線、直線的斜率，進(jìn)而可證明.
【詳解】
（1）橢圓中，令，得，
因?yàn)檫^焦點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以，
根據(jù)離心率為，得，
由，解得，，所以橢圓的方程為．
（2）證明：要證明，只需證明，
過，分別作軸的垂線段，，易得：，所以只需證明，
所以只需證明，只需證明．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得．
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，不妨設(shè)斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立消去y，得，
設(shè)，，則，，
直線的斜率，直線的斜率，
.
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查求橢圓的方程，及橢圓中等式關(guān)系的證明，解題關(guān)鍵是將等式關(guān)系轉(zhuǎn)化為.本題第二問中，過，分別作軸的垂線段，，可得到，即可將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而只需證明，即證明.考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力，屬于中檔題．
25．已知橢圓的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 ；
（2）過點(diǎn) F 的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，交y軸 于P點(diǎn)，設(shè)，試判斷是否為定值？請(qǐng)說明理由．
答案:（1）；（2）是定值-4，理由見解析.
分析：
（1）由題意可得， ，，可求得橢的圓方程.
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設(shè)，， 由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示出， ，
代入計(jì)算可求得定值.
【詳解】
（1）由題可得，又，所以，，
因此橢圓方程為，
（2）由題可得直線斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由消去，整理得：，
設(shè)，， 則，
又，，則，，
由可得，所以，同理可得，
所以，
所以，為定值-4.
【點(diǎn)睛】
本題考查直線與橢圓的定值問題，關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組，得出交點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，將目標(biāo)條件轉(zhuǎn)化到交點(diǎn)的坐標(biāo)上去，屬于中檔題.
四、填空題
26．已知A、B分別是雙曲線的左右頂點(diǎn)，M是雙曲線上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，若直線MA、MB的斜率分別為，始終滿足，其中，則C的離心率為______ ．
答案:
分析：
設(shè)出的坐標(biāo)，利用直線的斜率的乘積，結(jié)合已知條件，推出斜率乘積，轉(zhuǎn)化求解雙曲線的離心率即可.
【詳解】
設(shè)，
由M是雙曲線上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，若直線MA、MB的斜率分別為，
則，
又，則，
由，
得，
因?yàn)椋?br>所以，
可得顯然不成立；
則，
所以，
所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
方法點(diǎn)睛：求雙曲線離心率的值的常用方法：
由或的值，得；
列出含有的齊次方程，借助消去，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；
27．在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為，若的面積為，則直線的斜率為______.
答案:
分析：
由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積可得，進(jìn)而可得，由直線斜率公式化簡(jiǎn)可得、，運(yùn)算即可得解.
【詳解】
設(shè)，則，
由題意，，
所以，所以，
所以，
所以直線的斜率，
設(shè)點(diǎn)，則，即，
所以，
又，所以，所以.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】
本題考查了橢圓性質(zhì)的應(yīng)用及直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

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