1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和座位號填寫在答題卡上。
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡的相應(yīng)位置上。寫在本試卷上無效。
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。
選擇題（共8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）
1. 對于平面向量，，，下列敘述正確的是（ ）
A. 若，則 B. 若與是單位向量，則
C. 若，則 D. 若，，則
2. 將函數(shù)的圖象沿軸向左平移 個單位后，得到的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，則的一個可能值為（ ）
A. B. C. D.
3. 已知中，“”是“”成立的（ ）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件
4. 函數(shù)y=xcsx+sinx在區(qū)間[–π，π]的圖象大致為（ ）
A. B.
C D.
5. 已知角，且，則（ ）
A. B. C. D.
6. 在銳角三角形ABC中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若為所在平面內(nèi)一點，且則點是的（ ）
A. 重心 B. 外心 C. 內(nèi)心 D. 垂心
8. 已知f（x）是定義在R上周期為2的偶函數(shù)，若當(dāng)時，，則函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)為（ ）
A. 2021 B. 2020 C. 4043 D. 4044
二．多選題（共4小題，每題5分，共20分。在每題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。）
9. 下列四個命題為真命題的是（ ）
A. 若向量、、，滿足，，則
B. 若向量，，則、可作為平面向量的一組基底
C. 若向量，，則在上的投影向量為
D. 若向量、滿足，，，則
10. 若M是△ABC所在平面內(nèi)一點，則下列說法中正確的是（ ）
A．若，則M是邊BC的中點
B．若，則M是邊BC的中點
C．若，則點M是△ABC的重心
D．若，且，則△MBC的面積是△ABC面積的
11．中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，一般情況下，折扇可看作是從一個圓面中剪下的扇形制作而成，如圖，設(shè)扇形的面積為，其圓心角為，圓面中剩余部分的面積為，當(dāng)與的比值為時，扇面為“美觀扇面”，下列結(jié)論正確的是（參考數(shù)據(jù)：）（ ）

A．
B．若，扇形的半徑，則
C．若扇面為“美觀扇面”，則
D．若扇面為“美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為
12. 已知函數(shù)，滿足，，且在上單調(diào)，則的取值可能為（ ）
A. 1B. 3C. 5D. 7
三．填空題（共4小題，每題5分，共20分。）
13. 已知函數(shù)，的部分圖象如圖，則 ___________.
14. 將函數(shù)圖象上所有的點都向左平移個單位長度后，再將所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，得到函數(shù)的圖象，則___________.
15. 如圖，在中，，，是以為直徑的上半圓上的動點（包含端點，），是的中點，則的最大值是______；的最大值是______.
16. 已知函數(shù)，若至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，則實數(shù)的取值范圍是________．
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
（10分）17.（1）已知角的頂點在坐標(biāo)原點，始邊在軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過點，求的值；
（2）若是方程的根，求的值.
(12分)18. 已知e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，＝2e1＋e2，＝－e1＋λe2，＝－2e1＋e2，且A，E，C三點共線．
（1）求實數(shù)λ的值；
（2）若e1＝(2，1)，e2＝(2，－2)，求的坐標(biāo)；
（3）已知點D(3，5)，在（2）的條件下，若A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，求點A的坐標(biāo)．
(12分)19.已知函數(shù)的最小正周期為4，且滿足．
（1）求解析式．
（2）是否存在實數(shù)滿足？若存在，請求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(12分)20. “南昌之星”摩天輪于2006年竣工，總高度160，直徑153.勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時30.以摩天輪的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，畫示意圖，如圖1.
設(shè)座艙為起始位置如圖2，經(jīng)過后，逆時針旋轉(zhuǎn)到，此時點距離地面的高度（）滿足，其中，，.
（1）根據(jù)條件求出（）關(guān)于（）的解析式；
（2）在摩天輪轉(zhuǎn)動的第一圈內(nèi)，有多長時間P點距離地面不低于45.25？
(12分)21. 如圖所示，在中，是邊的中點，是線段的中點.過點的直線與邊，分別交于點，.設(shè)，，，.
（1）化簡：；
（2）求證：為定值；
（3）設(shè)的面積為，的面積為，求的取值范圍.
(12分)22. 個有次序的實數(shù)a1,a2,…an所組成的有序數(shù)組(a1,a2,…an)稱為一個n維向量，其中ai(i=1,2,…n)稱為該向量的第個分量.特別地，對一個n維向量a=(a1,a2,…an)，若|ai|=1，，稱為n維信號向量.設(shè)a=(a1,a2,…an)，b=(b1,b2,…bn)，則和的內(nèi)積定義為a.b=i=1naibi，且.
(1)寫出所有3維信號向量；
(2)直接寫出4個兩兩垂直的4維信號向量；
(3)證明：不存在14個兩兩垂直的14維信號向量；
(4)已知個兩兩垂直的2024維信號向量滿足它們的前個分量都是相同的，求證：.
數(shù)學(xué)答案
1，B 2 ，C 3，C 4，A 5，A 6，A 7，D 8，C ，，9，BC 10，ACD 11，AC 12，AB
6. 【詳解】因為為銳角三角形，所以，
所以，所以
所以，故A正確；
同理，，所以，故B錯誤；
同上，，所以，故C錯誤；
又時，，故D錯誤.
故選：A
7. 【詳解】，
得，即；
，
得，即；
，
，即，所以為的垂心.
故選：D.
10. 【答案】ACD
【解析】對于A，由，得，即，
因此點M是邊BC的中點，故A正確；
對于B，，，
則點在邊的延長線上，所以B不正確；
對于C，設(shè)中點，則,，
由重心性質(zhì)可知C正確；

對于D，，且 ，
設(shè)分別取AB，的中點為N，，則，
即點 M在過AB中點且平行BC的直線上即M在上，
在的中位線上， 的面積是的，選項D正確.

故選：ACD.
12. 【詳解】由，知函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，
又，即是函數(shù)的零點，
則，，
即，.
由在上單調(diào)，
則，即，
所以.
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，故符合題意；
當(dāng)時，由，，得，，
又，所以，此時當(dāng)時，，
所以上不單調(diào)，故不符合題意.
綜上所述，或3.
故選：AB.
13. 14. 15. 2 ; 6 16.
15. 【詳解】因為，，
所以，即,
所以,
當(dāng)且僅當(dāng)與重合時取等號，
故的最大值是2.
取的中點，連接交半圓與點，
則，
又，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)與重合時取等號，
故的最大值是6.
故答案為：2；6.
16. 【詳解】至少存在兩個不相等的實數(shù)，使得，
當(dāng)，即時，必存在兩個不相等的實數(shù)滿足題意；
當(dāng)，即時，，
，；
當(dāng)時，解集為，不合題意；令，則；令，則；
綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
17.（1）因為角終邊經(jīng)過點，所以，
所以.
（2）由可得或，故，
所以.
18.（1）＝＋＝(2e1＋e2)＋(－e1＋λe2)＝e1＋(1＋λ)e2.
因為A，E，C三點共線，所以存在實數(shù)k，使得＝k，即e1＋(1＋λ)e2＝k(－2e1＋e2)，得(1＋2k)e1＝(k－1－λ)e2.
因為e1，e2是平面內(nèi)兩個不共線的非零向量，所以解得k＝－，λ＝－.
（2）＝＋＝－3e1－e2＝(－6，－3)＋(－1，1)＝(－7，－2)．
（3）因為A，B，C，D四點按逆時針順序構(gòu)成平行四邊形，所以＝.設(shè)A(x，y)，則＝(3－x，5－y)，
因為＝(－7，－2)，所以，
解得，即點A的坐標(biāo)為(10，7)．
19. (1)解：因為的最小正周期為4，所以．
因為滿足，
所以的圖象關(guān)于點(1/2,0)對稱，
所以，
所以，即，
又，所以．
所以解析式為．
(2)由，可得．
當(dāng)時，，．
在同一坐標(biāo)系中作出與的大致圖象，如圖所示，
當(dāng)時，，．
再結(jié)合的單調(diào)性可知點的橫坐標(biāo)即方程的根，解得．
結(jié)合圖象可知存在實數(shù)滿足，的取值范圍是．
20. (1)依題意, 當(dāng)時, 點, 以為終邊的角為.
所以 .
根據(jù)摩天輪勻速旋轉(zhuǎn)一圈需時, 可知摩天輪轉(zhuǎn)動的角速度為,
即
所以 , ;
(2)令
即 ,
又 , 所以 ,
所以 ,
所以在摩天輪轉(zhuǎn)動的第一圈內(nèi), 有,點距離地面不低于.
21.(1) 是邊的中點，是線段的中點
(2)證明：設(shè)
于是
又，，，
，
根據(jù)向量的運算法則可知
三點共線
整理可得：，即
故為定值，定值為.
(3)設(shè)
22.【解】（2）根據(jù)題意，結(jié)合維向量的定義，
則兩兩垂直的4維信號向量可以為：.
（3）假設(shè)存在14個兩兩垂直的14維信號向量，
因為將這14個向量的某個分量同時變號或?qū)⒛硟蓚€位置的分量同時互換位置，任意兩個向量的內(nèi)積不變，
所以不妨設(shè)，
因為，所以有7個分量為，
設(shè)的前7個分量中有個，則后7個分量中有個，
所以，可得，矛盾，
所以不存在14個兩兩垂直的14維信號向量.
（4）任取，計算內(nèi)積，將所有這些內(nèi)積求和得到，
則，設(shè)的第個分量之和為，
則從每個分量的角度考慮，每個分量為的貢獻(xiàn)為，
所以，
令所以，所以.

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